3. Taglio (prof. Elio Sacco)

. Taglio (prof. Elio Sacco).. Formula di Jourawky Si conidera inizialmente il cao di una ezione oggetta ad una ollecitazione di taglio V. Si definice tenione tangenziale media ulla corda B di lunghezza b, la quantità: B τ n = τ d b n (.) eendo n la normale ucente da, con la parte della ezione delimitata dalla corda B. Scegliendo un itema di riferimento principale d inerzia, la tenione tangenziale media i valuta attravero la formula di Jourawky: V V τ n = + (.) b I I dove: e ono ripettivamente i momenti tatici di ripetto all ae x ed x, I e I ono ripettivamente i momenti d inerzia della ezione ripetto all ae x ed x... Deformazione a taglio di una trave Per la determinazione della deformazione indotta nella trave a caua olo della ua deformabilità a taglio, i può applicare il principio dei lavori virtuali. Il itema delle forze è cotituito da una forza F i modulo unitario, applicata dove i intende calcolare lo potamento, per eempio all etremità della trave, comunque diretta nel piano della ezione retta della trave. Il itema degli potamenti conite nella trave oggetta ad una forza tagliante V. Si conidera inizialmente il cao di una trave di lunghezza L con ezione rettangolare di dimenioni b h. Gli ai del itema di riferimento coincidono con gli ai di immetria della ezione. Si aume che la forza tagliante abbia componente non nulla olo lungo la direzione x, e che i intende determinare lo potamento lungo la direzione x. La tenione tangenziale media valutata ulla generica corda parallela all ae x, valutata nel itema delle forze, τ ( x ), e quella valutata nel itema degli potamenti, τ ( x ) ripettivamente:, valgono ppunti di Teoria delle Strutture 8

V V V h ( ) = = = (.) x V h τ ( x ) = = bydy x bi h bi = / I (.) x τ x bydy x h bi bi / I Per il principio dei lavori virtuali, lavoro virtuale eterno uguale lavoro virtuale interno, i ha: ( x ) h/ τ u = τ ( x ) γ ( x ) dv = L ( ) V τ x bdx h/ G V h/ h h = x x bdx GI h/ (.5) 6V V = = 5G G eendo l area efficace a taglio. Il fattore di riduzione dell area, che nel cao eaminato della ezione rettangolare vale 5/6, è detto fattore di correzione a taglio. La formula di Jourawky riulta particolarmente oddifacente per la valutazione delle tenioni tangenziali, nel cao di ezioni in parete ottili. Si conideri allora il cao di una trave oggetta ad una forza di taglio V, con ezione in parete ottile, per la quale i intende determinare lo potamento lungo la direzione F, con F = ovuto ecluivamente alla deformazione a taglio. Si introduca un acia curvilinea ζ lungo la linea media della parete ottile e i celga un itema di riferimento principale d inerzia. La tenione tangenziale media valutata ulla generica corda individuata dall acia curvilinea ζ, nel itema delle forze, τ ( ζ ), e quella nel itema degli potamenti, τ ( ζ ), valgono ripettivamente: V V τ ( ζ ) = ( ζ ) + ( ζ ) = K V b( ζ ) I I b( ζ ) (.6) F F τ ( ζ ) = ( ζ ) + ( ζ ) = K F b( ζ ) I I b( ζ ) (.7) con Si ricava allora: ( ζ ) I K = (.8) ( ζ ) I ppunti di Teoria delle Strutture 9

F τ ζ u = τ ( ζ ) γ ( ζ ) dv = L τ ( ζ ) bdζ V a G (.9) eendo a la linea media della ezione. Tenendo conto delle epreioni (.6), (.7) e (.8), l equazione (.9) fornice: ( ) L ( ) ( ) F u= dζ G K V K F (.) a b ζ da cui i deduce: L u= dζ G K V K a b ( ) ( ) ζ L KV+ KKV = G a b KKV KV ( ζ ) + L ) = dζ G K V a b( ζ ) dζ (.) con K K K K ) = (.) KK K Introducendo il tenore immetrico dei fattori di correzione a taglio come: La formula (.) i ricrive nella forma: χ = dζ K ) (.) a b( ζ ) L G χ u= V (.) E neceario notare che le direzioni principali di χ in generale non coincidono con le direzioni principali del tenore d inerzia. Ciò ignifica che anche e la fleione aociata al taglio è retta, i poono avere potamenti da taglio con componente anche lungo la direzione ortogonale all azione tagliante. Ciò non i verifica evidentemente nelle ezioni che ammettono un ae di immetria, ollecitate lungo tale ae. ppunti di Teoria delle Strutture

.. Modello di trave di Timohenko Timohenko ha propoto una teoria tecnica della trave capace di tener in conto in modo emplice, ma generalmente molto oddifacente, la deformazione a taglio che avviene nelle travi. Nel eguito gli ai coordinati del itema di riferimento ono denotati con x, y e z.... Cinematica La cinematica della trave è definita dalla deformazione dell ae e dalle rotazioni delle ezioni. Nel eguito viene trattato ecluivamente il problema piano della trave; infatti, poto il carteiano itema di riferimento illutrato in Figura, i conidera il cao in cui la trave i infletta nel piano yz. Deformazione dovuta all effetto fleionale y Deformazione dovuta all effetto di taglio z z + v F ϕ F = -v F v T ϕ Τ = -v F y Deformazione totale della trave z = v ϕ=ϕ F = -v F? -v y -v Figura : Trave con deformazione a taglio. Si aume che la ezione retta all acia z, inizialmente piana ed ortogonale alla linea d ae della trave, a deformazione avvenuta, ia ancora piana ma non neceariamente ortogonale alla deformata dell ae della trave. In Figura è riportata chematicamente la cinematica della trave, ovrapponendo gli effetti della ola fleione e del taglio. Per la fleione la ezione retta a deformazione avvenuta reta ortogonale alla deformata della linea d ae. Per effetto del taglio i ha uno potamento verticale della ezione Stephen Timohenko, (Špotovka 878-Wuppertal 97), ingegnere ruo naturalizzato tatunitene. Profeore al Politecnico di Kijev (97-), alla Scuola di ponti e trade di Pietroburgo (9-8), i recò ucceivamente negli US dove inegnò meccanica teorica e applicata nelle univerità ppunti di Teoria delle Strutture

enza ulteriore rotazione della ezione tea. Ne conegue che la rotazione non riulta più uguale alla derivata dell infleione totale della trave, ottenuta tenendo conto anche della deformazione a taglio. In definitiva, in Figura è evidenziata la deformazione della tipica ezione della trave: la ezione all acia generica z ha uno potamento w lungo l ae z, uno potamento v lungo l ae y ed inoltre preenta una rotazione ϕ intorno all ae x, ortogonale al piano yz. I parametri cinematici ono quindi lo potamento aiale w, l infleione v e la rotazione ϕ ; tali quantità ono funzioni ecluivamente dell acia z, i.e. w = w ( z), v= v( z), ϕ = ϕ( z). ϕ w v Figura : Cinematica della trave con deformazione a taglio. ϕ= v Riguardando la trave come un olido tridimenionale, è poibile calcolare lo potamento di un generico punto della ezione retta della trave. Infatti, il tipico punto della ezione retta ubice uno potamento u nullo lungo l ae x, uno potamento u pari a v lungo l ae y ed uno potamento u lungo l ae z che i ottiene come omma dell effetto di w, potamento lungo z in corripondenza dell ae della trave, e di ϕ rotazione della ezione: u = u = v u = w + yϕ (.5) Sulla bae della cinematica introdotta tramite le epreioni (.5), è poibile determinare lo tato deformativo della trave. Infatti, le componenti non nulle del tenore di deformazione valgono: u = = = w + y = + yc z u u = = + = v + z y ε εz ϕ ε γ εyz ϕ (.6) dove l apice indica la derivazione ripetto a z, ε è la dilatazione lineare dell ae della trave e c è la curvatura fleionale della trave.... Legame cotitutivo Note che iano le deformazioni del olido trave, è poibile determinare le tenioni preenti in eo utilizzando le equazioni del legame cotitutivo. Infatti, i ottiene: ppunti di Teoria delle Strutture

σ = Eε τ = Gγ (.7) dove E è il modulo elatico longitudinale, modulo di Young, e G è il modulo a taglio. Una volta definite le tenioni nel generico punto della ezione retta della trave tramite le relazioni (.7), è poibile determinare le equazioni cotitutive della trave. Infatti, lo forzo normale ed il momento flettente i calcolano come la riultante ed il momento riultante delle tenioni normali ulla ezione, mentre il taglio i calcola come la riultante delle tenioni tangenziali. (.8) N = σ d M = yσd T = τd Sotituendo nelle tre equazioni (.8) la relazione cotitutiva (.7), i ottiene: Ricordando poi la relazione (.6), i ha: (.9) N = Eεd M = yeεd T = Gγd ( ) ( ) (.) ( ε ) ( ε ) ε (.) N = E ε + yc d = E ε + Eyc d = E ε + ES c = E ε M = ye + yc d = Ey + Ey c d = ES + EI c = EI c T = Gγ d= G γ (.) eendo S il momento tatico ripetto all ae x, che riulta nullo poiché x è baricentrico, I il momento d inerzia ripetto all ae x ed inoltre ε e c la deformazione aiale e la curvatura della trave. Si evidenzia che nell equazione (.) ia G che γ ono cotanti nella ezione retta della trave, per cui integrando dovrebbe comparire l area della ezione al poto della quantità. In realtà, nella paragrafo., formula (.), i è già vito che nella determinazione della deformazione a taglio della trave interviene il fattore di correzione a taglio χ. Ciò equivale a coniderare un area a taglio = χ. Tale argomento arà ripreo ucceivamente, evidenziando che il modello propoto da Timohenko non fornice un profilo delle tenioni tangenziali accurato tramite la econda delle formule (.), per cui è neceario introdurre il coefficiente χ di correzione a taglio nell epreione della riultante. Le equazioni (.), (.) e (.) rappreentano le relazioni cotitutive globali della trave che legano gli enti cinematici, cioè deformazione elatica aiale ε, curvatura c e corrimento angolare γ, agli enti tatici forzo normale N, momento flettente M e taglio T.... Equazioni di equilibrio Si aume che la trave T ia oggetta ad un itema piano di ollecitazioni: forze agenti nel piano yz, coppie lungo l ae x. Le equazioni di equilibrio della trave ono: tralazione lungo l ae z N = f (.) ppunti di Teoria delle Strutture

tralazione lungo l ae y rotazione intorno all ae x T M = q (.) = T (.5) Le equazioni (.), (.) e (.5) ono le equazioni di equilibrio locale della traveette anche equazioni indefinite di equilibrio della trave.... Equazione della linea elatica In definitiva, le equazioni che governano il problema della trave ono le eguenti: congruenza legame cotitutivo equilibrio ε = w (.6) c = ϕ (.7) γ = v + ϕ (.8) N = Eε (.9) M = EIc (.) T = Gγ (.) N = f (.) M = q (.) M = T (.) Tenendo conto delle equazioni (.6) e (.9), la (.) fornice: Ew = f (.5) nalogamente, tenendo conto delle equazioni (.7), (.8) e (.), (.), le equazioni di equilibrio (.) e (.) fornicono: EIϕ = q (.6) ( ϕ ) EIϕ = G v + (.7) Le equazioni differenziali (.5), (.6) e (.7) rappreentano le equazioni del problema dell equilibrio elatico della trave oggetta a forzo normale, momento flettente e taglioette anche equazioni della linea elatica. Si evidenzia che il problema aiale riulta diaccoppiato da quello di fleione e taglio; infatti il problema aiale i può riolvere tramite la (.5) indipendentemente dalle (.6) e (.7). nalogamente, il problema di fleione e taglio i può riolvere tramite le (.6) e (.7) indipendentemente dal problema aiale. ppunti di Teoria delle Strutture

Problema aiale umendo E cotante, il comportamento aiale della trave è governato dall equazione: Ew = f (.8) la cui oluzione, nel cao di carico aiale uniformemente ditribuito f cotante, è: f w = z + a z+ a E f ε = w = z+ a E N = Eε = fz + Ea (.9) dove a ed a ono cotanti di integrazione che i determinano tramite opportune condizioni al contorno. Problema di fleione e taglio umendo EI ed E cotanti, il comportamento di fleione e taglio della trave è governato dalle equazioni: EIϕ = q (.) EIϕ = G v + ϕ (.) ( ) Nel cao di carico uniformemente ditribuito q cotante, integrando la (.) i ottiene: q ϕ = z + bz + b z + b (.) 6EI che otituita nella (.) fornice: EI v = ϕ ϕ G EI q q = + + + + G EI EI z b z bz bz b 6 (.) Integrando l equazione differenziale (.) i ottiene: EI q q v= z + bz z + bz + b z + b z+ b G EI EI (.) Ne conegue che: ppunti di Teoria delle Strutture 5

q c= ϕ = z + bz + b EI = = + ( + ) EI EI q γ = ( v + ϕ) = ϕ = z+ b G G EI M EIc qz EI bz b T = Gγ = qz+ EIb (.5) Le quantità b, e b ono cotanti di integrazione che i determinano tramite opportune condizioni al contorno...5. Fattore di correzione a taglio Sulla bae della econda delle equazioni (.7), tenendo conto della econda delle (.6), le tenioni tangenziali preentano un andamento cotante nella ezione retta della trave. Ne conegue che, per la immetria delle tenioni tangenziali, i hanno irrealiticamente tenioni τ divere da zero ull etradoo e ull intradoo della trave. l contrario le tenioni tangenziali derivate tramite la formula di Jourawky, ovvero tramite una condizione di equilibrio, ono nulle all intradoo ed all etradoo della trave, preentando un profilo certamente più accurato. In definitiva, le tenioni tangenziali poono eere valutate in due modi differenti: dalla cinematica applicando il legame cotitutivo: τ = Gγ (.6) dalla formula di Jourawky τ J T = (.7) Ib con la (.7) che fornice un profilo delle tenioni tangenziali molto più oddifacente di quanto ottenuto tramite la (.6). Valutando il lavoro virtuale interno di ezione tramite la formula (.6) e la formula (.7), i ha: Eguagliando i lavori virtuali ottenuti i ha: L vi = τ γ d = γ d = γ (.8) J T T Lvi = d= d Ib GIb GI b (.9) ovvero T γ = d GI b (.5) ppunti di Teoria delle Strutture 6

T Gγ = d I b (.5) e quindi, per la (.), i ha: I b T T = d (.5) Ricordando che = χ, i ottiene: I χ = (.5) d ( b ).. pplicazioni... Eercizio Si conideri la trave iotatica riportata in Figura. In particolare, i affronta ecluivamente il problema di fleione e taglio, tracurando l apetto aiale. B F Figura : Menola caricata con una forza F ull etremo libero. La oluzione generale è fornita dalle epreioni: ed inoltre: ϕ = bz + bz+ b EI v= bz bz + b z + b z + b G ( ) M = EI b z + b T = EIb Le cotanti di integrazione i determinano imponendo condizioni al contorno di tipo ia tatico che cinematico. In particolare i ha: Nodo : ono nulli i valori dello potamento traverale e della rotazione, ppunti di Teoria delle Strutture 7

v() = b = ϕ() = b = Nodo B: ono noti entrambi gli enti tatici Ml () = EIbl+ b = ( ) Tl () = F EIb= F Riolvendo i ottiene: F Fl b = b b b EI = EI = = e quindi F ϕ = ( z lz ) EI F F v= z z lz G EI ( ) M= F z l T = F... Eercizio Si determini la oluzione della truttura in Figura utilizzando l equazione della linea elatica. Figura : Trave continua oggetta a carico ditribuito e ditorione termica a farfalla. La truttura i compone di tratti, per ognuno di queti tratti i crivono le equazioni differenziali della linea elatica. Si noti che nel econdo tratto è preente una ditorione termica a farfalla, per cui la curvatura fleionale totale i ottiene come omma della curvatura elatica e di quella termina: ppunti di Teoria delle Strutture ϕ c= = c + c e t 8

dove c e M α T = ct = EI h con α coefficiente di variazione termica ed h altezza della ezione della trave. La oluzione per ogni tratto aume la forma: primo tratto da a B, itema di riferimento z con origine in ϕ = bz + bz + b EI = + + + G = + v bz bz b z b z b M EI bz b T= EIb econdo tratto da B a C, itema di riferimento z con origine in B ϕ = cz + cz + c EI v= cz cz+ cz+ cz + c G α T M= EI cz+ c EI h T = EIc terzo tratto da C a D, itema di riferimento z con origine in C q ϕ = z + d z + d z + d 6EI EI q q v = z + dz z + dz + dz + dz + d G EI EI M = qz+ EI dz+ d T = qz + EId Le cotanti di integrazione b, c, c, c, c i determinano imponendo le opportune condizioni al contorno. Nodo - nell incatro i devono crivere condizioni di tipo cinematico, la prima ugli potamenti verticali, la econda condizione ulle rotazioni: v () = ϕ () = Nodo B- in corripondenza del carrello elatico in B i devono crivere condizioni ppunti di Teoria delle Strutture 9

al contorno, una ugli potamenti traverali, una ulle rotazioni, una ul momento flettente ed una ul taglio: v () l = v () ϕ () l = ϕ () M () l = M () T() l + kv() l = T() dove k è la rigidezza del vincolo elatico in B. Nodo C- per il vincolo in C devono eere critte equazioni: v () l = v () = ϕ () l = ϕ () M () l = M () Nodo D- in corripondenza dell etremo libero i crivono equazioni: M () l = T () l = In definitiva i ottiene il eguente un itema di equazioni in incognite.... Eercizio Si determini la oluzione della truttura in figura? utlizzando l equazione della linea elatica. Figura 5: Schema della truttura dell eercizio in ezione.. La truttura i compone di tratti: primo tratto da a B, itema di riferimento z con origine in ppunti di Teoria delle Strutture

ϕ = bz + bz + b EI v bz bz b z b z b = + + + G M = EI bz + b T= EIb econdo tratto da B a C, itema di riferimento z con origine in B ϕ = cz + cz + c EI v= cz cz+ cz+ cz + c G α T M= EI cz+ c EI h T = EIc terzo tratto da C a D, itema di riferimento z con origine in C ϕ = dz + dz + d EI = + + + G = + v d z d z d z d z d M EI d z d T = EId quarto tratto da D a E, itema di riferimento z con origine in D ϕ = ez + ez + e EI = + + + G = + v ez e z e z e z e M EI e z e T = EIe Le cotanti di integrazione b, c, c, c, c, e, e, e, e i determinano imponendo le opportune condizioni al contorno. Nodo : v () = ϕ () = Nodo B: ppunti di Teoria delle Strutture

v () l = v () = ϕ () l = ϕ () M () l = M () Nodo C: v () l = v () ϕ () l = ϕ () M () l = M () T() l + kv() l = T() dove k è la rigidezza del vincolo elatico in C. Nodo D: Nodo E: v () l = v () ϕ () l = ϕ () M () l = M () T () l = T () + F M () l = T () l = In definitiva, eprimendo le rotazioni, i momenti flettenti ed i tagli in funzione delle derivate dell infleione dei ingoli tratti, i ottiene un itema di 6 equazioni che permette di determinare le 6 cotanti di integrazione. ppunti di Teoria delle Strutture