Predmensonamento ret chuse Rspetto ad una rete aperta, ogn magla aggunge un grado d lbertà (una nfntà d soluzon) nella determnazone delle portate Q,Q 1, e Q 2, utlzzando le sole equazon d contnutà. a dfferenza fra numero d ncognte ( d) e d equazon ((N 1) d) è par al numero d magle. CAR. hj NODI EQ. DE MOTO DIAMETRI D M = () EQ. CONT. NODI PORTATE Q o Q1, d EQ. CONT. DIST. d PORTATE Q2, EQUAZIONI INCOGNITE In una rete chusa, nfatt, vale sempre la relazone: M = (N 1) M = numero d magle ndpendent (es. magle elementar) = numero totale d condotte (trasporto dstrbuzone) N = numero totale d nod (ntern estern) Metodo Cont per l predmensonamento S fssano arbtraramente M punt neutr S aprono le magle n corrspondenza d ess S utlzzano metod d predmensonamento delle ret aperte Acquedott e Fognature - A.A. 11-12 - R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 1 / 13 ) Verfca ret chuse: blanco equazon/ncognte Il problema d verfca Tutt dametr commercal D sono stat assegnat S assegna l carco pezometrco h al nodo serbatoo (es. quota mnma) Incognte Equazon N 1 = carch h j a nod (al serbatoo l carco è mposto) = portate Q condotte trasporto o Q 1, sulla prma estremtà dstrbutrce d = portate Q 2, sulla seconda estremtà condotta dstrbutrce = equazon del moto su ogn condotta N 1 = equazon ndpendent d contnutà a nod d = equazon d contnutà sulle dstrbutrc Numero ncognte = numero equazon = l sstema è determnato. a presenza d equazon non lnear (eq. moto) rende dffcoltosa la soluzone Acquedott e Fognature - A.A. 11-12 - R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 2 / 13 )
Verfca ret chuse: Metodo d Cross (blancam. carch) Step 1 Step 3 Step 2 EQ. DE MOTO CAR. hj NODI M = () INCOGNITE Q EQ. CONT. NODI PORTATE Q o Q1, d EQ. CONT. DIST. d PORTATE Q2, EQUAZIONI INCOGNITE NUOVE EQUAZ. NUOVE INCOGNITE 1. Elmnazone degl N 1 carch ncognt a nod; sosttuzone delle eq. del moto con M combnazon lnear ndp. nelle sole portate ncognte. 2. Introduzone d M nuove ncognte portate correttve nelle magle. S determnano arbtraramente d portate d prmo tentatvo che soddsfno tutte le equazon d contnutà, che vengono elmnate. 3. S rsolve l sstema rdotto delle sole M equazon defnte al punto 1 nelle M ncognte portate correttve nelle magle ntrodotte al punto 2. 4. Determnate le portate corrette su tutte le magle, s determnano carch pezometrc n tutt nod medante le eq. del moto e s esegue la verfca. Acquedott e Fognature - A.A. 11-12 - R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 3 / 13 ) Verfca ret chuse: Metodo d Cross (blancam. carch) 1. Elmnazone degl N 1 carch ncognt a nod; sosttuzone delle eq. moto con M combnazon lnear ndpendent S ndvduano M magle ndpendent (es. magle elementar) S scegle arbtraramente un verso d percorrenza d cascuna magla m Un osservatore che percorre una magla m vede la lnea de carch pezometrc partre e arrvare alla stessa quota; sommando le varazon d carco: C t (m) k l δ m D n Q α C d (m) k l D n P (α 1) (Qα 1 1, Q α 1 2, ) = 0 m = 1,, M (1) C t (m) = nseme d condotte con funzone d solo trasporto percorse dalla magla m C d (m) { = nseme d condotte con funzone d dstrbuzone unforme percorse dalla magla m 1 se la portata Q è concorde al verso d percorrenza della magla m δ m = 1 se la portata Q è dscorde rspetto al verso d percorrenza della magla m = Il sstema è ancora determnato: M (N 1) d equazon = d portate ncognte Acquedott e Fognature - A.A. 11-12 - R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 4 / 13 )
Verfca ret chuse: Metodo d Cross (blancam. carch) 2. Introduzone d M ncognte portate correttve nelle magle ; Elmnazone delle equazon d contnutà (I) S ndvduano d portate d tentatvo Q,Q 1, e Q 2, che soddsfno le (N 1) d eq. d contnutà a nod e sulle condotte con dstrbuzone. In generale queste portate d tentatvo non soddsfano l sstema (1). Questa soluzone d tentatvo è una scelta arbtrara fra M possbl soluzon: M grad d lbertà (dff. ncognte - equazon = d (N 1) d = M). e M soluzon del sstema d equazon d contnutà s ottengono aggungendo M portate correttve nelle magle Q k (postve nel verso d percorrenza della magla k): Q = Q M k=1 δ k Q k Q 1, = Q 1, M k=1 ɛ 1,k Q k Q 2, = Q 2, M k=1 ɛ 2,k Q k = e portate Q,Q 1, e Q 2, soddsfano anch esse tutte le equazon d contnutà che possono percò essere elmnate dal sstema. Acquedott e Fognature - A.A. 11-12 - R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 5 / 13 ) Verfca ret chuse: Metodo d Cross (blancam. carch) 2. Introduzone d M ncognte portate correttve nelle magle ; Elmnazone delle equazon d contnutà (II) δ k = 1 se la portata Q è concorde al verso d percorrenza della magla k 1 se la portata Q è dscorde rspetto al verso d perc. magla k 0 se la condotta non è percorsa dalla magla k ɛ 1,k = ɛ 2,k = 1 se la portata Q 1, è concorde al verso d percorrenza della magla k 1 se la portata Q 1, è dscorde rspetto al verso d perc. magla k 0 se la condotta non è percorsa dalla magla k 1 se la portata Q 2, è concorde al verso d percorrenza della magla k 1 se la portata Q 2, è dscorde rspetto al verso d perc. magla k 0 se la condotta non è percorsa dalla magla k Acquedott e Fognature - A.A. 11-12 - R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 6 / 13 )
Verfca ret chuse: Metodo d Cross (blancam. carch) 2. Introduzone d M ncognte portate correttve nelle magle ; Elmnazone delle equazon d contnutà (III) Il sstema d M equazon (1) s rscrve nelle sole M ncognte Q portate correttve nelle magle : C t (m) δ m k l C d (m) D n (Q M k=1 δ k Q k ) α [ (Q 1, M k l D n P (α 1) k=1 ɛ 1,k Q k ) α 1 m = 1,, M ] = 0 (Q 2, M k=1 ɛ 2,k Q k ) α 1 (2) Acquedott e Fognature - A.A. 11-12 - R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 7 / 13 ) Verfca ret chuse: Metodo d Cross (blancam. carch) 3. Rsoluzone del sstema rdotto delle sole M equazon (2) nelle M ncognte portate correttve nelle magle (I) Cross propone un metodo teratvo per la soluzone del sstema (2) che consste nel consderare n cascuna equazone m-esma la sola portata correttva Q m relatva alla magla m (elmnamo le k ). Sstema approssmato: C t (m) δ mk (Q δ m Q m ) α C d (m) W [ (Q 1, ɛ 1,m Q m ) α 1 (Q 2, ɛ 2,m Q m ) ] α 1 = 0 (3) dove s è posto K = k l D n e W = k l D n P (α 1) m = 1,, M = a generca equazone m-esma contene la sola ncognta Q m. Il sstema s rscrve n forma compatta: f m ( Q m ) = 0 m = 1,, M Acquedott e Fognature - A.A. 11-12 - R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 8 / 13 )
Verfca ret chuse: Metodo d Cross (blancam. carch) 3. Rsoluzone del sstema rdotto delle sole M equazon (3) nelle M ncognte portate correttve nelle magle (II) S lnearzzano le m equazon f m ( Q m ) = 0, svluppando n sere d Taylor n un ntorno d Q m = 0 e troncando al prmo ordne: f m ( Q m ) = f m (0) Q m O[( Q m ) 2 ] = 0 ( Qm =0) da cu s ottengono le portate correttve Q m d cascuna magla m: Q m = f m( Q m = 0) ( Qm =0) m = 1,, M Acquedott e Fognature - A.A. 11-12 - R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 9 / 13 ) Verfca ret chuse: Metodo d Cross (blancam. carch) 3. Rsoluzone del sstema rdotto delle sole M equazon (3) nelle M ncognte portate correttve nelle magle (III) Posto Q m = 0 nella m-esma equazone del sstema (3) ottenamo: f m ( Q m = 0) = C t (m) δ m K (Q ) α C d (m) W [ (Q 1,) α 1 (Q 2,) α 1 ] Dervando la m-esma equazone del sstema (3) rspetto a Q m s ottene: = C t (m) δ2 mk α (Q δ m Q m ) α 1 C d (m) W (α 1) [ ɛ 1,m (Q 1, ɛ 1,m Q m ) α ɛ 2,m (Q 2, ɛ 2,m Q m ) α ] ( Qm =0) = K α (Q ) α 1 W (α 1) [ ɛ 1,m (Q 1,) α ɛ 2,m (Q 2,) α ] C t (m) C d (m) Acquedott e Fognature - A.A. 11-12 - R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 10 / 13 )
Verfca ret chuse: Metodo d Cross (blancam. carch) 3. Rsoluzone del sstema rdotto delle sole M equazon (3) nelle M ncognte portate correttve nelle magle (IV) Consderazon su segn: [ ɛ 1,m (Q 1,) α ɛ 2,m (Q 2,) ] [ ] α = ɛ 1,m (Q 1,) α ɛ 2,m ɛ 1,m (Q 2,) α A B C Q 1, Q 2, Q 1, > Q 2, ɛ 1,m = 1 ɛ 2,m = 1 [ (Q 1,) α (Q 2,) α ] > 0 Q 1, Q 2, Q 1, Q 2, Q 1, < Q 2, ɛ 1,m = 1 ɛ 2,m = 1 [ (Q 1,) α (Q 2,) α ] > 0 }{{} <0 ɛ 1,m = 1 ɛ 2,m = 1 [ (Q 1,) α (Q 2,) ] α VERSO PERCORRENZA MAGIA m n generale s può scrvere: [ ɛ 1,m (Q 1,) α ɛ 2,m (Q 2,) ] α = (Q 1,) α ± (Q 2,) α dove l segno vale solo nel caso C d condotta con sezone neutra. Acquedott e Fognature - A.A. 11-12 - R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 11 / 13 ) Verfca ret chuse: Metodo d Cross (blancam. carch) 3. Rsoluzone del sstema rdotto delle sole M equazon (3) nelle M ncognte portate correttve nelle magle (V) a m-esma equazone del sstema (3) lnearzzato s rscrve: Q m = C t (m) C t (m) δ m K (Q ) α K α (Q ) α 1 C d (m) C d (m) W [ (Q 1, ) α 1 (Q 2,) α 1 ] W (α 1) (Q 1, ) α ± (Q 2,) α (4) Nella prma al denomnatore non c è l segno d δ Nella seconda al denomnatore vale l segno solo se la condotta contene l punto neutro, dversamente vale l segno In genere occorre pù d una terazone per ottenere delle portate che blancno carch con approssmazone accettable (condzone d uscta). S rcorda che K = k l D n e W = k l D n P (α 1) Acquedott e Fognature - A.A. 11-12 - R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 12 / 13 )
Verfca ret chuse: Metodo d Cross (blancam. carch) 4. Determnazone de carch pezometrc negl (N 1) nod Tutte le portate Q,Q 1, e Q 2, sono determnate. S assegna l carco pezometrco h al nodo serbatoo (es. quota mn) S determnano carch h j su restant N 1 nod utlzzando le equazon del moto, partendo del nodo serbatoo verso nod d estremtà: h 1, h 2, = Q α δ l k D n k l 1 D n P solo trasporto (α 1) (Qα 1 1, Q α 1 2, ) dstrbuzone = 1,, e eq. del moto sono n sovranumero rspetto alle ncognte h j ( > N 1): se calcol sono corrett ottenamo gl stess h j ndpend. dal percorso. e soluzon de carch pezometrc h j su nod vengono utlzzate per le verfche n funzonamento ordnaro e straordnaro. In caso d verfche negatve s cambano opportunamente dametr e s rpete tutto l procedmento d verfca con nuov dametr. Acquedott e Fognature - A.A. 11-12 - R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 13 / 13 )