Sistemi e Tecnologie della Comunicazione Lezione 5: strato fisico: limitazione di banda, formula di Nyquist; caratterizzazione del canale in frequenza Rappresentazione spettrale di un segnale Il grafico delle ampiezze rispetto alle frequenze di cui e composto il nostro segnale si chiama rappresentazione spettrale Le righe della rappresentazione spettrale mostrano il contributo alla ampiezza del segnale dovuto alle relative frequenze Se il segnale ha un valore medio non nullo (cioe il coefficiente a0 non e nullo) il segnale ha una componente continua (a frequenza nulla)
Spettri continui e discreti Una funzione periodica e esprimibile come somma di funzioni sinusoidali a frequenze che sono multipli interi della frequenza del segnale, quindi ha uno spettro discreto, cioe costituito da un insieme discreto di frequenze Una funzione non periodica e esprimibile come integrale di funzioni sinusoidali; le sue componenti possono avere qualsiasi frequenza, quindi avra uno spettro continuo 3 Esempio di spettro continuo Il segnale di impulso quadro di ampiezza A e periodo T ha per trasformata di Fourier la funzione sin( πtf) S( f ) = AT πtf il cui spettro e mostrato in figura 4
Potenza di un segnale Si definisce potenza media del segnale periodico la quantita : P = T T 0 f ( t) In base alle trasformazioni di Fourier, si puo dimostrare che la potenza media del segnale periodico e data da (teorema di Parseval): P = n= c n = Spesso la rappresentazione spettrale viene fatta graficando il modulo dei coefficienti di Fourier dello sviluppo, evidenziando il contributo alla potenza del segnale dovuto alle diverse armoniche Al limite per n il contributo alla potenza delle armoniche tende a zero (quindi i contributi principali vengono dalle armoniche piu basse) dt a0 + n= ( an + bn) 5 Spettro dei contributi alla potenza 6 3
Larghezza di banda di un segnale La larghezza di banda di un segnale e data dall intervallo delle frequenze di cui e composto il suo spettro Generalmente un segnale ha banda infinita Tuttavia spesso la potenza del segnale e contenuta per la maggior parte in un insieme limitato di frequenze Questo intervallo limitato di frequenze si dice banda efficace del segnale 7 Limitazione della banda in trasmissione Nella trasmissione dei segnali e impossibile trasmettere tutte le frequenze di cui e composto il segnale stesso Il mezzo trasmissivo, la tecnologia che genera il segnale o scelte volontarie impongono una limitazione alla banda utilizzabile La trasmissione di un numero limitato delle armoniche del segnale fa si che in ricezione il segnale apparira differente Maggiore e il numero di armoniche trasmesse, migliore apparira il segnale in ricezione 8 4
Effetto della limitazione di banda Supponiamo di voler trasmettere ripetutamente il carattere ASCII B, che secondo la codifica e dato dalla sequenza di bit 00000, ad una velocita di trasferimento di 000 bps Il segnale che rappresenta il carattere di 8 bit avra un periodo di 8/000 secondi, quindi una frequenza fondamentale pari a 50 Hz La trasmissione su un canale con banda limitata permettera di trasmettere solo le prime armoniche Vediamo nella figura seguente come un canale con KHz di banda (8 armoniche) permette una ricostruzione agevole del segnale inviato, mentre un canale con banda ridotta a 500 Hz ( armoniche) rende molto piu problematica la ricostruzione dei bit trasmessi, che diventa impossibile lasciando passare solo la prima armonica 9 Effetti della limitazione di banda 0 5
Velocita di trasmissione e larghezza di banda Con lo stesso esempio possiamo vedere come la presenza di un canale a banda limitata, di fatto limita la velocita di trasmissione dati ottenibile sul canale Supponiamo di avere una linea telefonica, la cui larghezza di banda e circa 3. KHz, e di trasmettere il carattere di prima alla velocita di B bit al secondo La frequenza del segnale (cioe la frequenza della prima armonica) sara B/8 Hz Ne segue che l armonica piu alta che potra attraversare il canale avra n=3000/(b/8), cioe 4000/B. Da questo consegue che, ad esempio, una trasmissione a 9600 bps lascera passare soltanto le prime due armoniche, compromettendo la ricostruibilita dei bit in ricezione, mentre una trasmissione a 400 o 4800 bps sara efficace. Formula di Nyquist Nyquist ha dimostrato una relazione tra la velocita massima di trasmissione attraverso un canale senza rumore ed a banda limitata in funzione della larghezza di banda: il tasso di trasmissione dati massimo ottenibile attraverso un canale privo di rumore con larghezza di banda H e dato da B= H bit/s Se si trasmettono segnali multilivello, con molteplicita M, il tasso di trasmissione massimo e dato da: B= H log M bit/s 6
Linee di trasmissione e circuiti Una linea di trasmissione dati puo essere vista come un circuito che fa corrispondere ad un segnale in ingresso un segnale in uscita Il comportamento di un circuito viene descritto dalla sua risposta in frequenza, vale a dire dalle caratteristiche del segnale in uscita in corrispondenza ad un segnale sinusoidale in ingresso Si definisce funzione di trasferimento il rapporto tra il segnale in uscita e quello in ingresso, che in genere dipendera dalla frequenza del segnale in ingresso 3 Circuiti lineari Un circuito lineare soddisfa le seguenti caratteristiche: detto I il segnale di ingresso e U il segnale in uscita: U = f(i) f(i +I ) = f(i )+f(i ) f(ai) = af(i) La risposta di un circuito lineare ad un segnale sinusoidale sara in generale un segnale sinusoidale alla stessa frequenza, con fase ed ampiezza differenti L effetto del circuito sul segnale di ingresso cambiera al variare della frequenza del segnale di ingresso Il comportamento in funzione della frequenza e la caratterizzazione del circuito in frequenza (cioe la definizione di come variano l ampiezza e la fase dell uscita in funzione della frequenza) 4 7
Root Mean Square Amplitude La potenza di un segnale sinusoidale del tipo: v ( t) = V sin( πft) dove V e l ampiezza ed f la frequenza, e data da: T V P = v t dt T ( ) = 0 Il valore V V RMS = = e detto ampiezza quadratica media del segnale Ad esempio, l alimentazione elettrica domestica e data da un segnale di tensione a 50 Hz, con VRMS=0 volt V 5 Decibel Per confrontare potenze o ampiezze relative si fa utilizzo di una misura del loro rapporto in scala logaritmica, detto decibel: P db= 0 log P In caso di segnali sinusoidali, il decibel si puo esprimere come: ( V ) ( ) RMS V db= 0 log = 0 log V V RMS Ad esempio: V V V V = 0 0 db, = 0. 0 db, = 0. 5 3dB V V 6 8
Diagrammi di Bode La rappresentazione grafica della funzione di trasferimento e realizzata tipicamente graficando il suo modulo in db in funzione della frequenza, anch essa in scala logaritmica (diagramma di Bode) e la sua fase, anch essa in funzione della frequenza sempre espressa in scala logaritmica 7 Esmpio: circuito RC Come esempio, calcoliamo la funzione di trasferimento di un circuito RC misurando la tensione in uscita ai capi del condensatore; qui ed in seguito si esprimera la frequenza in termini di pulsazione: ω = πf iωt Vin = ve i Vin Vout = iωc R+ iωc H = + ω RC Arg( H ) = arctan ( ωrc) 8 9
Diagramma del circuito RC 9 Frequenza di taglio Il circuito RC di esempio lascia passare pressoche inalterate le frequenze inferiori ad un certo valore, mentre attenua l ampiezza di quelle superiori Il circuito si comporta quindi come un filtro che elimina le alte frequenze I filtri di questo tipo si chiamano filtro passa basso Si definisce frequenza di taglio la frequenza per la quale si ha un valore di -3dB del rapporto tra le ampiezze (corrispondente al dimezzamento del livello del segnale) Nel caso del circuito RC visto ora, la frequenza di taglio corrisponde alla frequenza ω = c RC 0 0
Filtro passa alto Analizzando la risposta ad un circuito RC misurando la tensione ai capi della resistenza si ha: iωt Vin = ve i Vin Vout = R R+ iωc H = + ω RC Arg( H ) = arctan ωrc Filtro passa alto In questo caso le frequenze che passano inalterate sono quelle alte, mentre vengono filtrate le basse frequenze La frequenza di taglio, valutata sempre come la frequenza a -3 db, vale ancora ω = c RC
Diagramma filtro passa alto 3 Filtro passa banda Un filtro passa banda e un circuito che lascia passare solo le frequenze entro un certo intervallo In questo caso avremo due frequenze di taglio, e si definisce banda passante del circuito: B=ω ω 4
Canali trasmissivi come filtri Un canale trasmissivo e sostanzialmente un circuito dotato della sua funzione di trasferimento Le condizioni ideali per la trasmissione dati e che la funzione di trasferimento abbia le seguenti caratteristiche: Modulo di H costante ed indipendente dalla frequenza (per non alterare in ricezione il rapporto di intensita delle diverse armoniche del segnale) Fase di H funzione lineare della frequenza. Infatti: A sin( ωt) a sin( ωt + ϕ) = a sin[ ω( t + τ) ] doveτ e' il ritardo che deve essere indipendente daω quindi ωt + ϕ = ωt + ωτ ϕ = ωτ 5 Esempio di canale ideale 6 3
Effetti della non linearita Un circuito la cui risposta non sia lineare presenta un comportamento che non puo essere descritto come abbiamo visto Per dare una idea di cosa puo accadere, in approssimazione di piccoli segnali di input la risposta (temporale) puo essere approssimata da un polinomio 3 v ( t) = a v ( t) + a v ( t) + a v ( t) + o i i 3 i... L effetto dei termini non lineari si evidenzia nel caso di segnale sinusoidale in ingresso: ponendo v i ( t) = v cos( ωt) si ottengono in uscita termini a frequenza ω, 3ω, 4ω,, cioe armoniche della frequenza del segnale in ingresso 7 4