Simmetrie nei Poliedri Regolari Francesca Benanti Dipartimento di Matematica ed Informatica Università degli Studi di Palermo, Via Archirafi 34, 90123 Palermo Tel: 09123891105 Email: fbenanti@math.unipa.it 1
Strutture Algebriche Semigruppi, Monoidi e Gruppi ATTIVITA 1 2
Gruppo delle Simmetrie del Triangolo Equilatero Il Gruppo Diedrale, D 3, di ordine 6 è il gruppo delle riflessioni e delle rotazioni simmetriche di un triangolo equilatero E costituito da 6 elementi: dall'identità, dalle rotazioni intorno al suo centro di 120 e di 240 e dalle riflessioni rispetto alle bisettrici degli angoli: 3
Gruppo delle Simmetrie del Triangolo Equilatero Tavola pitagorica di D 3 : 4
Gruppo delle Simmetrie del Quadrato L insieme delle simmetrie del quadrato, il Gruppo Diedrale D 4 di ordine 8 è costituito dall'identità, dalle rotazioni intorno al suo centro di 90, 180 e di 270 e dalle riflessioni rispetto alle bisettrici degli angoli opposti e rispetto alle mediane dei lati opposti. 5
Gruppo delle Simmetrie del Quadrato Tavola pitagorica di D 4 : Sul web 6
Gruppo delle Simmetrie del Quadrato Da questa tavola deduciamo che: 1. l'operazione di composizione dei movimenti considerati è ovunque definita; 2. I è l'elemento neutro; 3. ogni elemento ha un simmetrico: I, R180, Sx, Sy, D1, D2 ognuno ha come simmetrico se stesso, R90 ed R270 sono uno il simmetrico dell'altro; 4. l'operazione non è commutativa; 5. l'operazione è associativa Quindi i movimenti rigidi che portano il quadrato a coincidere con se stesso, costituiscono un gruppo non abeliano rispetto all'operazione di composizione. 7
Simmetrie nei Poliedri regolari I cinque poliedri regolari si presentano con un elevato livello di simmetria; per tale ragione queste figure solide fin dall antichità hanno rappresentato un ideale di perfezione geometrica e di bellezza. Consideriamo singolarmente i poliedri regolari ed analizziamo le simmetrie. 8
Simmetrie nel Tetraedro Tetraedro regolare. Ha 4 piani di simmetria, quelli che passano per uno spigolo e per il punto medio dello spigolo opposto; ha 3 assi di simmetria binari, quelli che congiungono i punti medi di due spigoli opposti. Le 4 altezze relative alle facce sono assi di simmetria ternari, vale a dire si può portare il tetraedro su se stesso facendolo ruotare intorno ad una di queste rette di 1/3 360 e di 2/3 360. Rotazioni Attività 2 9
Simmetrie nel Esaedro Cubo. Ha 3 piani di simmetria, ciascuno dei quali è parallelo ad una coppia di facce opposte, e altri 6 piani di simmetria definiti dalle diagonali parallele ad una coppia di facce opposte. Le 3 rette congiungenti i centri di una coppia di facce opposte sono assi di simmetria quaternaria, vale a dire si può portare il cubo su se stesso facendolo ruotare intorno ad una di queste rette di 1/4 360, di 2/4 360 e di 3/4 360. Le diagonali del cubo sono assi di simmetria ternaria; infine le 6 rette congiungenti i punti medi di due spigoli opposti e paralleli sono assi di simmetria binaria, poiché tramite una rotazione di 1/2 360 attorno ad una di tali rette il cubo viene riportato in se. Il cubo presenta poi un centro di simmetria. Rotazioni 10
Simmetrie nell Ottaedro Ottaedro regolare. Ha 3 piani di simmetria, ciascuno dei quali è individuato da due coppie di spigoli opposti e paralleli, e altri 6 piani di simmetria passanti per due vertici opposti e per i punti medi di due spigoli. Le 3 rette che uniscono due vertici opposti sono assi di simmetria quaternaria, le 4 rette che uniscono i centri di due facce opposte sono assi di simmetria ternaria, mentre le 6 rette che uniscono i punti medi di due spigoli opposti sono assi di simmetria binaria. L ottaedro presenta infine un centro di simmetria. Rotazioni 11
Simmetrie nell Icosaedro Icosaedro regolare. Ha 15 piani di simmetria, ciascuno dei quali è individuato da una coppia di spigoli opposti e paralleli. Le 6 rette che uniscono due vertici opposti sono assi di simmetria quinaria, poiché tramite una rotazione attorno a tali rette di 1/5 360, di 2/5 360, di 3/5 360 e di 4/5 360 l icosaedro viene mutato in se. Le 10 rette che uniscono i centri di una coppia di facce opposte sono assi di simmetria ternaria, mentre le 15 rette che uniscono i punti medi di due spigoli opposti e paralleli sono assi di simmetria binaria. L icosaedro presenta infine un centro di simmetria. Rotazioni 12
Simmetrie nel Dodecaedro Dodecaedro regolare. Ha 15 piani di simmetria ciascuno dei quali è individuato da una coppia di spigoli opposti e paralleli. Le 6 rette che uniscono i centri di due facce opposte sono assi di simmetria quinaria, le 10 rette che uniscono uan coppia di vertici opposti sono assi di simmetria ternaria, mentre le 15 rette che uniscono i punti medi di due spigoli opposti sono assi di simmetria binaria. Il dodecaedro presenta infine un centro di simmetria. Rotazioni 13
Simmetrie nei Poliedri regolari Attività 2