EQUAZIONI DI MAXWELL

EQUAZIONI DI MAXWELL CAMPO ELETTRICO INDOTTO Per la legge di Faraday-Neumann-Lenz, in una spira conduttrice dove c è una variazione di Φ(B) concatenato si osserva una corrente indotta. Ricordando che una corrente è un flusso di cariche provocato da un campo elettrico E, possiamo scrivere le seguenti implicazioni che possono portare all introduzione di un campo elettrico (campo elettrico indotto) dφ(b) 0 Nasce una f e.m. indotta Circola una corrente indotta Si instaura un moto di cariche q E necessaria una forza elettrica F = qe Nasce un campo elettrico indotto E i

CAMPO ELETTRICO INDOTTO Possiamo pensare ad un interpretazione diversa dovuta a Maxwell (in rosso) per spiegare l insorgere di una corrente indotta nella spira Se in una regione dello spazio si ha una variazione del flusso magnetico, dφ(b) 0, si crea una nuova proprietà dello spazio detta campo elettrico indotto dφ(b) 0 Nasce una f e.m. indotta Circola una corrente indotta Si instaura un moto di cariche q E necessaria una forza elettrica F = qe Nasce un campo elettrico indotto E i

CAMPO ELETTRICO INDOTTO Questa proprietà dello spazio poi si manifesta su un eventuale spira conduttrice (o circuito) presente nella regione, con una corrente indotta IN CONCLUSIONE: UN CAMPO MAGNETICO VARIABILE GENERA UN CAMPO ELETTRICO INDOTTO Il campo indotto non dipende dalla presenza o meno di un circuito; togliendo il circuito non avremo più la corrente ma continuerà ad essere presente il campo elettrico

Caratteristiche di questo campo elettrico indotto Consideriamo che in una regione dello spazio in cui è presente un campo magnetico variabile nel tempo ci sia un circuito (o semplicemente una linea chiusa) γ di superficie S. Per la legge di Faraday Neumann- Lenz si genera una f.e.m. indotta nel circuito data da : f e.m. = dφ(b) La f e.m. è il lavoro per unità di carica necessario per spostare una carica q lungo la curva γ. f e.m. = L q Suddividiamo la curva in tratti piccolissimi l k così piccoli in modo da essere considerati rettilinei e tali che in ciascuno di essi la forza F k sulla carica rimanga costante. Il lavoro elementare L k per spostare una carica q lungo il tratto l k è L k = F k l k. Il lavoro totale per spostare la carica q lungo l intera curva è: L = L k = F k l k. k k

Quindi la forza elettromotrice si può scrivere: f e.m. = L q = k F k l k. q = k F k q l k. Il rapporto F k q è il campo elettrico indotto nel tratto l k della curva, quindi: f e.m. = E k l k. Il membro di destra è la circuitazione del campo elettrico indotto lungo la curva γ: k C(E) = E k l k. La legge di Faraday-Neumann-Lenz si può riscrivere nella forma: k C E = dφ(b) La E k l k. k si può riscrivere tramite integrale lungo una linea chiusa come: E dl = dφ(b)

Dalla nuova formulazione della legge di Faraday-Neumann osserviamo che la circuitazione del campo elettrico indotto è diversa da zero per cui: IL CAMPO ELETTRICO INDOTTO NON E CONSERVATIVO Se ci troviamo nel caso stazionario in cui non varia il campo magnetico, ossia se: B = cost => dφ(b) = 0 => E dl = 0 Abbiamo un campo elettrico conservativo, perché la circuitazione lunga una linea chiusa è nulla. Non è più un campo elettrico indotto L equazione E dl = dφ(b) Include anche il caso stazionario di campo elettrostatico E è il campo elettrostatico per i casi stazionari e il campo elettrico indotto per i casi variabili, non stazionari

Campi elettrici Campo elettrostatico (creato da cariche) Circuitazione = 0 il campo è conservativo Campo elettrico indotto (creato da variazioni di B) Circuitazione 0 il campo non è conservativo Equazioni di Maxwell 7

CAMPO MAGNETICO INDOTTO L equazione dice che in una regione in cui c è un campo magnetico che varia si genera un campo elettrico E dl = dφ(b) Questa interpretazione della Legge di Faraday fa sorgere una domanda naturale: è vero anche la situazione simmetrica? Se in una regione di spazio c è un campo elettrico che varia, si crea un campo magnetico? La risposta è affermativa e questa evidenza sperimentale si sviluppa in una teoria grazie a Maxwell partendo dall evidenziare i limiti della Legge di Ampere C γ (B)= μ 0 i c Dove i c è la corrente concatenata alla linea γ Che possiamo riscrivere tramite integrale lungo una linea chiusa B dl = μ 0 i c 8

Il campo magnetico indotto Consideriamo un condensatore piano in carica, come mostrato in figura: Intorno al filo conduttore si genera un campo magnetico variabile nel tempo che permane fino al completamento della carica Tra le piastre del condensatore - si genera un campo elettrico variabile che aumenta fino a raggiungere il valore massimo quando le piastre sono completamente cariche - si genera anche un debole campo magnetico nonostante l assenza di corrente

In conclusione si osserva sperimentalmente che c è una simmetria: ( E) ( B) E B Così come un campo magnetico variabile genera un campo elettrico indotto, anche un campo elettrico variabile genera un campo magnetico indotto. Entrambi i campi indotti sono concatenati ai campi "induttori" dl dl q 0 d( B) i Flusso Circuitazione Dove poter inserire questa simmetria? 10

Asimmetrie campi elettrici e magnetici ( E) q Esistono cariche isolate, ma non poli magnetici isolati ( B) 0 d( B) E dl B dl i Se un campo magnetico variabile crea un campo elettrico indotto, è vero il viceversa? SI, APPENA VISTO, MA COME MODIFICHIAMO L EQUAZIONE? 11

GENERALIZZAZIONE DELLA LEGGE DI AMPERE Tentiamo di ristabilire la simmetria C è un errore dimensionale q tra i due membri ( E ) Il segno va cambiato con quello + poiché la ( B) 0 circuitazione del campo magnetico calcolata lungo d ( B) una linea chiusa avvolta E dl intorno alle linee di E è positiva in corrispondenza d ( E ) di un aumento del flusso B dl i B dl??? del campo E 12

Carica di un condensatore Abbiamo visto che: La corrente di carica crea un campo magnetico Dentro il condensatore si crea un campo elettrico variabile; anche il campo elettrico variabile nel vuoto genera un campo magnetico (debole) B E B Qui c è corrente Qui c è corrente Qui NO Ma.LA NATURA NON FA SALTI ed inoltre la variazione di flusso del campo elettrico nel condensatore si comporta come una corrente nel filo in quanto genera un campo 13 magnetico

Esperimento di Maxwell Applicando la legge di Ampere, Maxwell osserva che la circuitazione del campo magnetico lungo S 1 prima e dopo il condensatore è costante e non nulla, mentre è nulla lungo S 2 se non si tiene conto dell esistenza di una corrente anche tra le armature Ricordando il fondamentale principio della fisica, la natura non fa salti, ipotizza l esistenza, all interno del condensatore, di una nuova corrente corrente di spostamento, di valore pari a quella di carica del condensatore.

Alla ricerca del termine mancante L unica cosa presente nel condensatore è il campo elettrico. Pertanto Maxwell trova la relazione tra questo e la corrente di carica i. La variazione di carica sul condensatore vale: Il campo E vale: E dove la densità di carica vale: Q dove S è la superficie delle armature del condensatore. Quindi la variazione del flusso del campo elettrico nel condensatore è pari a: ΔΦ E Δ(ES) Δσ ε S Q S ΔQ Sε S ΔQ ε it

Il calcolo della corrente di spostamento Ricordando che: Q it segue: E Q Esplicitando la corrente abbiamo che: Maxwell la chiama corrente di spostamento, che indicheremo col simbolo i s. i s it t E i t E

Il teorema di Ampère-Maxwell Maxwell modifica il teorema di Ampère come segue: C Sostituendo i s otteniamo: C B i Che prende il nome di teorema di Ampère-Maxwell. OSS: d ( B) t E i s E B i t È la variazione del flusso di E nel tempo t, mentre con il simbolo Si indica la derivata del flusso rispetto al tempo, ossia quanto l intervallo di tempo in cui si misura la variazione temporale è prossimo a zero

Equazioni di Maxwell definitive ( E) ( B) E B dl dl q 0 d( B) d( E) i Un campo E variabile crea un campo B Un campo B variabile crea un campo E e così via OSS: Rappresentiamo le equazioni utilizzando derivate temporali (variazioni piccole di tempo) 18

L importanza di Maxwell Con l aggiunta del suo termine mancante, Maxwell modifica profondamente le equazioni dei campi elettrici e magnetici, mostrando l interdipendenza tra i due. Per questo da Maxwell in poi si potrà parlare di campi elettromagnetici. Questo è il motivo per cui le precedenti equazioni, scoperte dai predecessori di Maxwell, dove Maxwell aggiunge solo un piccolo termine, giustamente prendono il nome di equazioni di Maxwell. OSS: Per completare la descrizione delle interazioni elettromagnetiche, in particolare per descrivere l azione dei campi elettrici e magnetici su una particella carica in moto, ricordiamo che bisogna aggiungere una quinta equazione, l EQUAZIONE DI LORENTZ F = q(e + v B)

EQUAZIONI DI MAXWELL NEL CASO STATICO Le equazioni di Maxwell nel caso di campi elettrici e magnetici costanti diventano: ( E) q Nel caso statico NON CI SONO RELAZIONI TRA CAMPO ELETTRICO E MAGNETICO ( B) 0 E dl 0 B dl i

La simmetria di cui si è parlato è ancora più evidente riscrivendole nel caso in cui non siano presenti né cariche e né circuiti percorsi da correnti. In tal caso non ci sono sorgenti, cioè Q = 0 ed i = 0 Pertanto le equazioni si riscrivono nel seguente modo: C EQUAZIONI DI MAXWELL IN ASSENZA DI C E B E B CARICHE E DI CORRENTI 0 0 d ( B ) d ( E ) Da questa situazione si arriverà a scoprire le onde elettromagnetiche

CAMPO ELETTROMAGNETICO Maxwell sistemò in una teoria unitaria tutte le leggi dei fenomeni elettrici e magnetici. In questa teoria i due tipi di campi sono due aspetti di una stessa entità: il campo elettromagnetico.

CAMPO ELETTROMAGNETICO Dalla terza e quarta equazione di Maxwell in assenza di cariche e di correnti segue che: Un campo magnetico variabile genera un campo elettrico indotto che, se risulta a sua volta variabile, produce un secondo campo magnetico che, nel caso anche questo fosse variabile, si produrrebbe un secondo campo elettrico indotto e così via, generando una perturbazione elettromagnetica, ossia una perturbazione del campo elettromagnetico Affinché di possa creare una perturbazione elettromagnetica, i campi elettrici e magnetici devono essere VARIABILI Ciò è possibile accelerando una carica elettrica

- Una carica elettrica accelerata genera un campo elettrico variabile; ma una carica in moto equivale a una corrente, e si genera quindi anche un campo magnetico variabile (poiché il moto della carica è accelerato e la sua velocità è variabile). Si genera così un onda elettromagnetica La perturbazione elettromagnetica si propaga nello spazio da un punto a uno immediatamente vicino a una velocità costante ed è in grado di autosostenersi La velocità con cui si propaga la perturbazione del campo elettromagnetico è la velocità della luce. La luce stessa è un onda elettromagnetica di particolare frequenza

ONDA ELETTROMAGNETICA Un onda elettromagnetica è prodotta da oscillazioni di cariche elettriche ed è l effetto di una vibrazione di un campo elettrico e di un campo magnetico che si propagano nello spazio con la stessa velocità. La velocità, c, che coincide con quella della luce, vale: c = 2,99 79 10 8 m s Dalla terza e quarta equazione di Maxwell in assenza di cariche e correnti, con un semplice calcolo si arriva al seguente risultato c = 1 ε 0 μ 0 = 2,99 79 10 8 m s

La propagazione delle onde elettromagnetiche L apparato più semplice per produrre un onda elettromagnetica, quindi un campo elettromagnetico variabile nel tempo, è l antenna a dipolo elettrico si può schematizzare con un dipolo elettrico oscillante la radiazione emessa prende il nome di radiazione da dipolo elettrico il campo elettrico e il campo magnetico indotto sono perpendicolari tra loro e legati da una relazione di proporzionalità diretta c è la velocità della luce

ANTENNA A DIPOLO ELETTRICO Heinrich Rudolf Hertz nel 1887 costruì la prima antenna trasmittente e ricevente e confermò sperimentalmente l esistenza delle onde elettromagnetiche previste teoricamente da Maxwell Il movimento delle cariche all interno dell antenna alimentata da un generatore di corrente alternata può essere schematizzato attraverso un dipolo elettrico oscillante.

ONDE ELETTROMAGNETICHE La rappresentazione temporale dell onda elettromagnetica generata dall antenna a dipolo elettrico in un certo punto P, a quattro differenti istanti (fissata la posizione dell osservatore). I due campi sono fra loro perpendicolari. (A) All istante iniziale il campo elettrico è massimo ed è diretto verso l alto (B) Ad un istante successivo il campo elettrico diminuisce e si genera un campo magnetico indotto perpendicolare al piano che contiene il campo elettrico. (C) Nei casi (B) (C) (D), i campi si propagano verso destra alla velocità della luce e i loro moduli sono legati istante per istante dalla relazione: Le funzioni che rappresentano i campi sono sinusoidali e si propagano su due piani perpendicolari fra loro

ONDE ELETTROMAGNETICHE La rappresentazione spaziale dell onda elettromagnetica a un determinato istante t. L onda si propaga lungo l asse x con una lunghezza d onda ʎ.

Le proprietà delle onde elettromagnetiche Le onde elettromagnetiche sono onde trasversali godono delle stesse proprietà delle onde periodiche in generale possono propagarsi sia in un mezzo sia nel vuoto danno origine agli stessi fenomeni della luce riflessione, rifrazione, interferenza, diffrazione