Soluzione della prova scritta di Analisi Matematica II del 5 Aprile 009 Ingegneria Edile e Architettura x. Calcolare J = ds essendo γ la curva ottenuta intersecando γ + y il cilindro di equazione x + y = 4 con il piano di equazione x + z =. Una possibile parametrizzazione di γ è x = cos t y = sin t z = cos t con π t π, da cui si ottiene: ds = ẋt + ẏt + żt dt = + sin tdt Si ha quindi x π γ + y ds = 4 cos t 0 + θ π + 4 sin + sin t dt = 4 t 0 + 4θ dθ = 0 avendo posto θ = sin t. Alternativamente, ponendo t = π τ si ottiene: π π π = 4 cos t + 4 sin t 4 sin τ + 4 cos τ π π/ + sin t dt = π/ + cos τ dτ = 0 4 sin τ + cos + 4 cos τ dτ τ la seconda eguaglianza derivando dalla periodicità periodo π uguale all ampiezza dell intervallo di integrazione e l ultima dalla disparità della funzione integranda. In pratica è come considerare la parametrizzazione di γ: 8 < x = sin τ y = cos τ : z = sin τ
. Determinare, se esistono, massimi e minimi assoluti della funzione fx, y, z = x + yz nel dominio Ω = {x, y, z 9 z x + y 9z }. Dato che fx, y, z è continua e Ω è chiuso e limitato chiuso nell ellissoide x + y + 9z, f ammette certamente max e min. Inoltre, essendo f = x z, si ha f = 0 se e solo se x = y = z = 0 che però non è un punto y interno ad Ω. Ricerchiamo max e min sula frontiera. Scriviamo: dove Ω = Σ Σ Γ Σ = {x + y 9z = 0 x + y + 9z < } Σ = {x + y + 9z = 0 9z x y < 0} Γ = {x + y + 9z = 0 x + y 9z = 0} a. Ricerca di max, min su Σ. Utilizziamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Si osservi che il vincolo di equazione x + y 9z = 0 è regolare. La Lagrangiana è Si ha: Lx, y, z, λ = x + yz λx + y 9z Lx, y, z, λ = x 4λx z 4λy y + 9λ x + y 9z e quindi Lx, y, z, λ = 0 se e solo se x, y, z, λ soddisfano il sistema: che ha la sola soluzione: x λ = 0 z λy = 0 y = λ x + y 9z = 0 x = 0 λ = 0 z = 0 y = 0. x λ = 0 z = λ y = λ 4x + 9λ + 8λ = 0 Dato che O = 0, 0, 0 soddisfa x + y + 9z <, il punto è accettabile e si ha f0, 0, 0 = 0. b. Ricerca di max, min su Σ. Questa volta sostituiamo x = y 9z nell espressione di fx, y, z e ricerchiamo massimi e minimi della funzione F y, z = y 9z + yz Ovviamente si potrebbe anche studiare max, min della funzione F x, y = x + 4 yx +y ottenuta sostituendo z = 9 x + y in fx, y, z. Anche questa volta si potrebbe utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange dato che l ellissoide x + y + 9z = 0 è un vincolo regolare.
imponendo la condizione F y, z = 0. Osserviamo però che l equazione x = y 9z definisce due superfici ossia: S = {x = y 9z } e S = {x = y 9z } entrambe definite per y +9z e i punti di ognuna di queste due superfici che soddisfano y +9z = non sono interni al loro dominio di definizione e in questi punti le funzioni non sono differenziabili. Pertanto questi punti vanno trattati separatamente. Consideriamo, per ora i punti che soddisfano y + 9z <. La condizione F y, z = 0 si scrive: { y + z = 0 z + y = 0 ossia F y, z = 0 lungo la retta y = z. Posto γ = {x, y, z y = z, x + y + 9z = } = {x, y, z y = z, x + y = }, si ha fx, y, z γ = x + yz = x + y = Quindi fx, y, z è costante lungo la curva γ contenuta nell ellissoide di equazione x + y + 9y =. Tuttavia di γ bisogna considerare solo i punti che soddisfano la disequazione 9z < x + y ossia bisogna verificare che il sistema misto: y = z x + y = 9z < x + y ammetta soluzioni. Ora si ha: y = z y = z x + y = x = y 9z < x + y y < y y = z x = y < y < ossia perché?: y = z x + y = y < Su tutti i punti di questa porzione di γ si ha fx, y, z =.
,0 0,5 0 0,00 0,5,0 In figura l ellissoide è disegnato in rosso, il paraboloide in blu e la linea nera che taglia trasversalmente meridiani e paralleli è la curva γ. Per semplicità si è scalata la z sostituendola con z ossia si sono disegnate la sfera x + y + z =, il paraboloide z = x + y e la curva γ = {y = z, x + y + z = }. Consideriamo ora i punti del vincolo che soddisfano l equazione y +9z =. In tutti questi punti si ha x = 0 e f0, y, z = yz. Applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange 4 si ottiene il sistema: z + µy = 0 y 8µz = 0 y + 9z = z + µy = 0 y µz = 0 y + 9z = + µ z = 0 y = µz y + 9z = che fornisce la soluzione y = z = 0. Otteniamo quindi il punto 0, 0, 0 che non soddisfa la disequazione 9z < x + y e pertanto non va considerato. c. Ricerca di max, min su Γ. Cerchiamo una parametrizzazione di Γ risolvendo il sistema: { { { x + y = 9z 8z x + y = 9z + 9z = 0 z = 9± 8+44 x + y = 9z =, x + y = 9z ossia { x + y = 4 z = x = cos t y = sin t z = 4 tanto valeva applicarlo prima!!! 4
Sostituendo nell espressione di fx, y, z si ottiene la funzione ut := f cos t, sin t, = 4 cos t + sin t. Derivando rispetto a t si ottiene: che si annulla quando u t = sin t cos t + cos t = cos t = 0 oppure sin t = Nel primo caso si ha sin t = ± e si ottengono i punti: P ± = 0, ±, nel secondo si ha cos t = ± Si ha: e f f e si ottengono i punti: Q ± = 0, ± ±, ±, cos t sin t,, = ±, = + = si osservi che ±,, γ e soddisfa la condizione x + y = 9z. In conclusione: max Ω fx, y, z = e viene assunto nella porzione di γ contenuta nel dominio 9z x + y, mentre min Ω fx, y, z = e viene assunto in P =. Calcolare x, x > 0}. 0,, Per ogni x, y Ω poniamo. x x + y dxdy, dove Ω = {x, y xy, y Ω { u = xy ossia: v = y x { x = u v y = uv 5
con u, v [, ] [, ]. Osserviamo che la trasformazione Φ : [, ] [, ] Ω, Φu, v = u v, uv è invertibile. Infatti è chiaramente suriettiva e se x, y = Φu, v = x, y = Φu, v deve essere { u v = u v u v = u v e quindi moltiplicando dividendo le due equazioni: u u u = u v v = u v v = u v u = v u v = u v = u u v ossia u, v = u, v. La matrice Jacobiana della trasformazione è u uv v v v u u v il cui determinante è detj = v > 0 in [, ] [, ]. Otteniamo quindi: [ ] u / v / + v / dv du + y dxdy = Ωx / = [u /] [ v / + v /] = / = 4 = 4 = 4. 4 4 = 4. Risolvere le equazioni differenziali a y = y xy + x y x xx + y equazione di Manfredi; b y + y log x = x log x + per x > 0. 4a. Si ha: y = y xy + x y x xx + y Posto y = xz si ottiene: = yx + y xx + y xx + y z + xz = z xz = z e quindi per qualche c > 0: dz z = dx x log z = log c x z = k x z = ± kx = y x
e quindi yx = x + kx, k R si noti che la soluzione yx = x corrisponde all integrale z =. 4b. Si ha log xdx = x log x dx = xlog x + k e quindi: yx = e {c xlog x + } e xlog x x log x + dx. Ma: e xlog x x log xdx = e quindi: x d dx exlog x dx = xe xlog x e xlog x dx yx = e xlog x { c + xe xlog x } = ce xlog x + x. 7