Progetto del controllore

Principali reti di compensazione Loop shaping e sintesi per tentativi Reti anticipatrici Reti attenuatrici Reti integro-derivative Implicazioni sull attività sul comando 2

Principali reti di compensazione

Il concetto del loop shaping (1/3) r Nel consueto schema di controllo ad un grado di libertà K c C(s) = C (s) h s K r y des + e u y C(s) F(s) il controllore C(s) deve essere progettato in modo che la funzione d anello G a (s) = C(s)F(s) presenti le caratteristiche necessarie per il soddisfacimento delle specifiche date 4

Il concetto del loop shaping (2/3) L analisi delle principali specifiche permette infatti di individuare una serie di vincoli su C(s) e su alcune caratteristiche di G a (s); in particolare Le specifiche statiche impongono vincoli sul guadagno K c e sul numero h di poli in s = 0 Le specifiche sulla prontezza di risposta del sistema (tempo di salita) o sulla banda passante portano ad individuare un valore desiderato (ω c,des ) per la pulsazione di taglio Le specifiche sulla sovraelongazione massima o sul picco di risonanza determinano un valore minimo di margine di fase (m ϕ,min ) 5

Il concetto del loop shaping (3/3) Una volta determinato il blocco della parte statica del controllore K c /s h a partire dalle specifiche statiche, la parte dinamica C (s) viene costruita in modo che G a (s) presenti ω c c,des m m,min ϕ Si parla di loop shaping proprio perché C(s) viene progettata in modo da assegnare alla funzione d anello la forma idonea al soddisfacimento delle specifiche ω ϕ 6

La costruzione dell anello (1/2) Si definisce la funzione d anello di partenza contenente il sistema dato e la parte statica del controllore già definita G (s) a1 = K s c h F(s) 7

La costruzione dell anello (2/2) ( ) Si valutano arg G a1(j ωc,des ) e G a1(j ωc,des ) e si calcolano La variazione di fase Δϕ necessaria per ottenere m ϕ > m ϕ,min alla pulsazione ω c,des Solitamente il sistema viene stabilizzato mediante un anticipo di fase in ω c,des (Δϕ 0); solo in alcuni casi particolari è necessario introdurre invece un opportuno ritardo di fase La variazione di modulo Δm (o Δm db in decibel) necessaria per portare ω c in ω c,des Δ mdb = G a1(j ωc,des) db 8

Reti di compensazione (1/2) Nel caso di sistemi stabilizzabili per mezzo di un controllore stabile, il desiderato loop shaping per la risultante G a (s) = C (s) G a1 (s) può essere ottenuto costruendo C (s) come prodotto di reti di compensazione elementari Ogni rete viene progettata in modo da apportare una modifica ad hoc nelle caratteristiche della funzione d anello (modulo e/o fase) L effetto complessivo di tutte le reti introdotte deve portare la G a (s) risultante a presentare le caratteristiche necessarie per il soddisfacimento delle specifiche (in particolare ω c e m ϕ ) 9

Reti di compensazione (2/2) A seconda delle più significative modifiche apportate all andamento della funzione d anello (in termini di variazione di fase e/o di modulo), si distinguono fra le principali reti di compensazione Reti anticipatrici o derivative Reti attenuatrici o integrative Reti integro-derivative o lead-lag (formate dall unione di reti dei due tipi precedenti) 10

Sintesi per tentativi Questa tecnica di progetto è indicata anche come sintesi per tentativi, perché l effettivo soddisfacimento di tutte le specifiche avviene spesso per correzioni successive (tentativi) nella definizione delle reti di compensazione Il soddisfacimento dei vincoli individuati su G a (s) non garantisce infatti l automatico soddisfacimento delle specifiche sul sistema in catena chiusa È fondamentale, dopo aver determinato C(s) tale da soddisfare i vincoli su G a (s), procedere ad una completa verifica delle specifiche su W(s) 11

Caratteristiche delle reti anticipatrici (1/6) Una rete anticipatrice o derivativa è descritta da una fdt della forma R(s) d = 1+ τds τ m d d d 1+ s d con τ > 0, m > 1 La rete presenta Uno zero in -1/τ d Un polo in -m d /τ d Essendo m d > 1, il polo si trova sempre ad una pulsazione m d volte maggiore di quella dello zero 13

Caratteristiche delle reti anticipatrici (2/6) Modulo (db) 25 20 15 10 DdB delle reti anticipatrici normalizzati rispetto a τ d Lo zero è alla pulsazione normalizzata pari a 1 5 0 90 Fase (gradi) 60 30 Il polo è alla pulsazione normalizzata pari a m d 0 10-1 10 0 10 1 10 2 Pulsazione normalizzata ωτ d 14

Caratteristiche delle reti anticipatrici (3/6) 25 DdB delle reti anticipatrici normalizzati rispetto a τ d 20 Modulo (db) Fase (gradi) 15 10 5 0 90 60 30 m d crescente m d crescente m d = 16 m d = 14 m d = 12 m d = 10 m d = 8 m d = 6 m d = 4 m d = 3 m d = 2 0 10-1 10 0 10 1 10 2 Pulsazione normalizzata ωτ d 15

Caratteristiche delle reti anticipatrici (4/6) Una rete anticipatrice introduce un aumento (anticipo) di fase di entità massima nell intervallo compreso fra la pulsazione dello zero e quella del polo L entità di tale aumento e l ampiezza dell intervallo di pulsazioni corrispondente crescono al crescere del valore di m d 90 Fase (gradi) 60 30 0 10-1 10 0 10 1 10 2 16

Caratteristiche delle reti anticipatrici (5/6) Una rete anticipatrice introduce un aumento (anticipo) di fase di entità massima nell intervallo compreso fra la pulsazione dello zero e quella del polo L entità di tale aumento e l ampiezza dell intervallo di pulsazioni corrispondente crescono al crescere del valore di m d N.B.: Nel caso limite di m d molto elevato (tendente all infinito) il comportamento di una rete anticipatrice è assimilabile a quello di uno zero con 90 di recupero massimo di fase 17

Caratteristiche delle reti anticipatrici (6/6) L incremento di recupero di fase all aumentare di m d di qualche unità è significativo però solo per valori non eccessivamente elevati di m d (all incirca non superiori a 16) Non è opportuno pertanto utilizzare reti anticipatrici con m d troppo elevati: quando è necessario aumentare molto la fase, è preferibile impiegare più reti 18

Utilizzo delle reti anticipatrici (1/2) Le reti anticipatrici sono utilizzate ogni volta in cui è necessario recuperare fase in corrispondenza della pulsazione di taglio desiderata ω c,des per ottenere il margine di fase richiesto (m ϕ > m ϕ,min ) L inserimento di una rete anticipatrice in C(s) introduce anche un aumento di modulo 25 20 Modulo (db) 15 10 5 0 10-1 10 0 10 1 10 2 19

Utilizzo delle reti anticipatrici (2/2) Le reti anticipatrici sono utilizzate ogni volta in cui è necessario recuperare fase in corrispondenza della pulsazione di taglio desiderata ω c,des per ottenere il margine di fase richiesto (m ϕ > m ϕ,min ) L inserimento di una rete anticipatrice in C(s) introduce anche un aumento di modulo L utilizzo di sole reti anticipatrici è indicato quando è necessario aumentare il valore di ω c e recuperare fase per soddisfare i vincoli su G a (s) 20

Procedura base di progetto di R d (s) (1/4) Si sceglie m d in modo da garantire il recupero di fase necessario, sfruttando il massimo recupero di fase ϕ max consentito dalla rete m 1 1+ sin ϕ arcsin m m + 1 1 sin ϕ d ϕ max = d = d ( max ) ( ) Si determina τ d dai DdB normalizzati delle reti imponendo che ϕ max sia raggiunto proprio in max ω = ω c,des ωc,desτ d = md Ascissa normalizzata del punto di massimo recupero di fase 21

Procedura base di progetto di R d (s) (2/4) Se il recupero di fase Δϕ che deve essere introdotto non è troppo elevato (non superiore a circa 60 ), è sufficiente utilizzare una sola rete anticipatrice con m d corrispondente a ϕ max = Δϕ Se Δϕ è elevato (> 60 ), si introducono due (o più) reti anticipatrici R d,i (s), scelte in modo che Δϕ = i ϕ max,i 22

Procedura base di progetto di R d (s) (3/4) L inserimento di ciascuna rete anticipatrice determina un aumento di modulo in ω = ω c,des leggibile sul DdB normalizzato del modulo in corrispondenza della pulsazione ωτ = m (ascissa di ϕ max ) e pari a d d R d j m τ d d db 23

Procedura base di progetto di R d (s) (4/4) Nella scelta delle reti anticipatrici è necessario verificare che tale aumento di modulo sia compatibile con l aumento di ω c richiesto In particolare, la procedura base di progetto presuppone che l aumento di modulo inserito sia non significativamente superiore a Δm db Se l aumento di modulo apportato dalla rete risulta inferiore a Δm db, è sufficiente successivamente aumentare il guadagno stazionario K c, in modo da ottenere G a (jω) = 1 (= 0 db) per ω = ω c,des 24

Dato il seguente schema di controllo: y des + e u y C(s) F(s) Esempio 1 (1/12) F(s) K = 1 progettare C(s) in modo che il sistema in catena chiusa soddisfi le seguenti specifiche e per r(t) = t r, 0.2 Tempo di salita t s della risposta al gradino unitario pari a circa 0.4 s (con tolleranza di ±15% ) Sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario non superiore al 25% r = 10 s(s + 2)(s + 4) 25

Si considera la specifica statica e 0.2 r, per r(t) = t Esempio 1 (2/12) Poiché il sistema è di tipo 1 ed il riferimento è di primo grado, non è necessario introdurre poli in s = 0 Essendo K F = 1.25, la specifica implica K e = 0.2 K 4 r r, c KK c F Si sceglie K c di segno positivo per garantire la stabilizzabilità del sistema (con C(s) stabile) Già discussa nella lezione precedente 26

Si considerano le specifiche dinamiche Esempio 1 (3/12) Tempo di salita t s della risposta al gradino unitario pari a circa 0.4 s (con tolleranza di ) ωb 7.5 rad/s ωc,des 4.7 rad/s ±15% 3/t 0.63 ω s B 0.34 t 0.46 s s 27

Si considerano le specifiche dinamiche Esempio 1 (3/12) Tempo di salita t s della risposta al gradino unitario pari a circa 0.4 s (con tolleranza di ) ωb 7.5 rad/s ωc,des 4.7 rad/s Sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario non superiore al 25% o o M 1.39 = 2.85 db m 43 45 r ϕ,min ±15% 1+ ˆs 0.9 o o 60 /Mr,max 60 5 (M r,max) db 28

Esempio 1 (4/12) Si assume C(s) della forma C(s) = K C (s) c con K c = 4 (minimo valore ammissibile, eventualmente aumentabile successivamente) e si definisce conseguentemente la funzione d anello di partenza G (s) = K F(s) = a1 c 40 s(s + 2)(s + 4) 29

Esempio 1 (5/12) DdB di G a1 (s) 100 Bode Diagram Magnitude (db) 80 60 40 20 0-20 -40-60 -80-100 -90 System: Ga1 Frequency (rad/sec): 4.7 Magnitude (db): -11.4 Phase (deg) -135-180 -225 System: Ga1 Frequency (rad/sec): 4.7 Phase (deg): -206-270 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) Δϕ = 70 o 44 m ϕ 26 stabilità 30

Esempio 1 (5/12) DdB di G a1 (s) 100 Bode Diagram Magnitude (db) 80 60 40 20 0-20 -40-60 -80-100 -90 System: Ga1 Frequency (rad/sec): 4.7 Magnitude (db): -11.4 Δm db = 11.4 db Phase (deg) -135-180 -225 System: Ga1 Frequency (rad/sec): 4.7 Phase (deg): -206-270 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) Δϕ = 70 o 31

Esempio 1 (6/12) Per soddisfare le specifiche dinamiche (garantendo asintotica stabilità in catena chiusa) è necessario recuperare fase (almeno 70 ) ed aumentare la ω c da 2.57 rad/s (valore attuale) a ω c,des = 4.7 rad/s (aumentando il modulo in ω c,des di circa 11.4 db) Il problema di controllo può essere risolto introducendo solo reti anticipatrici 32

Esempio 1 (7/12) Per ottenere un recupero totale di fase di (almeno) 70 è necessario utilizzare due reti anticipatrici Soluzione proposta: due reti con m d = 4 Ogni rete permette di recuperare circa 36.9 nel suo punto di massimo (ωτ d = 2), in corrispondenza del quale si ha un aumento del modulo di circa 6 db Pari a arcsin(3/5) 40 Rete anticipatrice con m d = 4 Fase (gradi) 30 20 10 0 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Pulsazione normalizzata ωτ d 33

Esempio 1 (7/12) Per ottenere un recupero totale di fase di (almeno) 70 è necessario utilizzare due reti anticipatrici Soluzione proposta: due reti con m d = 4 Ogni rete permette di recuperare circa 36.9 nel suo punto di massimo (ωτ d = 2), in corrispondenza del quale si ha un aumento del modulo di circa 6 db Modulo (db) 14 12 10 8 6 4 2 Rete anticipatrice con m d = 4 0 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Pulsazione normalizzata ωτ d 34

Esempio 1 (7/12) Per ottenere un recupero totale di fase di (almeno) 70 è necessario utilizzare due reti anticipatrici Soluzione proposta: due reti con m d = 4 Ogni rete permette di recuperare circa 36.9 nel suo punto di massimo (ωτ d = 2), in corrispondenza del quale si ha un aumento del modulo di circa 6 db L aumento totale del modulo è di poco superiore a Δm db Ci si aspetta di ottenere ω c leggermente superiore al valore desiderato 35

Esempio 1 (8/12) Imponendo ω c,des τ d = 2, si ricava τ d = 0.425 La rete anticipatrice prescelta è quindi R(s) d 1 + 0.425s = 0.425 1+ s 4 Controllore risultante 2 1 + 0.425s C (s) = R d(s) = 0.425 1+ s 4 2 C(s) = K C (s) c = 4 R (s) 2 d 36

Esempio 1 (9/12) Si verifica il rispetto dei requisiti operativi su ω c e m ϕ sul DdB di G a (s) = C(s)F(s) Si determina il sistema in catena chiusa W(s) e se ne valuta il comportamento per verificare il soddisfacimento delle specifiche date (in questo caso la risposta al gradino unitario) Se qualcuna delle specifiche dinamiche non risulta soddisfatta, è necessario correggere il progetto di C (s) (ed eventualmente il valore di K c ) Ad esempio se t s risultasse troppo elevato, si dovrebbe aumentare ω c per far aumentare ω B 37

Esempio 1 (9/12) Si verifica il rispetto dei requisiti operativi su ω c e m ϕ sul DdB di G a (s) = C(s)F(s) Si determina il sistema in catena chiusa W(s) e se ne valuta il comportamento per verificare il soddisfacimento delle specifiche date (in questo caso la risposta al gradino unitario) Se qualcuna delle specifiche dinamiche non risulta soddisfatta, è necessario correggere il progetto di C (s) (ed eventualmente il valore di K c ) Il mancato soddisfacimento di una specifica statica indicherebbe la presenza di un errore progettuale! 38

DdB di G a (s) 50 Gm = 10.6 db (at 10.5 rad/sec), Pm = 44.2 deg (at 4.99 rad/sec) Esempio 1 (10/12) Ottenuto con margin (G a ) 0 Magnitude (db) -50-100 -150-90 -135 Phase (deg) -180-225 -270 10-1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/sec) 39

DdB di G a (s) 50 Gm = 10.6 db (at 10.5 rad/sec), Pm = 44.2 deg (at 4.99 rad/sec) Esempio 1 (10/12) Soddisfa il requisito imposto 0 Magnitude (db) -50-100 -150-90 Phase (deg) -135-180 m ϕ -225-270 10-1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/sec) 40

DdB di G a (s) 50 Esempio 1 (10/12) Leggermente superiore a ω c,des come previsto Gm = 10.6 db (at 10.5 rad/sec), Pm = 44.2 deg (at 4.99 rad/sec) 0 Magnitude (db) -50-100 ω c -150-90 Phase (deg) -135-180 -225-270 10-1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/sec) 41

Risposta al gradino di W(s) 1.4 1.2 System: W Peak amplitude: 1.24 Overshoot (%): 23.9 At time (sec): 0.582 Step Response Esempio 1 (11/12) ŝ < 25% specifica soddisfatta 1 Amplitude 0.8 0.6 System: W Time (sec): 0.397 Amplitude: 1 0.34 ts 0.46 s specifica soddisfatta 0.4 0.2 Ulteriore valutazione (non oggetto di specifica): t a,2% = 1.7 s 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Time (sec) t a,2% 42

0.25 Esempio 1 (12/12) Per completezza si verifica anche la specifica statica sull errore di inseguimento alla rampa Errore di inseguimento a y des (t) = t 0.2 0.15 0.1 0.05 e = 0.2 specifica soddisfatta e è pari al valore max consentito perché è stato scelto per K c il valore minimo ammissibile 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 tempo(s) 43

Come contenere l aumento di modulo (1/4) Nella procedura standard di progetto di una rete anticipatrice, m d viene scelto in modo da massimizzare il recupero di fase consentito dalla rete, sotto l ipotesi che l aumento di modulo introdotto non sia (significativamente) superiore al Δm db richiesto Per contenere l aumento di modulo introdotto dalle reti anticipatrici, qualora richiesto dalle specifiche, è possibile seguire una linea alternativa di progetto, che prevede l impiego di reti con parametro m d maggiore 44

Come contenere l aumento di modulo (2/4) Si sceglie un valore di m d più elevato del minimo necessario, corrispondente ad una rete tale da introdurre il Δϕ richiesto prima del punto di massimo recupero di fase, in un punto di ascissa normalizzata ωτ d = x d in cui si abbia congiuntamente l aumento di modulo Δm db desiderato Si determina τ d dai DdB normalizzati delle reti anticipatrici imponendo ωc,desτ d = xd 45

Come contenere l aumento di modulo (3/4) Esempio: confronto fra reti con m d = 4 e m d = 6 Fase (gradi) Modulo (db) 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 60 30 Aumento di modulo: 6 db Recupero fase (max): 36.9 Aumento di modulo: 3.2 db Recupero fase: 36.9 m d = 4 m d = 6 m d = 4 m d = 6 0 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Pulsazione normalizzata ωτ d 46

Come contenere l aumento di modulo (4/4) Il principale svantaggio associato all utilizzo di reti anticipatrici con m d elevato consiste in un aumento dell attività sul comando, come verrà analizzato in dettaglio nell ultima parte della lezione È possibile utilizzare questa procedura di progetto previa verifica che il sistema reale sia in grado di sopportare tale maggiore attività sul comando oppure quando l inserimento di successive reti di altro tipo in C (s) determini una riduzione dell effettiva attività sul comando 47

Esempio 2 (1/14) Per il sistema precedentemente considerato y des + e u y C(s) F(s) F(s) K = 1 progettare C(s) in modo che il sistema in catena chiusa soddisfi le seguenti specifiche e per r(t) = t r, 0.2 Specifiche invariate Sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario non superiore al 25% Banda passante pari a circa 6 rad/s (con tolleranza di ±15% ) Nuova specifica r = 10 s(s + 2)(s + 4) 48

Esempio 2 (2/14) La specifica statica è invariata e quindi anche in questo caso C(s) sarà della forma C(s) = K C (s) c con K c = 4 (minimo valore ammissibile, eventualmente aumentabile successivamente) e la funzione d anello di partenza è nuovamente data da G (s) = K F(s) = a1 c 40 s(s + 2)(s + 4) 49

Si considerano le specifiche dinamiche Esempio 2 (3/14) La specifica sulla sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario (invariata) implica o o m,min 43 45 ϕ La nuova specifica (banda passante pari a circa 6 rad/s) implica ωc,des 0.63 ωb,des 3.8 rad / s 50

Esempio 2 (4/14) DdB di G a1 (s) 100 Bode Diagram 80 Magnitude (db) 60 40 20 0-20 -40 Δm db = 7 db System: Ga1 Frequency (rad/sec): 3.8 Magnitude (db): -7.08-60 -80-100 -90 Phase (deg) -135-180 System: Ga1 Frequency (rad/sec): 3.8 Phase (deg): -196-225 Δϕ = 60 o -270 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) 51

Esempio 2 (5/14) Per soddisfare le specifiche dinamiche (garantendo asintotica stabilità in catena chiusa) è necessario recuperare fase (circa 60 ) ed aumentare la ω c da 2.57 rad/s (valore attuale) a ω c,des = 3.8 rad/s (aumentando il modulo in ω c,des di soli 7 db) Il problema di controllo può essere risolto introducendo sole reti anticipatrici progettate in modo da contenere l aumento di modulo 52

Esempio 2 (6/14) Per ottenere un recupero totale di fase di 60 sarebbe possibile utilizzare due reti anticipatrici con m d = 3, sfruttandone il max recupero di fase possibile, ma l aumento di modulo risulterebbe troppo elevato! Δϕ = 30 pari a arcsin(1/2) in ωτ d = 3 40 Rete anticipatrice con m d = 3 Fase (gradi) 30 20 10 0 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Pulsazione normalizzata ωτ d 53

Esempio 2 (6/14) Per ottenere un recupero totale di fase di 60 sarebbe possibile utilizzare due reti anticipatrici con m d = 3, sfruttandone il max recupero di fase possibile, ma l aumento di modulo risulterebbe troppo elevato! Modulo (db) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 In ωτ d = 3 si ha un aumento di 4.76 db Rete anticipatrice con m d = 3 1 0 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Pulsazione normalizzata ωτ d L aumento totale di modulo (9.52 db) risulterebbe 7dB! 54

Esempio 2 (7/14) La soluzione proposta prevede l utilizzo di due reti anticipatrici, una con m d,1 = 3 e l altra con m d,2 = 4, progettate entrambe in modo da combinare il recupero di fase richiesto (60 ) con un aumento complessivo di modulo non superiore a 7 db Le reti vengono progettate facendo riferimento a due pulsazioni normalizzate x d1 e x d2 inferiori a quelle corrispondenti ai rispettivi punti di massimo recupero di fase 55

Esempio 2 (8/14) DdB normalizzati delle reti con m d,1 = 3 e m d,2 = 4 14 Magnitude (db) 12 10 8 6 4 2 In x d2 = 1.16: Δm = 3.38 db Δϕ = 33 o In x d1 = 1.3: Δm = 3.55 db Δϕ = 28.9 o m d,2 = 4 m d,1 = 3 0 40 Phase (deg) 30 20 Δm Δϕ tot tot 7dB 62 o 10 0 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Pulsazione normalizzata ωτ d 56

Le reti anticipatrici sono così definite Esempio 2 (9/14) R d1 (s) con m d,1 = 3, ω c,des τ d1 = 1.3 τ d1 = 0.34 R d1 (s) 1+ 0.34s = 0.34 1+ s 3 R d2 (s) con m d,2 = 4, ω c,des τ d2 = 1.16 τ d2 = 0.3 R d2 (s) = 1+ 0.3s 0.3 1+ s 4 57

Esempio 2 (10/14) R d1 (s) e R d2 (s) definiscono la parte dinamica C (s) del controllore, che risulta quindi dato da C(s) = K c R d1(s) R d2(s) in cui K c è rimasto pari al valore assegnato inizialmente (K c = 4) Si verifica il rispetto dei requisiti operativi su ω c e m ϕ sul DdB di G a (s) = C(s)F(s), prima di passare alla verifica delle specifiche sul sistema in catena chiusa W(s) 58

DdB di G a (s) 50 Esempio 2 (11/14) Maggiore del minimo richiesto Gm = 14.2 db (at 10.5 rad/sec), Pm = 46.7 deg (at 3.72 rad/sec) 0 Magnitude (db) -50-100 -150-90 Phase (deg) -135-180 m ϕ -225-270 10-1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/sec) 59

DdB di G a (s) 50 Esempio 2 (11/14) Soddisfa il requisito imposto Gm = 14.2 db (at 10.5 rad/sec), Pm = 46.7 deg (at 3.72 rad/sec) 0 Magnitude (db) -50-100 ω c -150-90 Phase (deg) -135-180 -225-270 10-1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/sec) 60

Risposta al gradino di W(s) 1.4 1.2 System: W Peak amplitude: 1.23 Overshoot (%): 22.7 At time (sec): 0.75 Step Response ŝ < 25% Esempio 2 (12/14) specifica soddisfatta 1 Amplitude 0.8 0.6 Ulteriori valutazioni (non oggetto di specifica): t s = 0.493 s, t a,2% = 1.68 s 0.4 0.2 t s 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Time (sec) t a,2% 61

Esempio 2 (13/14) DdB di W(s) 50 Bode Diagram Magnitude (db) 0-50 -100 System: W Frequency (rad/sec): 6.64 Magnitude (db): -3 5.1 ωb 6.9 rad / s specifica soddisfatta -150 0-45 Phase (deg) -90-135 -180-225 -270 10-1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/sec) 62

Esempio 2 (14/14) Il controllore C(s) progettato garantisce l asintotica stabilità del sistema in catena chiusa ed il soddisfacimento di tutte le specifiche dinamiche È facile verificare che anche la specifica statica è soddisfatta, con e = 0.2, avendo scelto per K c il valore minimo (come nel caso precedente) 63

Caratteristiche delle reti attenuatrici (1/5) Una rete attenuatrice o integrativa è descritta da una fdt della forma R(s) i = τ mi 1+ τ s i 1+ s i con τ > 0, m > 1 i i La rete presenta Un polo in -1/τ i Uno zero in -m i /τ i Essendo m i > 1, lo zero si trova sempre ad una pulsazione m i volte maggiore di quella del polo 65

Caratteristiche delle reti attenuatrici (2/5) 0 DdB delle reti attenuatrici normalizzati rispetto a τ i -5 Magnitude (db) -10-15 -20 Il polo è alla pulsazione normalizzata pari a 1-25 0 Phase (deg) -30-60 Lo zero è alla pulsazione normalizzata pari a m i -90 10-1 10 0 10 1 10 2 Pulsazione normalizzata ωτ i 66

Caratteristiche delle reti attenuatrici (3/5) 0 DdB delle reti attenuatrici normalizzati rispetto a τ i -5 Magnitude (db) Phase (deg) -10-15 -20-25 0-30 -60 m i crescente m i crescente m i = 2 m i = 3 m i = 4 m i = 6 m i = 8 m i = 10 m i = 12 m i = 14 m i = 16-90 10-1 10 0 10 1 10 2 Pulsazione normalizzata ωτ i 67

Caratteristiche delle reti attenuatrici (4/5) Una rete attenuatrice introduce una attenuazione del modulo di entità massima per pulsazioni superiori a quella dello zero Tale attenuazione massima è pari proprio al valore di m i : 0 R(j ) i db = m i db -5 Magnitude (db) -10-15 -20-25 10-1 10 0 10 1 10 2 68

Caratteristiche delle reti attenuatrici (5/5) Una rete attenuatrice introduce una attenuazione del modulo di entità massima per pulsazioni superiori a quella dello zero Tale attenuazione massima è pari proprio al valore di m i : R(j ) i db = N.B.: Nel caso limite di m i molto elevato (tendente all infinito) il comportamento di una rete attenuatrice è assimilabile a quello di un polo m i db 69

Utilizzo delle reti attenuatrici (1/3) Le reti attenuatrici sono utilizzate ogni volta in cui sia necessario ridurre il modulo della funzione d anello per portare la pulsazione di taglio nella posizione desiderata ω c,des, senza ridurre il guadagno K c per preservare il soddisfacimento delle specifiche statiche L inserimento di una rete attenuatrice in C(s) introduce anche una perdita di fase di massima entità nell intervallo compreso fra la pulsazione del polo e quella dello zero, che si annulla per pulsazioni sufficientemente elevate (maggiori di m i /τ d ) 70

Utilizzo delle reti attenuatrici (2/3) L utilizzo di sole reti attenuatrici è solitamente indicato quando è necessario ridurre ω c fino a portarla al valore ω c,des, in cui la fase della fdt d anello sia già tale da garantire l asintotica stabilità in catena chiusa, con un m ϕ idoneo al soddisfacimento dei requisiti imposti dalle specifiche dinamiche Per sfruttare interamente la capacità di attenuazione del modulo e contenere la perdita di fase, le singolarità della rete attenuatrice devono essere collocate a pulsazioni inferiori a ω c,des 71

Utilizzo delle reti attenuatrici (3/3) Si utilizza altresì una rete attenuatrice anche nei casi in cui sia necessario perdere fase in un intorno di un opportuna pulsazione ω p per stabilizzare il sistema Questo particolare utilizzo delle reti attenuatrici sarà trattato nella prossima lezione, nel caso del pendolo inverso 72

Progetto di R i (s) (1/5) Detta G(s) a la fdt d anello ottenuta prima dell inserimento della rete attenuatrice, si sceglie m i pari all attenuazione di modulo necessaria per imporre la pulsazione di taglio desiderata ω c,des m = G (j ω ) i a c,des N.B.: G(j a ωc,des) (e quindi m i ) è sicuramente maggiore di 1 (cioè di 0 db), avendo riscontrato la necessità di attenuare il modulo della fdt d anello in ω c,des 73

Progetto di R i (s) (2/5) Sui DdB normalizzati della rete attenuatrice corrispondente al valore di m i scelto, si individua un punto di ascissa normalizzata x i in cui si abbia già l attenuazione richiesta con una perdita di fase accettabile Tale perdita è accettabile se la fase residua è tale da garantire m ϕ idoneo al soddisfacimento dei requisiti imposti dalle specifiche dinamiche Si determina conseguentemente τ i imponendo ωc,desτ= i xi 74

Progetto di R i (s) (3/5) Esempio: attenuazione richiesta pari a 4 (= 12 db) mi = 4 0-5 Magnitude (db) -10-15 m i = 4-20 -25 10-1 10 0 10 1 10 2 Pulsazione normalizzata ωτ i Per pulsazioni normalizzate > 40 si ha la completa attenuazione (12 db) 75

Progetto di R i (s) (4/5) 0 Si verifica la corrispondente perdita di fase Phase (deg) -30-60 m i = 4-90 10-1 10 0 10 1 10 2 Pulsazione normalizzata ωτ i La perdita di fase in ωτ i = 40 è pari a 4.3 Se tale perdita è sopportabile in ω c,des, allora si sceglie x i = 40 Altrimenti si sceglie x i > 40, in modo da contenere tale perdita entro un valore accettabile 76

Progetto di R i (s) (5/5) È opportuno contenere quanto possibile il valore di x i per non far aumentare il tempo di assestamento della risposta del sistema Quanto più è elevato x i, tanto maggiore risulta τ i Il modo associato a tale polo lento rallenta l assestamento della risposta del sistema R i (s) introduce in G a (s) una coppia polo-zero a pulsazioni tanto minori quanto maggiore è τ i In W(s) nasce un polo di BF (lento), ad una ω prossima allo zero di R i (s) 77

Esempio 3 (1/11) Per il sistema precedentemente considerato y des + e u y C(s) F(s) F(s) K = 1 progettare C(s) in modo che il sistema in catena chiusa soddisfi le seguenti specifiche e per r(t) = t r, 0.2 Specifiche invariate Sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario non superiore al 25% Banda passante minore di 1.8 rad/s Nuova specifica r = 10 s(s + 2)(s + 4) 78

Si considerano le specifiche dinamiche Esempio 3 (3/11) La specifica sulla sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario (invariata) implica o o m,min 43 45 ϕ La nuova specifica (banda passante minore di 1.8 rad/s) implica ω c,des < 0.63 ω B,max < 1.1 rad / s 80

Esempio 3 (4/11) Magnitude (db) DdB di G a1 (s) 100 80 60 40 20 0-20 -40-60 -80 G a1 (j0.9) = 13.9 db Si può scegliere ω c,des = 0.9 rad/s Bode Diagram ω c dovrà essere minore di 1.1 rad/s -100-90 Phase (deg) -135-180 -225 arg(g a1 (j0.9)) = -127-270 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) 81

Esempio 3 (5/11) Per portare la pulsazione di taglio nel valore prescelto ω c,des = 0.9 rad/s è necessario Attenuare il modulo della fdt d anello in tale pulsazione di 13.9 db Contenere un eventuale perdita di fase entro 7 per ottenere un margine di fase di almeno 45 La scelta ω c,des = 0.9 rad/s appare idonea perché la fase della fdt risulta sufficientemente elevata Il problema di controllo può essere risolto introducendo una rete attenuatrice 82

Esempio 3 (6/11) Poiché G a1(j ω c,des ) = 13.9 db 5 rete attenuatrice con m i = 5 si utilizza una 0 Magnitude (db) -2-4 -6-8 -10 Per ωτ i > 50 si ha l attenuazione richiesta -12 Phase (deg) -14 0-30 -60 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Pulsazione normalizzata ωτ i In ωτ i = 50 si ha una perdita di fase accettabile (4.6 ) 83

Esempio 3 (7/11) La rete attenuatrice è pertanto così definita R i (s) con m i = 5, ω c,des τ i = 50 τ i = 55.5 R(s) i 1 + 11.1s = 1 + 55.5s Il controllore risulta quindi dato da C(s) = K R (s) c Si verifica il rispetto dei requisiti operativi su G a (s) = C(s)F(s), prima di verificare le specifiche sul sistema in catena chiusa W(s) i K c è rimasto uguale al valore iniziale (K c = 4) 84

DdB di G a (s) 100 Esempio 3 (8/11) Maggiore del minimo richiesto Gm = 15.1 db (at 2.75 rad/sec), Pm = 48.7 deg (at 0.895 rad/sec) 50 Magnitude (db) 0-50 -100-150 -90 Phase (deg) -135-180 m ϕ -225-270 10-3 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) 85

DdB di G a (s) 100 Esempio 3 (8/11) Soddisfa il requisito imposto Gm = 15.1 db (at 2.75 rad/sec), Pm = 48.7 deg (at 0.895 rad/sec) 50 Magnitude (db) 0-50 ω c -100-150 -90 Phase (deg) -135-180 -225-270 10-3 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) 86

Risposta al gradino di W(s) 1.4 1.2 System: W Peak amplitude: 1.23 Overshoot (%): 22.9 At time (sec): 3.1 Step Response ŝ < 25% Esempio 3 (9/11) specifica soddisfatta 1 Amplitude 0.8 0.6 0.4 0.2 Si osserva un effetto coda nella risposta, ovvero un peggioramento del tempo di assestamento, dovuto alla presenza della rete attenuatrice: zero di R i (s) in -0.09 rad/s polo di W(s) in -0.097 rad/s (τ = 10.3 s) t a,2% = 15.2 s, nonostante t s = 2 s 0 0 5 10 15 20 25 30 t s Time (sec) t a,2% 87

Esempio 3 (10/11) DdB di W(s) 20 Bode Diagram Phase (deg) Magnitude (db) 0-20 -40-60 -80-100 -120 0-45 -90-135 -180 ω < B System: W Frequency (rad/sec): 1.61 Magnitude (db): -3 1.8 rad / s specifica soddisfatta -225-270 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) 88

Esempio 3 (11/11) Il controllore C(s) progettato garantisce l asintotica stabilità del sistema in catena chiusa ed il soddisfacimento di tutte le specifiche dinamiche Anche in questo caso la specifica statica (di facile verifica) è soddisfatta con e = 0.2, avendo scelto nuovamente il valore minimo per K c 89

Le reti integro-derivative (1/3) Una rete integro-derivativa ( lead-lag ) è espressa da una fdt del secondo ordine, data dal prodotto di una rete attenuatrice e di un anticipatrice R (s) id τ i 1+ s mi = 1+τs i 1+ τds τ + m d 1 s d con τ, τ > 0, m,m > 1 i d i d Rete attenuatrice (o integrativa) Rete anticipatrice (o derivativa) 91

Le reti integro-derivative (2/3) Una rete integro-derivativa unisce le principali caratteristiche delle due reti da cui è formata, permettendo di introdurre contemporaneamente le azioni di: Recupero di fase Attenuazione del modulo Si utilizza questo tipo di rete se la fdt d anello in ω c,des presenta contemporaneamente Fase insufficiente a garantire il margine di fase richiesto Modulo maggiore di 1 (0 db) 92

Le reti integro-derivative (3/3) Esempio di rete integro-derivativa 0 Bode Diagram ω c,des = 2 rad/s -2 Magnitude (db) -4-6 -8-10 -12 30 Phase (deg) 0-30 -60 10-3 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) 93

Le reti integro-derivative (3/3) Magnitude (db) Esempio di rete integro-derivativa 0-2 -4-6 -8 Bode Diagram Inevitabile aumento di modulo ω c,des = 2 rad/s -10-12 30 Recupero di fase in ω c,des Phase (deg) 0-30 Rete derivativa: m d = 3, τ d = 0.866 zero in -1.155 rad/s polo in -3.465 rad/s -60 10-3 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) 94

Magnitude (db) Le reti integro-derivative (3/3) Esempio di rete integro-derivativa 0-2 -4-6 -8 Bode Diagram ω c,des = 2 rad/s Attenuazione desiderata di modulo -10-12 30 Perdita di fase per ω < ω c,des Phase (deg) 0-30 Rete integrativa: m i = 4, τ i = 40 s polo in -0.025 rad/s zero in -0.1 rad/s -60 10-3 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) 95

Le reti integro-derivative (3/3) Esempio di rete integro-derivativa 0 Bode Diagram Magnitude (db) -2-4 -6-8 -10-12 30 La rete è detta anche a sella per il caratteristico andamento del modulo Modulo in AF pari a m d /m i Phase (deg) 0-30 -60 10-3 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) 96

Progetto di R id (s) (1/3) Si progetta prima la rete anticipatrice (o derivativa) in modo da garantire in ω c,des un recupero di fase maggiore di quanto strettamente necessario La fase recuperata in eccesso potrà essere persa per effetto della rete attenuatrice, garantendo comunque un soddisfacente m ϕ Se il modulo della fdt d anello in ω c,des è 1 (0 db), può essere opportuno progettare la rete anticipatrice in modo da contenere l aumento di modulo, evitando così il successivo utilizzo di una rete attenuatrice con m i troppo elevato 97

Progetto di R id (s) (2/3) Se il recupero di fase richiesto è elevato si utilizzano più reti anticipatrici: in questo caso l ordine della rete aumenta conseguentemente R (s) id τ i 1+ s m 1+τ i d,js = 1+τis j τd,j 1+ s m d,j 98

Progetto di R id (s) (3/3) Si progetta successivamente la rete attenuatrice tenendo conto nella scelta di m i anche dell aumento di modulo generato dalla rete derivativa precedentemente introdotta La perdita di fase, sopportabile in ω c,des grazie ad un lieve sovradimensionamento della rete derivativa, permette di fissare le singolarità dell attenuatrice ad una pulsazione non eccessivamente bassa, così da ridurre il tempo di assestamento della risposta del sistema in catena chiusa 99

Esempio 4 (1/14) Per il sistema precedentemente considerato y des + e u y C(s) F(s) F(s) K = 1 progettare C(s) in modo che il sistema in catena chiusa soddisfi le seguenti specifiche e per r(t) = t r, 0.2 Specifiche invariate Sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario non superiore al 25% Banda passante pari a circa 3.2 rad/s (con tolleranza di ±15% ) Nuova specifica r = 10 s(s + 2)(s + 4) 100

Si considerano le specifiche dinamiche Esempio 4 (3/14) La specifica sulla sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario (invariata) implica o o m,min 43 45 ϕ La nuova specifica (banda passante pari a circa 3.2 rad/s con tolleranza di ) implica ±15% ωc,des 0.63 ωb,des 2 rad / s 2.72 ωb 3.68 rad/s 102

Esempio 4 (4/14) DdB di G a1 (s) 100 Bode Diagram 80 Magnitude (db) 60 40 20 0-20 -40-60 Il modulo è > 0 db e quindi dovrà essere attenuato System: Ga1 Frequency (rad/sec): 2 Magnitude (db): 3.91-80 Phase (deg) -100-90 -135-180 -225 La fase è insufficiente a garantire il m ϕ richiesto: è necessario recuperare almeno 25 o System: Ga1 Frequency (rad/sec): 2 Phase (deg): -162-270 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) 103

Esempio 4 (5/14) Per soddisfare le specifiche dinamiche è necessario recuperare fase in ω c,des = 2 rad/s (almeno 25 ) ed attenuare il modulo, in modo da ridurre la ω c da 2.57 rad/s (valore attuale) al valore desiderato Il problema di controllo può essere risolto introducendo una rete integro-derivativa 104

Esempio 4 (6/14) Progetto della rete derivativa: Si sceglie m d = 3, a cui corrisponde un recupero massimo di fase di 30 in ωτ d = 1.73 (5 in più del minimo necessario) Si progetta la rete in modo da sfruttare proprio il massimo recupero di fase, poiché non sarà comunque necessaria una forte attenuazione, dato che il modulo della fdt d anello è di poco superiore a 0 db e l aumento introdotto da una rete anticipatrice con m d = 3 è contenuto Imponendo ω c,des τ d = 1.73 si ricava τ d = 0.866 105

La rete derivativa è quindi descritta da R(s) d = 1+ 0.866s 0.866 1+ s 3 Esempio 4 (7/14) Si introduce tale rete, definendo la nuova funzione d anello G a2 (s) = G a1 (s) R d (s), di cui si valutano modulo e fase in ω c,des = 2 rad/s: G a2 (jω c,des ) = 8.75 db arg(g a2 (jω c,des )) = -131.5 Attenuazione da introdurre La massima perdita di fase sopportabile è pari a circa 3.5 106

Esempio 4 (8/14) Magnitude (db) 0-1 -2-3 -4-5 -6-7 Progetto della rete integrativa: Si sceglie m i = 2.8 (pari circa all attenuazione richiesta) Bode Diagram Per ωτ i > 20 si ha l attenuazione richiesta -8-9 Phase (deg) -10 0-5 -10-15 -20-25 -30 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Pulsazione normalizzata ωτ i In ωτ i = 40 si ha una perdita di fase accettabile (2.6 ) 107

Esempio 4 (9/14) La rete attenuatrice è pertanto così definita R i (s) con m i = 2.8, ω c,des τ i = 40 τ i = 20 R(s) i = 20 1+ s 2.8 1+ 20s La rete integro-derivativa risulta quindi data da R (s) = R (s) R (s) id i d 108

Esempio 4 (10/14) Il controllore risultante è C(s) = K R (s) c id K c è rimasto uguale al valore iniziale (K c = 4) Si verifica come al solito il rispetto dei requisiti operativi su G a (s) = C(s)F(s), prima di verificare le specifiche sul sistema in catena chiusa W(s) 109

DdB di G a (s) 100 Esempio 4 (11/14) Maggiore del minimo richiesto Gm = 10.9 db (at 4.33 rad/sec), Pm = 46.7 deg (at 1.97 rad/sec) 50 Magnitude (db) 0-50 -100-150 -90-135 Phase (deg) -180 m ϕ -225-270 10-3 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/sec) 110

DdB di G a (s) 100 Esempio 4 (11/14) Soddisfa il requisito imposto Gm = 10.9 db (at 4.33 rad/sec), Pm = 46.7 deg (at 1.97 rad/sec) 50 Magnitude (db) 0-50 ω c -100-150 -90-135 Phase (deg) -180-225 -270 10-3 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/sec) 111

Risposta al gradino di W(s) 1.4 1.2 System: W Peak amplitude: 1.23 Overshoot (%): 23.3 At time (sec): 1.46 Step Response ŝ < 25% Esempio 4 (12/14) specifica soddisfatta 1 Amplitude 0.8 0.6 0.4 Ulteriori valutazioni (non oggetto di specifica): t s = 0.986 s, t a,2% = 7.36 s 0.2 t s t a,2% 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Time (sec) 112

Esempio 4 (13/14) DdB di W(s) 50 Bode Diagram Phase (deg) Magnitude (db) 0-50 -100-150 0-45 -90-135 -180 System: W Frequency (rad/sec): 3.51 Magnitude (db): -3 2.72 ωb 3.68 rad / s specifica soddisfatta -225-270 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/sec) 113

Esempio 4 (14/14) Il controllore C(s) progettato garantisce l asintotica stabilità del sistema in catena chiusa ed il soddisfacimento di tutte le specifiche dinamiche Anche in questo caso la specifica statica (di facile verifica) è soddisfatta con e = 0.2, avendo scelto nuovamente il valore minimo per K c 114

L attività sul comando (1/3) Nel progetto del controllore C(s), tale da soddisfare le specifiche imposte, è necessario tenere conto delle implicazioni delle diverse tipologie di reti di compensazione sull attività sul comando 116

L attività sul comando (2/3) Si consideri il consueto schema di controllo y des + e u y C(s) F(s) Si consideri come riferimento un gradino, posto per semplicità di ampiezza unitaria: y des (t) = ε(t) Il riferimento a gradino è il più critico dal punto di vista dello spunto iniziale richiesto al comando, poiché corrisponde all imposizione di un valore desiderato che l uscita dovrebbe raggiungere istantaneamente! 117

L attività sul comando (2/3) Si consideri il consueto schema di controllo y des + e u y C(s) F(s) Si consideri come riferimento un gradino, posto per semplicità di ampiezza unitaria: y des (t) = ε(t) Dall applicazione del teorema iniziale si ricava C(s) 1 lim u(t) lim s u(s) lim s lim C(s) t 0 s s 1+ G s a(s) s { } = { } = = { } 118

Se C(s) è dato da una funzione di guadagno K c, priva di poli nell origine e costituita dal prodotto di reti anticipatrici ed attenuatrici l attività iniziale sul comando risulta t 0 L attività sul comando (3/3) ( ) ( ) C(s) = K R (s) R (s) { } lim u(t) = K c c d,k i,j k j ( m ) d,k k j ( m ) i,j Aumenta all aumentare dell azione anticipatrice introdotta e diminuisce in funzione dell azione attenuatrice inserita 119

Andamento di u(t) per gli esempi precedenti Esempi 70 Amplitude 60 50 40 30 20 Es. 1: K c = 4, m d,1 = m d,2 = 4 u(0) = 64 Es. 2: K c = 4, m d,1 = 3, m d,2 = 4 u(0) = 48 Es. 3: K c = 4, m i = 5 u(0) = 0.8 Es. 4: K c = 4, m d = 3, m i = 2.8 u(0) = 4.29 10 0-10 -20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Time (sec) 120

Osservazione Se C(s) contiene (almeno) un polo nell origine risulta { } { } lim u(t) = lim C(s) = 0 t 0 s Il comando raggiunge il valore massimo per t > 0 Tale valore massimo cresce comunque al crescere dell azione anticipatrice introdotta e si riduce all aumentare dell azione attenuatrice inserita 121