Due esempi di simmetria

Transcript

1 Due esempi di simmetria Giugno Le simmetrie del triangolo equilatero 1.1 Il triangolo equilatero è una figura dotata di simmetria. Cosa significa questa affermazione? In cosa consiste la sua simmetria? 1.2 Consideriamo un triangolo equilatero in un piano. Nella figura 1 sono disegnati gli assi di simmetria del triangolo, che sono le rette r, s, t, ed il centro di simmetria, che è il punto B. La proprietà del triangolo equilatero di avere 3 assi di simmetria ed 1 centro di simmetria non è comune a tutte le figure del piano. Quanti assi di simmetria e quanti centri di simmetria possiedono un triangolo isoscele, un triangolo scaleno, un quadrato, un rettangolo, un cerchio, una retta del piano? 1.3 Cosa significa che la retta r è un asse di simmetria del triangolo equilatero della figura 1? Possiamo rispondere dicendo che per ogni punto P del triangolo, se indichiamo con P il punto del piano simmetrico a P rispetto alla retta r ( 1 ), allora P appartiene al triangolo. In modo equivalente, possiamo interpretare la legge che ad ogni punto P del piano associa il suo simmetrico P rispetto a r come un movimento rigido del piano in sè, ossia un movimento che conserva le distanze. Chiamiamo questo movimento rigido la riflessione rispetto alla retta r, ed r il suo asse. La riflessione rispetto ad una retta determina il suo asse, e viceversa. Concludiamo allora che gli assi di simmetria del triangolo equilatero, ed in generale di ogni figura del piano sono gli assi delle riflessioni che mandano in sè la figura data. 1 ciò significa chese P appartiene a r allora P = P, mentre se P non appartiene a r allora il segmento P P è ortogonale a r ed interseca r nel suo punto medio. 1

2 r t s B Figura 1: Assi e centro di simmetria di un triangolo equilatero 1.4 In modo analogo ci possiamo chiedere cosa significhi che il punto B è un centro di simmetria del triangolo equilatero. Una risposta può essere che la rotazione del piano di centro B dell angolo di 2π/3 radianti (120 ) in senso (per esempio) orario manda in sè il triangolo. Anche una rotazione di un piano rispetto ad un suo punto è un movimento rigido, poichè conserva le distanze tra i punti. Possiamo in conclusione definire simmetrie del triangolo equilatero tutti i movimenti rigidi riflessioni e rotazioni che lo mandano in sè ( 2 ). 1.5 Realizziamo ora concretamente le simmetrie del triangolo equilatero. Ritagliamo i due triangoli della parte superiore della figura 2, incolliamoli lungo la faccia bianca in modo da formare un unico triangolo equilatero di carta, i cui 3 vertici di entrambe le faccie sono colorati di nero, verde giallo. Appoggiamo il triangolo di carta sul triangolo disegnato nella parte inferiore della figura 2. Possiamo farlo in più modi. Se applichiamo una simmetria al triangolo appoggiato, otteniamo un nuovo modo di appoggiare il triangolo. Le simmetrie del triangolo equilatero trasformano il modo di appoggiare il triangolo di carta sul triangolo disegnato. 1.6 Quante sono le simmetrie del triangolo equilatero? Tante quanti i modi possibili di appoggiare il triangolo di carta sul triangolo disegnato. Questi modi sono determinati dalla posizione dei tre vertici. Nella parte superiore della figura 3 ritagliamo i tre dischi nero, verde e giallo. 2 Si può dimostrare che ogni movimento rigido che manda in sè un triangolo equilatero è una rorazione oppure una riflessione. 2

3 Ogni posizione del triangolo di carta appoggiato corrisponde ad un modo di sovrapporre i 3 dischi colorati ai 3 dischi disegnati. In tutto vi sono 6 modi, quindi 6 simmetrie. Diciamo che il triangolo equilatero possiede una simmetria di ordine Una delle 6 simmetrie del triangolo equilatero lascia inalterato il modo di appoggiarlo. Essa corrisponde al movimento rigido che lascia fermi tutti i punti. Chiamiamo questa simmetria identità. 1.8 Due simmetrie date ne generano una terza. Infatti se applichiamo al triangolo appoggiato nell ordine la prima e poi la seconda, otteniamo una terza simmetria, che chiamiamo la composizione delle prime due. Questo fatto fa sì che l insieme delle simmetrie abbia un suo ordine interno, che chiamiamo struttura. 1.9 È un fatto caratteristico della struttura delle simmetrie del triangolo equilatero che due di esse, opportunamente scelte, possano generare per mezzo di ripetute composizioni tutte le altre. Consideriamo, per esempio, le due seguenti: (1) la riflessione rispetto alla retta r; (2) la rotazione di 120 in verso orario. Nella figura 3 esse sono rispettivamente rappresentate da freccie blu e rosse. Disponiamo i 3 dischi colorati sui tre dischi disegnati della parte superiore della figura 3. Muovendoli con le due simmetrie scelte, possiamo in modo concreto vedere come tutte le altre simmetrie vengano generate, secondo lo schema illustrato nella parte inferiore. Completare la parte inferiore della figura 3 colorando di nero, verde, giallo i 5 gruppi di 3 dischi, seguendo le freccie rosse e blu Chiamiamo la parte inferiore della figura 3 il grafo della simmetria del triangolo equilatero relativo alla scelta delle simmetrie (1) e (2). Esso dà una rappresentazione visibile della struttura delle sue simmetrie. Per esempio, permette di vedere che se al triangolo equilatero di carta appoggiato (oppure ai tre dischi colorati) applichiamo nell ordine (1) la riflessione rispetto alla retta r (2) la rotazione di 120 in verso orario (1) la riflessione rispetto alla retta r (2) la rotazione di 120 in verso orario ritorniamo alla posizione che aveva prima dei quattro movimenti. Vi sono altre sequenze delle due simmetrie (1) e (2) che facciano ritornare il triangolo appoggiato alla posizione iniziale? 3

4 1.11 Utilizzare il grafo per rispondere a queste domande: Determinare una sequenza delle due simmetrie (1) e (2) che dia la riflessione rispetto all asse s. Ve ne è una sola o più d una? Determinare una sequenza delle due simmetrie (1) e (2) che dia la riflessione rispetto all asse t. Ve ne è una sola o più d una? Determinare una sequenza delle due simmetrie (1) e (2) che dia la la rotazione di 120 in verso antiorario. Ve ne è una sola o più d una? 1.12 Il grafo della simmetria dipende dalla scelta delle simmetrie con cui è possibile generare per composizione tutte le altre. Consideriamo la seguente: (3) la riflessione rispetto alla retta t. Allora è possibile ottenere tutte le 6 simmetrie del triangolo equilatero anche componento opportunamente le simmetrie (1) e (3) Per concludere, possiamo definire la simmetria del triangolo equilatero come l insieme delle sue simmetrie, definite in 1.4 a loro volta a partire dagli assi e dal centro di simmetria. Abbiamo così dato una risposta alla domanda fatta in 1.1, e visto che la simmetria possiede una struttura Il disegno in figura 2 ha una simmetria di ordine 6 la cui struttura e diversa da quella della simmetria del triangolo equilatero. Infatti, è possibile Quante simmetrie possiede il disegno in figura 2? e stabilire 4

5 Figura 2: Determinare il grafo della simmetria del disegno 2 Le simmetrie del tetraedro regolare 2.1 Analizziamo ora un caso di simmetria tridimensionale. Il tetraedro è il solido regolare delimitato da 4 triangoli equilateri aventi il lato della stessa lunghezza. Esso è uno dei 5 solidi regolari citati da Platone nel Timeo. Possiamo pensarlo come una generalizzazione tridimensionale del triangolo equilatero. Vogliamo studiare le sue simmetrie. 2.2 Analogamente a quanto visto in 1.4, le simmetrie del tetraedro sono i movimenti rigidi dello spazio che lo mandano in sè. Questi movimenti rigidi sono rotazioni attorno a rette, dette assi di simmetria, passanti per il baricentro B del tetraedro ( 3 ). 2.3 Ritagliare ed incollare lo sviluppo della figura 4, ottenendo un tetraedro colorato. Utilizzarlo per rispondere alle seguenti domande. 3 Infatti, ciascuno di questi movimenti rigidi dovrà mandare B, che è equidistante dai 4 vertici, in un punto che verifica la stessa proprietà, quindi necessariamente in B stesso. Immaginiamo una palla che abbia B come centro. Ogni movimento rigido dovrà mandarla in sè. Possiamo allora convincerci che ogni movimento rigido deve essere una rotazione attorno ad una retta passante per B. Escludiamo le riflessioni perchè vogliamo movimenti che si possano realizzare su oggetti fisici dello spazio senza distruggerli. 5

6 r B Figura 3: Ritagliare ed incollare il triangolo superiore ed appoggiarlo in vari modi su quello inferiore. 6

7 Figura 4: Il grafo della simmetria del triangolo equilatero. Ritagliare i 3 dischi colorati ed appoggiarli sui 3 dischi disegnati nella parte superiore. Muovendoli, colorare, le 5 terne di dischi della parte inferiore. 7

8 Figura 5: Il grafo della simmetria del triangolo equilatero. Ritagliare i 3 dischi colorati ed appoggiarli sui 3 dischi disegnati nella parte superiore. Muovendoli, colorare, le 5 terne di dischi e disegnare le freccie rosse e blu mancanti. 8

9 Quanti assi di simmetria possiede un tetraedro? Classificarli da un punto di vista geometrico in due tipi. Quali sono gli angoli delle rotazioni attorno agli assi che mandano in sè il tetraedro? Quante sono le simmetrie del tetraedro, inclusa l identità? 2.4 Indichiamo con r l asse di simmetria che passa per B e per il vertice comune alle faccie rossa, verde, gialla; t l asse di simmetria che unisce i punti medi dello spigolo rosso-blu e dello spigolo verde-giallo. Consideriamo le seguenti simmetrie (1) la rotazioni di 120 attorno a r ( 4 ); (2) la rotazioni di 180 attorno a t. Nella figura 5 le rotazioni (1) sono indicate da freccie rosse, mentre le rotazioni (2) sono date da freccie blu. Utilizzare il tetraedro colorato, appoggiato sul triangolo della parte superiore della figura 5, per completare il grafo delle simmetrie del tetraedro della parte inferiore: colorare gli 11 tetraedri; disegnare le 3 coppie di freccie blu mancanti. 2.5 Per il tetraedro si possono formulare domande analoghe a quelle di 1.10 e 1.11, che studiano la struttura della sua simmetria. Determinare alcune sequenze delle due simmetrie (1) e (2) che facciano ritornare il tetraedro appoggiato alla posizione iniziale. Indichiamo con r l asse di simmetria che passa per B e per il vertice comune alle faccie blu, verde, gialla, orientato da B verso il vertice; t l asse di simmetria che unisce i punti medi dello spigolo rosso-verde e dello spigolo blu-giallo. 4 Se orientiamo r da B verso il vertice comune alle faccie rossa, verde, gialla, la rotazione si intende che avvenga nel verso opposto a quello dato dall avanzamento di una vite. 9

10 Determinare una sequenza delle due simmetrie (1) e (2) che dia la rotazione rispetto all asse r di 120. Ve ne è una sola o più d una? Determinare una sequenza delle due simmetrie (1) e (2) che dia la rotazione di 180 rispetto all asse t. Ve ne è una sola o più d una? Riferimenti bibliografici [1] M. Dedò, Forme, simmetria e topologia, Zanichelli-Decibel, Padova, [2] H. Weyl, La simmetria, Feltrinelli, Milano, 1969 [3] G. E. Martin, Transformation geometry, UTM, Springer, New York, [4] I. Grossman, W. Magnus I gruppi ed i loro grafi, Zanichelli, Bologna,

11 TETRAEDRO Figura 6: Lo sviluppo del tetraedro. Ritagliare ed incollare 11

12 Movimenti: Appoggiare qui il tetraedro Figura 7: Il grafo delle simmetrie del tetraedro. Colorare, aiutandosi con il modello della parte superiore. Disegnare le freccie blu mancanti. 12