Rapporti e proporzioni Si dice RAPPORTO FRA DUE NUMERI, il secondo dei quali sia diverso da zero, il quoziente ottenuto dividendo il primo per il secondo. a e b si dicono TERMINI del rapporto e il primo si chiama ANTECEDENTE, mentre il secondo CONSEGUENTE. OSSERVAZIONE: Il rapporto fra due numeri si può rappresentare come: DIVISIONE FRAZIONE NUMERO DECIMALE 3:2 1,5 7:2 3,5 1:2 0,5 Proprietà INVARIANTIVA dei rapporti: Ogni rapporto non varia moltiplicando o dividendo i suoi termini per uno stesso numero, diverso da zero. Se in un rapporto si scambia l antecedente con il conseguente, si ottiene un NUOVO RAPPORTO, detto RAPPORTO INVERSO o RECIPROCO. il rapporto inverso di è. 1
Rapporto fra Grandezze Omogenee Due grandezze si dicono omogenee se è possibile confrontarle e stabilire se una di esse è maggiore o minore o uguale all altra; si esprimono con la stessa unità di misura. Il rapporto tra due grandezze omogenee è uguale al rapporto fra le rispettive misure ed è un numero. il rapporto tra la base di un rettangolo e la sua altezza Rapporto: due grandezze omogenee si dicono: COMMENSURABILI se il loro rapporto è un numero RAZIONALE un decimale limitato o periodico due lati di un rettangolo, altezza e ipotenusa di un triangolo,.. INCOMMENSURABILI se il loro rapporto è un numero IRRAZIONALE il numero è un decimale illimitato NON PERIODICO lato e diagonale di un quadrato Rapporto fra Grandezze NON Omogenee è il quoziente fra le loro misure ed è una NUOVA GRANDEZZA non omogenea a quelle date. La sua unità di misura è il rapporto tra le unità date. la velocità peso specifico 2
Calcolo del termine incognito in un rapporto 1 CASO: ANTECEDENTE INCOGNITO REGOLA: Si moltiplica il valore del rapporto per il CONSEGUENTE. 2 CASO: CONSEGUENTE INCOGNITO REGOLA: si divide l ANTECEDENTE per il valore del RAPPORTO. ( ) 3
PROPORZIONI una proporzione è un UGUAGLIANZA di due RAPPORTI. Ovvero, quattro numeri sono in proporzione se il rapporto tra i primi due è uguale al rapporto tra gli altri due. Si legge: a sta a b come c sta a d I quattro numeri si chiamano TERMINI della proporzione, inoltre: e ANTECEDENTI e CONSEGUENTI e ESTREMI e MEDI QUARTO PROPORZIONALE PROPRIETA FONDAMENTALE DELLE PROPORZIONI In ogni proporzione il PRODOTTO dei MEDI è uguale al PRODOTTO degli ESTREMI. Esempi: ok ok OSSERVAZIONE: Quattro numeri sono in proporzione solo se vale questa proprietà, ovvero se il PRODOTTO del primo per il quarto è uguale al PRODOTTO del secondo per il terzo. dati i seguenti numeri, verificare che si tratta di una proporzione. è una proporzione? NON è UNA PROPORZIONE! 4
PROPRIETA DELLE PROPORZIONI 1) PROPRIETA DELL INVERTIRE Se invertiamo ogni antecedente con il suo conseguente, otteniamo una NUOVA PROPORZIONE. verifico che sia ancora una proporzione: ok 2) PROPRIETA DEL PERMUTARE Se si scambiano tra loro i MEDI, oppure gli ESTREMI, oppure ENTRAMBI, si ottiene una NUOVA PROPORZIONE. i. Scambio i MEDI: Verifico che sia una proporzione: ok ii. Scambio gli ESTREMI: Verifico che sia una proporzione: ok iii. Scambio i MEDI e gli ESTREMI: Verifico che sia una proporzione: ok 5
3) PROPRIETA DEL COMPORRE In ogni proporzione la SOMMA del PRIMO e del SECONDO termine STA al PRIMO (oppure al SECONDO), come la SOMMA del TERZO e del QUARTO termine STA al TERZO (oppure al QUARTO). ( ) ( ) ( ) ( ) I CASO: ( ) ( ) ok II CASO: ( ) ( ) ok 4) PROPRIETA DEL SCOMPORRE In ogni proporzione la DIFFERENZA tra il PRIMO e il SECONDO termine STA al PRIMO (oppure al SECONDO), come la DIFFERENZA tra il TERZO e il QUARTO termine STA al TERZO (oppure al QUARTO). Si può applicare solo nel caso in cui gli antecedenti siano MAGGIORI dei conseguenti. ( ) ( ) ( ) ( ) Non si può applicare la proprietà dello scomporre Si applica la proprietà dell invertire: I CASO: ( ) ( ) ok II CASO: ( ) ( ) 30=30 ok 6
Calcolo del termine incognito di una proporzione Data una proporzione con un termine incognito, risolverla significa trovare il valore di quel termine applicando le proprietà delle proporzioni. 1) Calcolo di un ESTREMO incognito Se 12 : 8 = 3 : x Regola: per la PROPRIETÀ FONDAMENTALE, quindi: in ogni proporzione un ESTREMO INCOGNITO è uguale al prodotto dei medi diviso l altro estremo. 2) calcolo di un MEDIO incognito Regola: per la PROPRIETÀ FONDAMENTALE, quindi: in ogni proporzione un medio incognito è uguale al prodotto degli estremi diviso l altro medio. 7
3) proporzione CONTINUA: Infatti Regola: per la PROPRIETÀ FONDAMENTALE, quindi: in ogni proporzione continua il medio incognito è uguale alla RADICE QUADRATA del prodotto degli estremi. 8