Elementi finiti Parte I

progetto didattica in rete Eementi finiti Parte I A. Gugiotta getto Poitecnico di Torino, maggio 2002 Dipartimento di Meccanica didattica in rete otto editore

ELEMENTI FINITI Parte I A. GUGLIOTTA POLITECNICO DI TORINO WWW.POLITO.IT

INDICE I 1. CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI...1 1.1 ELEMENTI E STRUTTURE... 1 1.2 ANALISI MATRICIALE ED ELEMENTI FINITI... 3 1.3 CARATTERIZZAZIONE DELL'ELEMENTO TRAVE... 4 Eemento trave soecitato assiamente (asta)...5 Eemento trave soecitato a torsione (barra di torsione)...6 Eemento trave soecitato a fessione (trave infessa)...8 1.4 FORMULAZIONE DI RIGIDEZZA... 14 1.5 SIGNIFICATO FISICO DEI COEFFICIENTI DELLA MATRICE DI RIGIDEZZA... 16 1.6 SISTEMI DI RIFERIMENTO LOCALE E GLOBALE... 18 1.7 ELEMENTO TRAVE NEL PIANO... 25 1.8 ELEMENTO TRAVE PER STRUTTURE A GRIGLIA... 27 1.9 ELEMENTO TRAVE NELLO SPAZIO... 31 1.10 CARICHI NODALI EQUIVALENTI... 33 Eemento asta: carico distribuito...33 Eemento asta: effetto termico...34 Eemento asta: montaggio con interferenza o gioco... 34 Eemento asta: carico concentrato...35 Eemento trave infessa: carico distribuito... 36 Eemento trave infessa: gradiente termico... 37 Eemento trave infessa: carichi concentrati...38 Trave ne piano; carichi nodai equivaenti...38 i

2. CARATTERIZZAZIONE DELLA STRUTTURA...43 2.1 VARIABILI ED EQUAZIONI STRUTTURA... 43 2.2 ASSEMBLAGGIO DELLE EQUAZIONI STRUTTURA... 46 2.3 CALCOLO DEGLI SPOSTAMENTI INCOGNITI... 56 2.4 VINCOLI CINEMATICI... 60 Approssimazione con moe... 60 Modifica dea mappa...61 Modifica dea matrice di rigidezza...64 2.5 PROBLEMI PARTICOLARI RELATIVI AI VINCOLI... 66 Vincoi eastici...66 Strutture con cerniere interne...68 2.6 CALCOLO DELLE TENSIONI... 70 2.7 SCHEMA DI RISOLUZIONE... 72 2.8 PROBLEMA DINAMICO: CALCOLO DELLE FREQUENZE PROPRIE... 73 2.9 SOLUZIONE DEL SISTEMA DI EQUAZIONI... 80 Metodi di souzione indiretti: metodo di Gauss-Seide...81 Metodi di souzione diretti: metodo di Gauss... 82 ii

1. CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI 1.1 ELEMENTI E STRUTTURE Una struttura o un suo componente vengono normamente studiati da progettista scomponendoi in parti sempici dee quai sono note e proprietà, tenendo inotre presenti come queste parti siano coegate per formare 'insieme totae. Questa suddivisione può essere effettuata in una maniera che si può definire naturae, come per esempio ne caso di una struttura di acciaio composta di travi unite mediante cerniere o ganasce serrate con buoni; i fatto che a struttura (fig. 1.1) sia scomponibie nei suoi eementi trave (fig. 1.2) sembra ovvio e naturae perché a'operazione matematica de considerare a struttura divisibie ai fini de cacoo strutturae corrisponde a nostra conoscenza pratica de fatto che per arrivare aa struttura si uniscono assieme eementi trave, prodotti singoarmente ed immagazzinabii separatamente. Fig. 1.1 Struttura di travi. Anaogamente, un oeodotto o un metanodotto o una condotta idrauica in acciaio sono ottenuti sadando assieme più tubi, e risuta pertanto naturae pensare tae struttura come un insieme di eementi tubi. 1

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI Fig. 1.2 Eemento trave. Quando però i singoi tubi sono uniti 'uno a'atro mediante una sadatura che ricostituisca competamente a continuità meccanica a suddivisione naturae in eementi perde senso: un tae sistema tubiero potrebbe venir diviso in eementi sia eseguendo ideamente tagi in corrispondenza dee sadature sia immaginando di tagiare in punti nei quai una giunzione in reatà non esiste. Ne secondo caso a divisione in eementi dea struttura è meno naturae e più arbitraria, ed ha sostanziamente un carattere o convenzionae o di convenienza. Le proprietà dea struttura cacoata dopo a sua divisione in eementi sono comunque invarianti a variare de tipo di suddivisione. Avanzando ne iveo di astrazione, si può immaginare di avere un organo meccanico di forma sempice, come un disco di turbina (fig. 1.3); anche un tae oggetto può, per i progettista, essere una struttura composta di eementi opportuni. Fig. 1.3 Disco di turbina. È naturae forse considerare i mozzo estendentesi da raggio r a a raggio r b e a corona estendentesi da raggio r c a raggio r d come eementi distinti da resto de disco a profio conico (fig. 1.4). Ragionando però sua parte a sezione conica, si ammetta di scoprire che e eggi matematiche che ne definiscono e proprietà siano troppo difficii (cioè praticamente indesiderabii) da scrivere; si immagini inotre che tai eggi siano facii da scrivere, magari in maniera accettabimente approssimata, per un eemento di estensione radiae opportuna r. Ne segue una suddivisione convenzionae ed arbitraria de disco conico in più eementi, come iustrato in figura 1.4c. 2

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI Con opportune cautee 'insieme degi eementi così definiti può simuare in modo soddisfacente e proprietà dea struttura originaria. A questo proposito è bene aver chiaro che si hanno due casi fondamentai: a caratterizzazione de'eemento è esatta a caratterizzazione de'eemento è approssimata Fig. 1.4 Eementi di un disco di turbina. Ne primo caso quaunque sia a suddivisione dea struttura in eementi, i risutati devono essere sempre gi stessi, rigorosamente; pertanto i tipo di suddivisione in eementi deve soddisfare soo esigenze di comodità. Ne secondo caso invece a sceta de tipo di suddivisione infuenza i risutati, dato che a souzione compessiva per 'intera struttura dipende dae approssimazioni contenute nee eggi che caratterizzano i singoi eementi: in questo caso i tipo di suddivisione deve essere esaminato anche aa uce dea approssimazione dei risutati, in un compromesso ragionato con 'economia de cacoo. 1.2 ANALISI MATRICIALE ED ELEMENTI FINITI La sistematizzazione dee reazioni matematiche descriventi una struttura può essere eseguita in diversi modi; esempi cassici sono i metodo dee differenze finite, i metodo di trasferimento, metodi variazionai come i metodo di Ritz. Sebbene i metodo degi eementi finiti abbia in comune acune caratteristiche con i metodi precedentemente iustrati, esso è indubbiamente diventato uno dei più utiizzati dagi ingegneri. Lo sviuppo de metodo degi eementi finiti è coinciso essenziamente con o sviuppo dei cacoatori eettronici, anche se e sue basi matematiche si possono far risaire ad anni addietro (Courant, 1943); importanti contributi si possono trovare nei avori di Turner, Cough, Martin e Topp (1956), Argyris (1960), ecc. 3

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI Iniziamente i metodo fu sviuppato per 'anaisi di probemi di meccanica strutturae; fu tuttavia ben presto scoperto che i metodo aveva una vaidità ben più generae ed è ad oggi appicato aa souzione di una gran varietà di probemi. Tuttavia in questo testo ci si occuperà unicamente de cacoo deo stato di tensione in eementi e strutture, quai quee che si trovano ordinariamente ne campo d'azione de costruttore di macchinari o de progettista strutturae. Una dee formuazioni più utiizzate ne'anaisi strutturae è quea che si basa sugi spostamenti assegnati: essa può essere iniziamente vista come un'estensione de'anaisi matriciae dee strutture formate da barre e/o travi (anaisi con i metodo degi spostamenti). Anaogamente a metodo degi eementi finiti, 'anaisi matriciae dee strutture sarà qui considerata nee sue due fasi distinte: a caratterizzazione degi eementi, cioè a descrizione matematica dea oro cimatica in reazione ae oro condizioni di equiibrio e di deformazione a costruzione dea struttura, cioè a formuazione matematica dee equazioni che esprimono 'appartenenza de'eemento ad una data struttura, e a souzione de sistema di equazioni Nee pagine che seguono si adotterà a seguente convenzione: tutte e variabii che servono a definire i comportamento de singoo eemento, indipendentemente daa sua appartenenza ad una struttura, vengono indicate con ettere minuscoe tutte e variabii che servono a definire i comportamento dei punti (nodi) dea struttura in cui gi eementi si uniscono, vengono indicate con ettere maiuscoe 1.3 CARATTERIZZAZIONE DELL'ELEMENTO TRAVE Per eemento trave si intende un eemento, ad asse iniziamente rettiineo, individuato dai due estremi (nodi) 1 e 2 attraverso i quai 'eemento scambia e azioni con 'esterno (fig. 1.5). Fig. 1.5 Eemento trave. 4

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI A'eemento trave è associato un sistema di riferimento ocae (x, y, z) in cui 'asse x coincide con 'asse de'eemento ed è diretto da nodo 1 a nodo 2; gi assi y e sono perpendicoari a'asse x e coincidono con e direzioni principai d'inerzia dea sezione retta dea trave. L'eemento trave può comportarsi, in base ai carichi a cui è soggetto, come: 1. asta, o puntone-tirante, se soecitato da soi carichi assiai 2. barra di torsione, se soecitato da soo momento torcente 3. trave infessa, se soecitato da soi sforzi di tagio e/o momenti fettenti Verranno qui ricavate e formuazioni di rigidezza de'eemento trave, nee sue possibii configurazioni di base, a partire dae equazioni di equiibrio e di deformazione. 1.3.1 Eemento trave soecitato assiamente (asta) Per anaizzare i suo comportamento basterà studiare i soi spostamenti u secondo a direzione de'asse x, dato che dopo deformazione 'asse rimane rettiineo (fig. 1.6). Fig. 1.6 Eemento asta. Dette f u1 e f u2 e risutanti dee distribuzioni di forze che da'esterno vengono appicate agi estremi de'eemento e u 1 e u 2 gi spostamenti dei nodi, 'eemento asta è caratterizzato da una equazione di equiibrio: f u1 f u2 0 1.1 e da'equazione differenziae: du ----- dx f ------ u EA 1.2 avendo indicato con u o spostamento assiae dea trave, f u a forza assiae agente nea generica sezione dea trave, E i moduo eastico ongitudinae e con A 'area dea sezione retta dea trave. La 1.2, integrata sua unghezza de'eemento fornisce, supponendo costanti a forza assiae e 'area dea sezione retta: 5

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI u 2 u 1 ------ f EA u2 Le equazioni 1.1 e 1.3 forniscono tutte e informazioni necessarie a definire i comportamento statico de'eemento asta, da punto di vista de suo contorno (cioè i nodi); queste equazioni possono essere riscritte in forma matriciae: 1.3 0 0 1 1 Ïu 1 1 1 Ì Ó u 2 ý þ 0 ------ EA Ï Ì Ó f u1 f u2 þ ý 1.4 Motipicando a prima riga per -/EA, sommando aa seconda e sostituendo a posto dea prima: 1 1 1 1 Ï Ì Ó u 1 u 2 ý þ ------ EA 1 0 ------ EA Ï Ì Ó f u1 f u2 ý þ 1.5 da cui: EA ------ 1 1 1 1 u 1 Ï Ïf u1 Ì ý Ì ý Ó þ Ó f u2þ u 2 1.6 ovvero: [ k ]{ s } { f } detta formuazione di rigidezza, dove: 1.7 [ k ] EA ------ 1 1 1 1 1.8 { s } T { u 1 u 2 } T { f } { } f u1 f u2 1.9 1.10 1.3.2 Eemento trave soecitato a torsione (barra di torsione) L'eemento barra di torsione è formamente anaogo a'eemento asta visto a paragrafo 1.3.1. 6

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI Si tratta di un eemento ad asse rettiineo capace di resistere a soi momenti torcenti (fig. 1.7). Fig. 1.7 Eemento barra di torsione. Detti m x1 e m x2 i momenti torcenti appicati ai nodi 1 e 2 de'eemento e x1 e x2 gi angoi di rotazione dee sezioni di estremità, 'eemento barra di torsione è caratterizzato da una equazione di equiibrio: m x1 m x2 0 e da'equazione differenziae: 1.11 d ----- dx m x ------- GJ x 1.12 avendo indicato con x a rotazione assiae dea trave; m x i momento torcente agente nea generica sezione dea trave; G i moduo eastico di tagio; J x i momento d'inerzia poare rispetto a'asse dea trave. La 1.12, integrata sua unghezza dea barra, fornisce, supponendo costanti i momento torcente e e caratteristiche geometriche dea barra: x2 x1 ------- m GJ x2 x Le 1.11 e 1.13 scritte in forma matriciae sono: 1.13 0 0 1 1 Ï Ì Ó x1 x2 ý þ 1 1 0 ------- GJ x Ï Ì Ó m x1 m x2 ý þ 1.14 La formuazione di rigidezza, ottenuta con un procedimento anaogo a queo utiizzato per 'eemento asta, è: GJ ------- x 1 1 1 1 x1 Ï Ïm x1 Ì ý Ì ý Ó þ Ó m x2þ x2 1.15 7

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI 1.3.3 Eemento trave soecitato a fessione (trave infessa) Si considerano soo carichi e vincoi agenti ortogonamente aa inea d'asse (fig. 1.8) in modo che gi spostamenti dei punti dea struttura avvengano in direzione ortogonae a'asse indeformato (entro i imiti di approssimazione dea teoria dee travi infesse); nea configurazione deformata a struttura resta quindi descrivibie in funzione dea soa coordinata misurata sua inea d'asse indeformata. Si trascureranno inotre, ameno iniziamente, e deformazioni dovute a tagio. Fig. 1.8 Eemento trave infessa. Siano v 1 e z1 a freccia e a rotazione misurate a nodo 1, v 2 e z2 a freccia e a rotazione a nodo 2; siano inotre f v1 e m z1 a forza ed i momento che da'esterno vengono appicati a'eemento ne nodo 1, e f v2 e m z2 a forza ed i momento appicati da'esterno a nodo 2. Le variabii da considerare sono ora e quattro variabii cinematiche (spostamenti e rotazioni) v 1, z1, v 2, z2 misurabii ai nodi, ed i quattro carichi f v1, m z1, f v2, m z2 che da'esterno vengono appicati nei nodi de'eemento. Le reazioni che egano fra di oro queste otto variabii sono quattro; due dee quattro reazioni cercate sono e equazioni di equiibrio. L'equazione di equiibrio aa trasazione è: f v1 f v2 0 1.16 e quea di equiibrio aa rotazione rispetto ad un punto sceto, per sempicità, coincidente con i nodo 2: f v1 m z1 m z2 0 1.17 Le rimanenti due equazioni sono reazioni che esprimono spostamenti e rotazioni reative degi estremi in funzione di forze e momenti; esse vengono ricavate da'equazione differenziae: 8

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI d ----- dx m z EJ ------- z 1.18 avendo indicato con z a rotazione dea sezione retta dea trave; m z i momento fettente nea generica sezione dea trave; E i moduo eastico ongitudinae; J z i momento d'inerzia trasversae. Esprimendo m z, momento in una sezione generica, in funzione di f v1 e m z1, e integrando sua unghezza de'eemento si ottengono e reazioni: z2 z1 -------m EJ z1 ----------- 2 f z 2EJ v1 z 1.19 v 2 v 1 z1 2 ----------- m 2EJ z1 ----------- 3 f z 6EJ v1 z 1.20 Le quattro equazioni formano perciò i seguente sistema: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 Ï v 1 z1 Ì ý v 2 Ó z2 þ 1 0 1 0 1 0 1 2 ---------- ------- 2EJ z EJ z 0 0 3 ---------- ---------- 2 6EJ z 2EJ z 0 0 Ï f v1 m z1 Ì ý f v2 Ó m z2 þ 1.21 ovvero: [ a ]{ s } [ b ]{ f } dove {s} e { f } sono rispettivamente i vettori degi spostamenti e dee forze: 1.22 { s } T { v 1 z1 v 2 z2 } 1.23 { f } T { f v1 m z1 f v2 m z2 } 1.24 e [a] e [b] sono matrici di ordine 4x4 che premotipicano rispettivamente i vettore degi spostamenti ed i vettore dee forze. Si noti che a matrice [b] non è singoare, mentre a matrice [a] o è due vote, cioè in un numero pari ai gradi di ibertà di moto rigido de'eemento; nee 1.5 e 1.14 si verificava una situazione anaoga, caratterizzata da una soa singoarità. La scrittura di rigidezza viene ricavata premotipicando ambo i membri dea 1.22 per 'inversa dea matrice [b]. A cacoi effettuati si ottiene: 9

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI EJ z 12 ----- 3 6 ---- 2 12 ----- 3 6 ---- 2 6 ---- 2 4 -- 6 ---- 2 2 -- 12 ----- 3 6 ---- 2 12 ----- 3 6 ---- 2 6 ---- 2 2 -- 6 ---- 2 4 -- v 1 Ï Ï f v1 z1 m z1 Ì ý Ì ý v 2 f v2 Ó þ Ó þ z2 m z2 1.25 Effetto de tagio L'equazione dea inea eastica 1.20 tiene conto sotanto dea deformazione prodotta da momento fettente e non di quea prodotta dao sforzo di tagio; ne caso di travi snee ciò non produce un errore sensibie, perché a seconda è moto piccoa rispetto aa prima. Tuttavia ne caso di travi tozze, in cui i rapporto tra unghezza e atezza dea sezione è piccoo, 'effetto de tagio non risuta più trascurabie; ne'equazione differenziae dea inea eastica bisognerà sommare a contributo de momento fettente queo dovuto ao sforzo di tagio. Lo spostamento di un punto dea trave sarà dato daa somma deo spostamento v m dovuto a momento fettente e deo spostamento v t dovuto a tagio (fig. 1.9): Fig. 1.9 Effetto de tagio sua inea eastica. 10

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI v v m v t 1.26 Se y rappresenta a deformazione media dovuta a tagio, a reazione che ega a rotazione z dea sezione e a pendenza v x de'asse neutro è: dv ---- dx z y e a deformazione y è data da: 1.27 y f v2 f y ------- v1 GA y ------- GA 1.28 dove c y è i fattore di tagio dea sezione in direzione de'asse y. La 1.19, scritta tra 'estremo 1 e a generica sezione a ascissa x diviene aora: z z1 x x 2 ------- m EJ z1 ----------- f z 2EJ v1 z 1.29 sostituendo per z a 1.27: dv dx ---- y z1 x x 2 ------- m EJ z1 ----------- f z 2EJ v1 z 1.30 e a 1.28 a posto di y e integrando sua unghezza dea trave, a 1.20 diviene: v 2 v 1 z1 ----------- 2 m 2EJ z1 z 3 ----------- y f 6EJ v1 ------- f z GA v1 1.31 Le equazioni risoutive 1.21 diventano quindi: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 Ï v 1 z1 Ì ý v 2 Ó z2 þ 1 0 1 0 1 0 1 2 ----------- -------- 2EJ z EJ z 0 0 3 y ----------- ------- ----------- 2 6EJ z GA 2EJ z 0 0 Ï f v1 m z1 Ì ý f v2 Óm z2 þ 1.32 e a matrice di rigidezza: 11

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI EJ ---------------- z 1 y 12 ----- 3 6 ---- 2 12 ----- 3 6 ---- 2 6 ---- 2 4 y ---------------- 6 ---- 2 2 y ---------------- 12 ----- 3 6 ---- 2 12 ----- 3 6 ---- 2 6 ---- 2 2 y ---------------- 6 ---- 2 4 y ---------------- Ï v 1 Ï f v1 z1 m z1 Ì ý Ì ý v 2 f v2 Ó z2 þ Óm z2 þ 1.33 dove y vae: 12EJ z y ------------- GA 2 La tabea 1.1 riporta i vaori dei fattori di tagio per i casi più frequenti. 1.34 12

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI Tab. 1.1 Fattori di tagio per acune forme di sezione di travi infesse, da Cowper G.R., The Shear Coefficient in Timoshenko's Beam Theory, Journ. of App. Mech., giugno 1966, p. 335-340 7 6 --------------------- 61 ( ) m b a ( 7 6 )( 1 m ) 2 4m( 5 3 ) ----------------------------------------------------------------------------------- 61 ( )( 1 m 2 ) 2 12 11 ------------------------ 10( 1 ) 40 37 m( 16 10 ) m 2 --------------------------------------------------------------------------------- 12( 1 )( 3 m ) m b a 4 3 --------------------- 21 ( ) 48 39 ------------------------ 20( 1 ) pq 10n 2 [ m( 3 ) 3m 2 ] ----------------------------------------------------------------------------------- 10( 1 )( 1 3m ) 2 m bs b hs a n b h p q 30n 2 m( 1 m ) 5n 2 m( 8 9m ) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10( 1 )( 1 3m ) 2 m 2bs b hs a n b h p q --------------------------------------------------- 10( 1 )( 1 3m ) 2 m 2 A s hs p' q' 30n 2 m( 1 m ) 10n 2 m( 45mm 2 ) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10( 1 )( 1 3m ) 2 m bs b hs a n b h p 12 72m 150m 2 90m 3 p' 12 96m 276m 2 192m 3 q 11 66m 135m 2 90m 3 q' 11 88m 248m 2 216m 3 13

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI 1.4 FORMULAZIONE DI RIGIDEZZA Nei paragrafi precedenti si è visto che un eemento è caratterizzato da un numero n di equazioni pari a numero di gradi di ibertà cinematici (numero degi spostamenti e/o rotazioni definiti ai nodi de'eemento). Le n equazioni compessive, dee quai L sono di equiibrio, egano fra di oro 2n variabii: n forze generaizzate ed n spostamenti generaizzati; nee L equazioni di equiibrio non compaiono ovviamente spostamenti generaizzati. Dette n equazioni che caratterizzano 'eemento possono essere ordinate in modi differenti; in particoare si può pensare di separare a primo membro tutti gi spostamenti generaizzati ed a secondo membro tutte e forze generaizzate. In notazione matriciae: [ a ]{ s } [ b ]{ f } 1.35 Se 'eemento non è infinitamente rigido, nessuna dee equazioni è priva di forze generaizzate, e pertanto nessuna riga in [ b] è nua. Inotre, poiché e equazioni sono indipendenti, esiste 'inversa dea matrice [b]; premotipicando ambo i membri dea 1.35 per [b] 1 : [ b ] 1[ a ]{ s } [ b ] 1[ b ]{ f } 1.36 e quindi per a definizione stessa di matrice inversa: [ b ] 1[ a ]{ s } [ I ]{ f } 1.37 La 1.37 è una scrittura di rigidezza, in quanto e forze generaizzate compaiono isoate, ovvero sono espresse in funzione espicita degi spostamenti. Posto: [ k ] [ b ] 1[ a ] 1.38 a 1.37 si scrive: [ k ]{ s } { f } 1.39 La matrice [k] è detta di rigidezza in quanto ad un aumento de vaore dei suoi coefficienti corrisponde un aumento dea rigidezza de'eemento; infatti a parità spostamento {s } vaori di [k] crescenti impicano forze { f } crescenti. Un'atra possibie scrittura dee equazioni 1.35 è quea detta di deformabiità. Se i gradi di ibertà di moto rigido L sono zero, aora nessuna dee righe dea matrice [a] è zero, e pertanto esiste 'inversa [a] 1 ; premotipicando per essa ambo i membri dea 1.35, si ottiene: { s } [ a ] 1[ b ]{ f } 1.40 Posto: [ d ] [ a ] 1[ b ] 1.41 14

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI a 1.40 diviene: { s } [ d ]{ f } 1.42 La matrice [d ] è detta di deformabiità in quanto ad un aumento de vaore dei suoi coefficienti corrisponde un aumento dea deformabiità de'eemento; infatti a parità di forza { f } vaori di [d ] crescenti impicano spostamenti {s} crescenti. Ne'ambito de cacoo strutturae è sempre possibie ottenere a formuazione di rigidezza, ma non di ottenere quea di deformabiità, a parte i caso di acuni eementi particoari nei quai sono già posti vincoi addizionai che eiminano i gradi di ibertà di moto rigido. Può essere utie esaminare da un punto di vista fisico i caso degi eementi aventi gradi di ibertà di moto rigido: se esistesse a scrittura di deformabiità 1.42 si potrebbe pensare di inserire in { f } forze arbitrarie e quindi ottenere gi spostamenti; ciò sarebbe assurdo in quanto a 1.42 contiene e equazioni di equiibrio che egano fra di oro e forze generaizzate, e quai pertanto non possono essere assegnate arbitrariamente ponendo eventuamente nea 1.42 dei carichi equiibrati, si otterrebbero come souzione gi spostamenti; ciò è assurdo in quanto assegnati i carichi agi estremi, non esiste una ed una soa souzione per i vaori degi spostamenti bensì infinite e differenti fra di oro per una trasazione e/o rotazione rigida ESEMPIO 1.1 Nei casi de'eemento trave soecitato assiamente, soecitato a torsione e soecitato a fessione, a 1.35 è data rispettivamente dae 1.4, 1.14 e 1.21. 0 0 Ïu 1 1 1 Ï f u1 Ì ý 1 1 Óu Ì 2 þ 0 ------ Ó f ý u2þ EA 1.43 0 0 1 1 Ï x1 Ì Ó ý x 2þ 1 1 Ï m x1 Ì 0 -------- m ý GJ Ó x2þ x 1.44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 Ï v 1 z1 Ì ý v 2 Ó z2 þ 1 0 1 0 1 0 1 2 ----------- -------- 2EJ z EJ z 0 0 3 ----------- ----------- 2 6EJ z 2EJ z 0 0 Ï f v1 m z1 Ì ý f v2 Óm z2 þ 1.45 15

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI e singoe coonne godono di una interpretazione fisica. La prima coonna, ad esempio, fornisce, motipicata per v 1, forze e momenti che da'esterno devono essere esercitati affiancassi abbia i soo spostamento v 1 e tutti gi atri nui. La prima coonna cioè fornisce e reazioni vincoari nea configurazione dea figura 1.10. Anaogamente a seconda coonna, motipicata per z1, a terza motipicata per v 2 e a quarta motipicata per z2 forniscono e reazioni vinco- Si nota che a matrice [ b ] non è mai singoare, mentre a matrice [ a ] è singoare 1 vota nei casi de'eemento asta e de'eemento barra di torsione e 2 vote ne caso de'eemento trave infessa. Infatti nei primi due casi 'eemento possiede un grado di ibertà L di moto rigido (trasazione secondo asse x i primo, rotazione attorno 'asse x i secondo); ne terzo caso 'eemento possiede 2 gradi di ibertà L di moto rigido (trasazione secondo 'asse y e rotazione attorno 'asse z). 1.5 SIGNIFICATO FISICO DEI COEFFICIENTI DELLA MATRICE DI RIGIDEZZA Ne metodo di rigidezza e equazioni che caratterizzano 'eemento vengono combinate inearmente in modo da espicitare i carichi. Si hanno così per 'eemento generico espressioni de tipo: [ k ]{ s } { f } 1.46 dove [k] è a matrice di rigidezza de'eemento; {s} i vettore degi spostamenti generaizzati de'eemento; { f } i vettore dei carichi generaizzati de'eemento. La matrice di rigidezza può essere determinata o direttamente mediante i principio dei avori virtuai oppure mediante combinazioni ineari a partire dae equazioni di equiibrio e deformazione. Per acuni eementi si potrebbe anche pensare di determinare a matrice di rigidezza per via sperimentae. Riferendosi a'eemento trave infessa si dimostrerà come, a partire dae equazioni che esprimono spostamenti e rotazioni di una trave e dae equazioni di equiibrio, sia possibie egare i quattro spostamenti e rotazioni misurabii a'estremo dea trave stessa con e forze ed i momenti esercitati da'esterno sua trave in tai estremi, avendo misurato in particoare sia gi spostamenti e e rotazioni sia e forze ed i momenti secondo un unico sistema di riferimento opportunamente sceto. Nea scrittura di rigidezza dea trave: a b a b b c b d a b a b b d b c v 1 Ï Ï f v1 z1 m z1 Ì ý Ì ý v 2 f v2 Ó þ Ó þ z2 m z2 1.47 16

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI ari nee configurazioni dee figure 1.11, 1.12, 1.13. Fig. 1.10 Prima coonna dea matrice di rigidezza dea trave infessa. Fig. 1.11 Seconda coonna dea matrice di rigidezza dea trave infessa. Fig. 1.12 Terza coonna dea matrice di rigidezza dea trave infessa. 17

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI Fig. 1.13 Quarta coonna dea matrice di rigidezza dea trave infessa. Sovrapponendo i quattro stati di deformazione distinti definiti nee figure da 1.10 a 1.13 si può ottenere uno stato di deformazione quasiasi. Si può pensare quindi di ottenere a matrice di rigidezza coonna per coonna, cioè imponendo ad ogni variabie cinematica nodae una variazione unitaria e determinando forze e momenti nodai necessari a produra. Queste considerazioni esempificative, vaide per travi infesse, si estendono naturamente a quasiasi atro tipo di eemento. 1.6 SISTEMI DI RIFERIMENTO LOCALE E GLOBALE Ne definire e equazioni che egano tra oro e variabii cinematiche e statiche di un eemento può essere conveniente, per una maggior sempicità de cacoo, utiizzare un particoare sistema di riferimento. Questo particoare sistema di riferimento verrà detto ocae in quanto è strettamente connesso a'eemento di cui si sono definite e proprietà. Pertanto e componenti dee variabii cinematiche generaizzate (spostamenti, rotazioni) e quee dee variabii statiche generaizzate (forze e momenti) verranno espresse secondo gi assi di tae riferimento. Fig. 1.14 Eemento trave ne piano. 18

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI Un esempio sempice di un siffatto sistema di riferimento si ha ne caso dea trave ne piano; è noto che a forma dee equazioni che egano i carichi agi spostamenti risuta più sempice se si adotta un sistema di riferimento ocae in cui 'asse x coincide con 'asse geometrico e 'asse y è ad esso ortogonae. Con riferimento aa figura 1.14, si indicano con u gi spostamenti secondo x, con v gi spostamenti secondo y e con z e rotazioni (dette rotazioni possono pensarsi come un vettore ortogonae a piano xy); anaogamente si avranno forze f u, f v, m z. Quando poi si considera una struttura, in generae composta da più eementi variamente orientati ne piano o neo spazio, occorre esprimere tutti gi spostamenti generaizzati e tutte e forze generaizzate in un unico sistema di riferimento, atrimenti non si potrebbero scrivere e equazioni scaari che i egano. Fig. 1.15 Sistemi di riferimento ocae e gobae. Occorre quindi effettuare un cambiamento di riferimento per passare da sistema cartesiano ocae x,y,z a sistema cartesiano gobae X,Y,Z vaido per tutta a struttura. Dato che un cambiamento di riferimento è una trasformazione ineare, 'insieme di tutti gi spostamenti generaizzati { s x } ne sistema ocae x,y,z (fig. 1.15): T { s } x { u x, v x, w x } 1.48 è egato a'insieme dee stesse variabii {s X } ne sistema gobae X,Y,Z: T { s } X { u X, v X, w X } 1.49 dae reazioni ineari: 19

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI u x 1 u X m 1 v X n 1 w X v x 2 u X m 2 v X n 2 w X w x 3 u X m 3 v X n 3 w X 1.50 dove ( 1, m 1, n 1 ), ( 2, m 2, n 2 ), ( 3, m 3, n 3 ), sono rispettivamente i coseni direttori degi assi x,y,z rispetto agi assi de sistema di riferimento gobae X,Y,Z. Vagono e reazioni: 2 i m 2 i n 2 i 1 ( i 123,, ) 1.51 e: i j m i m j n i n j 0 In notazione matriciae a 1.50 è: { s } x [ R ]{ s } X e a matrice di rotazione [R] è data da: Ïi 123,, Ì i j Ój 123,, 1.52 1.53 [ R ] 1 m 1 n 1 2 m 2 n 2 3 m 3 n 3 1.54 Anaoga trasformazione permette di egare i vettore dei carichi { f } x a { f } X. Ovviamente esiste anche a trasformazione inversa dea 1.53: La matrice di rotazione [R] è una matrice ortogonae dato che [ R ][ R ] T [ I ]; ne segue che: per cui: { s } X [ R ] 1{ s } x [ R ] 1 [ R ] T { s } X [ R ] T { s } x [ R ] T [ R ] 1.55 1.56 1.57 Ne caso bidimensionae (strutture piane) si rendono necessarie e trasformazioni in un soo piano, generamente coincidente con i piano x,y. In questo caso a matrice di rotazione assume a forma: 20

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI [ R ] 1 m 1 0 2 m 2 0 0 0 1 1.58 ESEMPIO 1.2 Con riferimento aa trave infessa di figura 1.14 e riportata in una posizione generica ne sistema di riferimento gobae XY, di figura 1.16, i coseni direttori ( 1, m 1, n 1 ), ( 2, m 2, n 2 ) sono dati da: 1 cos m 1 cos ( 90 ) sin 2 cos ( 90 ) sin m 2 cos 1.59 Fig. 1.16 Sistemi di riferimento ocae e gobae. I vettore degi spostamenti a'estremo 2 si trasforma secondo a egge: Ï u 2 Ì v 2 ý Ó z2 þx cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 Ï u 2 Ì v 2 ý Ó z2 þx 1.60 Uguae reazione vae per u 1, v 1, a z1 a'atro estremo 1; considerando separatamente 'estremo 1 da'estremo 2, si ha: { s 1 } x [ R 1 ]{ s 1 } X { s 2 } x [ R 2 ]{ s 2 } X 1.61 Ï{ s 1 } Ì ý Ó { s 2 } þx [ R 1 ] 0 0 [ R 2 ] Ï{ s 1 } Ì ý Ó { s 2 } þx 1.62 21

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI che sinteticamente può scriversi: { s } x [ R ]{ s } X 1.63 Espicitando: Ï u 1 v 1 z1 Ì ý u 2 v 2 Ó z2 þx cos sin 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 Ï u 1 v 1 z1 Ì ý u 2 v 2 Ó z2 þx 1.64 Anaogamente per e trasformazioni riguardanti i carichi: Ï f u1 f v1 m z1 Ì ý f u2 f v2 Óm z2 þx cos sin 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 Ï f u1 f v1 m z1 Ì ý f u2 f v2 Óm z2 þx 1.65 Sostituendo e variabii eemento espresse ne sistema gobae nee equazioni eemento, si caratterizza 'eemento ruotato in una posizione quasiasi (fig. 1.16). Si noti che anche dopo a rotazione ne sistema di riferimento gobae XYZ,, sono state mantenute per spostamenti e forze e ettere minuscoe; ciò ao scopo di ricordare che si tratta ancora di variabii eemento. La matrice di rigidezza de'eemento scritta ne sistema di riferimento gobae viene quindi ottenuta a partire daa scrittura di rigidezza per 'eemento ne sistema di riferimento ocae associato a'eemento stesso: [ k ] x { s } x f } { x 1.66 e dae reazioni che permettono di ottenere sia e componenti degi spostamenti generaizzati sia dee forze generaizzate ne sistema di riferimento ocae note quee ne sistema di riferimento gobae: { s } x [ R ]{ s } X 1.67 { f } x [ R ]{ f } X Sostituendo e 1.67 e a 1.68 nea 1.66 si ha: [ k ] x [ R ]{ s } X [ R ] f } { X 1.68 1.69 22

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI e, premotipicando ambo i membri per [R] 1 : ovvero: [ R ] 1[ k ] x [ R ]{ s } X f } [ k ] X { s } X f } { X { X 1.70 1.71 in cui [k] X, matrice di rigidezza riferita a sistema di riferimento gobae X,Y, vae: [ k ] X [ R ] 1[ k ] x [ R ] 1.72 ovvero, daa 1.56: [ k ] X [ R ] T [ k ] x [ R ] 1.73 ESEMPIO 1.3 Ricavare, ne sistema di riferimento gobae XY,, a matrice di rigidezza per 'eemento asta comunque orientato ne piano. Fig. 1.17 Eemento asta ne piano. L'eemento asta può resistere a soi sforzi assiai, ma ne caso piano esso può trasmettere, attraverso i nodi che si comportano da cerniere, forze aventi componenti secondo gi assi gobai X e Y. Lo spostamento di ciascun nodo de'eemento asta ne piano è quindi definito da una trasazione secondo 'asse X ed una secondo 'asse Y, ovvero, ne sistema di riferimento ocae, da una trasazione assiae u e da una trasazione verticae v. Da momento che 'eemento asta può essere soecitato da soi sforzi assiai, diretti cioè secondo 'asse ocae x, una trasazione verticae v non produrrà nessuna tensione ne'eemento e quindi i corrispondente termine dea matrice di rigidezza dovrà essere uguae a zero. 23

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI La notazione di rigidezza 1.8 per asta diventa, sempre ne sistema di riferimento ocae xy, : EA ------ 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 Ïu 1 Ïf u1 v 1 f v1 Ì ý Ì ý u 2 f u2 Óv 2 þ Óf v2 þ 1.74 Le matrici di rotazione [ R 1 ],[ R 2 ] sono: [ R 1 ] [ R 2 ] cos sin sin cos 1.75 e a matrice di rotazione [ R ] è: [ R ] cos sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos 1.76 Appicando a 1.73, a matrice di rigidezza de'eemento asta ne sistema di riferimento gobae XY, risuta: EA [ k ] X ------ c 2 cs c 2 cs cs s 2 cs s 2 c 2 cs c 2 cs cs s 2 cs s 2 1.77 dove c cos, s sin e è 'angoo di cui è ruotato i sistema di riferimento ocae xy, rispetto a queo gobae XY,. ESEMPIO 1.4 Ricavare, ne sistema di riferimento gobae XYZ,,, a matrice di rigidezza per 'eemento asta comunque orientato neo spazio. Fig. 1.18 Eemento asta neo spazio. 24

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI I sistema di riferimento ocae de'eemento, definito dai nodi 1 e 2, è tae per cui 'asse x coincide con 'asse dea asta ed è diretto da 1 verso 2; gi assi y e z, perpendicoari a'asse x, possono avere orientazione quasiasi. Come nei casi monodimensionae e piano 'eemento asta può deformarsi soo in senso assiae, cioè ungo 'asse ocae x, mentre sarà qui caratterizzato dae tre componenti di spostamento e di forza ai nodi 1 e 2. Per gi stessi motivi visti ne caso de'esempio 1.3, a notazione di rigidezza per asta ne sistema di riferimento ocae xyz,, è: EA ------ 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ï u 1 v 1 w 1 Ì ý u 2 v 2 Ów 2 þ Ï f u1 f v1 f w1 Ì ý f u2 f v2 Óf w2 þ 1.78 Le matrici di rotazione [ R 1 ],[ R 2 ] sono espresse daa 1.54, per cui a matrice di rigidezza [ k ] X, ne sistema di riferimento XYZ,, risuta: EA [ k ] x ------ 2 1 1 m 1 1 n 1 2 1 1 m 1 m2 1 m 1 n 1 1 m 1 1 m 1 1 n 1 m2 1 m 1 n 1 1 n 1 m 1 n 1 n2 1 1 n 1 m 1 n 1 n2 1 2 1 1 m 1 1 m 1 1 n 1 2 1 1 m 1 1 n 1 m2 1 m 1 n 1 1 m 1 m2 1 m 1 n 1 1 n 1 m 1 n 1 n2 1 1 n 1 m 1 n 1 n2 1 1.79 1.7 ELEMENTO TRAVE NEL PIANO Per trave ne piano si intende un eemento comunque orientato ne piano e che può essere soecitato da carichi comunque giacenti ne piano dea struttura ed aventi quindi componenti sia paraee sia ortogonai a'asse de'eemento (fig. 1.19). Ne'ipotesi di inearità geometrica tae eemento può essere ottenuto come sovrapposizione de'eemento asta e de'eemento trave infessa, caratterizzati rispettivamente dae equazioni 1.8 e 1.25, se nea trave infessa non si tiene conto de'effetto de tagio sue deformazioni. 25

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI Fig. 1.19 Eemento trave ne piano. La notazione di rigidezza de'eemento trave ne piano, riferita a sistema di riferimento ocae x,y è quindi ottenuta combinando opportunamente e 1.8 e 1.25; ordinando i vettore degi spostamenti {s} come: { s } T { u 1, v 1, z1, u 2, v 2, z2 } 1.80 e anaogamente queo dee forze { f }: { f } T { f u1, f v1, m z1, f u2, f v2, m z2 } 1.81 a matrice di rigidezza [k] x riferita a sistema ocae x,y è: EA ------ 0 0 EA ------ 0 0 0 12EJ -------------- z 3 6EJ ----------- z 2 0 12EJ z -------------- 3 6EJ ----------- z 2 [ k ] x 0 6EJ ----------- z 2 EA ------ 0 0 4EJ ----------- z 0 6EJ z ----------- 2 2EJ ----------- z EA ------ 0 0 1.82 0 12EJ z -------------- 3 6EJ z ----------- 2 0 12EJ -------------- z 3 6EJ z ----------- 2 0 6EJ ----------- z 2 2EJ ----------- z 0 6EJ z ----------- 2 4EJ ----------- z La matrice di rigidezza [k ] X riferita a sistema di riferimento gobae X,Y si ottiene come (vd. 1.73): [ k ] X [ R ] T [ k ] x [ R ] 1.83 26

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI dove a matrice di rotazione [R] è quea ricavata ne'esempio 1.1 ed espressa daa 1.17. Indicando con J 'angoo formato da'asse dea trave (asse x ocae) con 'asse X ed esprimendo e funzioni seno e coseno di J in funzione dee coordinate dei nodi 1 e 2 dea trave ne sistema di riferimento gobae X,Y: cos X 2 X 1 ------------------- con, unghezza dea trave, data da: sin Y 2 Y 1 ------------------ 1.84 ( X 2 X 1 ) 2 ( Y 2 Y 1 ) 2 1.85 1.8 ELEMENTO TRAVE PER STRUTTURE A GRIGLIA Questo eemento è geometricamente anaogo a'eemento trave ne piano descritto a paragrafo 1.7; a soa differenza è data dai carichi, che in ta caso sono perpendicoari a piano de'eemento (fig. 1.20). Potrà quindi essere soecitato, otre che da tagio e da momento fettente, da un momento torcente m x anzichè da un carico assiae f u ; corrispondentemente a sua cinematica è definita, otre che da uno spostamento w diretto secondo asse z e da una rotazione y intorno a'asse y, da una rotazione x attorno a'asse x anzichè da uno spostamento assiae u. Fig. 1.20 Eemento trave per strutture a grigia. Anaogamente a quanto fatto per a trave ne piano, a matrice di rigidezza di questo eemento può essere ottenuta come sovrapposizione de'eemento trave soecitato a torsione e de'eemento trave infessa, caratterizzati rispettivamente dae eq. 1.15 e 1.25, se nea trave infessa non si tiene conto de'effetto de tagio sue deformazioni. 27

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI EA ------c 2 12EJ z -------------s 2 3 EA ------cs 12EJ z ------------- 3 cs 6EJ z ----------s 2 EA ------cs 12EJ z ------------- 3 cs EA ------s 2 12EJ z -------------c 2 3 6EJ z ----------c 2 [ k ] x 6EJ z ----------s 2 6EJ z ----------c 2 4EJ ---------- z EA 12EJ ------ z EA c 2 ------------- 3 s 2 ------ cs 12EJ z -------------cs 3 6EJ z ----------s 2 EA ------ cs 12EJ z -------------cs 3 EA 12EJ ------ z s 2 ------------- 3 c 2 6EJ z ----------c 2 6EJ z ----------s 2 6EJ z ----------c 2 2EJ ---------- z c cos s sin Eq. 1.86 Matrice di rigidezza [k] X per eemento trave ne piano. EA 12EJ ------ z EA c 2 ------------- 3 s 2 ------ cs 12EJ z -------------cs 3 6EJ z ----------s 2 EA ------ cs 12EJ z -------------cs 3 EA 12EJ ------ z s 2 ------------- 3 c 2 6EJ z ----------c 2 6EJ z ----------s 2 EA ------c 2 12EJ z -------------s 2 3 EA ------cs 12EJ z ------------- 3 cs 6EJ z ----------s 2 EA ------cs 6EJ z ----------c 2 12EJ z ------------- 3 cs EA ------s 2 12EJ z -------------c 2 3 6EJ z ---------- 2 c 2EJ ---------- z 6EJ z ----------s 2 6EJ z ----------c 2 4EJ ---------- z 28

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI Ordinando i vettore degi spostamenti {s } e queo dee forze { f }come: { s } T { x1, y1, w 1, x2, y2, w 2 } { f } T { m x1, m y1, f w1, m x2, m y2, f w2 } 1.87 1.88 a matrice di rigidezza [k] x riferita a sistema ocae x,y è: GJ x GJ -------- 0 0 -------- x 4EJ y 6EJ y 0 ---------- ---------- 2 0 0 0 2EJ y ---------- 6EJ y ---------- 2 [ k ] x 6EJ y 12EJ y 0 ---------- 2 ------------- 3 0 GJ x -------- 0 0 2EJ y 6EJ y 0 ---------- ---------- 2 0 6EJ y ---------- 2 12EJ y ------------- GJ -------- x 0 0 4EJ y 6EJ y ---------- ---------- 2 1.89 0 6EJ y ---------- 2 12EJ y ------------- 0 6EJ y ---------- 2 12EJ y ------------- 3 La matrice di rigidezza [k] X ne sistema di riferimento gobae X,Y si ottiene (vd. 1.73) come: [ k ] X [ R ] T [ k ] x [ R ] 1.90 e a matrice di rotazione [R] è quea espressa daa 1.64, avendo ordinato i vettore degi spostamenti come in 1.87. 29

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI GJ -------- x c 2 4EJ y ----------s 2 GJ -------- x cs 4EJ y ---------- cs 6EJ y ----------s 2 GJ x -------- c 2 2EJ y ----------s 2 GJ -------- x cs 4EJ y ---------- cs GJ -------- x s 2 4EJ y ----------c 2 6EJ y ----------c 2 GJ x -------- cs 2EJ y ---------- cs [ k ] x 6EJ y ----------s 2 GJ x -------- c 2 2EJ y ----------s 2 GJ x -------- cs 6EJ y ----------s 2 2EJ y ---------- cs GJ x -------- cs 6EJ y ----------c 2 2EJ y ---------- cs GJ x -------- s 2 2EJ y ----------c 2 6EJ y ----------c 2 12EJ ------------- y 3 6EJ y ----------s 2 6EJ y ----------c 2 12EJ y 3 ------------- 6EJ y ----------s 2 GJ -------- x c 2 4EJ y ----------s 2 GJ -------- x cs 4EJ y ---------- cs 6EJ y ----------s 2 c cos s sin Eq. 1.91 Matrice di rigidezza [k] X per 'eemento trave in strutture a grigia. GJ x -------- cs 2EJ y ---------- cs GJ x -------- s 2 2EJ y ----------c 2 6EJ y ----------c 2 GJ -------- x cs 4EJ y ---------- cs GJ -------- x s 2 4EJ y ----------c 2 6EJ y ----------c 2 6EJ y ----------s 2 6EJ y ----------c 2 12EJ y 3 ------------- 6EJ y ----------s 2 6EJ y ----------c 2 12EJ ------------- y 3 30

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI 1.9 ELEMENTO TRAVE NELLO SPAZIO Per trave neo spazio si intende un eemento comunque orientato neo spazio e che può essere soecitato da carichi generamente descrivibii in termini di forze assiai, forze perpendicoari a suo asse, momenti fettenti agenti secondo i due assi principai d'inerzia dea sua sezione e momento torcente agente ungo i suo asse (fig. 1.21). I sistema di riferimento ocae de'eemento, definito dai nodi 1 e 2, è tae per cui 'asse x coincide con 'asse dea trave ed è diretto da 1 verso 2; gi assi y e z, perpendicoari a'asse x, coincidono con gi assi principai d'inerzia dea sezione dea trave. In ta modo e azioni di tagio e di momento fettente nei due piani xy e xz possono essere considerate indipendenti 'una da'atra. Si ha così una notevoe sempificazione nea formuazione dea matrice di rigidezza de'eemento che può essere ottenuta, ne'ipotesi di inearità geometrica, come sovrapposizione dee matrici de'eemento trave soecitato assiamente (asta), de'eemento trave soecitato a torsione (barra di torsione) e de'eemento trave infessa. Fig. 1.21 Trave neo spazio. Se per quest'utima non si tiene conto de'effetto de tagio sue deformazioni, a notazione di rigidezza 1.1 de'eemento trave neo spazio, ne sistema di riferimento ocae x,y,z è quindi ottenuta come opportuna combinazione dee 1.8, 1.15 e 1.25. 31

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI 1.1 [ k ] x EA ------ 0 0 0 0 0 EA ------ 0 0 0 0 0 6EJ ---------- z 2 12EJ z ------------- 3 0 0 0 6EJ ---------- z 2 0 12EJ ------------- z 0 0 0 3 0 6EJ y ---------- 2 0 12EJ y ------------- 3 0 6EJ y ---------- 2 0 0 0 12EJ ------------- y 3 0 0 0 GJ x -------- 0 0 GJ -------- x 0 0 0 0 0 0 0 0 2EJ ---------- y 0 6EJ ---------- y 2 0 4EJ ---------- y 0 0 0 6EJ y ---------- 2 0 0 0 2EJ ---------- z 6EJ z ---------- 2 0 0 0 4EJ ---------- z 0 6EJ ---------- z 0 0 0 2 0 EA ------ 0 0 0 0 0 EA ------ 0 0 0 0 0 6EJ z 2 ---------- 12EJ ------------- z 0 0 0 3 6EJ z ---------- 2 0 12EJ z ------------- 0 0 0 3 0 6EJ ---------- y 2 0 12EJ ------------- y 3 0 6EJ ---------- y 0 0 0 2 12EJ y ------------- 3 0 0 0 GJ -------- x 0 0 GJ x -------- 0 0 0 0 0 0 0 0 4EJ ---------- y 0 6EJ ---------- y 2 0 2EJ ---------- y 0 0 0 6EJ y ---------- 2 0 0 0 4EJ ---------- z 2EJ ---------- z 0 6EJ ---------- z 0 0 0 2 0 6EJ z ---------- 2 0 0 0 Eq. 1.92 Matrice di rigidezza per 'eemento trave neo spazio. 32

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI 1.10 CARICHI NODALI EQUIVALENTI Verranno qui descritte e procedure per trattare sistemi di carico diversi da quei costituiti da soe forze appicate ai nodi degi eementi, e che quindi non possono essere inseriti direttamente nee equazioni che descrivono i comportamento de'eemento; in tai sistemi di carico rientrano, per esempio i carichi distribuiti, gi effetti termici, ecc. Sistemi di carico non agenti direttamente ai nodi degi eementi verranno sostituiti da sistemi di carico equivaenti ma agenti nei nodi; i termine equivaenti significa che i due sistemi di carico producono gi stessi effetti nei nodi de'eemento, ma non necessariamente a suo interno. In termini generai a notazione di rigidezza per 'eemento 1.39 viene ora riscritta come: [ k ]{ s } { f } { f e } 1.93 dove { f e } rappresenta i vettore dei carichi nodai equivaenti ad un sistema di carico non appicato direttamente ai nodi. 1.10.1 Eemento asta: carico distribuito Su un eemento asta agisca un carico uniformemente distribuito q u, in direzione paraea a'asse de'eemento e positivo se concorde a verso de'asse ocae x (fig. 1.22). Fig. 1.22 Carico distribuito assiamente. L'equazione di equiibrio è: f u1 f u2 q u 0 1.94 e 'equazione di deformazione: u 2 u 1 ------ f 2 EA u2 --------- q 2EA u In forma di scrittura di rigidezza: 1.95 33

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI EA ------ 1 1 1 1 u 1 Ï f u1 Ì ý Ì Ï ý q u Ï1 ------ Ó þ Ó þ 2 Ì ý Ó1þ u 2 f u2 1.96 ed i vettore dei carichi nodai equivaenti ad un carico distribuito assiamente è: { f e } T Ïq u Ì------ Ó 2 q u ------ 2 ý þ 1.97 1.10.2 Eemento asta: effetto termico Se 'eemento barra è soggetto, in ogni sua sezione, ad un aumento di temperatura di vaor medio T m, misurato a partire da una temperatura di riferimento; si avrà un aungamento dea barra pari a: u 2 u 1 T m 1.98 dove ottiene: è i coefficiente di diatazione termica ineare. In forma di rigidezza si EA ------ 1 1 1 1 u 1 Ï Ïf u1 Ï1 Ì ý Ì ý EAT m Ì ý Ó þ Ó þ Ó 1þ u 2 f u2 1.99 e i vettore dei carichi nodai equivaente ad un aumento medio di temperatura è: { f e } T { EAT m EAT m } 1.100 1.10.3 Eemento asta: montaggio con interferenza o gioco Si supponga ora di sapere che un eemento, montato fra due punti di date coordinate, riesce ad essere montato fra tai punti soo aungandoo o accorciandoo sotto 'azione di forze assiai, inducendo uno stato di pretensione assiae. Per cacoare in: [ k ]{ s } { f } { f e } 1.101 i vettore { f e } dei carichi nodai equivaenti ad uno stato di pretensione, un modo sempice di procedere è queo di considerare che in assenza di forze { f } appicate da'esterno agi estremi, gi spostamenti saranno tai da riportare a unghezza de'eemento a vaore che essa ha quando 'eemento stesso è scarico. Pertanto in: 34

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI EA ------ 1 1 1 1 u 1 Ï Ïf u1 Ïf e1 Ì ý Ì ý Ì ý Ó þ Ó þ Ó þ u 2 f u2 f e2 1.102 quando f u1 = f u2 = 0 si deve avere: u 1 1 u 2 2 1.103 Sostituendo in 1.102: EA ------ 1 1 1 1 Ï 1 Ï0 Ïf e1 Ì ý Ì ý Ì ý Ó 2 þ Ó0þ Ó f e2 þ 1.104 e risovendo per f e1 e f e2 si ottiene: Ï Ì Ó f e1 f e2 ý þ EA ----- Ï 1 Ì ý Ó1þ 1.105 funzione, come era da aspettarsi, de soo aungamento totae = 1 2, con definito positivo quando corrisponde ad un montaggio con aungamento. 1.10.4 Eemento asta: carico concentrato Anche un carico concentrato, appicato fra gi estremi de'eemento può essere ridotto ad un vettore di carichi nodai equivaenti. Fig. 1.23 Carico concentrato intermedio. Con riferimento aa figura 1.23 se a forza assiae f u è appicata a'ascissa equazioni risoutive 1.1 e 1.3 diventano: f u1 f u2 f u 0 u 2 u 1 x ------ f EA u2 ------ f EA u x, e 1.106 35

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI ed i vettore dei carichi nodai equivaente risuta pertanto essere: Ï x { f e } T f u Ì -------------- Ó x ---- ý þ 1.107 1.10.5 Eemento trave infessa: carico distribuito Si consideri un eemento trave rettiineo su quae agisca un carico distribuito uniforme q v ed agente in senso normae a'asse dea trave (fig. 1.24). Fig. 1.24 Carico uniformemente distribuito. Le equazioni di equiibrio e di congruenza 1.21 diventano ora: 0 f v1 f v2 q v z2 z1 q v 2 0 f v1 --------- 2 m z1 m z2 ------- m 2 q v 3 EJ z1 ---------- f z 2EJ v1 6EJ ---------- z z 1.108 v 2 v 1 z1 ---------- 2 m 2EJ z1 z ---------- 3 q v 4 f v1 6EJ 24EJ ------------- z z Eaborando e 1.108 come ne caso de'eemento asta si ottiene 'espressione de carico nodae equivaente ad un carico uniformemente distribuito: Ï { f e } T q v Ì-- Ó2 ----- 2 12 -- 2 2 12 ----- ý þ 1.109 36

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI 1.10.6 Eemento trave infessa: gradiente termico Si consideri ora una trave sottoposta a temperature differenti su intradosso ed estradosso. In direzione normae a'asse dea trave ci sarà pertanto una variazione di temperatura, con egge di variazione considerata ineare. I vaor medio di tae variazione di temperatura, rispetto ad un vaore di riferimento, è responsabie de'aungamento assiae dea trave e di ciò si è tenuto conto in 1.98; a variazione rispetto a vaor medio è invece responsabie de'infessione ed è questa variazione che verrà qui anaizzata. Fig. 1.25 Trave infessa sottoposta a gradiente termico. Indicando con T a differenza di temperatura tra vaore massimo e vaore medio, positivo se a temperatura cresce ne verso dee y crescenti (fig. 1.25), con h 'atezza dea trave e con i coefficiente di diatazione termica ineare, a causa de'aumento differenziae di temperatura si ha: z2 2T x h -- z1 1.110 e pertanto e equazioni di deformazione 1.19, 1.20 diventano: z2 v 2 v 1 z1 z1 ------- m EJ 2 z1 ---------- f z 2EJ v1 2T z h -- ---------- 2 m 2EJ z1 z ---------- 3 f 6EJ v1 T ---- 2 z h 1.111 queste, insieme ae equazioni di equiibrio 1.16 e 1.17 portano aa reazione matriciae di rigidezza 1.25 ed a vettore dei carichi nodai equivaente ad una distribuzione di temperatura: Ï { f e } T Ì0 Ó 2TEJ ------------------------- z 0 h 2TEJ z ------------------------- 1.112 h ý þ 37

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI 1.10.7 Eemento trave infessa: carichi concentrati I vettore dei carichi nodai equivaente a carichi concentrati f v e m z ad una ascissa x da nodo 1 è ricavato in modo anaogo a quanto fatto per 'eemento asta. Eaborando e equazioni di equiibrio e di congruenza opportunamente scritte, si ottiene: { f e } Ï 3 2x3 3x2 6x( x ) --------------------------------------------f 3 v ----------------------------m 3 z x3 2 x 2x2 ---------------------------------------------- 2 f 2 3x2 4x v ----------------------------------------- 2 m z Ì ý 2x3 3x2 6x( x ) ------------------------------- 3 f v ----------------------------m 3 z ------------------------- x3 x2 2 f 3x2 -----------------------------m 2x v 2 z Ó þ 1.113 1.10.8 Trave ne piano; carichi nodai equivaenti I carichi nodai equivaenti possono essere ottenuti come opportuna sovrapposizione dei carichi nodai equivaenti per 'eemento barra e per 'eemento trave infessa, anaogamente a quanto fatto per a matrice di rigidezza. Ad esempio i carico nodae equivaente ad un carico uniformemente distribuito assiae q u e ad un carico uniformemente distribuito verticae q v (fig. 1.26). Fig. 1.26 Carico distribuito. è dato, ne sistema di riferimento ocae x,y da: Ï { f e } T q u -- q 2 v -- q 2 2 v ----- q 12 u -- q 2 v -- q 2 Ì 2 v ----- Ó 12 ý þ 1.114 38

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI mentre queo dovuto ad una distribuzione di temperatura con vaor medio T m e gradiente T (fig. 1.27) è dato da: { f e } T Ï Ì Ó EAT m 0 2EJ z T -------------------------- EAT h m 0 2EJ z T -------------------------- h ý þ 1.115 Fig. 1.27 Effetto termico. I vettori dei carichi nodai equivaenti ne sistema di riferimento gobae X,Y possono essere ricavati ricordando e 1.68 e 1.56: { f e } X [ R ] T { f e } x 1.116 In generae se: { f e } T { f e1 f e2 f e3 f e4 f e5 f e6 } x 1.117 si ha: { f e } X Ï Ì Ó f e1 f e1 f e4 f e4 cos f e2 sin cos f e2 sin f e3 ý cos f e5 sin cos f e5 sin þ f e6 1.118 dove J rappresenta 'angoo formato tra 'asse x ocae e 'asse X gobae. 39