STRUTTURA DI INSIEMI DI MISURA NULLA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA Dpartmento d Matematca Pura ed Applcata Corso d Laurea Trennale n Matematca Tes d Laurea STRUTTURA DI INSIEMI DI MISURA NULLA Relatore: Prof. ROBERTO MONTI Laureando: ANDREA MERLO ANNO ACCADEMICO 013-014

There s no dark sde of the moon really. Matter of fact t s all dark.

Introduzone In questa tes s studerà la struttura degl nsem d msura nulla nel pano seguendo l lavoro d Albert, Csörnye e Press []. Pù precsamente tutto cò che verrà provato ne captol 1 e sarà volto a dmostrare l seguente Teorema 0.1. Sa E F R, con F un nseme F σ d msura nulla. Fssato ɛ > 0 E può essere scrtto come E x 1 E x con E x che soddsfano alle seguente condzone: per ogn ɛ > 0 e per = 1, E x può essere rcoperto da un numero numerable d x tub T x d larghezza δ tal che 1 δ < ɛ. Dove con x tub T x d larghezza δ s ntendono ntorn chus d raggo δ d grafc d funzon 1-Lpshtzane nell ncognta x. Da notare è l fatto che nel Teorema 0.1 s ottene una partzone E x 1 E x d E dpendente da ɛ, e che l rsultato rchede un potes tecnca puttosto vncolante, ovvero che E sa contenuto n un F σ d msura nulla. Nel lavoro [] nfatt s enunca, senza dmostrarlo, l seguente: Teorema 0.. Un nseme d msura nulla E R può essere scrtto come E x 1 E x con E x che soddsfano alle seguente condzone: per ogn ɛ > 0 e per = 1, E x può essere rcoperto da un numero numerable d x tub T x d larghezza δ tal che 1 δ < ɛ. La dmostrazone del Teorema 0.1 nnanz tutto prende n consderazone l caso compatto e graze ad un processo d dscretzzazone, possble solo graze alle propretà d compattezza n cu c s è post, c s rduce ad un problema d rcoprmento d nsem fnt. Il quale però s rsolve graze al seguente: Teorema 0.3. Un nseme S d N punt n R puó essere rcoperto usando al pú N x1 curve e N x curve. Dove le x -curve sono grafc d funzon 1-Lpshtzane nella ncognta x. Nel captolo 3 nvece s ntroduce l concetto d spazo tangente debole: Defnzone 0.4. Sa P (R) l pano proettvo. Dato un Borelano E R, s dce spazo tangente debole ad E una mappa Borelana τ : E P (R)se τ S (p) = τ(p) per H 1 q.o. p supp(s) E (1) per ogn curva S d classe C 1, dove τ S è la retta tangente non orentata ad S. v

v Introduzone Questa defnzone concde con quella classca nel caso d varetà C 1 nel pano e s dmostra che è suffcentemente debole da garantre l seguente: Teorema 0.5. Ogn nseme E R d msura nulla ammette uno spazo tangente debole. I metod utlzzat per dmostrare Teorem rportat sopra hanno poco a che fare con le tecnche standard della Teora della Msura, e sono nvece ntrs d ragonament d tpo combnatorco e topologco. Dunque ntmamente legat alla struttura d R, puttosto che alla msura d Lebesgue. Infatt, quando s tenta d aumentare la dmensone dello spazo, l estensone naturale del Teorema 0. è falsa, come rportato n []. Se verson ndebolte del teorema 0. n dmensone pù alta sano vere è ancora un problema nsoluto.

Indce Introduzone v 1 Teora della msura 3 1.1 Prelmnar................................ 3 1. Dscretzzazon d nsem d msura nulla............... 15 Struttura d nsem d msura nulla nel pano 17.1 Un rsultato d rcoprmento per nsem fnt d R.......... 17. Struttura d nsem d msura nulla nel pano............. 19 3 Spaz tangent ad nsem d msura nulla nel pano 1 3.1 Msure d Hausdorff........................... 1 3. Spazo tangente ad nsem d msura nulla nel pano......... 3 Bblografa 7 v

v INDICE

INDICE 1

INDICE

Captolo 1 Teora della msura 1.1 Prelmnar S ntrodurranno d seguto le notazon e concett base della teora della msura utlzzat. A meno che non venga dversamente specfcato lo spazo ambente sarà sempre ndcato con X. Defnzone 1.1. S defnsce msura (esterna) ν : P(X) [0, ] una funzone tale che: () ν( ) = 0; () per ogn {A n } n N P(X) e ogn A n N A n allora ν(a) n N ν(a n). Osservazone 1.. La msura esterna è monotona, nfatt se A B (e allora A B...) s ha per defnzone ν(a) ν(b) + 0... = ν(b). Defnzone 1.3 (Insem msurabl). Sa ν : P(X) [0, ] una msura, allora E P(X) s dce nseme msurable per ν se e solo se per ogn A P(X) s ha che: ν(a) = ν(a E) + ν(a E c ). Osservazone 1.4. Per la subaddtvtà della msura esterna la dsuguaglanza ν(a) ν(a E) + ν(a E c ) è soddsfatta per ogn E P(X), qund la msurabltà equvale alla dsuguaglanza opposta. La smmetra della defnzone mplca che A è msurable se e solo se A c lo è. Inoltre se ν(e) = 0 allora ν(a) ν(a E c ) ν(a E c ) + ν(a E), e dunque E è msurable. Defnzone 1.5. Sa ν una msura su X ed A X. Allora ν rstretta ad A, scrtto ν A è la msura defnta per ogn B X da: (ν A)(B) := ν(a B). 3

4 Teora della msura Osservazone 1.6. Se E è ν-msurable, allora ν(b) = ν(b E) + ν(b E c ) per ogn B X, n partcolare: (ν A)(B) = ν(b A) = ν((b A) E) + ν((b A) E c ) = ν(a (B E)) + ν(a (B E c )) = (ν A)(B E) + (ν A)(B E c ). Teorema 1.7. Data ν una msura su X, sa {A k } una successone d nsem ν-msurabl. () Gl nsem A k e A k sono ν-msurabl; () se gl A k sono dsgunt, allora: ( ) ν A k = ν(a k ); () se A 1 A..., allora ν ( A k ) = lm k ν(a k); (v) se A 1 A... e ν(a 1 ) <, allora ( ) ν A k = lm ν(a k). k Dmostrazone. Sa B X ν(b) = ν(a 1 B) + ν(b A c 1) = ν(b A 1 ) + ν((b A c 1) A ) + ν((b A c 1) A c ) ν(b (A 1 A )) + ν(b (A 1 A ) c ) e qund A 1 A è msurable. Per nduzone le unon fnte sono msurabl. Dunque anche le ntersezon fnte (per complementazone) sono msurabl. S supponga ora che gl nsem {A k } sano a due a due dsgunt, e s defnsca per ogn N: Allora per ogn N B := A k. ν(b +1 ) = ν(b +1 A +1 ) + ν(b +1 A c +1) = ν(a +1 ) + ν(b ),

1.1 Prelmnar 5 per cu nduttvamente su N: Allora segue che: ν( A k ) = ν(b ) = ν(a k ). ( ) ν(a k ) ν A k, da cu segue la (). Da quanto sopra, per provare la (): lm ν(a k) = ν(a 1 ) + ( ) ν(a k+1 \ A k ) = ν A k. k L affermazone (v) segue dalla (), nfatt: ν(a 1 ) lm k ν(a k) = lm k ν(a 1 \ A k ) = ν ( ) ν(a 1 ) ν A k. ( ) (A 1 \ A k ) Rmane da provare (). Fssato B X, s ha: ( ( )) ( ( ) c ) ( ) ( ) ν B A k + ν B A k = (ν B) B k + (ν B) (X \ B k ) = lm k (ν Per complementazone s conclude la dmostrazone d (). B)(B k) + lm k (ν Defnzone 1.8 (Algebra). Dato un nseme X un sottonseme A P(X) non vuoto s dce algebra se: () A; () A A A c A; () per ogn {A n } n=1,...,m A n=1,...,m A n A. Defnzone 1.9 (σ-algebra). Un algebra A P(X) s dce σ-algebra se per ogn {A n } n N A n N A n A. Osservazone 1.10. Per l Teorema 1.7 gl nsem msurabl per una msura ν s X formano una σ-algebra. L osservazone precedente spega perché una coppa (X, A) formata da X e da una sua σ-algebra s dce spazo msurable. B)(X \ B k) = ν(b).

6 Teora della msura Osservazone 1.11. L nseme Σ := {A P(X) : A σ-algebra} è chuso per ntersezon, nfatt, sa {A } I con I nseme arbtraro, una famgla d σ-algebre. Poché A per ogn I allora I A. Se A I A allora A A per ogn I ma per defnzone d σ-algebra s ha A c A, e dunque A c I A. Del tutto analoga l ultma propretà: {A n } n N A per ogn I per la defnzone d σ-algebra, N A n A percò N A n I A. Defnzone 1.1. Sa U P(X). Posto Σ(U) := {A P(X) : A σ-algebra ed U A} s defnsce: M(U) := A. M(U) è detta la σ-algebra generata da U. A Σ(U) Osservazone 1.13. La defnzone predente è ben data per l osservazone 1.11. Osservo noltre che M(U) è la pú pccola σ-algebra contenente U. Infatt, per defnzone M(U) contene U, vceversa, se una σ-algebra A contene U allora è contemplata nell ntersezone che defnsce M(U) e dunque quest ultma è contenuta n A. Defnzone 1.14 (σ-algebra de borelan). Sa (X, τ X ) uno spazo topologco. La σ-algebra M(τ X ) è detta la σ-algebra de borelan d X e la s ndca con B(X) := M(τ X ). Defnzone 1.15. Un sottonseme A X è σ-fnto rspetto a ν se s può scrvere come A = B k, dove B k sono ν-msurabl e ν(b k ) < per ogn k N. Defnzone 1.16. () Una msura ν su X s dce regolare se per ogn nseme A X esste un nseme msurable B tale che A B e ν(a) = ν(b). () Una msura ν su R n è detta Borelana se ogn nseme Borelano è ν-msurable. () Una msura ν su R n è detta Borel regolare se ν è una msura Borelana e per ogn A R n esste un Borelano B tale che A B e ν(a) = ν(b). (v) Una msura ν su R n è detta msura d Radon se ν è Borel regolare e ν(k) < per ogn compatto K R n. Teorema 1.17. Sa ν una msura Borelana su R n. S supponga A R n, ν- msurable e ν(a) <. Allora ν A è una msura d Radon. Dmostrazone. Posto µ := ν A, s ha charamente che µ(k) < per ogn compatto K. Dato che ogn nseme ν-msurable è pure µ-msurable per l osservazone 1.6 s ha che µ è msura d Borel. Rmane da mostrare che µ è Borel regolare. Dato che ν è Borel regolare, esste un Borelano B tale che A B e ν(a) = ν(b) <. Allora dato che A è ν-msurable, ν(b \ A) = ν(b) ν(a) = 0

1.1 Prelmnar 7 Scelto C R n : (ν B)(C) = ν(c B) = ν(c B A) + ν((c B) A c ) ν(c A) + ν(b A c ) = (ν A)(C). Allora (ν A) = (ν B), dunque s può assumere senza perdta d generaltà che A sa un Borelano. Dato che ν è msura Borelana regolare, esste un Borelano E tale che A C E e ν(e) = ν(a C). Sa allora D := E A c. Dato che A ed E sono nsem Borelan, lo è pure D. Inoltre C (A C) A c D. Infne, dato che D A = E A, µ(d) = ν(d A) = ν(e A) ν(e) = ν(a C) = ν(c). Proposzone 1.18. La σ-algebra de borelan d R n con la topologa usuale è generata da plurrettangol a lat ad estrem razonal: ({ n }) B(R n ) = M ]a, b [: a, b Q =1 Dmostrazone. È suffcente mostrare che plurrettangol apert a lat razonal sono una base per la topologa usuale d R n. La topologa standard d R n è a base numerable e dunque essa sarà contenuta nella σ-algebra generata, poché ogn aperto è unone numerable d plurrettangol. Sarà ndcato come cubo d centro c R n e semlato ɛ > 0 l nseme Dato Ω R n, s ha che Q ɛ (c) = {x R n : c x < ɛ = 1,..., n} Ω = x Ω Q ɛx (x) per ɛ x opportunamente pccolo. Precsamente, detta d(x, Ω c ) := mn ω x > 0 ω Ωc la dstanza d x da Ω c, s scelga 0 < ɛ x d(x, Ω c ). Posto allora Ω d = Q ɛq (q) q Ω Q n con ɛ q = d(q,ωc ), s ha che Ω d Ω. Vceversa, dato che Ω è aperto, per ogn x Ω esste una palla B ɛ (x) Ω. Scelto allora q Q n ed ɛ > 0 tale che q x < ɛ 4 s avrà che B ɛ 3 ɛ q ɛ 3 e se ne conclude che Ω Ω d poché avremo che x B ɛ 3 B ɛ 3 (q) Qɛ (q) Ω d. (q) Ω e percò (q) ed a sua volta

8 Teora della msura Osservazone 1.19. S not che l ragonamento fatto nella dmostrazone del teorema precedente prescnde dal fatto che cub usat sano apert o chus. Dato che la proposzone rchede d mostrare che gl apert sono unone numerable d plurrettangol apert, dovranno essere apert. Tuttava se nella stessa dmostrazone fossero consderat chus, la costruzone fatta resterebbe ancora valda, e qund è stato anche mostrato che gl apert d R n con la topologa usuale possono scrtt come unone numerable d (cub) chus. Nel seguto, quando s tratterà d R n come spazo topologco, sarà sempre consderato con la topologa usuale. Lemma 1.0. Sa ν una msura Borelana su R n e sa B una Borelano. () Se ν(b) <, esste per ogn ɛ > 0 un chuso C tale che C B e ν(b\c) < ɛ. () Se ν è msura d Radon, esste per ogn ɛ > 0 un aperto U tale che B U e ν(c \ B) < ɛ. Dmostrazone. Sa µ := ν d Borel. Sa: B. Dato che ν è d Borel ed ν(b) <, ν è una msura F = {A R n : A sa ν-msurable e per ogn ɛ > 0 esste un chuso C A tale che µ(a \ C) < ɛ}. Banalmente F contene tutt chus. Se {A } N F, allora A = N A F. S fss ɛ > 0. Dato che A F esste un chuso C A con ν(a \ C ) < ɛ N. Sa C := N. Allora C è chuso e ( ) ( ) µ(a \ C) = µ C µ (A \ C ) µ(a \ C ) < ɛ. N N A \ N N per Qund A F. Se {A } N F, allora A = N A F. S fss ɛ > 0 e s scelgano C come sopra. Dato che µ(a) < s ha ( ) ( m lm µ A \ C = µ A \ ) ( ) C µ (A \ C ) µ(a \C ) < ɛ. m =1 N N N N D conseguenza, esste un ntero m N tale che ( ) m µ A \ C < ɛ; =1 ma m =1 C è chuso e qund anche A F.

1.1 Prelmnar 9 Come notato nell osservazone 1.19, ogn aperto può essere scrtto come unone numerable d chus. Ma allora quanto provato sopra mostra che F contene tutt gl apert. S consder ora G = {A F : A c F}. Banalmente per quanto sopra G contene tutt gl apert e chus. Se {A k } G, allora A = A G. Infatt per quanto sopra A F. Ma allora pure {A c } N F, che mplca che A c = N A c F. Percò G è una σ-algebra contenente gl apert e qund tutt Borelan. Questo prova (). Posto U m = U(0, m), la palla aperta d centro 0 e raggo m. Allora U m \ B è un Borelano con ν(u m \ B) <, e qund possamo applcare () per trovare C m U m \B tale che ν((u m \C m )\B) = ν((u m \B)\C m ) < ɛ. Sa U = m N (U m \C m ); U è ovvamente aperto. Ora sa B Cm, c e qund U m B U m \C m. D conseguenza: Inoltre, B = (U m B) (U m \ C m ) = U. m=1 m=1 ( ) ν(u \ B) = ν ((U m \ C m ) \ B) ν((u m \ C m ) \ B) < ɛ. m=1 m=1 Teorema 1.1. Sa ν una msura d Radon d R n. Allora () per ogn A R n, ν(a) = nf{ν(u) : A U, U aperto}, () per ogn ν-msurable A R n, ν(a) = sup{ν(k) : K A, K compatto}. Dmostrazone. Se ν(a) = () è ovva, e qund s può supporre senza perdta d generaltà ν(a) <. Suppon nnanz tutto che A sa Borelano. S fss ɛ > 0, allora per l Lemma 1.0, esste un aperto U A con ν(u \ A) < ɛ. Dato che ν(u) = ν(a) + ν(u \ A) <, e qund vale (). Sa A un nseme arbtraro. Dato che ν è Borel regolare, esste un Borelano B A con ν(a) = ν(b). Allora ν(a) = ν(b) = nf{ν(u) : B U, U aperto} nf{ν(u) : A U, U aperto}.

10 Teora della msura La dsuguaglanza opposta è ovva. La () è dmostrata. Sa ora A ν-msurable, con ν(a) <. Posto µ := ν A; allora µ è msura d Radon n accordo al teorema 1.17. Fssato ɛ > 0, applcando () a ν e a A c, s ottene un nseme aperto U con A c U ed ν(u) ɛ. Sa C := U c. C è chuso e C A. Inoltre, ν(a \ C) = µ(c c ) = µ(u) ɛ. Allora e qund 0 ν(a) ν(c) ɛ, ν(a) = sup{ν(c) : C A, C chuso}. (1.1) S supponga ora che ν(a) =. S defnsca D k = {x R n : k 1 {x} < k}. Allora A = (D k A); qund = ν(a D k). Poché ν è msura d Radon, ν(d k A) <. Allora come sopra esstono de chus C k D k A con ν(c k ) ν(d k A) 1. Ora k C k A e ( n ) ( lm ν ) C k = ν C k = ν(c k ) [ν(d k A) 1 ] n k =. Ma n C k è chuso per ogn n, e qund n questo caso abbamo anche la (1.1). Infne, consderata B m = B(0, m), ovvero la palla chusa d centro l orgne e raggo m, s ponga C m := C B m. Ogn C m è compatto e ν(c) = lm k ν(c m ). Qund per ogn nseme ν-msurable A, sup{ν(k) : K A, K compatto} = sup{ν(c) : C A, C chuso}. Defnzone 1.. S defnsce msura d Lebesgue n-dmensonale, la funzone L n : P(R n ) [0, ] tale che per A R n : { L n (A) = nf L n (R k ) : A } R k, con R k plurrettangol apert, dove la msura n-dmensonale d Lebesgue d un plurrettangolo n =1 ]a, b [ è per defnzone L n ( n =1 ]a, b [) := n =1 (b a ). È necessaro ora mostrare che la precedente defnzone è ben data. Proposzone 1.3. La funzone L n : P(R n ) [0, ] defnta sopra è una msura.

1.1 Prelmnar 11 Dmostrazone. Poché n =1 ] ɛ, ɛ[, allora Ln ( ) ɛ n per ogn ɛ > 0, dunque L n ( ) = 0. Sa ora A A k. Se L n (A k ) = oppure L n (A) = allora la tes è banale. Allora s può supporre senza perdta d generaltà che L n (A k ) < per ogn k N e che L n (A) <. Fssato ɛ > 0, s consderno {R k} N rcoprmento d rettangol apert d A k tal che L n (A k ) N Ln (R k) ɛ. Qund dato che gl {R k k+1 } N al varare d e k n N rcoprono A: L n (A) L n (R k ) = L n (R k ), N per ogn ɛ > 0 e qund L n (A) Ln (A k ). ( L n (A k ) + ɛ ) k+1 = L n (A k ) + ɛ, Teorema 1.4 (Crtero d Carathéodory). Sa ν una msura su R n. Se ν(a B) = ν(a)+ν(b) per ogn A, B R n con dst(a, B) > 0, allora ν è una msura Borelana. Dmostrazone. S supponga C R n chuso. È suffcente mostrare che ν(a) ν(a C) + ν(a C c ) (1.) pochè la dsuguaglanza opposta è garantta dalla subaddtvtà. Se ν(a) =, allora (1.) è ovva, dunque s può assumere senza perdta d generaltà che ν(a) <. S defnsca: { C n = x R n : dst(x, C) 1 } n per n N. Allora dst(a \ C n, A C) 1 n > 0. Per potes qund ν(a \ C n ) + ν(a C) = ν((a \ C n ) (A C)) ν(a). (1.3) S deve avere allora che lm n ν(a \ C n ) = ν(a \ C). Infatt posto { 1 R k = x A : k + 1 < dst(x, C) 1 } k con k N, s ha che A \ C n = (A \ C n ) ( k=n R k), n modo tale che ν(a \ C n ) ν(a \ C) ν(a \ C n ) + Una volta mostrato che k=n ν(r k) <, allora s avrà lm ν(a \ C n) ν(a \ C) lm ν(a \ C n) + lm n n n l che proverebbe quanto voluto. ν(r k ). k=n k=n ν(r k ) = lm n ν(a \ C n),

1 Teora della msura Per defnzone dst(r, R ) > 0 se +. Qund per nduzone s trova che ( m m ) ν(r k ) = ν R k ν(a) ed analogamente ( m m ) ν(r k+1 ) = ν R k+1 ν(a). k=0 k=0 Unendo quest due fatt e facendo tendere m, s ha che Dunque: ν(r k ) ν(a) <. ν(a \ C) + ν(a C) = lm n ν(a \ C n) + ν(a C) ν(a), n accordo con (1.3), se ne deduce che C è ν-msurable. Ora s enuncerà e dmostrerà un Lemma fondamentale nel seguto: Lemma 1.5. Sa R = n ]a k, b k [ R n un plurrettangolo aperto. Esste una costante C > 0 ndpendente da ɛ tale che se R ɛ := n ]a k ɛ n, b k + ɛ [, allora L n (R ɛ \ R) Cɛ. Dmostrazone. S può procedere per nduzone sulla dmensone n dello spazo. Se n = 1 la tes è ovva con C = 1. Altrment s supponga che la tes valga n dmensone n. Posto b k a k = l k n+1 L n (R ɛ \ R ) = L n (R ɛ ) L n (R) = (l k + ɛ) n+1 = (l k + ɛ) n l k (l n+1 + ɛ) + ( n = (l n+1 + ɛ) (l k + ɛ) n ) n l k + ɛ n+1 l k n+1 l k (l n+1 + ɛ) n l k, applcando ora l potes nduttva s ottene ( n ) n n (l n+1 + ɛ) (l k + ɛ) l k + ɛ l k ɛ (l n+1 + ɛ) + ɛ = ɛ ( (l n+1 + ɛ)c + ) n l k. Scelto ɛ 1 s ha che ((l n+1 + ɛ)c + n l k) ((l n+1 + 1)C + n l k) =: C. n l k l k

1.1 Prelmnar 13 Defnzone 1.6. Sa E R n. Fssato δ > 0 s ndca con E δ la δ-dscretzzazone d E, ovvero l nseme defnto nel seguente modo: E δ := { ((h 1 + 1)δ/,..., (h n + 1)δ/) R n : h Z tal che E E δ è l nseme de centr de cub n [h δ, (h + 1)δ] = [h 1 δ, (h 1 + 1)δ]... [h n δ, (h n + 1)δ] =1 che ntersecano E. n } [h δ, (h +1)δ]. Con abuso d lnguaggo s userà la parola dscretzzazone, sa per l nseme E δ, sa per ndcare l partzonamento d R n nelle celle della Proposzone 1.: n =1 [h δ, (h + 1)δ]. =1 Proposzone 1.7. Per ogn A R n e ogn δ > 0 s ha che { L n (A) = nf L n (R ) : A } R, con R rettangol apert e dam(r ) < δ. N N Dmostrazone. Per defnzone d msura d Lebesgue, per ogn ɛ > 0 esste un rcoprmento numerable d A con rettangol apert R tal che N Ln (R ) ɛ Ln (A). Una volta determnato un rcoprmento d R con rettangol R () d dametro mnore d δ tale per cu N Ln (R ()) ɛ L n (R + ), s avrà L n (A) N Ln (R ) ɛ ( ) N N Ln (R ()) ɛ ɛ + =, N Ln (R ()) ɛ. Sarà allora suffcente provare che dato un rettangolo aperto R = n =1 ]a, b [ { } L n (R) = nf Q, con Q cub apert con dam(q ) < δ. N L n (Q ) : R N Sa allora R ɛ la ɛ-dscretzzazone d R con ɛ < mn{ δ 4, 1 }. Supposto R lmtato, R ɛ è fnto, perchè è un nseme dscreto contenuto n un nseme lmtato. S ( consderno allora cub Q ɛ 1 + 1 )(x +1 ) d centr x R ɛ e d semlato ɛ ( 1 + 1 ). ( +1 Tal Q ɛ 1 + 1 )(x +1 ) formano un rcoprmento d R. Infatt per ogn x R esste un x R ɛ tale che x x < ɛ, e qund x Q ɛ 1.5 ad ogn Q ɛ ( 1 + 1 +1 )(x ) s ottene: x R ɛ L n (Q ɛ ( 1 + 1 +1 ) (x )) x R ɛ L n ( 1 + 1 ( Q ɛ (x ) + C ɛ ) +1 +1 )(x ). Applcando l Lemma L n (Q ɛ (x )) + Cɛ, x R ɛ

14 Teora della msura dove s è potuta sceglere la stessa costante C perché essa è ndpendente per traslazon (s veda la dmostrazone del Lemma 1.5). Inoltre per costruzone cub Q ɛ (x ) sono dsgunt al varare d, e percò s ottene: ( L n (Q ɛ 1 + 1 )(x +1 )) L n (x ) + Cɛ. x R ɛ x R ɛ Q ɛ Con le stesse notazon usate nella dmostrazone del Lemma 1.5 s conclude che: ( L n (Q ɛ 1 + 1 )(x +1 )) L n Q ɛ (x ) +Cɛ L n (R ɛ )+Cɛ L n (R)+(C+D)ɛ. x R ɛ x R ɛ Se R non è lmtato, allora L n (R) = qund qualsas rcoprmento va bene. Proposzone 1.8. La msura d Lebesgue è una msura d Radon. Dmostrazone. La msura L n è Borelana, nfatt, dat A, B R n due nsem tal che d(a, B) = δ > 0, s ha per la Proposzone 1.7 che: { L n (A B) = nf L n (R ) : A B R, con R rettangol apert e dam(r ) < δ } 4 N N { = nf L n (R ) : A R, con R rettangol apert e dam(r ) < δ } 4 N N { + nf L n (R ) : B R, con R rettangol apert e dam(r ) < δ } 4 N N = L n (A) + L n (B). e dunque per l Teorema 1.4 s ha che L n è una msura Borelana. Che sa lmtata su compatt è ovvo, manca qund da mostrare che è Borel regolare. Se A R n per ogn k N esste un rcoprmento d rettangol apert d A tal che ) L n (A) L n ( N R (k) N L n (R (k)) L n (A) + 1 k. Ma allora A B k N R (k) è aperto per ogn k N, e dunque è Borelano. Posto allora B := B k, s otterrà ancora un Borelano, tale per cu A B e per ogn k N, e qund L n (A) = L n (B) L n (A) L n (B) L n (A) + 1 k,

1. Dscretzzazon d nsem d msura nulla 15 1. Dscretzzazon d nsem d msura nulla In questa sezone a meno che non venga specfcato altrment, la σ-algebra consderata è quella de Lebesgue msurabl d R n e la msura consderata è quella d Lebesgue. Proposzone 1.9. Sa E R n nseme compatto e d msura d Lebesgue nulla. Sa E δ la δ-dscretzzazone d E, allora lm δ 0 δn Card(E δ ) = 0. Dmostrazone. Fssato ɛ > 0 sarà necessaro trovare δ 0 > 0 tale che se 0 < δ < δ 0, allora s abba δ n Card(E δ ) < ɛ. Pochè E ha msura nulla, dato ɛ > 0 esstono degl percub {Q } {1,...N} tal che: ed noltre E N Q, =1 N L n (Q ) < ɛ. =1 Infatt per la Proposzone 1.1 esste un aperto contenente E d msura m(ω) < ɛ tale che E Ω. Ma nella dmostrazone della Proposzone 1.18 s è vsto come Ω = N Q con Q percub apert. Ma per la compattezza d E s può estrarre un sottorcoprmento fnto che rsponde alle rcheste. A questo punto vorre sarebbe desderable che ogn percubo C δ della dscetzzazone d R n (ovvero del tpo n =1 [h δ, (h + 1)δ] che nterseca E, fosse contenuto n un elemento del rcoprmento Q per ottenere una stma sulla cardnaltà della dscretzzazone. Questo è n generale falso. Quello che nvece è vero è che esste un Q tale che Q C δ. Se però le celle della dscretzzazone hanno semlato mnore d δ 0 allora s ha che: Q C δ C δ Q δ 0, dove Q δ 0 è l percubo aperto centrato nel centro d Q e d semlato s(q )+δ 0, dove s ndca con s(#) l semlato d un percubo #. { } A questo punto s è ottenuto un nuovo rcoprmento, con = 1,... N d E. Per la Proposzone 1.5 s ha che esstono C R tal che L n (Q δ 0 \ Q ) C δ 0. Posto allora M = max =1,...,N C s ottene che N =1 m(q δ 0 ) NMδ 0 + N L n (Q ), =1 Q δ 0

16 Teora della msura Imponendo NMδ 0 + N =1 Ln (Q ) < ɛ s ottene l δ 0 > 0 desderato. Scelto δ < δ 0 s ha che C δ Q Q Q δ 0 e qund: Card(E δ )δ n = L n (C δ ) C δ E N =1 L n (Q δ 0 ) < ɛ.

Captolo Struttura d nsem d msura nulla nel pano In questo captolo s dmostrerà un teorema d struttura per nsem d msura d Lebesgue nulla nel pano. La prova s artcolerà n due moment: la dmostrazone d un teorema tecnco d calcolo combnatorco, ed l teorema d struttura..1 Un rsultato d rcoprmento per nsem fnt d R Defnzone.1. S defnsce x curva n R n = 1,..., n, l supporto d una curva γ : R R n del tpo γ(t) = te + γ (t)e tale che la funzone f : R R n 1 defnta da: f(t) = γ (t)e sa 1-Lpshtzana. Teorema.. Un nseme S d N punt n R puó essere rcoperto usando al pú N x1 curve e N x curve. Dmostrazone. S consder l seguente ordne su S: a b b x a x > b x 1 a x 1. per ogn a, b S con a = (a x 1, a x ) e b = (b x 1, b x ). D seguto s costrurà un procedmento nduttvo per creare un opportuno partzonamento d S. Se esste una catena C 1 d (S, ) tale che Card(C 1 ) N s ponga S 1 := S \ C 1. Se esste una catena C d (S 1, ) tale che Card(C ) N s ponga S := S 1 \ C. Se al passo k-esmo non esstono catene n (S k, ) con Card(C k ) N s ponga 17

18 Struttura d nsem d msura nulla nel pano S := S k, altrment esste una catena C k d cardnaltà maggore od uguale d N e qund s ponga S k+1 := S k \ C k. S not che l procedmento è ben defnto perché l nseme S è fnto. Se S, s consder l nseme M 1 S degl element massmal d S, che esstono perché è fnto, e s ponga S 1 := S \ M 1. Se S 1 s consder M l nseme degl element massmal e S := S 1 \ M e cosí va nduttvamente fno a che al passo h + 1-esmo rsult S h+1 =. Per costruzone gl nsem C 1,..., C k, M 1,..., M h formano una partzone d S. S ha noltre che k, h N. Infatt N Card( k =1 C ) k N e qund k N N e allora k N. Per quanto rguarda h, esso non può superare N poché. Se cosí fosse, s consder un elemento a k d M k. Esste percò un elemento d M k 1 tale che a k 1 a k, poché se cos non fosse a k 1 sarebbe massmale per S k. Cosí però s costrusce una catena d lunghezza maggore d N, l che è assurdo. Per concludere la dmostrazone s deve dmostrare che le catene sono contenute n x -curve e gl strat n x 1 -curve. A tale scopo s fss uno strato M. Per assurdo s abbano due element d M con la stessa coordnata x 1. Infatt sano a, b M dstnt con a = (a x 1, a x ), b = (b x 1, b x ), a x 1 = b x 1 e a x < b x. Allora b x a x > 0 = b x 1 a x 1 e qund a b, l che è assurdo, perchè a e b sono massmal. Qund s può scrvere M come: M = { } (a x 1 1, ax ),..., (ax 1, ax ) con a x 1 1 <... < ax 1. S consder l luogo d punt formato da segment n R ad estrem (a x 1, a x ) e (a x 1 +1, ax +1 ) per = 1,..., 1. Per mostrare che tale luogo d punt è contenuto n un grafco d una funzone 1-Lpschtzana d x 1 s defnsca: a x + t ax1 a x 1 +1 ax 1 (a x +1 ax ) se x [a x 1, a x 1 +1 ] f(t) := a x1 1 se t < a x1. 1 a x1 se t > a x1 Charamente l luogo de punt costruto è contenuto per costruzone nel grafco d f. Rmane da provare che f sa 1-Lpschtzana. Infatt: f(t 1 ) f(t ) = + t 1 a x 1 ax assumendo che t 1, t [a x 1 a x 1 +1 ax 1 1, ax 1 (a x +1 ax ) b x + t b x 1 b x 1 +1 bx 1 (b x +1 bx ) ]. Procedendo con delle manpolazon algebrche s,

. Struttura d nsem d msura nulla nel pano 19 ottene: f(t 1 ) f(t ) = ax a x +1 + t 1 a x 1 a x 1 ( t1 a x ) 1 a x 1 +1 1 ax 1 = t 1 a x 1 1 +1 ax a x 1 +1 ax 1 +1 ax 1 +1 ax 1 (a x +1 ax ) + a x +1 bx + t b x 1 b x 1 (a x +1 ax + ax ) ax +1 bx +1 bx + + t b x 1 1 +1 bx b x 1 +1 bx 1 t b x 1 b x 1 +1 bx 1 +1 bx 1 +1 bx 1 (b x +1 bx (b x +1 bx. (.1) Rcordando che gl a, a +1, b e b +1 sono massmal per l ordne, e qund non confrontabl, s ottengono le seguent relazon: { a x +1 ax a x 1 +1 ax 1 b x +1 bx b x 1 +1, bx 1 ottenendo qund nella (.1): f(t 1 ) f(t ) t 1 a x 1 + a x +1 bx + t b x 1 +1 = t 1 t, che dmostra quanto voluto. Se t 1, t [a x 1 1, ax 1 ] la tes è banale. Senza perdta d generaltà s può consderare t 1 [a x 1 1, ax 1 ] e t a x 1. Allora f(t 1) f(t ) = f(t 1 ) f(a x 1 ). Ma per quanto mostrato sopra f(t 1) f(t ) = f(t 1 ) f(a x 1 ) t 1 a x 1 t 1 t, l che termna la dmostrazone del fatto che gl strat sono contenut n x 1 -curve. Rmane da dmostrare che le catene sono contenute n x -curve. A tale scopo s nduca un nuovo ordne su S: a b se e solo se b x 1 a x 1 > b x a x con a = (a x 1, a x ) e b = (b x 1, b x ). S proverà ora che una catena per l ordne è formata da element non confrontabl per l ordne. S consder C = {(a 1,..., a l )} una catena, con a a +1 per ogn = 1,..., l 1. Allora dat s avrà che a x a x > a x 1 a x 1. Se s avesse a a allora s avrebbe a x 1 a x 1 > a x a x, ma allora a x a x > a x 1 a x 1 > a x 1 a x 1 > a x a x, l che è assurdo. Analogamente se s avesse a a. Ma allora le catene d sono formate da element non confrontabl per. Questo conclude la dmostrazone del caso n =, perchè la smmetra tra e asscura che le catene sano x -curve semplcemente rpercorrendo la dmostrazone degl strat scambando x 1 con x.. Struttura d nsem d msura nulla nel pano Defnzone.3. S defnsce x tubo d larghezza δ > 0 un nseme d R n della forma { T = T x (S, δ) = x R n : dst(x, S) δ } ) )

0 Struttura d nsem d msura nulla nel pano dove S è una x -curva. Teorema.4 (d struttura). Sa E F R, con F un nseme F σ d msura nulla. Fssato ɛ > 0 E può essere scrtto come E x 1 E x con E x che soddsfano alle seguente condzone: per ogn ɛ > 0 e per = 1, E x può essere rcoperto da un numero numerable d x tub T x d larghezza δ tal che 1 δ < ɛ. Dmostrazone. S supponga per semplctà che E sa compatto. S fss un δ > 0, e s consder la δ-dscretzzazone d E, E δ ntrodotta nella Defnzone 1.6. Dato che E è compatto e ha msura d Lebesgue nulla, s ha per la Proposzone 1. che per una costante C opportuna. Inoltre per l Teorema. s ha che l nseme E δ puó essere rcoperto da C δ x 1-curve γx 1 e C δ x -curve γx. Consderat allora tub T x 1 (γx 1, δ) e T x 1 (γx, δ), s ha che Card(E δ ) = o ( ) 1 δ e qund Card(Eδ ) C δ T x 1 (γx 1, δ) T x (γx, δ) E. Inoltre la somma della larghezza delle strsce puó essere stmata con: δ ( ) 1 E δ = δ o δ = o(1), per cu tale quanttá tende a 0 per δ 0 e qund s puó sceglere δ tale per cu o(1) ɛ. Qund ora s è provato l caso compatto. Sa C R nseme chuso. Allora C = k C [ k, k] e qund essendo C [ k, k] compatto k N s ha che l rsultato è ancora vero un gl nsem chus. Infatt sano T k(x ) gl x tub che rcoprono C [ k, k] la cu somma degl spessor è ɛ e qund l nseme de tub k {T k(x ) : k N} rcoprono E (una volta fatta l unone su ) con spessore lmtato da ɛ. Qund l rsultato è provato per nsem chus. Analogamente a sopra s dmostra per nsem F σ. Nel lavoro [] s enunca l seguente teorema che estende l Teorema.4 ad un qualsas nseme d msura nulla nel pano e che rende ndpendente da ɛ la scelta degl nsem E x 1 ed Ex : Teorema.5. Un nseme d msura nulla E R può essere scrtto come E x 1 E x con E x che soddsfano alle seguente condzone: per ogn ɛ > 0 e per = 1, E x può essere rcoperto da un numero numerable d x tub T x d larghezza δ tal che 1 δ < ɛ.

Captolo 3 Spaz tangent ad nsem d msura nulla nel pano 3.1 Msure d Hausdorff Defnzone 3.1. Sa A R n, se 0 s <, 0 δ <. S defnsca { ( ) Hδ s (A) := nf dam(c ) s α(s) : A } C, dam(c ) δ, N dove α(s) := π s Γ( s + 1). e Γ(s) := 0 e x x s 1 dx, 0 < s <, è l usuale funzone gamma d Eulero. S defnsce po H s (A) := sup Hδ s (A). (3.1) δ>0 H s s dce msura s-dmensonale d Hausdorff su R n. N Teorema 3.. H s è una msura d Borel regolare (0 < s < ). Dmostrazone. Prelmnarmente s procederà a mostrare che Hδ s è una msura. Infatt, sa {A k } una famgla d sottonsem d R n e s supponga che A k C k, con dam(c k) δ; allora {Ck }, è rcoprmento d A k. Qund ( ) Hδ s A k ( ) dam(c k s ) α(s). N Prendendo l nf ad ambo membr su tutt rcoprment che soddsfano alle rcheste mposte sopra s ottene: ( ) A k Hδ s (A k). H s δ 1

Spaz tangent ad nsem d msura nulla nel pano Qund H s δ è una msura. Ora s può procedere a mostrare che Hs è una msura. Infatt sa come sopra {A k } R n. Allora H s δ ( ) A k Hδ s (A k) H s (A k ). Facendo tendere δ 0 s ottene la tes. S mostrerà ora che H s è msura d Borel. Scelt A, B R n, tal che dst(a, B) > 0, s scelga 0 < δ < 1 4dst(A, B). S supponga noltre che A B C k e dam(c k ) δ. Sa A := {C : C A } e B := {C : C B }. Allora s avrà che A C AC e B C BC, ma per costruzone C C = se C A e C B. Dunque: ( ) dam(c ) s α(s) ( ) dam(c ) s α(s) + ( ) dam(c ) s α(s) Hδ s (A)+Hs δ (B). N C A C B Prendendo l nf tra tutt quest rcoprment, s trova che Hδ s(a B) Hs δ (A) + Hδ s(b), se 0 < 4δ < dst(a, B). Facendo tendere δ 0 s ottene Hs (A B) H s (A) + H s (B), l che con la subaddtvtà della msura ed l Teorema 1.4 fa concludere che H s è msura d Borel. S not che dam(c) = dam(cl(c)) per ogn C R n, qund { ( ) Hδ s (A) := nf dam(c ) s α(s) : A N N } C, dam(c ) δ, C chus. Scelto A R n tale che H s (A) ; allora Hδ s (A) per ogn δ > 0. Per ogn k N s scelgano de chus {C k} N tal che dam(c k) 1 k, A NC k, e ( ) dam(c k s ) α(s) H s 1 + 1 k k. N Sa A k := N C k, B k := N A k ; B è Borelana. Inoltre A A k per ogn k N e qund A B. Inoltre, H s 1 (B) α(s) k N ( ) dam(c k s ) H s 1 (A) + 1 k k. Facendo tendere k, s ha che H s (B) H s (A). Ma A B, e qund H s (B) = H s (A). Proposzone 3.3. Ogn nseme N R n numerable ha msura H s nulla per ogn 0 < s n.

3. Spazo tangente ad nsem d msura nulla nel pano 3 Dmostrazone. Per ogn ɛ > 0 s ha: N x N B ɛ +1 (x ). Ma allora: Hδ s (N) ( ɛ ) s α(s) ɛ s 1 ɛs +1 ( s = ) +1 s 1. N N Fssato δ > 0, s avraà per quanto sopra che H s δ (N) = 0. Percò Hs (N) = 0. 3. Spazo tangente ad nsem d msura nulla nel pano Defnzone 3.4. Sa P (R) l pano proettvo. Dato un Borelano E R, s dce spazo tangente debole ad E una mappa Borelana τ : E P (R)se τ S (p) = τ(p) per H 1 q.o. p supp(s) E (3.) per ogn curva S d classe C 1, dove τ S è la retta tangente non orentata ad S. Proposzone 3.5. Date due curve S 1, S d classe C 1, gl spaz tangent classc corrspondent concdono su supp(s) 1 supp(s) H 1 quas ovunque. Dmostrazone. S consder l nseme F = {x supp(s) 1 supp(s) : τ S1 (x) τ S (x)}, degl element d S 1 S dove gl spaz tangent alle due curve non concdono. I camp tangent alle curve S 1 ed S sono funzon contnue, qund, dato x F, esste un ntorno U d x dove le curve hanno spaz tangent sempre dstnt, e possamo assumerl, senza perdta d generaltà, lnearmente ndpendent. Dato che S 1 ed S sono curve C 1, se ne può fare lo svluppo d Taylor n x: S 1 (t) = x + Ṡ1(0)t + o(t), S (t) = x + Ṡ(0)t + o(t), Dove Ṡ1(0) ed Ṡ(0) sono lnearmente ndpendent. Sottraendo allora membro a membro: S 1 (t) S (t) = (Ṡ1(0) Ṡ(0))t + o(t) = (Ṡ1(0) Ṡ(0) + o(1))t. Allora esste un ntorno V U d x tale che Ṡ1(0) Ṡ(0) + o(1) > 0, e qund n V \ {x} le curve S 1 ed S non concdono. Qund l nseme F è dscreto, e ha msura H 1 nulla. Osservazone 3.6. Dalla proposzone precedente segue che la nozone d spazo tangente classco e debole concdono nel caso d curve C 1.

4 Spaz tangent ad nsem d msura nulla nel pano Defnzone 3.7. Un nseme E R s dce: () 1-rettfcable se è contenuto n un unone numerable d curve C 1 a meno d un nseme E 0 d msura H 1 nulla. () puramente non rettfcable se per ogn curva S d classe C 1 s ha H 1 (S E) = 0. Osservazone 3.8. È charo che qualunque spazo tangente s defnsca su un nseme puramente non rettfcable, soddsfa alla condzone (3.). Proposzone 3.9. Lo spazo tangente debole ad un nseme E, se esste, è unco a meno d nsem puramente non rettfcabl. Dmostrazone. Sano τ 1 e τ due spaz tangent debol d E. S consder l nseme F := {x R : τ 1 (x) τ (x)} e s fss una curva S C 1. Gl nsem F 1 := {x S : τ S (x) τ 1 (x)} e F := {x S : τ S (x) τ (x)} hanno msura d Hausdorff nulla, qund la loro unone ha msura nulla. Charamente però F S F 1 F, che ha qund msura nulla, e percò F è puramente non rettfcable. Proposzone 3.10. Un nseme msurable E R con msura d Lebesgue postva non ammette alcuno spazo tangente debole. Dmostrazone. Infatt, s fss una drezone n P (R). Usando come curve C 1 nel test (3.) le rette parallele a tale drezone fssata, s ottene per l teorema d Fubn- Tonell che lo spazo tangente ad E concde L quas ovunque con la drezone fssata. Ma questo vale per ogn drezone n P (R), e s ottene un assurdo. Defnzone 3.11. Dat e R con e = 1 ed un angolo α [0, π], s defnsce l cono a due falde chuso d asse e e ampezza α l nseme: C(e, α) := {x R : x e x cos(α/)}. S ndcherà Cone := {C(e, α) : e R, α [0, π]} l nseme d tutt con centrat nell orgne. Defnzone 3.1. S dce spazo tangente conco una mappa C : E Cone tale che per ogn curva S d classe C 1 : n perfetto parallelsmo con la (3.). C(p) τ S (p) per H 1 q.o. p S E, (3.3) Lemma 3.13. Intersezone numerable d spaz tangent conc ad E è ancora uno spazo tangente conco. Dmostrazone. Se {C } N sono spaz tangent conc ad E s ha che per ogn N e per ogn S curva d classe C 1 s ha τ S (p) C (p) per H 1 quas ogn p S E. Ma allora ovvamente τ S (p) N C (p) per H 1 quas ogn p S E (l unone degl nsem dove l nclusone non vale è numerable e qund ha ancora msura H 1 nulla).

3. Spazo tangente ad nsem d msura nulla nel pano 5 Se s assume per vero l Teorema.5, vale l seguente rsultato: Teorema 3.14. Ogn nseme E R d msura nulla ammette uno spazo tangente debole. Dmostrazone. S fssno e x 1 := (1, 0) ed e x := (0, 1). Scrvendo E = E x 1 E x come nel Teorema.5, s defnsce l canddato spazo tangente conco ad E, preso α ]π/, π]: { C(e x 1, α) se p E x 1, C α (p) := C(e x, α) se p E x \ E x 1. S verfcherà ora che C α (p) è uno spazo tangente conco. A tale scopo s fss S C 1, e s defnsca la funzone S :supp(s) [, ] p τ S(p) e x τ S (p) e x 1 S dmostrerà che H 1 ({p S : S (p) > 1} E x 1 ) = 0 ed analogamente che H 1 ({p S : S (p) < 1} E x ) = 0 e qund la condzone (3.3) è soddsfatta per l arbtraretà d S. S consder allora p {p S : S (p) > 1} E x 1. Per la contnutà d τ S (S è una curva C 1 ), esste un ntorno B r (p) d p d raggo r > 0 tale che r = 1 sup{r > 0 : se p S B R (p) allora S (p) > 1}. L nseme E x 1 può essere rcoperto con x 1 -tub T (ɛ) d larghezza δ tal per cu N δ < ɛ. Ora s procederà a stmare la quanttà dam(t (ɛ) supp(s) B r (p)). L nseme F := t [ δ,δ ] ( C ( e x 1, π ) + p + te x contene l x 1 -tubo T (ɛ), per defnzone stessa d x 1 -tubo. Inoltre posto m := nf p S Br(p) S (p) s ha che S p + C(e x, (π/ arctan(m)) =: V. Qund s ha banalmente che dam(t (ɛ) S B r (p)) dam(f V B r (p)). Per quest ultmo nseme la stma del dametro è facle. Infatt per la regola de sen s ottene: dam(f V B r (p)) sen ( δ ) 3π = sen( π 4 4 θ) = δ cos(θ) sen(θ) = δ 1 + m, m 1 da cu s segue che dam(t (ɛ) S B r (p)) dam(f V B r (p)) = 4δ 1 + m. m 1 Allora s può stmare la msura H 1 δ (Ex 1 S B r (p)) con ɛ > δ > 0: H 1 δ (Ex 1 S B r (p)) N dam(t (ɛ) supp(s) B r (p)) 4δ 1 + m m 1 N ) δ 4δ 1 + m ɛ. m 1

6 Spaz tangent ad nsem d msura nulla nel pano Qund per ogn δ > 0 rsulta che Hδ 1(Ex 1 S B r (p)) = 0 e qund passando al sup su δ > 0 s ha che H 1 (E x 1 S B r (p)) = 0. Consdero un nseme denso {p } N n {p S : S (p) > 1} E x 1. Allora s ha che: B r (p ) {p S : S (p) > 1} E x 1. (3.4) N Infatt, dato un p {p S : S (p) > 1} E x 1, come osservato sopra esste una palla B r (p) dove S (x) > 1 per ogn x B r (p) S. Ma per la denstà d per ogn ɛ > 0 n {p } N esste un p tale che p p < ɛ. Ma allora s può stmare r con r > (r ɛ)/ = r ɛ > 0, e qund la (3.4) è dmostrata. Qund rsulta che H 1 ({p S : S (p) < 1} E x ) = 0. S ruotno allora gl ass d un angolo θ e s proceda con la stessa costruzone dello spazo tangente conco con gl ass ruotat, ottenendo un nuovo spazo tangente C α,θ che è uguale per ogn p E ad C(e x 1 θ, α) oppure a C(ex θ, α), dove ex 1 θ = (cos(θ), sen(θ)) ed e x θ = ( sen(θ), cos(θ)). Ponendo: C(p) := C α,θ (p) α [π/,π] Q θ [0,π] Q S ottene ancora uno spazo tangente conco per l Lemma 3.13. Scuramente per ogn p E s avrà che p C(p). Per assurdo C(p) contenga due rette d drezon r 1 ed r dstnte. Fssato α [π/, π] Q sa γ ]0, π/] l angolo formato dalle due rette. Ma allora fssato C(r 1, α), uno tra C(r 1 α γ, α) e C(r 1 α+ γ, α) contene una sola retta e d conseguenza s ottene un assurdo. Percò C(p) contene una retta o un punto. Defnendo ora τ : E P (R) come: { C(p) se C(p) è una retta τ(p) :=. altrment s ottene per come costruto τ uno spazo tangente debole. e 1

Bblografa [1] L.C.Evans ed R.F.Garepy, Measure Theory and Fne Propertes of Functon. CRC Press, (199), 1 63. [] G.Albert, M. Csörnye, D. Press, Structure of null sets n the plane and applcatons. (005) 1 7. [3] G.Albert, M. Csörnye, D. Press, Dfferentablty of Lpschtz functons, structure of null sets, and other problems. (010) Nel Captolo 1 s è fatto rfermento prncpalmente ad [1]. Le font per Teorem.4 e 3.14 sono [] e [3]. 7