ESERCIZIO 1 Gastone investe i suoi risparmi in tre titoli (A: Paperone & Co; B: Rockerduck & Co; C: Bassotti & Co) quotati sul mercato di Paperopoli. La composizione percentuale del portafoglio di Gastone è descritta nella seguente tabella: A = 40% B = 35% C = 25% Dall'analisi dei prospetti informativi diffusi dalla Borsa di Paperopoli Gastone ricava le seguenti informazioni sul rendimento dei tre titoli: µa = 1.8 σa = 0.3 ρab = + 0.3 µb = 2.1 σb = 0.2 ρbc = + 0.5 µc = 0.3 σc = 0.6 ρac = 0.8 a) Calcolare il rendimento atteso del portafoglio: b) Calcolare la volatilità del portafoglio (misurata tramite la varianza): ESERCIZIO 2 Si considerino n v.c. Xi (i = 1,, n) tra loro indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d) con media 10 e varianza 4. Si determini: SOMMA delle n MEDIA delle n ili 1
ESERCIZIO 3 Si considerino n v.c. Xi (i = 1,, n) tra loro i.i.d. E' noto inoltre che le sono distribuite secondo una legge normale con media µ=40 e varianza σ 2 =4 costanti per le n. Si determini: SOMMA delle n MEDIA delle n E' possibile dire qualcosa sulle distribuzioni delle casuali SOMMA e MEDIA (motivare brevemente la risposta): ESERCIZIO 4 Il peso corporeo degli studenti di genere maschile del corso di Statistica segue una distribuzione normale con media 76 kg e scarto quadratico medio 21 kg. Si etraggono casualmente 25 studenti. Calcolare valore atteso e scarto quadratico medio per la variabile Peso medio del gruppo di 25 studenti: SCARTO QUADRATICO MEDIO Come si distribuisce la variabile Peso medio del gruppo di studenti? (motivare brevemente la risposta) Calcolare la probabilità che la media del gruppo di 25 studenti sia tra 68 e 85 kg: 2
ESERCIZIO 5 Una compagnia di assicurazioni ha 25000 polizze auto attive. Il risarcimento dovuto annualmente per ogni singolo assicurato si distribuisce come una variabile con media 320 e scarto quadratico medio 540. Si consideri la variabile richiesta totale di indennizzi in un determinato anno. Calcolare: SCARTO QUADRATICO MEDIO Come si distribuisce la variabile richiesta totale di indennizzi in un determinato anno? (motivare brevemente la risposta) Calcolare la probabilità che le richieste d indennizzo in un determinato anno superino gli 8,3 milioni di euro: ESERCIZIO 6 Si indichi con X una generica variabile con media μ=0,1 e varianza σ 2 =100. a) Si calcolino, per i seguenti valori di n, il valore atteso e la varianza della distribuzione della variabile media campionaria: n = 5 n = 25 n = 50 n = 100 n = 500 n = 1000 3
b) Commentare brevemente i risultati ottenuti al punto precedente: c) Si calcolino, per i seguenti valori di n, il valore atteso e la varianza della distribuzione della variabile somma campionaria: n = 5 n = 25 n = 50 n = 100 n = 500 n = 1000 d) Commentare brevemente i risultati ottenuti al punto precedente: ESERCIZIO 7 Si consideri la popolazione consistente di N=4 studenti (A, B, C, D) del corso di Statistica Avanzata. Il voto conseguito dagli studenti alla fine del corso è riportato nella seguente tabella: STUDENTE VOTO A 27 B 23 C 30 D 28 Si estrae casualmente usando uno schema di campionamento senza ripetizione un campione di n=3 misurazioni. a)determinare il valore atteso, la mediana e la varianza della v.c. X MEDIANA 4
b)determinare la distribuzione campionaria della media campionaria, della mediana campionaria, della varianza campionaria e della varianza campionaria corretta. SUGGERIMENTO: elencare tutti i possibili campioni di ampiezza n=3 X1 X2 X3 MEDIANA CAMPIONARIA CORRETTA c)determinare la distribuzione di probabilità delle casuali prima osservazione campionaria, seconda osservazione campionaria e terza osservazione campionaria: I Osservazione Campionaria II Osservazione Campionaria III Osservazione Campionaria d) Calcolare i valori attesi degli stimatori media campionaria e mediana campionaria: e) Dai risultati del punto precedente media campionaria e mediana campionaria risultano stimatori non distorti? (motivare brevemente la risposta): f) Calcolare le deviazioni standard (scarti quadratici medi) degli stimatori media campionaria e mediana campionaria: 5
g) Commentare brevemente i risultati ottenuti al punto precedente: h) Calcolare i valori attesi degli stimatori varianza campionaria e varianza campionaria corretta: CAMPIONARIA CAMPIONARIA CORRETTA i) Commentare brevemente i risultati ottenuti al punto precedente: ESERCIZIO 8 Si considerino nuovamente i dati dell'esercizio precedente. Si estrae casualmente usando uno schema di campionamento con ripetizione un campione di n=3 misurazioni. a) Determinare la distribuzione campionaria della media campionaria, della mediana campionaria, della varianza campionaria e della varianza campionaria corretta. SUGGERIMENTO: elencare tutti i possibili campioni di ampiezza n=3 X1 X2 X3 MEDIANA CAMPIONARIA CORRETTA 6
b)determinare la distribuzione di probabilità delle casuali prima osservazione campionaria, seconda osservazione campionaria e terza osservazione campionaria: I Osservazione Campionaria II Osservazione Campionaria III Osservazione Campionaria c) Calcolare i valori attesi degli stimatori media campionaria e mediana campionaria: d) Dai risultati del punto precedente media campionaria e mediana campionaria risultano stimatori non distorti? (motivare brevemente la risposta): e) Calcolare le deviazioni standard (scarti quadratici medi) degli stimatori media campionaria e mediana campionaria: f) Commentare brevemente i risultati ottenuti al punto precedente: g) Calcolare i valori attesi degli stimatori varianza campionaria e varianza campionaria corretta: CAMPIONARIA CAMPIONARIA CORRETTA h) Commentare brevemente i risultati ottenuti al punto precedente: 7