4 Sistemi di equazioni. Risolvere un sistema significa erminare le soluzioni comuni a tutte le equazioni che lo compongono. Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi di tali equazioni. 4. Sistemi lineari. Un sistema si dice lineare se è di primo grado, cioè tutte le equazioni che lo compongono sono di primo grado. Per risolverlo, i metodi più frequentemente usati sono i seguenti. 4.. Metodo di sostituzione. Consiste nel risolvere un equazione rispetto ad un incognita e sostituire l espressione ottenuta al posto dell incognita nelle restanti equazioni. Iterando il processo, si ottengono equazioni con un numero sempre minore di incognite ed infine si perviene alla soluzione. Tutti i sistemi lineari che si ottengono nei singoli passaggi sono equivalenti, cioè hanno tutti le medesime soluzioni. Esempio Risolvere il sistema: x + 3y = 7 x y = E più conveniente ricavare la y dalla seconda equazione in quanto in questo modo non occorre dividere per il coefficiente dell incognita (la y della seconda equazione è l unica variabile ad avere coefficiente ±). x + 3y = 7 Si ottiene quindi y = x + sostituendo la y nella prima equazione si ottiene il sistema equivalente x + 3(x + ) = 7 da cui si ha che y = x + y = x + risolvendo la prima equazione la soluzione è y =, cioè + y =
4.. Metodo di combinazione lineare. Il principio fondamentale che sta alla base del metodo di combinazione lineare è il seguente: sostituendo ad un equazione di un sistema lineare un multiplo non nullo dell equazione stessa sommata algebricamente ad un multiplo di un altra qualsiasi equazione del sistema (combinazione lineare di equazioni), il nuovo sistema che si ottiene è equivalente al precedente. Questa osservazione può essere utile per trasformare il sistema dato in un sistema equivalente più semplice da risolvere, costruendo ad esempio le nuove equazioni in modo tale che una variabile non vi compaia più (abbia cioè coefficiente zero). Si può poi proseguire combinando linearmente le nuove equazioni iterando il processo, oppure utilizzare, a seconda della convenienza, il metodo di sostituzione nei passaggi successivi. Esempio Risolvere con il metodo di combinazione lineare il sistema 6x + y = 3 4x 5y = 4 Essendo m.c.m.(6,4)=, sottraendo al doppio della prima equazione il triplo della seconda, cioè x + 4y = 6 x 5y = i coefficienti della x si annullano e l equazione che si ottiene conterrà solo la variabile y : l equazione che risulta dal calcolo è 9y = 38 cioè y = per y = cui il sistema dato è equivalente a. Si può ora procedere 4x 5y = 4 per sostituzione della y nella seconda equazione e si ottiene la soluzione 3 y =.
4..3 Metodo di Cramer. ax + by = h Dato il sistema lineare di due equazioni in due incognite cx + dy = k (x, y incognite, a, b, c, d, h, k coefficienti), si definisce matrice dei coefficienti la matrice, cioè la tabella di numeri disposti in righe e colonne, a b M =. c d Per definizione, il erminante di una matrice con due righe e due colonne si ottiene calcolando il prodotto degli elementi della diagonale principale e sottraendo il prodotto degli elementi dell altra diagonale, cioè (M) = ad bc. Il sistema può essere risolto utilizzando il ax + by = h Teorema di Cramer. Le soluzioni del sistema sono date cx + dy = k da: h b k d (M) a h c k y =. (M) - Per ottenere la variabile x si divide il erminante della matrice ottenuta sostituendo la prima colonna della matrice dei coefficienti con la colonna dei termini noti per il erminante della matrice dei coefficienti - Per ottenere la variabile y si divide il erminante della matrice ottenuta sostituendo la seconda colonna della matrice dei coefficienti con la colonna dei termini noti per il erminante della matrice dei coefficienti. Il sistema risulta erminato se e solo se il erminante della matrice dei coefficienti non è nullo. Nel caso in cui il erminante della matrice dei coefficienti sia nullo il sistema è rispettivamente inerminato se anche i due erminanti delle matrici ottenute sostituendo la colonna dei termini noti alla prima o seconda colonna della matrice M sono nulli, impossibile se almeno uno dei due erminanti delle matrici ottenute sostituendo la colonna dei termini noti alla prima o seconda colonna della matrice M non è nullo. Esempio Risolvere con il metodo di Cramer il sistema La matrice dei coefficienti è M = 4 5 5 4x 5y = 48 x + 5y = 4. ed ha erminante 3
(M) = ( 4 5 ( 5) ) = 50. Utilizzando il teorema ( di ) Cramer, si ha che 48 5 4 48 4 5 = 80 (M) 50 = 8 5, y = 4 = = 56 (M) 50 5. 4. Sistemi di grado superiore al primo. Sono sistemi in cui almeno una equazione ha grado superiore al primo. Tali sistemi si risolvono utilizzando i metodi di sostituzione e di combinazione lineare, od eventualmente entrambi. Esempio Risolvere il sistema x + 3y = 0 x 4y + xy = Ricavando y dalla prima equazione e poi sostituendo quanto ottenuto nella 3y seconda si ottiene che il sistema dato è equivalente a x 4y + xy = 3y 3y 3y ( 3y) 4y + ( 3y)y = 9y 4y 3y = y = 3y 3y 3y y = x 4y e quindi le + xy = y = ± 3 3 soluzioni del sistema sono ed y = y = Esercizi. x + 3y = 5. x + y = = x 3y. 3 (x y) = 3. 4. x + y + z = x y + z = 4 4x + y + 4z = x 3y + 5z = x 6y + 0z = x + y = 4 [( 5, )] 9 5 [( 4, 6)] [(,, )] [impossibile] 4
kx + y = 3(k ) 5. Determinare il valore di k per il quale il sistema (k )x y = 4 non è erminato. Per tale valore è impossibile o inerminato? [ 3, inerminato] 6. In un rettangolo il perimetro vale 80 cm e l area misura 384 cm. Trovare i lati del rettangolo. Chiamando i lati del rettangolo con le lettere x e y, le ipotesi del problema si traducono in relazioni algebriche (coinvolgenti la somma ed il prodotto delle due incognite x e y ) che si devono mettere a sistema affinchè sussistano entrambe; risolvendo il sistema per sostituzione si è allora ricondotti a considerare un equazione di secondo grado, di cui x e y saranno le soluzioni. [4 cm e 6 cm] 5