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I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) Ad ogni matrice quadrata a coefficienti reali è possibile associare un numero reale, detto determinante, calcolato secondo un procedimento ben preciso. a a 11 1n n1 L a M O M L matrice nxn a nn a a 11 1n n1 L a M O M L a nn determinante matrice nxn il determinante di una matrice quadrata di ordine 1è pari all unico coefficiente della matrice. In simboli: a = a 11 11 25
I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) 1. il determinante di un matrice quadrata di ordine 2 è pari alla differenza dei prodotti dei coefficienti della diagonale principale e di quelli sull altra diagonale: a a 11 12 a11a 22 a12a 21 a21 a = 22 - + 2. il determinante di una matrice quadrata di ordine 3 è dato dalla seguente formula: a a a 11 12 13 a a a = a ( a a a a ) a ( a a a a ) + a ( a a a a ) 21 22 23 11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31 a a a 31 32 33 26
I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) La si può memorizzare tramite la regola di Sarrus: a a a a a 11 12 13 11 12 a a a a a 21 22 23 21 22 a a a a a 31 32 33 31 32 - - - + + + 27
I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) Sia data una matrice quadrata A di ordine n. Il calcolo del determinante può essere effettuato tramite la regola di Laplace. Essa riconduce il problema al calcolo dei determinanti di matrici quadrate di ordine n 1. Per ogni coppia di indici (i,j) sia A ij il determinante della matrice ottenuta cancellando la i-esima riga e ela j-esima colonna. Ad esempio: a a a L a 11 12 13 1n a a a L a 21 22 23 2n A = a a a L a = 12 31 32 33 3n M M M M M a a a L a n1 n2 n3 nn a a L a 21 23 2n a a L a 31 33 3n M M M M a a L a n1 n3 nn 28
I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) Lo sviluppo di Laplace del determinante rispetto alla prima riga di Aè dato dalla formula n ( 1) j= 1 1+ j a A 1 j 1 j Nel caso di una matrice quadrata di ordine 4 tale sviluppo è: a A a A + a A a A 11 11 12 12 13 13 14 14 29
I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) Nota importante per al risoluzione dei sistemi di equazioni lineari: Una matrice A quadrata di ordine n si dice singolare o degenere se il suo determinante è nullo: deta=0 30
I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) esercizio: calcolare il determinante della seguente matrice tramite il metodo di Laplace: D = 1 1 0 1 2 0 1 1 0 1 1 1 0 0 2 1 31
I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) esercizio: 1 1 0 1 2 0 1 1 D = 0 1 1 1 0 0 2 1 1 1 0 1 2 0 1 1 0 1 1 1 0 0 2 1 1 1 0 1 1 1 0 1 2 0 1 1 2 0 1 1-0 1 1 1 0 1 1 1 + - 0 0 2 1 0 0 2 1 1 1 0 1 2 0 1 1 0 1 1 1 0 0 2 1 a 11 A 11 a 12 A 12 + a 13 A 13 a 14 A 14 0 1 1 2 1 1 2 0 1 2 0 1 1 1 1 1 ( 1) 0 1 1 + 0 0 1 1 1 0 1 1 0 2 1 0 2 1 0 0 1 0 0 2 Applicando la regola di Sarrus a ciascuno dei determinanti di ordine 3 si ottiene D = 1 ( 1) ( 1) ( 6) + 0 ( 2) 1 ( 4) = 3 32
I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) teorema di Binet il determinante del prodotto di matrici è pari al prodotto dei determinanti: det( A B) = det( A)det( B). 33
I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) esercizio: calcolare il determinante della seguante matrice: 34 1 3 1 3 5 1 2 2 2 16 1 3 1 3 5 1 2 2 2 = VETTORI E MATRICI
Prerequisiti e strumenti matematici e fisici per l elettronica delle telecomunicazioni SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI Con il termine equazione lineare in n incognite si intende un equazione del tipo a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, dove a 1, a 2,..., a n e b sono numeri reali fissati e x 1, x 2,..., x n sono le incognite. Con sistema di m equazioni lineari in n incognite si intende la scrittura Ciascuna riga del sistema `e ovviamente un equazione lineare nelle incognite x 1, x 2,..., x n è immediato osservare che il sistema (di m equazioni ed n incognite) si può scrivere, in forma matriciale, con Ax= b 35
SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI A si dice la matrice del sistema, x il vettore delle incognite e b il vettore dei termini noti Con il termine soluzione del sistema intendiamo ogni vettore xtale che Ax= b 36
SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI SINTESI DELLE PROPRIETA DELLE MATRICI 1. Il determinante di una matrice unitaria è uguale a 1. 2. Il determinante di una matrice nulla è uguale a zero. 3. Il determinante di una matrice avente almeno una riga o almeno una colonna di elementi nulli è uguale a zero. 4. Il determinante di una matrice avente due righe di elementi uguali o proporzionali è uguale a zero. 5. Il determinante di una matrice avente due colonne di elementi uguali o proporzionali è uguale a zero. 6. Moltiplicando tutti gli elementi di una riga o di una colonna di una matrice per uno stesso numero reale k, il valore del determinante della matrice viene moltiplicato per k. 7. Moltiplicando tutti gli elementi di una matrice nxn per uno stesso numero reale k, il valore del determinante della matrice viene moltiplicato per kn. 8. Scambiando tra di loro gli elementi di due righe o di due colonne di una matrice il valore del determinante cambia di segno. 9. Sostituendo gli elementi di una riga di una matrice con la somma degli elementi di questa riga con gli elementi corrispondenti di un altra riga, il valore del determinante non cambia. Lo stesso accade per gli elementi di una colonna. 10.det A T = det A 12.Il determinante di una matrice triangolare (una matrice con tutti zero sopra o sotto la diagonale principale) è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale. 13.Lo stesso vale, ovviamente, anche per una matrice diagonale (ha elementi nulli sopra e sotto la diagonale principale). 37
SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI Metodo di risoluzione di Cramer valido per Sistemi di nequazioni in nincognite sia A la matrice dei coefficienti, e detta A i la matrice ottenuta da A sostituendo la riga i-esima con il vettore b dei termini noti, si ha che, le soluzioni sono rispettivamente: esempio 1: risolvere con il metodo di Cramer il seguente sistema lineare: deta = 3 38
SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI esempio 2: risolvere con il metodo di Cramer il seguente sistema lineare: deta = 3 39
40 SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI esercizi: risolvere con il metodo di Cramer i seguenti sistema lineare: = + + = + = + 0 2 3 1 3 2 2 1. z y x z y x z y x = + = + = + 1 2 2 2 1 2. z y x z y x y x = + + = + = + + 4 4 3 6 3 2 2 3. z y x z y x z y x VETTORI E MATRICI
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