Funzioni reali di variabile reale Una reale di variabile reale è una funzione nella quale il dominio d è un sottoinsieme di r e il condominio c è anch esso un sottoinsieme di r. F:r r Definizione classica. Si definisce funzione reale di variabile reale una legge di natura qualsiasi che associa ad ogni elemento di un insieme d r uno e uno solo uno e uno solo elemento di un insieme c r. L insieme d si chiamo dominio e l insieme c codominio. Funzioni razionali Funzioni razionali intere Dicesi funzione razionale intera una funzione del tipo: Il dominio d della funzione è l'insieme degli elementi La funzione è definita x r Funzioni razionali fratte Dicesi funzione razionale fratta una funzione del tipo: y N( x) P( x) a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n b 0 x m + b 1 x m 1 +... + b m Il dominio d della funzione è l'insieme degli elementi x r : p(x) 0 tali che Ossia, il dominio si ottiene purché sia: b 0 x m + b 1 x m 1 +... + b m 0 La funzione è definita per: Cioè per
Funzioni irrazionali Le funzioni irrazionali sono quelle per cui, fissato il valore della variabile indipendente, è possibile determinare il rispettivo valore della variabile dipendente y applicando per un numero finito di volte le quattro operazioni dell'aritmetica e l'operazione di estrazione di radice. Il dominio d della funzione dipende dall'indice n della radice. Se n è pari allora Anche per le funzioni irrazionali distinguiamo tra intere e fratte. Funzioni trascendenti Una funzione trascendente è una funzione che non è una radice di una equazione polinomiale. Funzioni di questo tipo si trovano frequentemente nella matematica e nelle scienze. Una funzione che sia radice di un'equazione polinomiale è una funzione algebrica; tutte le altre funzioni sono dette trascendenti. L'importanza delle funzioni trascendenti consiste nel fatto che la maggior parte delle funzioni che descrivono fenomeni naturali sono trascendenti. Le sei funzioni trigonometriche seno, coseno, tangente, secante, cosecante e cotangente, per esempio, sono funzioni trascendenti, come pure sono trascendenti la funzione logaritmica, la funzione esponenziale e le funzioni iperboliche. Funzioni trigonometriche La funzione seno La funzione coseno Il dominio della funzione è x r Il dominio della funzione è x r La funzione tangente Il dominio è l insieme x r : approfondisci K z
Funzioni esponenziali Dicesi funzione esponenziale una funzione di in,, del tipo: Funzioni logaritmiche Dicesi funzione logaritmica una funzione di in,, del tipo: il dominio della funzione è l'insieme degli elementi con dove è il dominio della funzione e è il dominio della funzione, inoltre gli elementi devono soddisfare la condizione. il dominio della funzione è l'insieme degli elementi con dove è il dominio della funzione e è il dominio della funzione, inoltre gli elementi devono soddisfare la condizione ; ;.
Funzione pari Sia f(x) una funzione a valori reali di variabile reale. Allora f(x) è pari se per ogni x r vale l'equazione: Funzione dispari Sia f(x) una funzione a valori reali di variabile reale. Allora f(x) è dispari se per ogni x r vale l'equazione: Le funzioni pari sono simmetriche rispetto all asse delle x. Le funzioni dispari sono simmetriche rispetto all origine degli assi.
Funzioni monotone Funzioni crescenti Una funzione si dice crescente in un intervallo quando al crescere della variabile indipendente x cresce contemporaneamente la f(x) o y. Dal punto di vista formale diciamo: Sia data una funzione y=f(x) definita in un intervallo (ab). f(x) si dice crescente in (a,b) se x 1, x 2 ε (a, b) tali che x 1 < x 2 f( x 1 )<f( x 2 ) Funzioni decrescenti
Una funzione si dice decrescente in un intervallo quando al crescere della variabile indipendente x decresce contemporaneamente la f(x) o y. Dal punto di vista formale diciamo: Sia data una funzione y=f(x) definita in un intervallo (ab). f(x) si dice decrescente in (a,b) se x 1, x 2 ε (a, b) tali che x 1 < x 2 f( x 1 )>f( x 2 ) Funzioni non decrescenti e non crescenti. Di minore importanza alcune funzioni si dicono non decrescenti Queste funzioni oltre a verificare le condizioni delle funzioni crescenti per alcune coppie di punti vale l uguaglianza dei corrispondenti. Sia data una funzione y=f(x) definita in un intervallo (ab). f(x) si dice non decrescente in (a,b) se x 1, x 2 ε (a, b) tali che x 1 < x 2 f( x 1 ) f( x 2 ) In modo del tutto analogo alcune funzioni di dicono non crescenti. Sia data una funzione y=f(x) definita in un intervallo (ab). f(x) si dice non crescente in (a,b) se x 1, x 2 ε (a, b) tali che x 1 < x 2 f( x 1 ) f( x 2 )
Importanza delle funzioni monotone in senso stretto Le funzioni monotone in senso stretto, cioè quelle crescenti e quelle decrescenti, sono funzioni biiettive e quindi invertibili. La dimostrazione è immediata. x 1 < x 2 f( x 1 )<f( x 2 ) x 1 < x 2 f( x 1 )>f( x 2 ) esclude che a elementi distinti corrispondano elementi uguali. è invertibile nell intervallo da 0 a, infatti: y = x 2 In tutto R non è monotona. Considerata da R + in R + diventa monotona. La funzione invera risulta essere: y x
y=sen(x) Non è monotona in R. Se restringiamo l intervallo di definizione da -π/2 a π/2. la funzione diventa monotona. In questo intervallo la sua funzione inversa è: x = arse(y)