Analisi e confronto dei metodi di sintesi in s e nel dominio della frequenza

Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Elaborato finale in Controlli Automatici Analisi e confronto dei metodi di sintesi in s e nel dominio della frequenza Anno Accademico 2014/2015 Candidato: Carlo Messere matr. N46001610

Alla mia famiglia, la mia ragazza e i miei amici, che mi hanno accompagnato in questi anni.

Indice Dedica... 2 Indice... 3 Introduzione... 4 Capitolo 1: Il luogo delle radici e la sintesi in s... 4 1.1 Definizioni... 4 1.2 Proprietà fondamentali... 5 1.3 Regole di tracciamento... 5 1.3.1 Regole principali... 5 1.3.2 Regole secondarie... 6 1.4 Sintesi tramite luogo delle radici... 7 1.4.1 Traduzione delle specifiche... 7 1.4.2 Scelta del controllore... 8 1.4.3 Fase di controllo... 9 1.5 Riflessioni finali sul luogo delle radici... 10 Capitolo 2: L'analisi e la sintesi in frequenza... 10 2.1 Introduzione... 10 2.2 Metodo di Nyquist... 10 2.3 proprietà e metodi di tracciamento del Diagramma di Nyquist... 11 2.4 Diagrammi di Bode... 12 2.5 Margini di stabilità e criterio di Bode... 16 2.5.1 Margine vettoriale... 16 2.5.2 Margine di guadagno... 16 2.5.3 Margine di fase... 17 2.5.4 Criterio di Bode... 19 2.6 Funzioni di sensitività... 19 2.6.1 Funzione di sensitività complementare F(s)... 20 2.6.2 Funzione di sensitività S(s)... 20 2.6.3 Funzione di sensitività del controllo Q(s)... 21 2.7 Sintesi in frequenza... 22 2.7.1 Traduzione specifiche... 22 2.7.2 Reti correttrici... 22 2.7.3 Validazione del controllo... 24 2.8 Riflessioni finali sulla sintesi in frequenza... 26 Capitolo 3: Confronto e conclusioni... 26 Bibliografia... 28

Introduzione Gli argomenti trattati in questa tesi riguardano strettamente la teoria dei controlli, e più precisamente il concetto di sistema retroazionato e di controllore. Fin dall'antichità l'uomo ha cercato di creare dei sistemi automatizzati, riuscendo con solo qualche risultato degno di nota. Tutto ciò fino alla seconda guerra mondiale, periodo in cui nacque definitivamente la teoria del controllo con l'invezione del radar, necessario per difendersi dai raid aerei tedeschi. In seguito grazie all'integrazione del mondo digitale sono stati fatti enormi progressi, che hanno influenzato fortemente lo stile di vita odierno. Nella teoria dei controlli l'obbiettivo finale consiste nel sintetizzare un controllore efficace ai fini di regolare il comportamento del sistema analizzato e ottenere l'uscita o le condizioni desiderate. Sorgono qui però i principali problemi, in quanto non esiste un metodo "perfetto" per ogni occasione, ed è necessario quindi creare un controllore specifico per ogni sistema. Fortunatamente esistono delle linee guida per la sintesi dei controllori, basate su procedure per tentativi (Trial&Error) che semplificano il carico di lavoro. Questi metodi vengono in genere divisi per il campo di applicazione, prevalentemente nel dominio del Tempo e della Frequenza (Criteri di Bode e Nyquist). Esiste inoltre un particolare metodo che sfrutta le proprietà del campo complesso, questo è il metodo utilizzato nel "Luogo delle radici" (Root Locus) I metodi trattati in questa tesi riguardano quelli relativi al dominio della frequenza e al luogo delle radici.

Capitolo 1 Il Luogo delle radici e la sintesi in s 1.1 Definizioni Il luogo delle radici(ldr d'ora in avanti) è un metodo grafico sviluppato da Walter Richard Evans, importante studioso americano della teoria dei controlli, nel 1948. Il metodo consiste nello studio della stabilità del sistema al variare del guadagno della funzione di anello L(s), più precisamente i punti del luogo rappresentano le radici della funzione stessa. È possibile inoltre ricavare tramite questo metodo anche il coefficiente di smorzamento ( ζ ) e la pulsazione naturale ( ωn ) del sistema interessato. Il LDR è basato su due condizioni fondamentali: 1. Condizione di modulo ( o regola della punteggiatura). 2. Condizione di fase. Per ogni sistema considerato esistono due tipi di luoghi simultaneamente, essi vengono definiti in base al segno del guadagno della funzione d'anello. Rispettivamente Luogo Diretto (LD) se il guadagno è positivo, e Luogo Inverso (LI) se il guadagno è negativo. Entrambi seguono le stesse regole di tracciatura tranne per qualche piccola differenza. 1.2 Proprietà fondamentali P1. Il LDR ha tanti rami quanti sono i poli della L(s). P2. Il LDR è simmetrico rispetto all'asse reale. P3. Il LDR è continuo rispetto al campo complesso ( C ) 1.3 Regole di tracciamento Regole Principali R1. Gli n rami del luogo partono dai poli della funzione e tendono negli eventuali m zeri

del luogo. I rimanenti n m rami divergono, si definisce v = n m e prende il nome di grado relativo del sistema. R2. Appartengono al LD tutti i punti sull'asse reale alla sinistra di un numero dispari di poli e zeri, analogamente appartengono al LI tutti i punti sull'asse reale alla sinistra di un numero pari di poli e zeri. R3. Gli n-m rami del LDR sì avvicinano a rette asintotiche che intersecano l'asse reale nel punto di ascissa: e formano con esso i angoli pari a: per il luogo diretto, e angoli pari a: per il luogo inverso. Regole secondarie R4. Il LDR attraversa l'asse immaginario nei punti in cui il Criterio di Routh applicato al polinomio 1 + ρl(s) mostra transizioni di radici a parte reale negativa a radici a parte reale positiva. R5. Eventuali punti di rottura sull'asse posso essere determinati tramite i punti di massimo o minimo della funzione:

Esempio di LD e LI di un sistema. 1.4 Sintesi tramite luogo delle radici Come già discusso i metodi di sintesi procedono per tentativi, lo stesso vale per la sintesi tramite il luogo delle radici. Il processo di sintesi può però essere suddiviso in tre passi fondamentali così da diminuire il carico di lavoro complessivo. Traduzione delle specifiche Le specifiche del sistema possono essere tradotte in dei semplici vincolisulla posizione nel piano complesso degli autovalori dominanti (in generale complessi coniugati) della L(s) Da questa equazione è possibile ricavare determinate specifiche in s:

(Da sinistra: Tempo di assestamento, pulsazione naturale e coefficiente di smorzamento) Questi vincoli grafici sono semplici ed immediati, la loro intersezione definisce una regione del piano in cui tutte le specifiche sono rispettate e di conseguenza ogni soluzione all'interno del sottpiano definito soddisferà i requisiti. Scelta del controllore Dopo la fase di traduzione si passa alla fase di progetto del controllore, che è il cuore del processo. Come da nome in questa fase si sceglie la forma del controllore, che sia esso un semplice controllore proporzionale per controlli statici o un controllore più complesso che deve gestire dinamiche particolari aggiugendo o rimuovendo poli e zeri del sistema Qualunque sia il tipo di controllore bisogna rispettare delle regole di realizzazione, ovvero: Fisico realizzabilità

Energia di controllo Costo Le prime due sono dettate da requisiti fisici, in quanto non è possibile realizzare un controllore analogico che abbia un numero di zeri maggiore del numero di ploi, infatti non esistono in natura azioni "derivatrici" (Nel caso di controllori digitali questo vincolo può essere sorvolato, creando delle leggi di controllo digitali che analogicamente risulterebbero irrealizzabili). Inoltre il controllore non può spendere un'energia sproporzionata rispetto al compito che deve svolgere, non solo perchè sarebbe poco efficiente, ma perché il controllore stesso potrebbe avere problemi nel funzionamento (Nuovamente, nel caso di controllori digitali questo vincolo non sussiste, è possibile creare controllori con funzioni molto sofisticate senza un'eccessivo consumo energetico). L'ultima regola è legata a motivi economici ma ciò non diminuisce la sua importanza infatti i controllori vengono prodotti su larga scala e sono utilizzati in quasi ogni dispositivo, più o meno elettronico, e avere un controllore troppo costoso rispetto al sistema stesso è semplicemente un controsenso. Infine va aggiunto anche che non è possibile cancellare poli a parte reale positiva, siccome la cancellazione causerebbe delle dinamiche incontrollabili fortemente deleterie. Fase di controllo È la fase in cui si plotta il LDR del sistema controllato e si verifica che le specifiche siano state rispettate. Se è così allora la sintesi è finita e il controllore realizzato svolge il proprio compito, altrimenti si ritorna alla fase di sintesi.

1.5 Riflessioni finali sul luogo delle radici Si può notare che uno dei punti forza del LDR è dato dal suo semplice metodo di applicazione, facile da tracciare rispetto per esempio ai diagrammi di Nichols, che proprio a causa della loro difficoltà sono stati abbandonati. Inoltre la sintesi in s risulta anche più immediata di quella in frequenza. Un altro fattore molto importante del LDR riguarda la possibilità di tracciare anche sistemi instabili, capacità che manca ai diagrammi in frequenza, che richiedono a monte la stabilità del sistema. È infatti comune usare la sintesi in s insieme alla sintesi in frequenza per sfruttare i punti di forza di entrambi e ottenere un controllo più sofisticato sui sistemi, ma ciò sarà trattato meglio in seguito. La semplicità del metodo ha però vari svantaggi, in particolare non è possibile tenere conto di eventuali ritardi temporali del sistema ed eventuali non linearità che introducono dinamiche non plottabili rendendo il metodo quasi impossibile da applicare. Inoltre in caso di sistemi con un elevato numero di zeri e poli anche il LDR risulta laborioso da tracciare! È in questi casi che risulta utile la sintesi in frequenza. Capitolo 2 L'analisi e la sintesi in frequenza 2.1 Introduzione La sintesi in frequenza è un metodo più complesso, ma più completo e fa uso di vari strumenti, in particolare i diagrammi di Bode (BD) e il metodo di Nyquist per lo studio della stabilità del sistema. Infatti prima della sintesi dobbiamo assicurare la stabilità del sistema e ciò richiede una lunga fase di analisi.

2.2 Metodo di Nyquist Il metodo di Nyquist è il primo strumento di analisi in frequenza e si divide in due passi: 1. Il Diagramma di Nyquist (DDN per abbreviare): Praticamente un diagramma polare della funzione d'anello nel piano complesso in jω (piano di gauss). 2. Il criterio di Nyquist (o CDN ): Criterio che studia la stabilità del sistema retroazionato tramire il DDN. Il CDN si basa sul principio degli argomenti di Cauchy (PAC), principio che mette in correlazione due variabili complesse differenti tramite la loro funzione di trasferimento. Più precisamente: data una funzione H nel piano complesso, si consideri una regione Ω appartenente al piano complesso e racchiusa da una curva Γ. Se H è analitica in Ω tranne che in un numero finito di singolarità, allora al variare di s lungo Γ, il diagramma della funzione H(s) traccerà una curva nel piano complesso che gira intorno all'origine un numero N di volte, pari alla differenza fra i poli e gli zeri di H(s). Ora se la funzione H(s) considerata corrisponde alla funzione di trasferimento 1 + L(s), scegliendo Γ pari al Percorso di Nyquist (PDN), una curva che racchiude tutto il semipiano complesso positivo, possiamo studiare la stabilità del sistema. Per assicurare la stabilità del sistema bisogna garantire che il numero di zeri della funzione di trasferimento considerata sia pari a zero. Ovvero che il numero di giri in senso antiorario intorno al punto -1 della funzione L(s) sia pari l numero di poli a parte positiva. Nota: Se il DDN passa per il punto -1 N non è definito! Ovvero siamo in una posizione al limite e il criterio di Nyquist non può essere applicato.

2.3 Proprietà e metodi di tracciamento del Diagramma Di Nyquist Il Diagramma di Nyquist gode di alcune utili proprietà che aiutano nel tracciamento. La più degna di nota è quella di simmetria rispetto all'asse reale: così come il LDR anche il DDN gode di questa utilissima proprietà, che semplifica il tutto in quanto basta calcolare il DDN rispetto ai soli valori positivi per poi tracciarne il simmetrico per i valori negativi. Per quanto riguarda il tracciamento bisogna: 1. studiare al variare di ω lungo il PDN la L(jω) e trovare parte reale e immaginaria della funzione. 2. Bisogna poi studiare le due parti in relazione ai limiti di ω che tende ad infinito e a zero. 3. Inoltre si cercano eventuali punti d'intersezione con l'asse immaginario e reale e se ne studia la fase analiticamente o tramite i diagrammi di Bode (o entrambi). 4. Infine si cerca il verso di percorrenza del DDN (orario o antiorario) studiando il DDN per piccole variazioni della ω.

Un esempio di diagramma di Nyquist. 2.4 Diagrammi di Bode I diagrammi di Bode sono delle rappresentazioni frequenziali della funzione di trasferimento G(s) e ognuno si divide in due diagrammi detti di Modulo e di Fase. I diagrammi sono in scala logaritmica lungo ω che si trova lungo l'ascissa, mentre sono lineari lungo l'asse delle ordinate, che rappresenta i decibel definiti come: Ci sono dei semplici principi per tracciare i diagrammi del modulo di Bode e possono essere ricondotti a delle relazioni con il guadagno, i poli e gli zeri della funzione G(s): Il guadagno della funzione, un valore costante che regola i decibel di partenza del diagramma. Per esempio un guadagno di 1 si traduce in un valore di partenza pari a 0, mentre un guadagno di 10 si traduce in 20dB. Gli zeri e i poli nell'origine implicano rispettivamente una pendenza iniziale di +K20 db e -K20 db per decade, dove K è il grado della singolarità considerata. Un polo doppio in 0 quindi darebbe una pendenza iniziale di -40 db per decade Analogamente le singolarità in punti diversi da 0 seguono lo stesso principio di

quelle nell'origine con l'unica differenza che le variazioni sul modulo iniziano nella singolarità stessa. Un polo triplo in 5 rad/s quindi fa diminuire di 60 db per dacade il modulo del diagramma a partire proprio da 5 rad/s. Il tracciamento dei diagrammi di fase è molto simile a quello dei moduli: Il guadagno indica la fase di partenza che risulta 0 se il guadagno è positivo o - 180 se il guadagno è negativo. Le singolarità in zero diminuiscono o aumentano la fase di g*90, rispettivamente zeri e poli, dove g è la molteplicità della singolarità considerata. Per quanto riguarda le singolarità non nell'origine il comportamento è un po' più complicato. I poli reali negativi e gli zeri reali positivi danno una caduta di fase di - g*45 per decade, i poli reali positivi e gli zeri reali negativi invece danno un anticipo di +g*45 per decade. I diagrammi sono tracciati in modo asintotico, ovvero sono una semplificazione dei diagrammi di Bode reali, che tengono conto di alcune correzioni in base al coefficiente di smorzamento della funzione ζ. In questo modo si hanno delle curve chiamate sovraelongazioni o sottoelongazioni, in base alla loro posizione rispetto al diagramma asintotico, che approssimano i diagrammi asintotici a quelli reali.

Un esempio di diagramma di bode di un sistema con profilo passa-basso. Abbiamo detto che il LDR ha problemi con la rappresentazione dei ritardi, i diagrammi di Bode invece consentono di tenerne conto. Il modulo rimane invariato, per quanto riguarda la fase invece il ritardo causa una caduta di fase in proporzione ad ω, che rende il grafico del sistema non più costante ma linearmente decrescente. Diversi valori del ritardo causano cadute più o meno marcate. I disturbi possono causare un marcato effetto sulla stabilità dei sistemi, e vanno quindi trattati adeguatamente. Come abbiamo visto si può utilizzare il CDN per controllare la stabilità dei sistemi. È possibile però utilizzare ulteriori strumenti chiamati margini di stabilità, che consentono di definire la L(jω) in modo più preciso in presenza di forti disturbi, e quindi quanto è possibile forzare il sistema senza perdere la stabilità del sistema. Se il sistema risulta ancora stabile a fronte di disturbi elevati esso è detto robusto.

2.5 Margini di stabilità e criterio di Bode I margini di stabilità sono tre, e fanno tutti riferimento ai diagrammi di Nyquist: Margine Vettoriale Margine di Guadagno Margine di Fase È possibile introdurre delle semplificazioni per definire meglio i margini, in particolare 1. Assenza di poli a parte reale positiva (P = 0) 2. Il DDN attraversa l'asse reale in un solo punto 3. Il DDN attraversa la circonferenza unitaria una sola volta 2.5.1 Margine vettoriale È il margine più immediato e semplice ed è definito come la distanza minima fra il punto - 1 e il DDN. Se il DDN passa per il punto -1 non è possibile definire il margine vettoriale. 2.5.2 Margine di Guadagno Detto ωπ il valore di ω in cui il DDN interseca l'asse reale, si definisce come Margine di Guadagno il valore:

Il margine di guadagno rappresenta quindi la distanza del DDN dal punto -1 sull'asse reale. Per questo motivo se risulta maggiore di 1 vuol dire che il grafico non gira intorno al punto -1, quindi per le assunzioni fatte il sistema risulta stabile perchè P = N = 0. Nel caso in cui P fosse diverso da 0 il confronto non è altrettanto immediato e va valutato diversamente. Mentre se ci sono più intersezioni sull'asse reale basta considerare il caso peggiore, ovvero il punto più vicino a -1. Invece se non sono presenti intersezioni con l'asse reale il margine di guadagno risulta infinito. 2.5.3 Margine di Fase Detta ωc la pulsazione critica, corrispondente nei diagrammi di Bode al punto di guadagno uguale a 0 db oppure al punto di intersezione del DDN con la circonferenza unitaria. Si definisce il margine di fase come:

Il margine di fase risulta quasi sempre maggiore di 0, ma può essere specificato per imporre una maggiore reiezione ai disturbi. Inoltre può aumentare la robustezza di un sistema in caso di ritardi temporali, siccome questi diventano degli sfasamenti in frequenza. Tramite questa relazione si può stabilire lo sfasamento massimo e il ritardo massimo che il sistema può sopportare, definito pari a: Analogamente al margine di guadagno nel caso in cui ci fossero più intersezioni con la circonferenza unitaria va considerato il caso peggiore, ovvero quello con margine di fase minore. Anche il margine di fase risulta infinito se il DDN non interseca la circonferenza in alcun punto! Il margine di fase risulta quindi il più importante e completo fra i margini di stabilità, al punto da poter definire la stabilità di un sistema attraverso opportune ipotesi.

2.5.4 Criterio di Bode Il criterio di Bode è il criterio che lega il solo margine di fase alla stabilità a ciclo chiuso della funzione L(s) quando le assunzioni semplificative valgono ancora, precisamente: Si supponga che: a) L(s) non ha poli a parte reale positiva ( P = 0) b) Il BD de modulo della L(jω) attraversa una sola volta l'asse a 0 db. Allora, indicando con μ il guadagno della L(s) e con φm il margine di fase. Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema sia asintoticamente stabile è che risulti μ > 0 e φm > 0. Ciò rende sufficiente la sola analisi del margine di fase, ma se si vuole un'analisi più completa risulta comunque necessario analizzare anche i restanti margini, o almeno il margine di guadagno.

2.6 Funzioni di sensitività Le funzioni di sensitività sono un ulteriore strumento di controllo sui disturbi agendo in frequenza. Sono strettamente legate alla funzione d'anello L(s) ed ognuna agisce in un modo particolare. Le più caratteristiche sono la Funzione di sensitività e la Funzione di sensitività complementare che a volte sono accompagnate dalla Funzione di sensitività del controllo. Le prime due sono rispettivamente definite come: Questi risultati si ottengono dal sistema retroazionato quando sono presenti disturbi in ingresso ed in uscita. Risolvendo il sistema rispetto all'errore o all'uscita è facile ritrovare che ognuna di queste due funzioni ha un determinato effetto sui disturbi agenti sul sistema. Per le loro caratteristiche vorremmo una F(s) unitaria, mentre una S(s) nulla per ottenere così un'uscita uguale a quella desiderata e quindi un errore a regime nullo. Purtroppo non è possibile avere queste condizioni, che rimangono solo ideali. Infatti è necessario trovare una via di mezzo, un Trade-off fra le due funzioni: 2.6.1 Funzione di sensitività complementare F(s) La funzione di sensitività complementare è legata ai disturbi d'ingresso del sistema, capaci di alterare i valori di riferimento in ingresso al controllo. La F(s) è generalmente analizzata in frequenza: Per evitare un eccessivo spreco energetico si tende a sceglie la F(jω) = 1 nelle bande in cui è presente il riferimento, così da avere errore nullo, mentre una F(jω) = 0 dove invece è concentrato il disturbo d'ingresso.

Per farlo mettiamo in relazione la F(jω) con la L(jω). Siccome la funzione d'anello risulta un filtro passa-basso per le proprietà con cui è definita, essa avrà una sola frequenza di taglio ωc (ovvero un solo punto a 0db), quindi è molto più grande di 1 negli intervalli precedenti ad ωc, e quasi nulla negli intervalli successivi ad ωc. Siccome la F(jω) si comporta in modo molto simile alla L(jω) si ha: Quindi ogni disturbo in ingresso che si presenta prima della frequenza di taglio risulta invariato, mentre quelli che si presentano dopo vengono più o meno attenuati in base all'andamento della L(jω). 2.6.2 Funzione di sensitività S(s) La S(s) invece è legata ai disturbi d'uscita e per questo motivo si vorrebbe nulla,co da rigettarli. La S(s) è usata sia per l'analisi statica, non trattata in questa tesi, che per l'analisi in frequenza,nello specifico: La funzione di sensitività, a differenza della F(s), si comporta come il reciproco della L(s) per frequenze precedente a quella di taglio e si comporta come un valore costante unitario oltre: Quindi i disturbi che arrivano prima della ωc vengono attenuati siccome la S(s) ha un profilo passa alto, i restanti invece passano invariati.

Spesso nei sistemi reali vi sono un elevato numero di disturbi, o di vincoli sugli stessi, per questo motivo non va trascurata l'importanza di queste funzioni. Esempio di funzioni si sensitività e sensitività complementare di una data funzione. 2.6.3 Funzione di sensitività del controllo Q(s) La funzione di sensitività del controllo è legata ai valori d'ingresso del controllore ( u ), ed è definita come: Siccome è preferibile avere il minor numero di sollecitazioni sulla u in genere si impone che il modulo della Q(jω) sia piccolo per tutti i valori di ω. In frequenza la Q(s) si comporta come l'inverso del sistema ( 1/G(s) ), ovvero è simmetrica rispetto all'asse x nelle bande minore della pulsazione critica, mentre dipende univocamente dall'andamento del controllore in bande maggiori: Se la frequenza di taglio risulta molto elevata la funzione tende a seguire un comportamento passa alto alle alte frequenze, ciò comporta una grande spesa enegergetica

causata dall'alta velocità del sistema 2.7 Sintesi in frequenza 2.7.1 Traduzione specifiche La sintesi in frequenza sfrutta tutti gli strumenti introdotti fino ad ora a causa dei sui stretti requisiti, traducendoli in vincoli sulla funzione L(s) Stabilità: Come già anticipato è necessario garantire la stabilità del sistema. (generalmente basta il criterio di Bode ed evitare la cancellazione di poli a parte reale positiva) Stabilità in presenza di disturbo: Vincolo legato principalmente ai margini di fase e di guadagno del sistema, che regolati opportunamente garantiscono una buona reiezione ai disturbi. Vanno anche considerati eventuali ritardi temporali e scegliere quindi una frequenza di taglio adeguata. Errore a regime: Per evitare l'errore a regime bisogna scegliere in modo adeguato la pendenza iniziale del sistema ( gmin ) data dai poli nell'origine, e il guadagno del sistema. Precisione dinamica: Per ottenere un uscita precisa quando il riferimento cambia velocemente si sceglie una ωc sufficientemente alta così da allargare la banda passante del sistema ( ωcmin e ωcmax). Attenuazione dei disturbi di uscita: Legata quindi alle caratteristiche della S(s) Attenuazione dei disturbi d'ingresso: Legata alla F(s) Moderazione variabile del controllo: Legata alla Q(s) Realizzabilità del controllore: La fisico realizzabilità del controllore si traduce in una pendenza minima alle alte frequenze, ovvero il controllore deve avere un profilo passa-basso, garantendo un eccesso poli-zeri della funzione e quindi la realizzabilità ( kmin ). Questi vincoli sono anch'essi grafici e vanno tracciati sul diagramma di Bode della L(s) in questo modo è possibile selezionare delle regioni del piano in cui i valori della funzione risulteranno validi o meno.

In particolare ωcmin e ωcmax definiscono una banda passante in cui deve trovarsi la frequenza di taglio, cancellando quindi frequenze sull'asse minori di ωcmin e maggiori di ωcmax. Il vincolo sul margine di fase cancella le frequenze sul diagramma della fase che non rispettano il vincolo. Infine kmin e gmin non definiscono delle regioni, ma obbligano il grafico stesso a seguire una certa forma definendone la pendenza. Dopo la traduzione delle specifiche si passa alla fase di sintesi del controllore, in modo completamente analogo alla sintesi in s, si procede per tentativi finchè non ri raggiunge un controllore valido, ancora una volta i controllori sono statici (proporzionali) quando lavorano esclusivamente sul guadagno del sistema, o dinamici quando introducono l'agigunta o la cancellazione di poli o zeri della funzione e bisogna sempre rispettare i vincoli di energia, costo e fisico-realizzabilità. L'unica cosa che differisce dalla sintesi in s riguarda la possibilità di usare opportune reti correttrici, che sfruttano le proprietà della frequenza per semplificare la fase di sintesi. 2.7.2 Reti correttrici

Lo scopo delle reti correttrici è quello di alzare o abbassare i diagrammi del modulo e della fase in modo opportuno, così da regolare la frequenza di taglio e il margine di fase per rispettare le specifiche. Per farlo le reti introducono delle coppie di zeri e poli in posizioni opportune, in base al loro posizionamento è possibile ottenere diversi tipi di reti: Rete Lead o Anticipatrice È definita come: Siccome α risulta compresa fra 1 e 0 il polo è più grande dello zero e quindi la rete alzerà di 20 db/dec a partire dalla posizione dello zero fino a quella del polo, aumentando quindi il guadagno e la fase in quella banda. Rete Lag o Ritardatrice In modo opposto alla lead è definita come: In questo caso siccome α maggiore di 1il polo precede lo zero causando una caduta di - 20db/dec diminuendo guadagno e fase in quella banda.

Rete Lead-Lag o Sella Più che una rete vera è propria è una combinazione di reti lead e lag, utile quando si vuole un controllo ancora più preciso sulla funzione. 2.7.3 Validazione del controllo Una volta definito il controllore si verifica se questo soddisfa tutte le specifiche, se è così la sintesi finisce, altrimenti si cerca un altro controllore capace di soddisfarle. 2.8 Riflessioni finali sulla sintesi in frequenza Come si è visto, la sintesi in frequenza è uno metodo molto utile, capace di plottare sistemi

perturbati o particolarmente complicati, mettendo a disposizione una serie di utili strumenti, il tutto però al costo di forti requisiti. Lo svantaggio più importante della sintesi in frequenza riguarda la necessità di avere un sistema stabile, il che non è sempre possibile. Esistono delle soluzioni per lavorare con sistemi instabili anche nel dominio della frequenza, uno di questi è quello di usare entrambi i metodi di sintesi. Capitolo 3 Confronto e conclusioni Concludendo quindi abbiamo visto come il Luogo delle radici risulti molto più semplice ed immediato di altri strumenti di sintesi, e della possibilità di utilizzo in caso di sistemi instabili, ma come questo sia limitato in caso di sistemi con disturbi o funzioni di trasferimento con elevato numero di singolarità. D'altro canto abbiamo visto come la sintesi in frequenza richieda una laboriosa applicazione di metodi, criteri e strumenti, che in cambio di un'analisi più complicata offrono un'analisi definitivamente più precisa, anche dove il LDR non può essere applicato. Dunque è possibile notare come ci sia un trade-off anche nella scelta degli strumenti e di come non esista uno migliore fra i due, esiste semplicemente il più adatto per il sistema considerato. Detto ciò va anche ricordato che grazie ai progressi dell'era digitale oggigiorni ogni calcolatore, con capacità di calcolo anche discrete è capace di plottare un qualsiasi diagramma di Nyquist, Bode o luogo delle radici praticamente in pochi secondi. Per questo motivo la difficoltà non è più uno dei principali motivi per la scelta del metodo, come invece poteva esserlo durante la metà del 19 secolo. È possibile inoltre combinare questi metodi di sintesi per poter sfruttare i loro punti di forza. In particolare si può lavorare in frequenza con sistemi instabili: Ciò si ottiene passando il sistema instabile ad un controllore in s, effettuando una prima fase di controllo, stabilizzando il sistema, per poi passare il risultato ad un secondo ciclo di

controllo, questa volta in frequenza. Si considera in seguito la funzione di sensitività del sistema complementare, in questo modo si mantiene il controllo sui margini di fase, la frequenza di taglio e i margini di guadagno e fase, che si perderebbero altrimenti. Questo è uno dei metodi per sorvolare le limitazioni dei due metodi e allo stesso tempo sfruttarli a pieno!

Bibliografia [1] Bolzern Paolo, Scattolini Riccardo, Schiavoni Nicola - Fondamenti di Controlli Automatici, MacGraw-Hill, 3a edizione, 2008 [2] Materiale didattico professore Mario Di Bernardo, corso di Controlli Automatici [3] KJ Astrom, RM Murray, Feedback Systems: an introduction for scientists and engineers, Princeton University Press, 2011