Costruzione di un immagine prospettica dalle proiezioni ortogonali. Nei capitoli precedenti abbiamo visto come realizzare dei modelli grafici costruendo le viste direttamente sui piani di proiezione ortogonali o sul quadro prospettico. Ora mettiamo in relazione i due sistemi di rappresentazione per ottenere immagini prospettiche partendo da proiezioni parallele ortogonali dell oggetto. Illustreremo tre metodi che, sfruttando le cognizioni acquisite, ci permetteranno di ottenere in modi diversi lo stesso risultato. Tav.27. Nel primo metodo, che chiameremo delle rette al punto principale e al punto di distanza, poniamo sul piano di proiezione ortogonale la vista in pianta dell oggetto con quella in pianta del piano di proiezione prospettico A B e mettiamo in relazione il piano con il piano prospettico visto frontalmente ( ). Per comodità facciamo coincidere A B con il lato superiore dell inquadratura. tav.27 tav.28
tav.29 Tracciamo dai vertici della figura le rette che formano col quadro angoli di 45 e 90. Trasferiamo, per mezzo di linee di richiamo, le tracce delle rette dal quadro visto in pianta (A B ) al quadro prospettico frontale e le uniamo con i rispettivi punti di fuga D e O stabiliti in precedenza in base alla posizione assegnata al centro di proiezione. Nelle intersezioni tra le rette corrispondenti si formeranno le immagini prospettiche dei vertici della figura. Dalle viste ortogonali di prospetto e di profilo (qui non rappresentate) ricaveremo poi le quote degli eventuali alzati da riportare sul quadro prospettico. Tav.28. Definiamo questo metodo metodo delle parallele dal centro di proiezione. Come nella tavola precedente, mettiamo in relazione la vista in pianta dell oggetto e del piano prospettico con l inquadratura prospettica frontale ( ). Evidenziamo sul piano di proiezione ortogonale le rette cui appartengono i lati dell oggetto. Sul quadro prospettico frontale ruotiamo il piano dell orizzonte (vedi tav. 23) allo scopo di ottenere il ribaltamento del centro di proiezione O* sulla parte inferiore del piano di lavoro. Ora portiamo per O* la parallela r* alla retta r fino a ottenere la fuga F r, comune a entrambe. Con una linea di richiamo ricaviamo la posizione T r sul quadro frontale della traccia T r della retta r : otteniamo le informazioni necessarie per produrre l immagine prospettica r della retta r. Tav.29. Il metodo che chiameremo dei raggi proiettanti si basa sulla costruzione delle proiezioni parallele ortogonali non solo dell oggetto ma anche del quadro prospettico e del centro di proiezione O, come suggerito nella tav. 5. Poniamo nella parte superiore dell inquadratura frontale ( ) la vista in pianta del quadro ( ') e del centro O e nella parte laterale la vista di profilo del quadro ( ) e il punto O. In prima proiezione portiamo da O i raggi proiettanti ai punti A, B e C : l intersezione con il quadro ' del raggio proiettante produce la vista in pianta dell immagine prospettica del punto corrispondente (per esempio il punto A ' è la vista in pianta dell immagine prospettica del punto A ). Tracciamo per O i raggi proiettanti ottenendo le viste di profilo sul quadro delle immagini prospettiche dei punti A,B e C (A è l immagine sul quadro visto di
profilo del punto A ). Incrociamo sulla vista frontale del quadro, con linee di richiamo, i punti individuati sulle due viste in pianta e di profilo del quadro stesso e otterremo l immagine prospettica A B C della figura. Restituzione prospettica. La restituzione nello spazio è la capacità del modello di rievocare l oggetto rappresentato (o meglio la sua sintesi geometrica) ripercorrendo in ordine inverso le operazioni di proiezione. Il metodo della restituzione prospettica cioè permette di ricostruire nello spazio un oggetto partendo da una sua immagine prospettica. Se stiamo realizzando una immagine direttamente sul quadro siamo evidentemente a conoscenza dell orientamento interno che regola il nostro impianto prospettico (quadro e centro di proiezione). Utilizzando in modo adeguato le procedure descritte in precedenza siamo in grado quindi, mettendo in relazione i due sistemi di rappresentazione, di risalire senza difficoltà alle proiezioni ortogonali dell oggetto partendo da una sua immagine prospettica. Porre in relazione tra loro i piani proiettivi ortogonali e il quadro prospettico risulta estremamente vantaggioso soprattutto in fase di progettazione: le proprietà dei due sistemi in questo modo si completano fornendo uno strumento efficace per la costruzione del modello. Per risalire allo sviluppo spaziale dell oggetto partendo semplicemente da una sua immagine prospettica, senza cioè disporre di informazioni sulla posizione del centro di proiezione e del quadro, dobbiamo ricavare dall immagine stessa altre informazioni che ci permettano di ricostruire l orientamento interno della prospettiva: ortogonalità degli angoli, misure reali degli oggetti rappresentati e così via. Non approfondiremo l argomento poiché la conoscenza di questo tipo di tecniche di restituzione è di scarsa utilità nel nostro ambito di studi (nota 1). In ambiente teatrale la restituzione nello spazio di un immagine data si effettua di norma ignorando l orientamento interno della costruzione prospettica e adottando invece un centro di proiezione e un inquadratura convenzionali. Questa procedura è stata elaborata per permetterne la visione corretta da un punto di vista privilegiato, posto al centro della sala, che osserva l oggetto restituito attraverso l inquadratura del boccascena. La pratica progettuale in scenografia suggerisce di inquadrare l immagine da restituire entro un rettangolo la cui base abbia con l altezza un rapporto di 8:5. Poniamo il centro di proiezione o punto di vista a una distanza dal quadro pari ai 3/2 della misura della base del rettangolo, in posizione centrale, e l orizzonte a un altezza da terra pari ai 2/5 dell altezza del rettangolo (nota 2). Tav.30. Per poter restituire nello spazio l oggetto rappresentato ne ricostruiamo le viste sui piani di proiezione ortogonali adottando il metodo dei raggi proiettanti (tav. 29), che qui chiameremo traguardi. Disponiamo dunque sopra e ai lati dell immagine rispettivamente la vista in pianta e di profilo del quadro prospettico e del punto di vista. Per economia di spazio sovrappongo la pianta del quadro al lato superiore dell inquadratura.
tav.30 Ricavo con linee di richiamo le viste in pianta e di profilo (A e A ) del punto A. Unisco O e A con un traguardo: la retta O A incontra il piano orizzontale, su cui è rappresentato A nell immagine, nel punto A R. Si tratta della vista di profilo del punto A restituito. Traccio il traguardo anche in prima proiezione (O A ) e lo incrocio con la linea di richiamo ottenendo il punto A R, vista in pianta del punto A restituito. tav.31
Tav.31. Allo stesso modo ricavo tutti gli altri punti dell immagine. Dispongo ora della pianta e del profilo dell oggetto: opero il ribaltamento in pianta e ottengo la vera forma dell oggetto restituito. Tav.32. Difficilmente lo spazio suggerito da un immagine prospettica è compatibile con lo spazio a disposizione sul palcoscenico. Possiamo intervenire in questo caso sulle dimensioni dell oggetto restituito adeguandole allo spazio reale senza modificarlo dal punto di vista proiettivo. Sappiamo (tav. 17) che l immagine di un punto P corrisponde all intersezione P del raggio proiettante, cui il punto appartiene, con il piano di proiezione prospettica. Procedendo in senso inverso però osserviamo che il punto P del quadro è la traccia della retta OP e quindi la rappresenta sul piano prospettico: questo significa che ogni punto della retta è rappresentato da P. Se questo è vero, allora posso decidere di restituire il punto A in uno qualunque dei punti del traguardo O A, per esempio il punto che si trova dietro al quadro a una distanza k dal quadro stesso. Congiungo la linea di terra del quadro con il nuovo punto A R e ottengo la vista di profilo di un piano inclinato, restituzione prospettica del piano orizzontale. Costruisco su questo piano il profilo dell oggetto restituito e ne riporto le coordinate in pianta. Il risultato è un oggetto restituito in uno spazio arbitrario che però conserva, osservato dal punto O, le caratteristiche dell immagine rappresentata sul quadro e di conseguenza, poiché l immagine è la stessa, appare identico anche all oggetto restituito in tav. 31. tav.32
Progettare in ambiente teatrale. Abbiamo accennato al fatto che il centro di proiezione della restituzione prospettica corrisponde in uno spazio teatrale al punto di vista di uno spettatore privilegiato. Ma la comunità di spettatori che assiste alla rappresentazione, anche in una sala posta frontalmente a un palco incorniciato dall arcoscenico, come nel caso degli edifici teatrali di tradizione italiana, osserva la scena da più punti di vista e a ognuno di questi si deve offrire allo sguardo senza soluzioni di continuità. La scena può essere il frutto della restituzione di un bozzetto oppure può essere realizzata direttamente sul palcoscenico: in ogni caso dobbiamo fare in modo che risulti coerente, qualunque sia il punto della sala da dove viene osservata. In particolare dobbiamo evitare che tra le varie parti che la compongono appaiano degli sfori, delle aperture cioè che lascino intravedere lo spazio oltre la scena. Tav. 33. Le due immagini sono la vista in pianta e in sezione di un teatro all italiana. Il punto O indica il centro di proiezione cui si ricorre per realizzare la restituzione prospettica dell immagine rappresentata sul quadro (che si trova virtualmente in corrispondenza del diaframma di boccascena). Il punto A indica lo spettatore seduto in platea sulla prima poltrona laterale della prima fila e viene considerato il punto di vista laterale estremo, dal momento che per consuetudine si trascura il punto di vista di chi si trova negli eventuali palchi di proscenio. B è il punto dal quale si tracciano i traguardi necessari ad allineare correttamente gli elementi che compongono la parte superiore della scena. C infine è lo spettatore che si trova nell ultimo ordine di palchi: l altezza dell inquadratura di boccascena deve essere proporzionata alla profondità della scena per permettergli una visione sufficientemente ampia dello spazio scenico. tav.33
tav.34 Tav.34. Nell esempio indicato sono descritte schematicamente le viste in pianta e di profilo di una scena formata da quinte, soffitti e fondale: la cosiddetta scena all italiana. La posizione e le dimensioni dei vari elementi sono definiti, oltre che dalle esigenze della messa in scena, anche dai traguardi tracciati dai punti A e B. L immagine (il bozzetto) dal quale la scena è stata ricavata illustra solo la parte di scena che viene osservata dal punto O: per quanto riguarda il fondale per esempio, il bozzetto ne descrive solo la porzione o. Lo spettatore che occupa la poltrona laterale di prima fila vede invece del fondale la porzione o+a e tutti gli spettatori di prima fila ne vedono la porzione o+b. E necessario dunque completare adeguatamente il progetto scenico aggiungendo le parti che non appaiono nel bozzetto iniziale in modo tale che la scena risulti coerente anche se osservata da un qualunque altro punto della sala diverso da O. Nota 1. Il problema inverso della prospettiva nasce con l invenzione della prospettiva stessa. Nel trattato del 1600 Perspectivae libri sex di Guidubaldo del Monte viene affrontato per la prima volta in termini scientifici un problema di restituzione prospettica. Data una linea BC sul piano orizzontale e la sua rappresentazione DE sul quadro (qui ribaltato sul piano orizzontale) trovare la distanza dal quadro e l altezza da terra del centro di proiezione. Le rette BF e CG sono la vista in pianta dei raggi proiettanti che si intersecano nel punto S, proiezione sul piano orizzontale del centro di proiezione. Posti DF=FH e EG=GK, le rette BH e CK intersecano in A. Il segmento AS è proporzionale a FD ed EG e quindi è l altezza da terra del centro di proiezione. Nella moderna fotogrammetria si applicano i principi della restituzione prospettica a immagini fotografiche: utilizzando le informazioni fornite dalla fotografia è infatti possibile risalire all orientamento interno dell immagine e da qui alle dimensioni reali dell oggetto rappresentato.
Nota 2. L origine di queste convenzioni va probabilmente cercata nelle proporzioni architettoniche che caratterizzano buona parte degli edifici teatrali di tradizione. Notiamo d altra parte che le cifre che regolano le proporzioni indicate appartengono alla sequenza di Fibonacci (ogni numero della sequenza è pari alla somma dei due numeri che lo precedono), dove il rapporto tra un numero e quello che lo precede è una approssimazione del rapporto aureo 1,618033; possiamo supporre quindi che le proporzioni indicate siano delle semplificazioni di rapporti aurei. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Assonometria. L assonometria, in termini generali, è la rappresentazione dell oggetto ottenuta per proiezione parallela su un piano di proiezione orientato obliquamente rispetto all oggetto stesso e alla terna di piani cartesiani cui si riferisce. In alcuni casi, come vedremo, il piano di proiezione può anche coincidere con uno dei piani di riferimento. Offre il vantaggio di suggerire lo sviluppo spaziale dell oggetto per mezzo di un immagine che però conserva le caratteristiche delle proiezioni parallele. tav.35 Tav.35. Le rette x, y, z generano i tre piani tra loro ortogonali xy, xz, yz. Il piano di proiezione interseca gli assi nei punti Tx, Ty, Tz. Le tracce TxTy, TxTz, TyTz dei piani cartesiani formano sul quadro il triangolo delle tracce. Il fascio di raggi proiettanti paralleli r proietta l immagine sul piano liberamente orientato rispetto ai piani cartesiani. L incidenza del fascio di rette r su può essere ortogonale oppure obliqua: si distingue dunque un assonometria ortogonale e una assonometria obliqua. Dal momento che l orientamento del piano di proiezione e dei raggi proiettanti è arbitrario se ne deduce che dello stesso oggetto è possibile generare un numero infinito di viste assonometriche.
tav.36 Tav.36. Per costruire un immagine assonometrica si tracciano sul piano le proiezioni dei tre assi di riferimento x, y, z e su questi si staccano le misure delle coordinate del punto da rappresentare. L insieme dei tre segmenti mx, my, mz che determinano la posizione del punto P è detto spezzata costruttrice del punto. Alcuni metodi di rappresentazione assonometrica risultano vantaggiosi per la loro semplicità e chiarezza espositiva e noi concentreremo la nostra attenzione su di loro descrivendone brevemente le tecniche costruttive. tav.37 Tav.37. Assonometria ortogonale isometrica. Un immagine di questo tipo è generata da un fascio di raggi proiettanti perpendicolari al piano di proiezione, orientato in modo che le intersezioni con i piani cartesiani formino un triangolo delle tracce equilatero. Per realizzare un assonometria ortogonale isometrica, in pratica, tracciamo sul quadro le tre semirette x, y, z in modo che formino tra loro angoli di 120 e costruiamo l immagine utilizzando su tutti e tre gli assi l unità di misura (u) indicata nella scala di riduzione. Nel caso del cubo rappresentato in figura, le misure di tutti i lati corrispondono in scala a quelle reali.
Tav.38. Assonometria militare. Nell assonometria militare il piano di proiezione è parallelo al piano xy, cioè al piano orizzontale. I raggi proiettanti lo attraversano obliquamente producendo così un immagine dove i piani orizzontali appaiono nella loro vera forma mentre le viste corrispondenti ai piani xz e yz appaiono deformate. Osserviamo infatti che i lati superiore e inferiore del cubo rappresentato sono quadrati. Disponiamo dunque gli assi sul quadro in modo che x e y siano ortogonali tra loro e non allineati con l asse z, orientato verticalmente. Le misure corrispondenti agli assi x e y si ottengono dall unità di misura indicata nella scala. Le misure ricavate sull asse z si possono riferire alla stessa unità di misura. L immagine ottenuta in questo modo però appare distorta in modo sgradevole; è conveniente quindi applicare a queste ultime una opportuna riduzione, così come appare nel disegno, non dimenticando di indicare l unità di misura (uz) utilizzata. tav.38 Tav.39. Assonometria cavaliera. Questa assonometria, come la precedente, è un assonometria obliqua che si costruisce su un piano di proiezione parallelo al piano xz. Di conseguenza tutti i piani paralleli al piano xz appaiono frontali e sono descritti nella loro vera forma. Tracciamo le proiezioni degli assi in modo che x e z risultino ortogonali tra loro e che l asse y non sia allineato. Come nell esempio precedente, anche qui le coordinate dei punti misurate sugli assi x e z corrispondono in scala alle misure reali dell oggetto mentre quelle ricavate sull asse y utilizzano un unità di misura opportunamente ridotta allo scopo di rendere più verosimile lo sviluppo spaziale dell oggetto.
tav.39 Tav.40. Assonometria speciale. Si tratta di un assonometria obliqua dove il piano di proiezione corrisponde al piano xy; la direzione dei raggi di proiezione è parallela al piano yz e forma con il piano di proiezione un angolo di 45. In pratica il piano yz viene visto di profilo, ottenendo così la sovrapposizione degli assi. Le unità di misura sono tutte uguali e le misure sono quelle reali dell oggetto. L immagine che ne deriva perde la vista di profilo ma conserva la vera forma sia dei piani orizzontali che dei prospetti. Risulta quindi inefficace quando l orientamento dell oggetto non ci permette di afferrarne lo sviluppo tridimensionale, come nel caso del cubo raffigurato nell immagine a sinistra. Appare perfettamente adeguata invece nella rappresentazione del prisma che si trova sul lato destro. tav.40