SPINTA DELLE TERRE, OPERE DI SOSTEGNO E FONDAZIONI SUPERFICIALI Esercizi svolti

Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale (www.dicea.unifi.it/geotecnica) SPINTA DELLE TERRE, OPERE DI SOSTEGNO E FONDAZIONI SUPERFICIALI Esercizi svolti Corso di Fondamenti di Geotecnica Scienze dell Ingegneria Edile, A.A. 01/013 Johann Facciorusso johannf@dicea.unifi.it http://www.dicea.unifi.it/~johannf/

SPINTA ATTIVA E PASSIVA Spinta attiva e passiva Esercizio 1 Si consideri una parete rigida verticale e liscia, di altezza H = 5 m, che sostiene un terrapieno, omogeneo e con piano di campagna orizzontale, costituito da sabbia con peso di volume saturo, sat,di0kn/m 3 e angolo di resistenza al taglio,, pari a 30. Il livello di falda è al piano di campagna e si assuma w =10 kn/m 3. Si determini, trascurando eventuali moti di filtrazione: a) l andamento delle pressioni limite attive ha lungo il parametro interno della parete; b) la forza risultante S TOT che il terrapieno esercita sulla parete, e la distanza d S del punto di applicazione dalla base della parete. Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 /89

Spinta attiva e passiva SPINTA ATTIVA E PASSIVA Dati: Altezza della parete (H) = 5 m Inclinazione della parete rispetto alla verticale () =0 Parete liscia angolo d attrito () =0 Terrapieno orizzontale angolo d inclinazione rispetto all orizzontale () =0 Sabbia (c ) =0kPa Angolo di resistenza al taglio ( ) = 30 Peso di volume saturo della sabbia ( sat ) = 0 kn/m 3 Peso specifico dell acqua ( w )=10kN/m 3 Profondità della falda (z w ) =0m H Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 3/89

Spinta attiva e passiva Svolgimento: a) Si determini, trascurando eventuali moti di filtrazione l andamento delle pressioni limite attive ha lungo il parametro interno della parete; Considerata l ipotesi di parete liscia, può essere applicata la teoria di Rankine per il calcolo della distribuzione delle pressioni limite attive agenti sul parametro interno della parete, secondo cui: z=0 1 sen' ʹ K ' ha A ʹ con: vo K A tan 1 sen' 4 In particolare, all interno del deposito omogeneo, risulta: v0 K A =tan (45 30 /) = 0.33 Si calcola la distribuzione delle tensioni efficaci H verticali lungo il parametro interno della parete, individuando i punti in cui (in base alla stratigrafia ed alla posizione della falda) l andamento (sempre lineare) può cambiare pendenza. v0 (0) = v (0) u(0) =0kPa v0 (H) = v (H) u(h) = sat H w H = (100 50) kpa =50kPa z v0 (H) dove la pressione interstiziale alla base del muro è stata calcolata nell ipotesi di assenza di filtrazione (pressione idrostatica) Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 4/89

Svolgimento: Spinta attiva e passiva Si calcolano le pressioni limite attive nei medesimi punti: ha (0) =K A v0 (0) =0kPa A z=0 ha,u ha (H) =K A v0 (H) = 0.33 50 kpa = 16.7 kpa e si determina l andamento tra i punti considerati, che sarà sempre lineare. b) Si determini la forza risultante S TOT che il terrapieno esercita sulla parete, e la distanza z S del punto di applicazione dalla base della parete. H La spinta totale (per unità di lunghezza della parete) esercitata dal terreno sulla parete (S TOT )èla somma del contributo del terreno (spinta attiva, S A ) e dell acqua (spinta idrostatica, S W ): B C D S TOT =S A +S W z ha (H) u(h) dove la spinta attiva è l area della distribuzione delle pressioni limite attiva (triangolo ABC): S A =½ ha (H) H =½ 16.7 kn/m 5m = 41.7 kn/m e la spinta idrostatica è l area della distribuzione delle pressioni interstiziali (triangolo ABD): S W =½ u(a) H =½ 50 kn/m 5m = 15 kn/m Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 5/89

Spinta attiva e passiva Svolgimento: La spinta totale vale dunque: A z=0 ha,u S TOT =S A +S W = (15 + 41.7)kN/m = 166.7 kn/m Le due spinte sono applicate in corrispondenza del baricentro delle relative distribuzioni, che per entrambe è situato a 1/3 dell altezza della parete dalla base del muro e quindi anche la loro risultante ha punto di applicazione a distanza dalla base del muro: d S =1/3H= 1.7 m H S A S W B C D z ha (H) u(h) d S N.B. Si osservi come la spinta dell acqua sia preponderante rispetto a quella del terreno Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 6/89

Spinta attiva e passiva SPINTA ATTIVA E PASSIVA Esercizio Con riferimento alla situazione riportata in Figura ed assumendo w =10kN/m 3, si determinino, nell ipotesi di assenza di attrito tra parete e terreno: la spinta totale agente a monte, S 1, e a valle della parete, S ; il momento risultante di tali spinte, M 1 em, e le distanze, d 1 ed dei rispettivi punti di applicazione dalla base della parete. q = 0 kpa s H = m 1 Sabbia: sat = 19 kn/m = 5 3 H = 4m Sabbia: sat = 0 kn/m = 30 3 Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 7/89

Dati: Strato 1 Profondità dello strato (H 1 ) =m Angolo di resistenza al taglio ( 1 ) = 5 Peso di volume saturo ( sat1 )=19kN/m 3 Spinta attiva e passiva Strato Profondità dello strato (H ) =4m Angolo di resistenza al taglio ( ) = 30 Peso di volume saturo ( sat )=0kN/m 3 Parete liscia angolo d attrito () =0 Terrapieno orizzontale angolo d inclinazione rispetto all orizzontale () =0 Sabbia (c ) =0kPa Inclinazione della parete rispetto alla verticale () =0 Peso specifico dell acqua ( w )=10kN/m 3 Profondità della falda (z w ) =m Sovraccarico (q) = 0 kpa H 1 q H Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 8/89

Spinta attiva e passiva Svolgimento: Si calcola la distribuzione delle tensioni efficaci verticali a monte della parete (prescindendo per il momento dal sovraccarico), individuando i punti in cui (in base alla stratigrafia ed alla posizione della falda) l andamento (sempre lineare) può cambiare pendenza (A, B e C): v0 (A) = v (A) u(a) =0kPa v0 (B) = v (B) u(b) = sat1 H 1 =19 kpa=38kpa v0 (C) = v (C) u(c) = sat1 H 1 + sat H w H =(19 + 0 4 10 4)kPa =78kPa dove la pressione interstiziale alla base del muro è stata calcolata considerando che non vi è Valle filtrazione (pressione idrostatica). Quindi si calcolano le pressioni limite attive nei medesimi punti e si disegna il corrispondente andamento (lineare): ha (A) =K A1 v0 (A) =0kPa ha (B ) =K A1 v0 (B) = 0.41 38 kpa = 15.6 kpa ha (B + ) =K A v0 (B) = 0.33 38 kpa = 1.5 kpa ha (C) =K A v0 (C) = 0.33 78 kpa = 5.7 kpa Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 10/89 H 1 H z Monte A C B ha

Spinta attiva e passiva Svolgimento: La pressione limite attiva agente a monte della parete dovuta al sovraccarico è costante con la profondità in ciascuno strato e vale: ha,q1 =K A1 q = 0.41 0 = 8. kpa ha,q =K A q = 0.33 0 = 6.6 kpa Si calcola la distribuzione delle tensioni efficaci verticali a valle della parete, individuando i punti in cui (in base alla stratigrafia ed alla posizione della falda) l andamento (sempre lineare) può cambiare pendenza (D e E): v (E) = v (E) u(e) =0kPa v (D) = v (D) u(d) = sat H w H =(0 4 10 4)kPa Valle Monte =40kPa dove la pressione interstiziale alla base del muro è stata A calcolata considerando che non vi è filtrazione (pressione idrostatica). H 1 Quindi si calcolano le pressioni B limite passive nei medesimi punti e E si disegna il corrispondente hp andamento (lineare): hp (E) =K P v0 (E) =0kPa H hp (D) =K P v0 (D) = 3 40 kpa = 10 kpa Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 11/89 D z C ha

Spinta attiva e passiva Svolgimento: La spinta totale (per unità di lunghezza della parete) esercitata dal terreno a monte sulla parete (S 1 ) è la somma del contributo del terreno (spinta attiva, S A ), del sovraccarico (S q ) e dell acqua (spinta idrostatica, S W1 ): S 1 =S A +S q +S W1 dove la spinta attiva è l area della distribuzione delle pressioni limite attive: S A =A 1 +A +A 3 A 1 = ½ ha (B ) H 1 = ½ 15.6 = 15.6 kn/m A = ha (B + ) H = 1.5 4 =50kN/m A 3 =½[ ha (C) ha (B + )] H = 6.4 kn/m S A =A 1 +A +A 3 =9kN/m e la spinta attiva dovuta al sovraccarico vale: H 1 A 4 ha, u S q =A 4 +A 5 A 4 = ha,q1 H 1 = 8. = 16.4 kn/m E A 1 BF A 5 = ha,q H = 6.6 4 = 6.4 kn/m S q =A 4 +A 5 = 4.8 kn/m H A A 5 A 6 Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 D C A 3 H 1/89

Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 Spinta attiva e passiva Svolgimento: e la spinta idrostatica è l area della distribuzione delle pressioni interstiziali: S W1 =A 6 =½ u(c) H =½ 40 4 =80kN/m La spinta totale vale dunque: S 1 =S A +S q +S W1 = (9 + 4.8+ 80)kN/m = 14.8 kn/m La spinta totale (per unità di lunghezza della parete) esercitata dal terreno a valle sulla parete (S ) è la somma del contributo del terreno (spinta passiva, S P ) e dell acqua (spinta idrostatica, S W ): S =S P +S W dove la spinta passiva è l area della distribuzione delle pressioni limite ha, passive: S P =A 7 = ½ hp (D) H = ½ 10 4 = 40 kn/m e la spinta idrostatica è l area della distribuzione delle A 4 A pressioni interstiziali: 1 E BF S W =A 8 =S W1 =80kN/m hp La spinta totale vale dunque: S =S P +S W = (40 + 80)kN/m = 30 kn/m A 8 S A 7 A D C A 3 H S 1 A 5 A 6 u H 1 H 13/89

Svolgimento: Spinta attiva e passiva b) Si determinino, nell ipotesi di assenza di attrito tra parete e terreno, il momento risultante di tali spinte, M 1 em, e le distanze, d 1 ed dei rispettivi punti di applicazione dalla base della parete. Si determinano i baricentri delle aree che compongono le spinte e quindi i bracci delle relative risultanti rispetto al piede della parete (D): d A1 =H +H 1 /3 = 4+/3 = 4.67 m d A4 =H +H 1 / = 4+/ =5m d A =d A5 =H / = 4/ =m d A3 =d A6 =d A7 =d A8 =H /3 = 4/3 = 1.33 m Il momento risultante delle azioni che agiscono a monte della parete è dunque: M ha, 1 =A 1 d A1 +A d A +A 3 d A3 +A 4 d A4 +A 5 d A5 +A 6 d A6 = = 15.6 4.67+50 +6.4 1.33 +16.4 5+6.4 +80 1.33 = 449. kn eavalle: A 4 A M 1 =A 7 d A7 +A 8 d A8 = 40 1.33 + 80 1.33 = 45.6 kn E BF e i punti di applicazione delle hp risultanti hanno distanza dal piede della parete: S 1 A d 1 =M 1 /S 1 = 449./14.8 =.09 m A 5 A 8 S A d 7 =M /S = 45.6/30 = 1.33 m d A 3 H d 1 A 6 D C Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 14/89 u H 1 H

Esercizio 3 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 SPINTA ATTIVA E PASSIVA Spinta attiva e passiva Un muro a parametro interno verticale di altezza H = 6 m, sostiene uno strato di argilla con le seguenti caratteristiche geotecniche: =19kN/m 3,c u =50kPa, = 6 e c = 10 kpa. Il livello di falda è al piano di campagna. Si determini, nell ipotesi di assenza di attrito tra terreno e muro, il diagramma della spinta attiva, e la relativa risultante, a breve, S b.t. e a lungo termine, S l.t. ( assumendo w =10kN/m 3 ). Dati: Altezza della parete (H) = 6 m Terrapieno orizzontale angolo d inclinazione rispetto all orizzontale () =0 Parete liscia angolo d attrito () =0 Inclinazione della parete rispetto alla verticale () =0 Coesione (c ) = 10 kpa Coesione non drenata (c u ) = 50 kpa Angolo di resistenza al taglio ( ) = 6 Peso di volume () =19kN/m 3 Peso specifico dell acqua ( w )=10kN/m 3 Profondità della falda (z w ) =0m H 15/89

Spinta attiva e passiva Svolgimento: Si determini, nell ipotesi di assenza di attrito tra terreno e muro, il diagramma della spinta attiva, e la relativa risultante, a breve, S b.t. e a lungo termine, S l.t. ( assumendo w =10kN/m 3 ). Considerata l ipotesi di parete liscia, può essere applicata la teoria di Rankine per il calcolo della distribuzione delle pressioni limite attive agenti sul parametro interno della parete, nel caso di terreno coesivo, secondo cui: a lungo termine: 1 sen' ' z=0 ʹ K ha A ʹvocʹ K A con: K A tan 1 sen' 4 a breve termine: ha vo c In particolare, all interno del deposito omogeneo, risulta: K A =tan (45 6 /) = 0.39 u Si calcola la distribuzione delle tensioni totali verticali lungo il parametro interno della parete: v0 (0) =0kPa v0 (H) = H=(19 6) kpa = 114 kpa Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 16/89 H z v0 (H) v0

Spinta attiva e passiva Svolgimento: Si calcola la distribuzione delle pressioni interstiziali lungo il parametro interno della parete: u(0)=0kpa u(h) = w H=(6 10) kpa =60kPa Si calcola la distribuzione delle tensioni efficaci verticali lungo il parametro interno della parete: z=0 v0 v0, u v0 (0) = v (0) u(0) =0kPa v0 (H) = v (H) u(h) = H w H = (114 60) kpa =54kPa dove la pressione interstiziale alla base del muro H è stata calcolata nell ipotesi di assenza di filtrazione (pressione idrostatica). z Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 17/89

Spinta attiva e passiva Svolgimento: Si calcola l andamento le pressioni limite attive efficaci (a lungo termine): ha (0) =K A v0 (0) c K A = 10 0.39 = 1.5 kpa ha (H) =K A v0 (H) c K A = 0.39 54 10 0.39 = 8.6 kpa e la profondità critica in cui tali pressioni si annullano (O): A cʹ zc = 10/(9 0.39) = 3.56 m ʹ K A La spinta totale (per unità di lunghezza della parete) esercitata dal terreno sulla parete (S l.t. ) a lungo termine è la somma del contributo del terreno (spinta O attiva, S A ) e dell acqua (spinta idrostatica, S W ): z=0 z c ha, u H S l.t. =S A +S W dove la spinta attiva è l area della distribuzione delle pressioni limite attiva, calcolata assumendo tali pressione nulle al di sopra della profondità critica (triangolo OBC): B z S A =½ ha (H) (H z c )=½ 8.6 kn/m (6 3.56)m = 10.5 kn/m + C D ha (H) u(h) Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 18/89

Spinta attiva e passiva Svolgimento: e la spinta idrostatica è l area della distribuzione delle pressioni interstiziali (triangolo ABD): S W =½ u(a) H =½ 60 kn/m 6m = 180 kn/m La spinta totale a lungo termine vale dunque: S l.t. =S A +S W = (10.5 + 180)kN/m = 190.5 kn/m OSS. In questo caso non si considera, data la posizione della falda, il contributo dell acqua di infiltrazione al di sopra della profondità critica. Si calcola l andamento le pressioni limite attive totali (a breve termine): ha (0) = v0 (0) c u = 50 = 100 kpa A z=0 ha (H) = v0 (H) c u = 114 50 =14kPa e la profondità critica in cui tali pressioni si annullano (O): cu zc = 50/19 = 5.6 m Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 19/89 O B z + S a C z c S w S l.t. H ha

Spinta attiva e passiva Svolgimento: La spinta totale (per unità di lunghezza della parete) esercitata dal terreno sulla parete (S b.t. ) a breve termine è data dalla somma delle pressioni limite attive totali, calcolata assumendo tali pressione nulle al di sopra della profondità critica (triangolo OBC):: S b.t. =S A = ½ ha (H) (H z c )=½ 14 kn/m (6 5.6)m = 5. kn/m OSS. In questo caso nel calcolo della spinta totale non si considera il contributo dell acqua di falda, né, data la posizione della falda, il contributo dell acqua di infiltrazione al di sopra della profondità critica. A z=0 z c ha O H Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 ha (H) 0/89 B z + C S b.t.

Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 Spinta attiva e passiva SPINTA ATTIVA E PASSIVA Esercizio 4 Un muro in cemento armato di altezza H = 6 m, sostiene un terrapieno di sabbia asciutta, avente =18kN/m 3 e = 30. Calcolare la spinta attiva, S A, agente sul muro: a) in assenza di attrito tra terreno e muro (col metodo di Rankine); b) considerando un angolo di attrito terreno muro = nell ipotesi di superficie di rottura piana (Coulomb) e a spirale logaritmica (Navfac); c) ipotizzando anche che il piano di campagna sia inclinato, rispetto all orizzontale, di un angolo = 30. Dati: Altezza della parete (H) = 6 m Sabbia (c ) =0kPa Peso di volume () =18kN/m 3 H Angolo di resistenza al taglio ( ) = 30 S A Profondità della falda (z w ) >> H Inclinazione della parete rispetto alla verticale () =0 Angolo d attrito terreno parete ( = ) = 30 Angolo d inclinazione del terrapieno rispetto all orizzontale () =0 1/89

Spinta attiva e passiva Svolgimento: a) Calcolare la spinta attiva, S A, agente sul muro: in assenza di attrito tra terreno e muro (col metodo di Rankine) e terrapieno orizzontale Considerata l ipotesi di parete liscia, può essere applicata la teoria di Rankine per il calcolo della distribuzione delle pressioni limite attive agenti sul parametro interno della parete, secondo cui: 1 sen' ' ʹ K ʹ ha A vo con: K A tan 1 sen' 4 In particolare, all interno del deposito omogeneo, risulta: K A =tan (45 30 /) = 0.33 Si calcola la distribuzione delle tensioni efficaci verticali lungo il parametro interno della parete: v0 (0) = v (0) =0kPa v0 (H) = v (H) = H=(18 6) kpa = 108 kpa H A z=0 v0 Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 v0 (H) /89 z

Spinta attiva e passiva Svolgimento: Si calcola la distribuzione delle pressioni limite attive lungo il parametro interno della parete: ha (0) =K A v0 (0) =0kPa ha (H) =K A v0 (H) = 0.33 108 kpa = 35.6 kpa La spinta attiva (per unità di lunghezza della parete) esercitata dal terreno sulla parete (S A ) è data dall area della distribuzione delle pressioni limite attiva (triangolo ABC): A S A(R) =½ ha (H) H =½ 35.6 kn/m 6m = 106.9 kn/m z=0 e coincide con la spinta totale (non essendo presente la falda): S TOT =S A = 106.9 kn/m N.B. La spinta, in questo caso, è orizzontale e applicata lungo la parete ad una distanza dalla base del muro: d A =1/3 H = 1/3 6m =m Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 3/89 H z B S A C d A ha

Spinta attiva e passiva Svolgimento: b) Calcolare la spinta attiva, S A, agente sul muro considerando un angolo di attrito terreno muro = nell ipotesi di superficie di rottura piana (Coulomb) e a spirale logaritmica (Navfac) e terrapieno orizzontale. Considerata l ipotesi di attrito tra muro e terreno, non può essere applicata la teoria di Rankine per il calcolo della spinta attiva agente sul parametro interno della parete. A seconda della forma ipotizzata per la superficie di rottura esistono differenti teorie che forniscono una soluzione in forma analitica o numerica (grafica o tabellare) per il calcolo del modulo della spinta attiva, ma che non consentono di determinare la distribuzione delle pressioni limite attive e quindi il punto di applicazione della spinta. In particolare, nell ipotesi di superficie di rottura piana, si può applicare la teoria di Coulomb che fornisce il modulo della spinta attiva, nel caso di terrapieno omogeneo, incoerente ed asciutto: S A 1 H K A con: K A cos cos cos 1 ' sen cos ' sen ' cos Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 4/89

Spinta attiva e passiva Svolgimento: Nell ipotesi di superficie di rottura curvilinea, si può applicare la teoria di Navfac per superficie a spirale logaritmica, che fornisce per via numerica il modulo della spinta attiva, nel caso di terrapieno omogeneo, incoerente ed asciutto: 1 S H K A A con K A fornito in forma grafica (/ =0; = =30 ): K A = 0.3 S A(N) 1 H K =½ 18 6 0.3 = 103.7 kn/m A / =0; = Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 6/89

Spinta attiva e passiva Svolgimento: Se invece si applica la teoria di Caquot e Kerisel ( =0; =1; =30 ), utilizzando i risultati, ottenuti per via numerica e forniti in forma tabellare : K A = 0.31 1 S H A(CQ) K A =½ 18 6 0.31 = 100.4 kn/m 5 10 15 0 5 30 35 40 45 50 0,81 0,65 0,53 0,44 0,37 0,31 0,6 0, 0,19 0,16 1 1,6 1,66,0 3,04 4,6 6,56 10,7 18, 35,0 75,0 ' 0,81 0,66 0,54 0,44 0,36 0,30 0,5 0,0 0,16 0,13 1,4 1,59,06,7 3,61 5,5 8,00 1,8 1,0 41,0 ' 3 1 0,8 0,67 0,56 0,45 0,37 0,30 0,5 0,0 0,16 0,13 1, 1,5 1,89,38 3,03 4,0 5,55 8,10 1,0 19,0 ' 3 0,84 0,70 0,59 0,49 0,41 0,33 0,7 0, 0,17 0,13 0 1,19 1,4 1,70,04,46 3,00 3,70 4,60 5,80 7,50 ' k a k p Valida per = =0 Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 7/89

Spinta attiva e passiva Svolgimento: c) Calcolare la spinta attiva, S A, agente sul muro considerando un angolo di attrito terreno muro =, con il piano di campagna inclinato, rispetto all orizzontale, di un angolo = 30, nell ipotesi di superficie di rottura piana (Coulomb) e a spirale logaritmica (Navfac) e terrapieno orizzontale. Nell ipotesi di superficie di rottura piana, secondo la teoria di Coulomb nel caso di terrapieno omogeneo, incoerente ed asciutto. In questo caso ( =0 ; = 30 ; = = 30 ) risulta: K S A A(C) cos cos 1 H K cos 1 A ʹ sen cos cos 1cos30 1 cos ʹ sen ʹ cos 30 sen 30sen 0 30cos 30 cos cos cos 0cos0 30 1 30 =½ 18 6 0.87 = 81.9 kn/m = 0.87 30 sen cos 0 0 30sen 30 30 0 30cos0 30 Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 8/89

Spinta attiva e passiva Svolgimento: N.B. La spinta, in questo caso, è inclinata verso l alto dell angolo di attrito, ma non se ne conosce il punto di applicazione, che, si assume comunque ad una distanza dalla base del muro pari a 1/3 dell altezza del muro, come suggerito dalla teoria di Rankine: d A =1/3 H = 1/3 6m =m H S A d A Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 9/89

Svolgimento: Spinta attiva e passiva Nell ipotesi di superficie di rottura curvilinea, applicando la teoria di Navfac il modulo della spinta attiva, nel caso di terrapieno omogeneo, incoerente ed asciutto, è pari a S A 1 H K con K A fornito in forma grafica (/ =1; = =30 ): K A = 0.9 S A(N) 1 H A K =½ 18 6 0.9 = 98.1 kn/m A / =1; = =30 Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 30/89

Spinta attiva e passiva Svolgimento: Se invece si applica la teoria di Caquot e Kerisel ( = = 30 ; = 0 ), utilizzando i risultati, ottenuti per via numerica e forniti in forma tabellare : K A = 0.87 1 S A(CQ) H K A =½ 18 6 0.87 = 81.9 kn/m -30-18 0 +18 +30 K A 0,3 0,57 0,308 0,409 0,866 K P 0,84,85 6,56 11,8 16,1 Valida per =0; = =30 Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 31/89

Spinta attiva e passiva OSSERVAZIONI 1) La presenza dell attrito tra terreno e muro () determina, a parità delle altre condizioni, un incremento della spinta attiva in modulo poco significativo (indipendentemente dalla soluzione adottata), ad esempio con la soluzione di Coulomb: S A(R) = 106.9 kn/m < S A(C) = 119.9 kn/m mentre comporta un inclinazione, verso l alto, della spinta attiva di un angolo pari all angolo di attrito (), per cui la componente instabilizzante della spinta (ovvero la componente orizzontale) di fatto si riduce : S A(C),H = 119.9 cos30 kn/m = 103.8 kn/m < S A(R),H =S A(R) = 106.9 kn/m e la componente stabilizzante della spinta (ovvero la componente verticale) aumenta : S A(C),V = 119.9 sen30 kn/m = 60 kn/m > S A(R),V =0kN/m L effetto complessivo dell attrito tra terreno e muro sulla stabilità del muro è quindi benefico. H S A(c),V S A(c),H S A(c) S A(R) d A Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 3/89

Spinta attiva e passiva ) L effetto dell inclinazione del terrapieno (), a parità di inclinazione della spinta (e quindi delle condizioni di attrito) è quello di incrementare il modulo della spinta attiva in modo significativo (indipendentemente dalla soluzione adottata), ad esempio con la soluzione di Coulomb: S A(C) = 119.9 kn/m < < S A(C), = 81.9 kn/m con un conseguente aggravio delle condizioni di carico a sfavore della stabilita. 3) Il metodo utilizzato, a parità di H condizioni di attrito e di inclinazione del pendio (e quindi di inclinazione della spinta) influisce poco sensibilmente sul modulo della spinta attiva e quindi le soluzioni ottenute possono ritenersi tutte utili ai fini del calcolo della stabilità del muro. Ad esempio nel caso di pendio: S A(C), = 81.9 kn/m S A(CQ), < S = 98.1 kn/m d A S A(c), S A(c) Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 33/89

Spinta attiva e passiva Esercizio 5 (Esame del 16/04/007) Viene realizzato un muro di sostegno a gravità in c.a.( m =5kN/m 3 ), della forma e delle dimensioni riportate in Figura, per sostenere un terrapieno omogeneo costituito prevalentemente da sabbia ( = 19.5 kn/m 3, ʹ =38 )econpianodi campagna inclinato di un angolo = 15. Si consideri la presenza dellʹattrito tra terreno e muro ( = 5 ) e si supponga che il terreno di fondazione abbia le stesse caratteristiche del terrapieno e che la falda sia a grande distanza dal piano di campagna. Si determini: a) la risultante delle componenti orizzontali e verticali delle forze che agiscono sul muro, 1.6 m distinguendo tra forze stabilizzanti e instabilizzanti; b) il momento risultante rispetto al piede esterno del muro sempre distinguendo tra forze stabilizzanti e instabilizzanti; c)si calcoli la capacità portante del terreno di fondazione scegliendo la condizione più cautelativa (trascurando o meno la presenza del terrapieno). Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013.7 m 34/89 5 m

Spinta attiva e passiva Dati: Caratteristiche del muro Altezza del muro (H) = 5 m Larghezza del muro al piede (B) =.7 m Larghezza del muro al tetto (b) = 1.6 m Inclinazione della parete rispetto alla verticale () Angolo d attrito terreno parete () = 0 Peso specifico del c.a. ( m )=5kN/m 3 H b S A Caratteristiche del terrapieno Terreno omogeneo, sabbia (c ) =0kPa Peso di volume () = 19.5 kn/m 3 Angolo di resistenza al taglio ( ) = 38 Inclinazione del terrapieno rispetto all orizzontale () = 15 Profondità della falda (z w ) >> H B Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 35/89

Spinta attiva e passiva Svolgimento: a) la risultante delle componenti orizzontali e verticali delle forze che agiscono sul muro, distinguendo tra forze stabilizzanti e instabilizzanti; Sul muro di sostegno agiscono (per unità di lunghezza del muro): y b il peso del muro: W= m (A 1 +A ) A 1 =b H = 1.6m 5m=8m A =(B b) H/ = (.7 1.6)m 5m/ =.75 m W = m (A 1 +A ) = 5kN/m 3 (8+.75)m = 68.75 kn/m b/ (B b)/3 che agisce in direzione verticale ed il braccio rispetto al H A piede esterno del muro O è: x M = [(A 1 x A1 )+(A x A )]/(A 1 +A ) H/ dove : H/3 x A1 = b/ = 1.6/ m = 0.8 m O x x A =b+(b b)/3=[1.6+(.7 1.6)/3] m = 1.97 m B x M = [(A 1 x A1 )+(A x A )/(A 1 +A )] = [(8 0.8)+(.75 1.97)]m 3 /(8+.75)m = 1.1 m N.B.: Il baricentro di un rettangolo si trova a distanza da ciascun lato pari alla lunghezza del lato adiacente, mentre il baricentro di un triangolo rettangolo si trova a distanza dai lati che formano l angolo retto pari a 1/3 della lunghezza del lato adiacente A 1 36/89

Spinta attiva e passiva Svolgimento: la spinta attiva (calcolata secondo la teoria di Coulomb): y b S A =1/ K A H con : K A cos cos cos 1 In questo caso risulta: = 15 ; = 0 ; = 38 e = arctg(b b)/h = 1.4. ʹ sen cos ʹ sen ʹ cos H x M W S A Quindi: K A cos cos 1.4 cos1.4 5 1 cos 1.4cos 37.4 cos 38 1.4 sen cos 1 5.6 5 38sen 38 15 1.4 5cos1.4 15 sen 63sen(3) 37.4cos.6 cos = 0.38 O B x S A =1/ K A H =½ 19.5 5 0.38 kn/m = 9.6 kn/m Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 37/89

Spinta attiva e passiva Svolgimento: La spinta è inclinata di rispetto alla normale alla parete e quindi di + rispetto all orizzontale e si suppone applicata lungo la parete ad una distanza dalla base del muro pari a 1/3 dell altezza, ovvero nel punto di coordinate: y S =H/3=5/3m= 1.67 m x S =B H/3 tg = (.7 5/3 tg1.4 ) m =.33 m Quindi può essere scomposta in una componente orizzontale: y S AH =S A cos(+) = 9.6 kn/m cos(0+1.4) = 78. kn/m con braccio rispetto a O: y S = 1.67 m ed in una componente verticale: S AV =S A sen(+) = 95.1 kn/m sen(0+1.4) =51kN/m con braccio rispetto a O: x S =.33 m Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 38/89 H O W b x M x S B S A S AH S AV y S x

Spinta attiva e passiva Svolgimento: la forza di attrito agente alla base del muro: T=R V tg b dove R V è la risultante di tutte le componenti verticali delle forze agenti sul muro, ovvero: R V =W+S AV = (68.75 + 51) kn/m = 319.75 kn/m e b è l angolo d attrito tra terreno e base del muro ed in genere si assume: y b = = 0 b Quindi: T=R V tg b = 319.75 kn/m tg 0 = 116.4 kn/m N.B.: Nel caso in cui il terreno di fondazione sia diverso da quello costituente il terrapieno allora b e nel caso in cui sia terreno coesivo, allora deve essere considerato anche il contributo dell adesione (c A ) e la forza corrispondente, che agisce nella stessa direzione e verso di T, e che ad essa si somma: c A B Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 B 39/89 H O x M W x S S A S AH T S AV y S x

Spinta attiva e passiva Svolgimento: Ai fini della traslazione orizzontale del muro verso valle, la risultante delle forze che determinano lo slittamento (orizzontale) è: H SL =S AH = 78. kn/m e la risultante orizzontale delle forze resistenti è: H ST =T= 116.4 kn/m b) il momento risultante rispetto al piede esterno del muro sempre distinguendo tra forze stabilizzanti e instabilizzanti; Ai fini della rotazione (antioraria) del muro rispetto al piede esterno (O), il momento risultante delle forze instabilizzanti è: M RIB,1 =S AH y S = 78. kn/m 1.67 m = 130.6 kn oppure: M RIB, =S AH y S S AV x S = 78. kn/m 1.67 m 51kN/m.33 m = 11.8 kn Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 40/89

Spinta attiva e passiva Svolgimento: e il momento risultante delle forze stabilizzanti vale: M ST,1 =W x M +S AV x S = 68.75 kn/m 1.1 m + 51kN/m.33 m = 414.5kN oppure: M ST, =W x M = 68.75kN/m 1.1 m = 95.6 kn c) Si verifichi la stabilità della fondazione scegliendo la condizione più cautelativa (trascurando o meno la presenza del terrapieno). Ai fini della verifica della capacità portante della fondazione si ipotizza che il terrapieno sia allo stesso livello da entrambi i lati della fondazione (per applicare le formule note) e, per porsi nella condizione più cautelativa, si considera il livello più basso. H y W b x M S A S AH y S Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 B 41/89 O x S S AV T x

Spinta attiva e passiva Svolgimento: Nel caso specifico significa che la profondità del piano di posa vale: D=0 Inoltre si suppone la fondazione nastriforme di larghezza B e il carico trasmesso al terreno sottostante in condizioni di esercizio è dato dalla risultante della spinta attiva e del peso, quindi ha componente orizzontale e verticale rispettivamente: R V =W+S AV = 319.75 kn/m x R e R H =S AH = 78. kn/m con angolo di inclinazione: = arctg(r H /R V ) = arctg(78./319.75) = 13.7 O max R H R V R V x ed è applicata nel punto di ascissa (rispetto al piede esterno O): B x R =M TOT /R V =(M ST M RIB )/R V = (95.6 11.8) kn/319.75kn/m = 0.89 m e l eccentricità rispetto all asse della fondazione vale: e=b/ x R = (.7/ 0.89)m = 0.46 m B/6 CASO LIMITE (sezione interamente reagente) R R 6e V 6e V 1 0 1 max = 39.5 kpa min B B B B 4/89

Svolgimento: Il carico limite è dato da (Vesic, 1975): q c N s d i b g q N s d i lim Essendo: c c il terreno incoerente (c = 0): c c la profondità del piano di posa, D = 0 q=0 d c,d q,d =1 la fondazione nastriforme s c,s q,s =1 c c q q q q b il terrapieno e la fondazione orizzontali: b c,b q,b =1 g c,g q,g =1 l espressione del carico limite diventa: 1 q BʹN i lim q g q 1 B' N Spinta attiva e passiva s d i b g Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 43/89

Spinta attiva e passiva Svolgimento: dove: i fattori di capacità portante valgono: N q tg e tg (45 ) =e tg38 tg (45 +38 /) = 48.9 N Nq 1 tg = (48.9 1) tg38 = 74.8 la larghezza equivalente della fondazione (essendo il carico eccentrico) vale: B = B e =.7 0.46 = 1.78 m il fattore di inclinazione del carico (essendo il carico inclinato con H/V = 78./319.75 = 0.4): Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 B L B 1 L L B L 1 B m1 i = H 1 m ml cos m B sen m B m L V dove è l angolo d inclinazione della proiezione del carico rispetto alla lunghezza della fondazione, ovvero = 90, quindi: m=m B =(perl=+) i =(1 0.4) 3 = 0.44 il peso di volume del terreno di fondazione = 19.5 kn/m 3 (essendo il terreno asciutto) 44/89

Spinta attiva e passiva Svolgimento: Il carico limite vale dunque: 1 q BʹN i lim =½ 19.5 kn/m 3 1.78m 74.8 0.44 = 571. kpa Nel caso in cui il terreno di fondazione sia di tipo coesivo la verifica della capacità portante dovrà essere condotta anche a breve termine e nel caso in cui anche il terreno sostenuto sia di tipo coesivo, le verifiche dovranno essere condotte anche a breve termine, considerando il contributo della spinta attiva calcolata in termini di tensioni totali. Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 45/89

Esercizio 6 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE VERIFICHE DI STABILITÀ Si consideri il muro di sostegno a mensola in c.a. riportato in Figura, che sostiene un terreno costituito da sabbia ghiaiosa incoerente di densità medio alta con angolo di pendio = 0. Il terreno antistante il muro e quello di b 1 =0,5m q k = 10 kpa fondazione hanno le stesse caratteristiche del terreno sostenuto. La superficie di = 0 intradosso della soletta di fondazione del muro è gettata in opera a contatto con il terreno. Il livello di falda è molto al di sotto ʹk = 3 della zona di influenza del muro. Si effettui h=6 m H la verifica geotecnica secondo le normativa italiana previgente (D.M. 11/03/1988) e secondo le Norme Tecniche per le b b 3 b Costruzioni (NTC 08). h 1 =h =0,8 m 0,95 0,7 Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 46/89 B 3,5 k = 0 kn/m 3

Dati: Caratteristiche del muro Altezza del paramento del muro (h) = 6 m Profondità del piano di posa (h 1 ) = 0.8 m Spessore della soletta di fondazione (h ) = 0.8 m Spessore del paramento alla sommità (b 1 ) = 0.5 m Spessore del paramento alla base (b 3 ) = 0.7 m Lunghezza della scarpa posteriore (b ) = 0.95 m Lunghezza della scarpa anteriore (b) = 3.5 m Peso specifico del c.a. ( m )=4kN/m 3 h=6 m b 1 =0,5m b b 3 b Caratteristiche del terrapieno h 1 =h =0,8 m Terreno omogeneo, sabbia (c ) =0kPa B Peso di volume ( k ) = 0 kn/m 3 0,95 0,7 Angolo di resistenza al taglio ( k ) = 3 Angolo d attrito terreno parete ( k = k ) = 3 Profondità della falda (z w ) >> H Sovraccarico (q k ) = 10 kpa Inclinazione del terrapieno rispetto all orizzontale () = 0 q k = 10 kpa = 0 3,5 H ʹk = 3 k = 0 kn/m 3 47/89

Svolgimento: Nel calcolo delle forze che agiscono sul muro per le verifiche di stabilità, si considera : il terreno che grava sulla soletta di fondazione come parte integrante del muro (e quindi contribuisce al suo peso), mentre si trascura a favore di sicurezza il contributo del sovraccarico che agisce su questa porzione di terreno; la superficie verticale che delimita tale terreno come una parete virtuale su cui agisce la spinta attiva (a monte) e la spinta passiva (a valle), purché l ipotetico cuneo di rottura sia compreso entro tale volume di terreno. Si trascura il contributo del sovraccarico agente La larghezza del muro è: B =b +b 3 + b = (0.95 + 0.7 + 3.5)m = 5.15 m /4 La profondità del piano di posa: k / D =h 1 =h = 0.8 m H h L altezza della parete virtuale vale: H =h 1 +h+b tg =(0.8+6+3.5 tg0 ) m = 8.07 m b D b b min =htg(/4 k /) b = 3.5 m b min = 3.3 m Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 48/89 B

Le forze che agiscono sul muro sono: il peso del muro, W (comprendente il terreno che grava sulla soletta a monte) che agisce in direzione verticale ed è applicata nel baricentro del muro la spinta attiva, S A (esercitata dal terreno a monte) che agisce in direzione parallela al pendio in corrispondenza della parete virtuale (non si tiene conto dell attrito parete terreno) ad una distanza dalla base pari a 1/3H la spinta passiva, S P (esercitata dal terreno a valle) che agisce in direzione orizzontale in corrispondenza della parete virtuale (non si tiene conto dell attrito pareteterreno) ad una distanza dalla base pari a 1/3D (si considera qualora risulti almeno D > h ) S P x W W S A z PA O la reazione alla base del muro, R le cui componenti normale e tangenziale alla base del muro valgono: z PP N F N=R V (componente verticale della risultante delle azioni agenti sul muro) T=R V tg k Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 49/89

1. peso del muro, W W* = m (A 1 +A +A 3 +A 4 )+ k (A 5 +A 6 ) A 1 =(b +b 3 ) h = (0.95 + 0.7)m 0.8m = 1.3 m A =b h = 3.5m 0.8m =.8 m A 3 =(b 3 b 1 ) h/ = (0.7 0.5)m 6m/ = 0.6 m A 4 =b 1 h = 0.5m 6m =3m q k = 10 kpa q k 6 = 0 A 8 5 =b h = 3.5m 6m =1m A h 1 =h D =0,8 = hm 1 6 =b (btg/= 3.5m 3.5m tg0 / =.3 m x O B dove ciascun contributo agisce in direzione verticale e il relativo braccio rispetto al piede O vale: x 1 =(b +b 3 )/ = (0.95 + 0.7)/ m = 0.85 m x =x 5 =b +b 3 + b/ = (0.95 + 0.7 + 3.5/) m = 3.4 m x 3 =b +/3(b 3 b 1 ) = 0.95 + /3 (0.7 0.5) m = 1.08 m x 4 =b +(b 3 b 1 )+b 1 / = (0.95 + 0.7 0.5 + 0.5/) m = 1.4 m x 6 =b +b 3 + /3b = (0.95 + 0.7 +/3 3.5) m = 3.98 m *N.B. Nel calcolo del peso del muro, indipendente dallo SLU da verificare e dall approccio e/combinazione adottata, il coefficiente correttivo di k, =1 h h=6 m b 1 =0,5m b 1 3 4 b b 3 b 5 H 7 50/89

il peso del muro W ed il relativo momento M rispetto al piede esterno (O) sono dati dalla somma dei singoli contributi: W 1 = m A 1 = 4kN/m 3 1.3m = 31.68 kn/m M 1 =W 1 x 1 = 31.68kN/m 0.85m = 6.14 kn W = m A = 4kN/m 3.8m = 67.0 kn/m M =W x = 67.kN/m 3.4m = 8.48 kn W 3 = m A 3 = 4kN/m 3 0.6m = 14.40 kn/m M 3 =W 3 x 3 = 14.4kN/m 1.08m = 15.55 kn W 4 = m A 4 = 4kN/m 3 3m = 7.00 kn/m M 4 =W 4 x 4 = 7kN/m 1.4m = 100.80 kn W 5 = k A 5 = 0kN/m 3 1m = 40.00 kn/m M 5 =W 5 x 5 = 40kN/m 3.4m = 148.00 kn W 6 = k A 6 = 0kN/m 3.3m = 44.60 kn/m M 6 =W 6 x 6 = 44.6kN/m 3.98m = 177.51 kn W 6 i1 W i = 649.88 kn/m M w M i 6 i1 = 1976.48 kn ed il relativo braccio rispetto ad O, vale*: x W =M W /W = 3.04 m * N.B. Essendo W verticale, non interessa l ordinata del baricentro 51/89

. la spinta attiva (esercitata dal terrapieno a monte), che agisce sulla parete virtuale (verticale e senza attrito), calcolata con il metodo di Rankine nel caso di terrapieno inclinato* ed inclinata quindi di rispetto all orizzontale; si distinguono, il contributo dovuto al peso proprio del terreno: S A =A 8 = ha (H) H/ = K A,k v0 (H) H/ = 0.5 K A,k k cos H applicato nel punto: x Sa =B=5.15 m z Sa =H/3=.69 m e il contributo dovuto al sovraccarico, (nell ipotesi che esso si propaghi all interno del terreno in modo uniforme come nel caso di terrapieno orizzontale): S Aq =A 7 = ha H=k A,k q k cos H applicato nel punto: x Saq =B=5.15 m z Saq =H/=4.04 m D = h h 1 =h =0,8 m q k = 10 kpa q k 6 = 0 * Il modulo della spinta può essere anche calcolato, a favore di sicurezza, utilizzando la formula di Rankine valida per p.c. orizzontale: h,a =(1 sen )/(1+sen ) z h h=6 m O b 1 =0,5m b 1 b b 3 b 1 3 4 B 5 H S Aq 7 S Aqv S Aqh S A S Av S 8 Ah

3. la spinta passiva (esercitata dal terrapieno a monte), che agisce sulla parete virtuale (verticale e senza attrito), calcolata con il metodo di Rankine nel caso di terrapieno orizzontale e, quindi, orizzontale; essendo in questo caso D = h si trascura, altrimenti se ne considera in genere una frazione pari al 50%. 4. la reazione T (agente lungo la base del muro e in direzione tale da opporsi al suo spostamento): T=R V tg k = (W+ S a,v +S aq,v )tg k Gli stati limite ultimi (SLU) che si considerano si considerano per la verifica/progetto di un muro di sostegno sono i seguenti: EQU (stato limite di corpo rigido) GEO1 (stato limite di scorrimento lungo il piano di posa) GEO (stato limite di collasso per carico limite dell insieme fondazioneterreno) GEO3 (stato limite di equilibrio generale del pendio) STR (stato limite di resistenza della struttura) 53/89

Ai parametri geotecnici di progetto del terreno si applicano i coefficienti parziali M : d =M k / PARAMETRO Tabella 6..II Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE PARZIALE COEFFICIENTE PARZIALE ( M1 ) ( M ) Tangente dell angolo di tan k 1.0 1.5 resistenza al taglio Coesione efficace c k c 1.0 1.5 Resistenza non drenata c uk cu 1.0 1.4 Peso dell unità di volume 1.0 1.0 Alle resistenze geotecniche si applicano i coefficienti parziali R : R d =R k / R Tabella 6.5.I Coefficienti parziali R per le verifiche agli stati limie ultimi STR e GEO dei muri di sostegno VERIFICA COEFFICIENTE PARZIALE (R 1 ) COEFFICIENTE PARZIALE (R ) COEFFICIENTE PARZIALE (R 3 )) Capacità portante della fondazione 1.0 1.0 1.4 Scorrimento 1.0 1.0 1.1 Resistenza del terreno a valle 1.0 1.0 1.4 Tabella 6.8.I Coefficienti parziali per le verifiche di sicurezza di opere di materiali sciolti e di fronti di scavo COEFFICIENTE ( R ) g R 1,15 54/89

Alle azioni si applicano i coefficienti parziali G e Q d = G(Q) E k Tabella 6..I (.6.I) Coefficienti parziali per le azioni o per l effetto delle azioni CARICHI EFFETTO Coefficiente Parziale F (o E) EQU ( A1 ) STR ( A ) GEO Permanenti Permanenti non strutturali Variabili Favorevole 0,9 1,0 1,0 G1 Sfavorevole 1,1 1,3 1,0 Favorevole 0,0 0,0 0,0 G Sfavorevole 1,5 1,5 1,3 Favorevole 0,0 0,0 0,0 Qi Sfavorevole 1,5 1,5 1,3 Nel caso delle opere di sostegno si considerano azioni permanenti strutturali quelle dovute al peso proprio del terreno e del materiale di riempimento, ai sovraccarichi, all acqua, ad eventuali ancoraggi presollecitati, al moto ondoso, ad urti e collisioni, alle variazioni di temperatura e al ghiaccio. Il terreno e l acqua costituiscono carichi permanenti (strutturali) quando, nella modellazione utilizzata, contribuiscono al comportamento dell opera con le loro caratteristiche di peso, resistenza e rigidezza. Il sovraccarico si considera come carico variabile. 55/89

La verifica EQU si esegue secondo una sola copmbinazione di coefficienti: Azioni (EQU) Terreno (M) (azioni sfavorevoli incrementate e favorevoli ridotte) (parametri del terreno ridotti) Le verifica GEO di stabilità globale si esegue secondo una sola combinazione di coefficienti (): Azioni (A) Terreno (M) Resistenza (R) (azioni permanenti invariate e variabili incrementate) (parametri del terreno ridotti) (resistenza ridotta) 56/89

Le restanti verifiche (GEO e STR) si eseguono seguenti combinazioni: secondo almeno una delle Azioni (A1) Terreno (M1) Resistenza (R1) Azioni (A) Terreno (M) Resistenza (R) (azioni permanenti e variabili incrementate) (parametri del terreno invariati) (resistenza invariata) (azioni permanenti invariate e variabili incrementate) (parametri del terreno ridotti) (resistenza invariata) Azioni (A1) Terreno (M1) (azioni permanenti e variabili incrementate) (parametri del terreno invariati) Resistenza (R3)* (resistenza ridotta) *Questa verifica rende superflua la prima (A1+M1+R1), però, se finalizzata al dimensionamento strutturale, R non deve essere tenuto in conto 57/89

1. VERIFICA ALLO STATO LIMITE DI RIBALTAMENTO (EQU) Lo stato limite di ribaltamento non prevede la mobilitazione della resistenza del terreno di fondazione (R d = 0), e deve essere trattato come uno stato limite di equilibrio come corpo rigido (EQU). per le azioni di progetto si utilizzano i coefficienti parziali G sulle azioni (EQU) della Tabella.6.I per i parametri geotecnici di progetto del terreno si utilizzano i coefficienti parziali M (M) della Tabella 6..II. La verifica diventa: E d 0 dove: E d =M RIB,d M ST,d Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 58/89

I coefficienti parziali M da adottare per determinare i parametri geotecnici di progetto del terreno sono: PARAMETRO Tabella 6..II Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE PARZIALE COEFFICIENTE PARZIALE ( M1 ) ( M ) Tangente dell angolo di tan k 1.0 1.5 resistenza al taglio Coesione efficace c k c 1.0 1.5 Resistenza non drenata c uk cu 1.0 1.4 Peso dell unità di volume 1.0 1.0 tg d =tg k / = tg 3 /1.5 = 0.500 d = arctg(tg k / ) = 6.6 d = k / = 0/1 kn/m 3 = k =0kN/m 3 K A, d cos cos cos cos cos' cos' d d = 0.533 Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 59/89

Le azioni che contribuiscono all equilibrio del muro intorno al punto O sono: il peso del muro (azione permanente favorevole) W = 649.88 kn/m x W = 3.04 m la spinta attiva, S A (azione permanente sfavorevole) S A = 0.5 K A,d d cos H = 0.5 0.533 0 kn/m 3 8.07 m cos0 = 36.18 kn/m x Sa = 5.15 m x W z Sa =.69 m la spinta attiva, S Aq (azione variabile sfavorevole) S Aq =K A,d q cos H = 0.533 10 kn/m 8.07m cos0 = 40.4 kn/m x Saq = 5.15 m z Saq = 4.04 m P p O x Sa =x Saq W z Sa S a,q S a z Sa Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 60/89

Le azioni di progetto valgono dunque: W d = G1(fav) W = 0.9 649.88 kn/m = 584.89 kn/m S a d = G1(sfav) S a = 1.1 36.18 kn/m = 358.80 kn/m S aq,d = Q(sfav) S aq = 1.5 40.4 kn/m = 60.63 kn/m Tabella 6..I (.6.I) Coefficienti parziali per le azioni o per l effetto delle azioni CARICHI EFFETTO Coefficiente Parziale F (o E) EQU ( A1 ) STR ( A ) GEO Permanenti Permanenti non strutturali Variabili Favorevole 0,9 1,0 1,0 G1 Sfavorevole 1,1 1,3 1,0 Favorevole 0,0 0,0 0,0 G Sfavorevole 1,5 1,5 1,3 Favorevole 0,0 0,0 0,0 Qi Sfavorevole 1,5 1,5 1,3 Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 61/89

Da cui risulta che: E d =M RIB,d M ST,d =(S a d(h) z Sa +S aq d(h) z Saq S a d(v) x Sa S aq d(v) x Saq ) W d x W = (358.80 cos0.69 + 60.63 cos0 4.04 358.80 sen0 5.15 60.63 sen0 5.15 ) 584.89 3.04 = 1379.71 kn < 0 E d 0 VERIFICA SODDISFATTA Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 6/89

. VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER SCORRIMENTO SUL PIANO DI POSA (GEO1) Lo stato limite di scorrimento prevede la mobilitazione della resistenza del terreno di fondazione lungo il piano di posa (R d >0),edeveesseretrattato come uno stato limite di tipo geotecnico (GEO). per le azioni di progetto si utilizzano i coefficienti parziali G sulle azioni (A1 e/o A) della Tabella.6.I per i parametri geotecnici di progetto del terreno si utilizzano i coefficienti parziali M (M1 e/o M) della Tabella 6..II. per la resistenza di progetto il coefficiente parziale R da adottare è fornito dalla Tabella 6.5.I: Nello stato limite ultimo di collasso per scorrimento, l azione di progetto E d è data dalla componente della risultante delle forze in direzione parallela al piano di scorrimento della fondazione (H), mentre la resistenza di progetto R d è il valore della forza parallela allo piano cui corrisponde lo scorrimento del muro. La verifica diventa: E d R d con: E d =H d R d = 1/ R (V d tg d ) Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 63/89

I coefficienti parziali M da adottare per determinare i parametri geotecnici di progetto del terreno sono: PARAMETRO Tabella 6..II Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE PARZIALE COEFFICIENTE PARZIALE ( M1 ) ( M ) Tangente dell angolo di tan k 1.0 1.5 resistenza al taglio Coesione efficace c k c 1.0 1.5 Resistenza non drenata c uk cu 1.0 1.4 Peso dell unità di volume 1.0 1.0 M1 tg d1 =tg k / = tg 3 /1.00 = 0.65 M tg d =tg k / = tg 36 /1.5 = 0.500 d1 = arctg(tg k / ) = 3 d = arctg(tg k / ) = 6.6 K A,d1 = 0.398 d1 d1 = 3 K A,d = 0.533 d d = 6.6 d1 = d = d = k / = 0/1 kn/m 3 = k =0kN/m 3 Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 64/89

Le azioni che contribuiscono alla verifica sono: la spinta attiva, S A (azione permanente sfavorevole) S A = 0.5 K A,d d cos H la spinta attiva, S Aq (azione variabile sfavorevole) S Aq =K A,d q cos H il peso del muro (azione permanente favorevole) W = 649.88 kn/m Le azioni di progetto valgono dunque: P p S a d = G1(sfav) S a = G1(sfav) (0.5 K A,d d cos H ) S aq,d = Q(sfav) S aq = Q(sfav) (K A,d q cos H) W d = G1(fav) W T W S a,q S a Tabella 6..I (.6.I) Coefficienti parziali per le azioni o per l effetto delle azioni CARICHI EFFETTO Coefficiente Parziale F (o E) EQU ( A1 ) STR ( A ) GEO Permanenti Permanenti non strutturali Variabili Favorevole 0,9 1,0 1,0 G1 Sfavorevole 1,1 1,3 1,0 Favorevole 0,0 0,0 0,0 G Sfavorevole 1,5 1,5 1,3 Favorevole 0,0 0,0 0,0 Qi Sfavorevole 1,5 1,5 1,3 65/89

I coefficienti parziali R da applicare alla resistenza sono: Tabella 6.5.I Coefficienti parziali R per le verifiche agli stati limie ultimi STR e GEO dei muri di sostegno VERIFICA COEFFICIENTE PARZIALE (R 1 ) COEFFICIENTE PARZIALE (R ) COEFFICIENTE PARZIALE (R 3 )) Capacità portante della fondazione 1.0 1.0 1.4 Scorrimento 1.0 1.0 1.1 Resistenza del terreno a valle 1.0 1.0 1.4 da cui risulta: E d =H d =S a d(h) +S aq,d(h) =S a d coss aq,d cos R d = 1/ R (V d tg d ) = 1/ R [W d + S a d(v) + S aq,d(v) ] tg d =1/ R [W d +S a d sen S aq,d sen tg d 66/89

Approccio 1 Combinazione (A + M + R) G1,(sfav) = 1.0 d =0kN/m 3 K A,d = 0.533 R, =1 d = 6.6 G1,(fav) = 1.0 Q,(sfav) = 1.3 S a d = G1(sfav) (0.5 K A,d d cos H ) = (0.5 0.533 cos 8.07 )=36.18 kn/m S aq d = Q(sfav) (K A,d q cos H) = (0.533 10 cos 8.07) = 5.54 kn/m S a d(v) =S a d sen = 36.18 sen = 111.56 kn/m S aq d(v) =S aq d sen = 5.54 sen = 17.97 kn/m W d = 649.88 kn/m S a d(h) =S a d cos = 36.18 cos = 306.51 kn/m S aq d(h) =S aq d cos = 5.54 cos = 49.37 kn/m V d = 779.39 kn/m H d = 355.88 kn/m E d =H d = 355.88 kn/m < 1/ R (V d tg d )=1/ 779.39 tg 6.6 = 390.9 kn/m Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 VERIFICA SODDISFATTA 67/89

Approccio Combinazione (A1 + M1 + R3) G1,1(sfav) = 1.3 d1 =0kN/m 3 K A,d1 = 0.398 R,3 = 1.1 d = 3 G1,1(fav) =1 Q,1(sfav) = 1.5 S a d = G1(sfav) (0.5 K A,d d cos H ) = (0.5 0.398 cos 8.07 )] = 316.64 kn/m S aq d = Q(sfav) (K A,d q cos H) = (0.398 10 cos 8.07) = 45.7 kn/m S a d(v) =S a d sen = 316.64 sen = 108.30 kn/m S aq d(v) =S aq d sen = 45.7 sen = 15.48 kn/m W d = 649.88 kn/m V d = 773.65 kn/m S a d(h) =S a d cos = 316.64 cos = 97.54 kn/m S aq d(h) =S aq d cos = 45.7 cos = 4.54 kn/m H d = 340.08 kn/m E d =H d = 340.08 kn/m < 1/ R (V d tg d )=1/ 773.65 tg 3 = 439.48 kn/m Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 VERIFICA SODDISFATTA 68/89

3. VERIFICA ALLO STATO LIMITE DI COLLASSO PER CARICO LIMITE DELL INSIEME FONDAZIONE TERRENO (GEO) Lo stato limite di collasso dell insieme terreno fondazione prevede la mobilitazione della resistenza del terreno di fondazione (R d >0),edeveessere trattato come uno stato limite di tipo geotecnico (GEO). per le azioni di progetto si utilizzano i coefficienti parziali G sulle azioni (A1 e/o A) della Tabella.6.I per i parametri geotecnici di progetto del terreno si utilizzano i coefficienti parziali M (M1 e/o M) della Tabella 6..II. per la resistenza di progetto il coefficiente parziale R da adottare è fornito dalla Tabella 6.5.I: Nello stato limite di collasso per raggiungimento del carico limite della fondazione, l azione di progetto è la componente della risultante delle forze in direzione normale al piano di posa, V d.laresistenza di progetto è il valore della forza normale al piano di posa a cui corrisponde il raggiungimento del carico limite nei terreni in fondazione (q lim ). La verifica diventa: E d R d con: E d =V d R d = 1/ R q lim Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 69/89

I coefficienti parziali M da adottare per determinare i parametri geotecnici di progetto del terreno sono: PARAMETRO Tabella 6..II Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE PARZIALE COEFFICIENTE PARZIALE ( M1 ) ( M ) Tangente dell angolo di tan k 1.0 1.5 resistenza al taglio Coesione efficace c k c 1.0 1.5 Resistenza non drenata c uk cu 1.0 1.4 Peso dell unità di volume 1.0 1.0 M1 tg d1 =tg k / = tg 3 /1.00 = 0.65 M tg d =tg k / = tg 3 /1.5 = 0.500 d1 = arctg(tg k / ) = 3 d = arctg(tg k / ) = 6.6 K A,d1 = 0.398 d1 d1 = 3 K A,d = 0.533 d d = 6.6 d1 = d = d = k / = 0/1 kn/m 3 = k =0kN/m 3 Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 01/013 70/89