Alessandro Ramponi Lezioni di Finanza Matematica

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Alessandro Ramponi Lezioni di Finanza Matematica

Copyright MMXII ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133/A B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 978-88-548-5244-0 I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: novembre 2012

A Raffaella, Martina e Federica

Indice 9 Prefazione 11 Capitolo I Concetti base della Matematica Finanziaria 1.1. Interessi, 11 1.1.1. Interesse semplice, 11 1.1.2. Interesse composto periodicamente, 12 1.1.3. Interesse composto continuamente, 16 1.2. Valore temporale del denaro e flussi di cassa, 17 1.2.1. Valore attuale, 18 1.2.2. Valore futuro, 20 1.2.3. Equivalenza di flussi di cassa e IRR, 21 1.3. Arbitraggio, 23 1.4. Alcuni meccanismi: vendita allo scoperto e speculazione, 25 1.5. Un estensione: il tasso di interesse dipendente dal tempo, 27 1.6. Rendimenti e portafogli, 29. 35 Capitolo II Security markets 2.1. Il modello matematico di mercato: arbitraggio e prezzi, 35 2.2. Le obbligazioni, 38 2.2.1. Rendimenti e la struttura a termine dei tassi, 40 2.2.2. Obbligazioni con cedole, 45 2.2.3. Duration e duration modificata., 48 2.2.4. La determinazione della struttura a termine dei tassi d interesse: il metodo bootstrap., 49. 55 Capitolo III Rischio di credito 3.1. Misure coerenti di rischio, 56 3.1.1. Il Value-at-Risk, 57 3.1.2. Expected shortfall, 62 3.2. Il rischio di credito, 63 3.3. Il modello di Merton, 66 3.4. Il modello ASRF, 70 3.4.1. La distribuzione delle perdite: il modello asintotico, 75. 83 Capitolo IV Prodotti derivati: forward, futures ed opzioni 4.1. Contratti Forward e Futures, 83 4.2. Contratti di opzione, 87 4.2.1. Opzione call, 88 4.2.2. Opzione put, 91 4.3. Proprietà delle opzioni, 92 4.3.1. Limiti sul valore dei premi, 93 4.3.2. Put-Call parity, 95 7

8 Indice 4.4. Alcune strategie di mercato, 96 4.4.1. Uso dei derivati: hedgers e speculatori, 97 4.4.2. Alcune strategie, 99 4.4.3. Effetto leva, 102 4.5. Complementi ed esercizi, 104. 109 Capitolo V Valutazione dei derivati: dalla formula CRR alla formula di Black- Scholes 5.1. Il modello binomiale uniperiodale, 109 5.2. Il modello binomiale multiperiodale di Cox, Ross e Rubinstein, 116 5.3. La formula di Black-Scholes, 122 5.3.1. Le lettere greche e l equazione di Black-Scholes, 132 5.3.2. Il modello dinamico a tempo continuo e la valutazione neutrale al rischio, 137 5.4. Complementi ed esercizi, 140. 145 Capitolo VI Richiami di Calcolo delle Probabilità 6.1. Eventi e Probabilità, 145 6.1.1. Probabilità condizionate, indipendenza e Formula di Bayes, 147 6.2. Variabili aleatorie, 148 6.2.1. Variabile discrete, 149 6.2.2. Variabili continue, 151 6.3. Leggi congiunte di variabili aleatorie, probabilità condizionate e indipendenza, 153 6.3.1. Il caso discreto, 153 6.3.2. Il caso continuo, 155 6.3.3. Ancora sul valore atteso condizionato: un punto di vista più generale, 157 6.3.4. Funzioni di variabili aleatorie, 158 6.3.5. Variabili Normali Multivariate, 159 6.4. Funzioni caratteristiche, 160 6.5. Convergenze di variabili aleatorie, 162 6.5.1. La Legge dei Grandi Numeri, 164 6.5.2. Il Teorema Limite Centrale, 165 6.6. Processi stocastici, filtrazioni e martingale., 165. 171 Bibliografia

Prefazione Questo libro nasce dalla volontà di organizzare una serie di note e appunti raccolti nel corso degli anni per le lezioni del corso di Modelli Matematici per la Finanza (o per il Mercato Finanziario) che ho tenuto a partire dal 2002, sia per il corso di laurea specialistica in Matematica, all Università di Roma Tre, che per quella in Economia (attualmente Economia dei Mercati e degli Intermediari Finanziari), all Università di Roma Tor Vergata. Le note si sono quindi sviluppate e adattate di volta in volta per venire incontro alle esigenze di studenti con differenti livelli di preparazione. Questo continuo sviluppo mi ha però permesso di mettere a fuoco, o di cercare di farlo, alcune idee e tecniche alla base di alcuni dei principali argomenti della moderna Finanza Matematica: mercati a reddito fisso, analisi del rischio e valutazione di derivati. Ho ritenuto dunque necessario, per avere un insieme organico di nozioni, di includere sia una parte introduttiva ai concetti base della Matematica Finanziaria (composizione dei tassi di interesse, flussi di cassa, attualizzazione, arbitraggio... ) sia un riepilogo dei principali strumenti del Calcolo delle Probabilità (spazi di probabilità, variabili aleatorie... ed in particolare i concetti di valore atteso condizionato e di martingala). Il denominatore comune è stato quello di utilizzare solo tecniche matematiche in quello che ritengo sia (o debba essere) bagaglio culturale comune agli studenti di indirizzo economico/scientifico: calcolo differenziale e integrale, algebra lineare e calcolo delle probabilità, evitando quindi l uso dei processi stocastici e del calcolo ad essi associato e dell analisi funzionale. Le lezioni si prestano quindi all uso per un corso di Finanza Matematica di uno o due moduli di 4/5 crediti ognuno, sia per studenti che non hanno ancora affrontato in modo organico argomenti di matematica finanziaria (p.e. matematica o ingegneria) sia per studenti con una preparazione economico/finanziaria ma meno orientata a certi aspetti del calcolo delle probabilità. 9

10 Lezioni di Finanza Matematica Concludo con un doveroso e opportuno ringraziamento ai colleghi, ed amici, Fabio Antonelli e Sergio Scarlatti, senza i quali queste lezioni non sarebbero mai state nè tenute nè scritte. Alessandro Ramponi

Capitolo I Concetti base della Matematica Finanziaria In questo capitolo presenteremo alcune nozioni elementari della matematica finanziaria. Introdurremo in particolare la composizione periodale e continua degli interessi, il valore presente e futuro di un flusso di cassa ed alcune importanti strategie con cui si opera nei mercati finanziari. Per approfondimenti si veda ad esempio [12]. 1.1. Interessi Il più semplice modo di variazione nel tempo del valore di una quantità monetaria disponibile oggi a seguito di un operazione finanziaria è descritto dalle leggi di composizione degli interessi. Possiamo immaginare di avere a disposizione oggi una quantità di denaro X 0 e di investirla, p.e. depositandola su un conto corrente bancario (che supporremo privo di spese!) o prestandola allo Stato od a qualche azienda privata (si parla in questo caso di Obbligazioni), con la promessa di riavere alla fine del periodo considerato, che indichiamo con T > 0, il capitale iniziale più una certa quantità, X T = X 0 + I. In generale si può assumere che la quantità I sia una percentuale del valore iniziale, ovvero I = rx 0 dove r (0,1). A tale valore ci si riferisce genericamente come tasso di interesse. 1.1.1. Interesse semplice Si consideri il caso di un orizzonte temporale di un anno, ovvero T = 1. Supponiamo di depositare oggi un capitale su un conto corrente (c/c) 11

12 Lezioni di Finanza Matematica che paga un certo interesse annuo r: Allora un anno dopo: t = 0 (oggi) X 0 = 100 (capitale iniziale) r = 10% (interesse annuo - tasso). t = 1 (un anno dopo) X 1 = X 0 + rx 0 (nuovo capitale) = 100 + 10 100 = 110. 100 Se indichiamo con r il tasso di interesse su base annua, supponendo che rimanga invariato nel corso del tempo considerato, l interesse si dice semplice se nell anno successivo l interesse che si matura è sul capitale iniziale depositato, e non su quanto guadagnato (supponendo di non fare prelievi): X 2 = X 0 (1 + 2r). Dunque, dopo n anni con t = 2 (due anni dopo) X 2 = X 1 + rx 0 = 110 + 10 100 = 120 100 X n = X 0 (1 + nr) X 0 = capitale iniziale X n = capitale finale dopo n anni Quindi l interesse semplice aggiunge di anno in anno gli interessi sempre e solo sul capitale iniziale. 1.1.2. Interesse composto periodicamente L interesse composto è l interesse che matura anche su quanto guadagnato di anno in anno. Definendo r il tasso di interesse su base annua e supponendo che rimanga invariato per tutto il tempo considerato,

I. Concetti base della Matematica Finanziaria 13 è chiaro che non c è differenza tra l interesse semplice e l interesse composto solo nel primo anno: t = 0 (oggi) X 0 = 100 (capitale iniziale) r = 10% (interesse annuo - tasso) t = 1 (un anno dopo) X 1 = X 0 + rx 0 (nuovo capitale) = 100 + 10 100 = 110, 100 t = 2 (due anni dopo) X 2 = X 1 + rx 1 (nuovo capitale) = 110 + 10 110 = 121. 100 (quindi dopo il secondo anno abbiamo con l interesse composto 1 euro in più rispetto all interesse semplice). Cerchiamo una formula generale: Dunque, dopo n anni con X 0 = capitale iniziale r = interesse annuo - tasso t = 1 anno X 1 = X 0 + rx 0 = X 0 (1 + r) t = 2 anni X 1 = X 1 + rx 1 = X 1 (1 + r) = X 0 (1 + r) 2. t = n anni X n = X n 1 + rx n 1 = X n 1 (1 + r) = X 0 (1 + r) n X n = X 0 (1 + r) n X 0 = capitale iniziale X n = capitale finale dopo n anni Finora l interesse era composto annualmente. Chiediamo ora invece alla banca di pagare sempre il 10% di interesse annuo, ma composto

14 Lezioni di Finanza Matematica semestralmente: t = 0 (oggi) X 0 = 100 (capitale iniziale) r = 10% (interesse annuo - tasso) t = 1/2 (semestre dopo) X 1/2 = X 0 + r 2 X 0 = X 0 (1 + r 2 ) = 100 + 10 1 100 = 105. 100 2 Alla fine del primo anno (e quindi del secondo semestre) riapplico l interesse composto semestralmente sul capitale finora maturato: t = 1 un anno = 2 semestri X 1 = X 1/2 + r 2 X 1/2 = X 0 (1 + r 2 )2 1 = 100(1 + 10 100 2 )2 = 100(1 + 0.05) 2 = 110.25. Si osservi che la composizione semestrale degli interessi ha prodotto dopo un anno un capitale maggiore che con la composizione annuale: infatti (1 + r 2 )2 > (1 + r). Dunque, dopo n anni, cioè h = 2n semestri X n = X 0 (1 + r 2 )h = X 0 (1 + r 2 )2n. Quindi componendo semestralmente guadagno di più rispetto ad

I. Concetti base della Matematica Finanziaria 15 una composizione annuale. Se allora componessi giornalmente 1 : t = 1/365 (un giorno dopo) X 1/365 = X 0 + r 365 X 0 = X 0 (1 + r 365 ) = 100 + 10 1 100 365 100 =. t = 1 un anno = 365 (giorni dopo) X 1 = X 364/365 + r 365 X 364/365 = X 0 (1 + r 365 )365 = 100(1 + 10 1 100 365 )365 = 110.51 Dunque, dopo n anni, ovvero h = 365 n giorni X n = X 0 (1 + r 365 )h = X 0 (1 + r 365 )365 n. In generale, suddividendo l intervallo temporale di un anno in k sottointervalli di ampiezza t = 1/k, il capitale alla fine dell anno con composizione dell interesse r sui sottointervalli t è dato da X 1 = X 0 (1 + r k )k = X 0 (1 + t r) 1/ t. Sia infine T > 0 un dato istante di tempo, che assumiamo essere un multiplo di t, T = h t = h/k: il capitale maturato al tempo T con composizione dell interesse r sui sottointervalli di ampiezza t è X T = X 0 (1 + r k )h = X 0 (1 + r k )k T = X 0 (1 + t r) T/ t. (1.1) Esempio 1.1. Sia X 0 il capitale posseduto oggi. Se r = 7%, quanti anni ci vogliono per raddoppiare il capitale, assumendo una composizione annuale 1. Possiamo assumere che un giorno corrisponda alla 365 parte dell anno. Le convenzioni attuariali per il calcolo degli interessi su differenti basi temporali variano da mercato a mercato.

16 Lezioni di Finanza Matematica degli interessi? Se aspetto 7 anni quanto deve valere r per conseguire il raddoppio del capitale? Poichè X n = X 0 (1 + r) n = X 0 (1 + 0.7) n, per ottenere il raddoppio del capitale deve essere X n = 2X 0, ovvero X 0 (1 + 0.7) n = 2X 0. Dunque n deve soddisfare la condizione (1 + 0.7) n = 2 da cui n = log2 log1.07 = 10.245 In base alla stessa relazione X n = X 0 (1 + r) n = 2X 0, ma risolvendola rispetto ad r con n = 7, otteniamo 2 = (1 + r) 7 r = 2 1/7 1 = 0.104. Sia r il tasso di interesse su base annua che componiamo sui sottoperiodi t = 1/k e sia X 0 il capitale iniziale. In particolare r è detto tasso nominale. Dopo un anno avremo X 1 = X 0 (1 + r k )k. Si definisce tasso di interesse semplice effettivo, r ef f (k) equivalente al tasso r composto su k periodi quel tasso di interesse che permette di ottenere lo stesso capitale alla fine dell anno, ovvero X 1 = X 0 (1+r ef f (k)). Dalla relazione (1 + r ef f (k)) = (1 + r k )k si ha quindi r ef f (k) = (1 + r k )k 1 r = k (1 + r ef f (k)) 1/k 1 1.1.3. Interesse composto continuamente Nell interesse composto periodicamente, più è piccolo il periodo di tempo rispetto al quale si compone l interesse, maggiore è il guadagno. Siamo allora interessati ad intervalli di tempo t sempre più piccoli, ovvero al limite per t 0: il capitale dopo un anno è dunque X 1 = lim t 0 X 0 (1 + t r) 1/ t = lim k + X 0(1 + r k )k = X 0 e r,

I. Concetti base della Matematica Finanziaria 17 o considerando più generalmente un arbitrario istante di tempo T > 0 X T = lim t 0 X 0 (1 + t r) T/ t = lim k + X 0(1 + r k )k T = X 0 e r T. Dunque il capitale maturato al tempo T se l interesse fosse composto continuamente è X T = X 0 e r T. (1.2) Esempio 1.2. Sia X 0 = 100 e il capitale iniziale e r = 10% l interesse annuale: allora il capitale dopo un anno con composizione continua degli interessi è X 1 = X 0 e r = 100e 0.1 = 110.52 Osserviamo che poichè (1 + x/k) k e x, la composizione continua degli interessi è sicuramente la più vantaggiosa per chi riceve gli interessi e di conseguenza la meno vantaggiosa per chi invece li deve pagare. Anche in questo caso possiamo definire dei tassi effettivi equivalenti: dalle relazioni X 1 = X 0 e r c = X0 (1 + r ef f (k)/k) k otteniamo r c = k log(1 + r ef f (k)/k) r ef f (k) = k(e r c/k 1). 1.2. Valore temporale del denaro e flussi di cassa Supponiamo che un deposito su un c/c paghi r = 10% annuo (interesse semplice) e supponiamo che r sia certo (ossia la banca paga l interesse sicuramente, non fallisce!). Se X 0 100 e è il capitale iniziale, allora con certezza dopo un anno il nuovo capitale è X 1 = 110 e. Quindi, il valore attuale o presente di 110 e tra un anno è 100 e disponibili subito. In altri termini, avere 100 edisponibili subito o avere 110 edisponibili tra un anno è la stessa cosa (se c è un investimento certo): X 0 = PV(X 1 ). Analogamente, il valore futuro di 100 e disponibili subito tra un anno è 110 e: X 1 = FV(X 0 ).

18 Lezioni di Finanza Matematica Poichè X 1 = X 0 (1 + r) è immediato osservare che PV(X 1 ) = X 0 = X 1 1 + r, FV(X 0) = X 1 = X 0 (1 + r). Assumendo invece una capitalizzazione continua degli interessi alla fine dell anno si ha PV(X 1 ) = X 1 e r, FV(X 0 ) = X 0 e r. Consideriamo un vettore a due componenti v R 2 con v(x 0, x 1 ): interpretiamo le componenti del vettore come delle quantità monetarie disponibili a certi istanti di tempo fissati (p.e. t = 0 e t = 1) sul nostro c/c. Se x i > 0 si parla di entrate mentre se x i < 0 si parla di uscite. Il vettore v è detto cashflow o flusso di cassa. I flussi di cassa possono essere positivi o negativi. Esempio 1.3. Il vettore v = (1,110) indica la disponibilità di 1 e oggi e di 110 e con certezza tra un anno. Il vettore v = (1, 10) indica invece la disponibilità di 1 e oggi e il pagamento di 10 e che dovrò con certezza effettuare tra un anno. Più in generale possiamo definire un flusso di cassa su n istanti temporali noti 0 t 1 < t 2 < < t n come un vettore v R n, v = (x 0, x 1,...,x n ), dove x i è una quantità monetaria certamente disponibile (in entrata o in uscita) al tempo t i. 1.2.1. Valore attuale Vogliamo definire il valore attuale ed il valore futuro di un flusso di cassa v. Consideriamo ad esempio il flusso di cassa definito dal vettore v = (1,110) che rappresenta la disponibilità di 1 e oggi e di 110 e tra un anno: il suo valore attuale è chiaramente 1 e oggi più il valore attuale dei 110 e disponibili certamente tra un anno, attualizzato rispetto ad un dato tasso di interesse r con capitalizzazione periodale (annuale): quindi PV(v) = 1 + 110 1 + r.

I. Concetti base della Matematica Finanziaria 19 Se r = 10%, 110 PV(v) = 1 + 1 + 10/100 = 101. Ciò vuol dire che adesso, oltre l euro che ho in cassa, è come se ne avessi altri 100 che sicuramente tra un anno matureranno 10 euro di interesse. Se dunque v = (x 0, x 1 ), allora PV(v) = x 0 + x 1 1 + r. Il valore attuale di un flusso di cassa si può estendere a più anni ed a flussi di cassa relativi a tale periodo, avendo assunto che la partizione temporale, ovvero gli istanti di tempo fissati in cui si effettueranno con certezza movimenti monetari, sia fatta compatibilmente con il tipo di tasso di interesse considerato: se v = (x 0, x 1, x 2,...,x n ) è il flusso di cassa dove x i rappresenta la quantità monetaria che con certezza sarà movimentata alla fine dell anno i-esimo e r è il tasso di interesse annuale, allora PV(v) = x 0 + x 1 1 + r + x 2 (1 + r) + + x n n 2 (1 + r) = x i n (1 + r). i In particolare: v = x 0 R = PV(x 0 ) = x 0 ; v = (0,0,...,x n ) = PV(v) = x n /(1 + r) n ; Esempio 1.4. Sia v = (0,0,110) e r = 10%: allora PV(v) = 110/(1 + 0.1) 2 90.91 e, ossia il valore presente di 110 euro a pagarsi tra due anni con un tasso di interesse certo del 10% composto su base annua, è di 90.91 euro. In generale possiamo dare la seguente Definizione 1.1. Siano r il tasso di interesse annuale, 0 = t 0 < t 1 < < t n istanti di tempo fissati che supponiamo equispaziati, t = t i+1 t i (i.e. t i = i t), i = 1,...,n 1 e v = (x 0, x 1,...,x n ) un flusso di cassa relativo a tali tempi. Allora il valore attuale del flusso di cassa v con composizione i=0

20 Lezioni di Finanza Matematica periodale degli interessi su base t è PV(v) = n i=0 x i (1 + t r) i mentre con composizione continua degli interessi è 1.2.2. Valore futuro PV(v) = n x i e rt i. i=0 Possiamo ora definire in modo del tutto analogo il valore futuro di un flusso di cassa. Sia ad esempio v = (x 0, x 1 ) e fissiamo la base periodale come base annua. Sia r un tasso di interesse certo annuale. Il valore della quantità disponibile oggi x 0 tra un anno è chiaramente x 0 (1 + r); inoltre tra un anno si avrà la quantità x 1 e quindi FV(v) = x 0 (1 + r) + x 1. Se v = (x 0, x 1, x 2 ), si ha invece che il valore di x 0 tra due anni è x 0 (1 + r) 2, il valore di x 1 alla fine del secondo anno è x 1 (1 + r) e poichè alla fine del secondo anno si avrà x 2, otteniamo FV(v) = x 0 (1 + r) 2 + x 1 (1 + r) + x 2. Per un generico flusso di cassa v = (x 0, x 1, x 2,...,x n ), dove x i rappresenta la quantità monetaria che con certezza sarà movimentata alla fine dell anno i-esimo e r è il tasso di interesse annuale, allora n FV(v) = x 0 (1+r) n +x 1 (1+r) n 1 +x 2 (1+r) n 2 + +x n = x i (1+r) n i. Definizione 1.2. Siano r il tasso di interesse annuale, 0 = t 0 < t 1 < < t n istanti di tempo fissati che supponiamo equispaziati, t = t i+1 t i (i.e. t i = i t), i = 1,...,n 1 e v = (x 0, x 1,...,x n ) un flusso di cassa relativo a tali tempi. Allora il valore futuro del flusso di cassa v con composizione periodale degli interessi su base t è FV(v) = n x i (1 + t r) n i i=0 i=0