9 a Esercitazione: soluzioni

9 a Esercitazione: soluzioni Corso di Microeconomia K, a.a. 009 00 Monica Bonacina (monica.bonacina@unibocconi.it) Corso di Microeconomia L Z, a.a. 009 00 Stefania Migliavacca (stefania.migliavacca@enicorporateuniversity.eni.it) Oligopolio Esercizi da svolgere ad esercitazione Premessa. Con riferimento agli esercizi sull oligopolio, è convenzione indicare con Q la quantità totale domandata/offerta sul mercato mentre qi indica la quantità prodotta/offerta da ciascuna impresa. Esercizio. Sul mercato delle bevande gassate competono due aziende (lfa e Beta) secondo un modello à la Cournot. La curva di domanda di mercato è data da p (Q)=0 Q. Le imprese lfa e Beta hanno la medesima funzione di costo e il costo marginale è nullo. a) Dite se le due aziende competono sulle quantità o sui prezzi b) Spiegate cosa si intende per curva di reazione c) Calcolate le equazioni delle curve di reazione di lfa e Beta d) Ricavate la quantità ottima per entrambe le imprese, la quantità totale offerta sul mercato e il prezzo di equilibrio e) Rappresentate su un grafico completo e preciso le curve di reazione e l equilibrio di mercato Esercizio. Soluzione. a) Se le imprese competono secondo il modello di Cournot questo significa che la variabile strategica è la quantità prodotta. l contrario, nel modello à la Bertrand i duopolisti competono sul prezzo. b) La funzione di reazione indica come le decisioni dell impresa lfa si modificano in relazione alle decisioni di produzione dell impresa Beta, e viceversa. La funzione di reazione di un duopolista indica il livello di produzione che consente di massimizzare il profitto in funzione della quantità prodotta dall altra impresa. c) Se il livello di output totale è dato da Q, allora avremo che Q = q +q β dove q e q β sono rispettivamente le quantità prodotte dall impresa lfa e dall Impresa Beta. Consideriamo l impresa lfa: la sua curva di domanda è P =(0 q β ) q Il ricavo totale sarà pari a TR )= P * q = [(0 q β ) q ] * q = (0 q q q β ) q

Di conseguenza, il ricavo marginale sarà: TR( q) MR( q) = = (0 qβ) q q L impresa lfa massimizza il profitto se MR ) = MC( q ) Infatti π max[ π q ) = TR ) TC [ π )] q ) )] = 0 MR ) = MC ) vremo allora: MR ) 0 (0 q ) q = 0 = β 0 q β q = R( qβ ) = = 0 qβ Come è evidente la quantità che massimizza il profitto dell impresa lfa dipende dalla quantità prodotta dall impresa Beta. Poiché l esercizio afferma che le imprese hanno la medesima funzione di costo, il duopolio è simmetrico e la funzione di reazione dell impresa Beta sarà: 0 q q β = Rβ ) = d) La quantità di equilibrio in un duopolio di Cournot corrisponde alla intersezione delle due curve di reazione. Sostituendo la funzione di reazione della impresa Beta in quella dell impresa lfa: 0 q 0 0 q 0 + q q = q = 0 q = 4 4 q C = 0 / 3 = 6.67 e quindi anche q β C = 0 / 3 = 6. 67 Per arrivare al prezzo di mercato occorre calcolare la quantità totale offerta sul mercato. Quest ultima potrà essere ricavata da C 40 = C + C Q q qβ = = 3.3 3 Di conseguenza, sostituendo nella funzione di domanda di mercato C 40 P = 0 = 0/3 = 6.67 3

e) Per rappresentare correttamente le funzioni di reazione in un grafico è utile calcolarne le intercette e la pendenza. Decidiamo per convenzione di rappresentare sull asse orizzontale l output dell impresa lfa e sull asse verticale l output dell impresa Beta. qβ = Rβ ) = 0 q sarà quindi una retta con pendenza: / intercetta verticale: q =0; q β = 0 intercetta orizzontale: q =0; q β = 0 q = R β ) = 0 qβ sarà sempre una retta con pendenza: intercetta verticale: q =0; q β = 0 intercetta orizzontale: q =0; q β = 0 La rappresentazione grafica è la seguente: q β 0 Funzione di reazione dell impresa lfa R (q β ) q* β =6,67 0 E Funzione di reazione dell impresa Beta R β (q ) q* =6,67 0 0 q Esercizio. Si supponga la seguente funzione di domanda di mercato: Q(p) = 00 p Sul mercato si trovano due imprese che agiscono à la Cournot producendo q e q (deve ovviamente valere Q=q+q). Sapendo che i costi marginali delle due imprese sono identici e pari a: MCi(qi)=qi+0 con i=, a) si determini il costo totale (sapendo che i costi fissi sono nulli) b) si derivino, dunque, le funzioni di reazione delle due imprese c) si calcolino le quantità di equilibrio d) si calcoli a quale prezzo vengono vendute dette quantità e il profitto che ne ricavano i duopolisti Esercizio. Soluzione. a) Per ottenere il costo totale delle due imprese occorre risalire all integrale del costo marginale poiché TC( qi ) MC i ) = TC( qi ) = MC( qi ) qi

Nel nostro caso, sapendo che i costi fissi sono pari a zero, avremo TC( qi ) = qi + 0qi b) La funzione di reazione illustra la relazione tra l offerta di un impresa e la quantità prodotta dalle altre imprese. Per ricavarla dobbiamo ricercare il livello di produzione che massimizzi il profitto π( q) = TR( q) TC( q) [ π( q)] max[ π( q)] = 0 MR( q) = MC( q) q q Perciò, andando con ordine, calcoliamo il ricavo marginale Q(p) = 00 p p ( Q) = 50 + q ) TR) = p( q) q = 50 + q ) q = 50q q qq MR) = 50 q q Ora poniamolo uguale al costo marginale MR ) = MC( q) 50 q q = q + 0 La funzione di reazione dell impresa sarà 40 ( ) q q = R ) = = 0 q 4 Essendo le funzioni di costo identiche, la funzione di reazione dell impresa sarà q ( ) 40 q = R) = = 0 q 4 c) Per individuare le quantità di equilibrio occorre cercare il punto di intersezione tra le due curve di reazione. Sostituiamo R nella equazione di R per trovare Q C C 6 q = 0 0 q q = 5 + q q = 5 = 6 4 4 6 5 C Per simmetria q = 6 La quantità totale sarà Q=3 d) Il prezzo di mercato è calcolabile grazie alla funzione di domanda p C ( Q) = 50 ( Q) = 50 6 = 34 Il profitto sarà uguale per entrambe le imprese (i=;) C πi i ) = ( p qi ) TCi i ) = ( 34 * 6) * 56 + 60 = 56

Esercizio 3. La funzione di domanda inversa di un bene è P(Q)=30 Q, con Q=q+qG. Nel mercato sono operanti due imprese, pollo e Giove, caratterizzate dalle seguenti funzioni di costo: TC=6q+ TCG=6qG+ (a) Calcolate le quantità ed il prezzo di equilibrio del mercato in questione sotto lʹipotesi di comportamento alla Cournot; quali sono i profitti delle due imprese? (b) Mostrate come cambierebbe la vostra risposta se le funzioni di costo fossero: TC=6q+ e TCG=6qG+4 Esercizio 3. Soluzione. a) Determiniamo il ricavo totale dellʹimpresa pollo: [ 30 + qg )] q = 30q q q qg TR = Quindi il ricavo marginale: TR MR = = 30 4q qg q Il costo marginale è: TC MC = = 6 q In equilibrio la quantità che massimizza il profitto soddisfa la condizione MR=MC. In questo modo otteniamo la funzione di reazione dell impresa pollo: 30 4q qg = 6 q = R( qg ) = 6 qg pplicando lo stesso procedimento per lʹimpresa Giove, ne determiniamo innanzitutto il ricavo totale: TRG = [30 + qg )] qg = 30qG qg q qg Ricavo marginale: MRG = 30 q 4qG Costo marginale: MC G = 6 Imponiamo lʹuguaglianza MRG=MCG e otteniamo la funzione di reazione dellʹimpresa G 30 q 4qG = 6 4q G = 4 q qg = RG ) = 6 q Per determinare la quantità offerta di ciascuna impresa poniamo a sistema le due funzioni di reazione ottenute:

q = 6 qg q qg = 6 q q = 3 + q 4 3 q = 3 4 = 6 6 q C q = 4 Sostituendo q=4 nella funzione di reazione dellʹimpresa G otteniamo qg=4. La quantità totale è: Q=q+qG=4+4=8. Il prezzo è ottenuto sostituendo Q=8 nella funzione della domanda inversa: P=30 (8)=4. I profitti delle due imprese sono: π ) = p) TC( q ) = 30 πb( qb ) = B p) TC( qb ) = 30 b) Se cambiassero le funzioni di costo cambierebbero solamente i profitti, poiché il costo marginale rimane invariato (ed è solo il costo marginale ad entrare nella funzioni di reazione e, di conseguenza, nella determinazione dell equilibrio): πʹ ) = p) TCʹ( q ) = (4 * 4) (6 * 4 + ) = 3 πʹ B B ) = B p) TCʹ( qb ) = (4 * 4) (6 * 4 + 4) = 8 Esercizio 4. Considerate il mercato delle acque minerali nel quale la funzione di domanda inversa sia p=50 QD. Supponete che nel mercato operino solo due imprese, la cque e la Bevi B, ciascuna delle quali ha una curva di costo pari a TC(q)=00q. (a) Supponete che le due imprese interagiscono strategicamente secondo il modello di oligopolio di Cournot. Ricavate le curve di reazione delle due imprese. Trovate quindi la produzione di equilibrio ed i profitti di ciascuna impresa. (b) Sempre con riferimento allʹequilibrio di Cournot ottenuto in (a), trovate la produzione totale, il surplus dei consumatori ed i profitti totali. (c) Rappresentate lʹequilibrio di Cournot in un grafico in cui indicate sugli assi la produzione di ciascuna impresa (grafico ); rappresentate poi in un altro grafico (grafico ) lʹequilibrio nel mercato delle acque minerali (con prezzo e quantità sugli assi). (d) Se le due imprese colludono tra loro e formano un cartello, quanto sceglieranno di produrre? (e) Qualʹè il surplus dei consumatori e quali sono i profitti totali quando le imprese colludono? Confrontateli con i valori ottenuti in (b): perchè il cartello è ottimale per le due imprese, ma non per la società nel suo complesso (non consente cioè di massimizzare il surplus complessivo, dato da surplus dei consumatori e il surplus delle imprese)?

Esercizio 4. Soluzione. a) In equilibrio di Cournot ciascuna impresa massimizza il profitto date le aspettative circa le scelte di produzione dellʹaltra. La funzione di reazione descrive quindi la reazione di unʹimpresa rispetto al livello di output dellʹaltra. Partiamo dunque dalla funzione di profitto dell impresa cque : π = TR TC = ( p q ) TC = (50 Q) q 00q = (50 + qb )) q 00q π = 50q q q q B 00q = 50q q q B Per massimizzare il profitto dovrò derivarlo rispetto a q e porlo uguale a zero. La derivata è: π = 50 q qb q Ponendo la derivata uguale a zero si ottiene la funzione di reazione di : 50 qb q = RB ) = = 75 qb Similmente, siccome B ha la stessa funzione di costo, si ottiene la seguente funzione di reazione: 50 q qb = RB) = = 75 q La produzione di equilibrio è ottenuta eguagliando le due funzioni di reazione: R B ) = RB( q ) q = 75 (75 q ) 75 q = 75 + q q = 50 = qb 4 Il prezzo è ottenuto sostituendo la quantità trovata nella funzione di domanda inversa: p = 50 (50 + 50) = 50 Sapendo che il costo medio (C) è ottenuto dividendo la funzione di costo per la quantità q: TC( q) 00q C ) = = = 00 q q I profitti, identici per le due imprese, sono così ottenuti: π = ( p C( q )) q = (50 00) 50 = 500 b) e c) La produzione totale è pari a q + qb = 50 + 50 = 00. Il surplus dei consumatori, evidenziato nel grafico riportante lʹequilibrio del mercato delle acque minerali, è rappresentato dalla differenza tra il prezzo massimo che i consumatori sono disposti a pagare e il prezzo effettivamente pagato (area verde): 00 (50 50) SC = = 5000

p Grafico : il mercato 50 50 domanda 00 50 Q I profitti totali sono 500 + 500 = 5000. La produzione di ciascuna impresa è invece così rappresentata: qb Grafico : le imprese 50 Curva reazione impresa 75 50 Curva reazione impresa B 50 75 50 q (d) Se le imprese si uniscono in un cartello, stabiliscono il livello di produzione che massimizza i profitti congiunti. La funzione di profitto totale è: πtot = ( p( Q) Q) TC( Q) = [ 50 + qb )] ( q + qb ) TC TCB = = 50q + 50q B q q q B q B Di conseguenza la quantità ottima sarà tale da verificare: πtot = 50 q qb = 0 q Da cui si ricava che: Q = q + q B = 75 q = q B = 37,5

(e) Dalla funzione di domanda inversa si ottiene il prezzo dʹequilibrio: p* = 50 Q = 50 75 = 75 mentre il profitto sarà: p * Q 00Q π = πb = = 8,5 Il surplus dei consumatori quando le imprese colludono è: (50 75) * 75 SC = = 8,5 Il surplus delle imprese è invece pari al profitto: 8,5 + 8,5 = 565. In caso di collusione i profitti delle imprese aumentano rispetto all equilibrio di Cournot, mentre il surplus dei consumatori diminuisce. Esercizio 5. Su un mercato operano due sole imprese, lʹimpresa Saturno e lʹimpresa Giove. La curva di domanda inversa è p=400 0,0Q, dove Q=qS+qG è la quantità complessivamente domandata sul mercato quando il prezzo è p. Le funzioni di costo delle due imprese sono rispettivamente C(qS)=00qS e C(qG)=00qG. (a) (b) (c) Quanto producono le due imprese quando si comportano in modo strategico e scelgono simultaneamente e indipendentemente la quantità prodotta in modo da massimizzare i propri profitti? Trovate il prezzo di mercato. quanto ammontano i profitti delle due imprese? Mostrate che se le imprese avessero un comportamento collusivo (formando un cartello) potrebbero aumentare i loro profitti. Spiegate perchè in una riga di testo. Mostrate che, se il mercato fosse concorrenziale, i consumatori starebbero meglio rispetto sia alla situazione di oligopolio sia a quella con collusione. Rappresentate graficamente. Spiegate perchè. Esercizio 5. Soluzione. a) Determiniamo la funzione di profitto dellʹimpresa Saturno: π S = [ 400 0,0S + qg )] qs 00qS = 300qS 0,q S 0, qg qs da cui otteniamo la funzione di reazione: πs = 300 qs qg = 0 qs = RS( qg ) = 500 qg qs 5 0 pplicando lo stesso procedimento otteniamo la funzione di reazione dellʹimpresa Giove: qg = RG S ) = 500 qs Mettendo a sistema le due funzioni di reazione otteniamo la quantità prodotta da ciascuna impresa: q S = q G = 000

Il prezzo è ottenuto sostituendo la quantità totale nella funzione di domanda inversa: p*=400 0,0 (000)=00 I profitti, identici per ogni impresa, ammontano a: πs = πg = ( p C) 000 = 00000 b) Se le imprese avessero un comportamento collusivo la funzione di profitto sarebbe: π = [ 400 0,S + qg )] ( qs + qg ) 00qS 00qG Ora le imprese riconoscono esplicitamente che i profitti sono determinati dalla produzione congiunta. pplicando lo stesso procedimento del punto a) otteniamo che la quantità ottima complessiva è data da Q=500 Essendo le due imprese simmetriche, avremo che: qs = qg = 750 Poichè Q=500, avremo p*=400 0, (500)=50. I profitti di ciascuna impresa sono: πs = ( p C) qs = (50 00) 750 = 500 I profitti sono aumentati. c) Se il mercato diventa concorrenziale, in equilibrio il prezzo eguaglia in costo marginale MC(Q)=00 perciò p**=00 e dalla funzione di domanda inversa 00=400 0,Q ottengo le quantità di ciascuna impresa 3000/ =500 Il surplus del consumatore è la differenza tra quanto il singolo consumatore sarebbe disposto a pagare per un bene e quanto paga effettivamente. Come evidenziato nel grafico, la situazione migliore per i consumatori è il mercato concorrenziale (C) dove il surplus del consumatore (area gialla) è massimo, mentre diminuisce nellʹequilibrio di Cournot () e ancora di più nel caso di comportamento collusivo (B).

p 400 domanda 50 B 00 00 C MC 750 000 500 4000 Q Esercizio 6. In un mercato vi sono due imprese rivali. Entrambe producono un bene omogeneo con costi marginali pari a zero. La funzione di domanda è lineare. a) Se voi foste il manager di una di queste due imprese, che variabile strategica scegliereste (prezzo o quantità) per fare concorrenza al vostro rivale? Dimostrate la vostra risposta. b) Quale sarebbe la situazione ʺmiglioreʺ dal punto di vista sociale (del consumatore)? Esercizio 6. Soluzione. Nel caso di concorrenza strategica alla Bertrand, in seguito ad una politica di ʺundercuttingʺ, lʹequilibrio finale si raggiunge quando le due imprese eguagliano i costi marginali al prezzo. In questo caso entrambe le imprese hanno costi marginali pari a zero e quindi questo sarà anche il prezzo di vendita del prodotto omogeneo. Nel caso di concorrenza alla Cournot, il prezzo che si determina sul mercato è superiore e la quantità venduta inferiore rispetto al caso precedente. Di conseguenza i profitti, per entrambe le imprese, saranno maggiori. Dal punto di vista dellʹimpresa quindi conviene intraprendere una concorrenza di quantità. Per il consumatore, invece, la concorrenza di prezzo, che riproduce una situazione concorrenziale connotata dal prezzo più basso (in questo caso pari a zero) e dalla quantità venduta maggiore, risulta migliore. Esercizio 7. Su un mercato operano due sole imprese, lʹimpresa Verdi e lʹimpresa Bianchi. La curva di domanda inversa è p=00 Q, dove Q=qV+qB è la quantità complessivamente domandata sul mercato quando il prezzo è p. Le funzioni di costo sono rispettivamente TC(qV)=6 qv e TC(qB)=6 qb (a) Quanto producono le due imprese quando si comportano in modo strategico e scelgono simultaneamente e indipendentemente la quantità prodotta in modo da massimizzare i propri profitti? Trovate il prezzo di mercato. quanto ammontano i profitti delle due imprese?

(b) (c) (d) Mostrate che se le imprese avessero un comportamento collusivo (formando un cartello) potrebbero aumentare i loro profitti. Spiegate perchè in una riga di testo. Ipotizzate che il mercato sia concorrenziale (le imprese non riconoscono il loro potere di mercato e prendono il prezzo come un dato). Quale sarebbe la quantità prodotta e il prezzo di mercato? Rappresentate in un medesimo grafico (quantità sulle ascisse e prezzo sulle ordinate) i risultati ottenuti nei tre casi considerati in a), b), c) in merito a prezzo e quantità totale prodotta nel mercato. Qual è la situazione in cui il surplus totale (surplus dei consumatori più surplus delle imprese) è massimo? E quale quella in cui è minimo? Perchè? Esercizio 7. Risultati numerici. a) qv= qb=8 p = 44. πv = πb = 784 b) qv= qb= p = 58 π V = π B = 88 c) p=6 qv= qb=4 Esercizio 8. Supponete che su un mercato operino due imprese. Partendo da una funzione di domanda di mercato generica, del tipo P ( Q) = a bq con Q = q + q E supponendo che la funzione di costo di ciascuna impresa sia TCi ) = cqi i =, Confrontate tra loro prezzo di equilibrio, quantità ottima prodotta (dalle singole imprese e dal mercato) e profitti delle due imprese in tre diversi casi: concorrenza perfetta, monopolio, duopolio di Cournot. Esercizio 8. Risultati numerici. Concorrenza perfetta Monopolio Duopolio Cournot qi Q= q+q p* πi πtot= π=π a c a c c 0 0 b b a c a c a c ( ) a c ( a c) b b b 4b 4b a c a c c a c a c 3b 3 b 3 9b 9b