Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali ordinarie Denis Nardin January 2, 2010 1 Equazioni differenziali In questa sezione considereremo le proprietà delle soluzioni del problema di Cauchy. Da adesso in poi (PC) indicherà il seguente problema di Cauchy: u (t) = f(t, u(t)) u( ) = u 0 Dove f è una funzione almeno continua da Ω aperto di R n+1 a R n e R, u 0 R n. Si cercano come soluzioni funzioni u che vanno da un aperto A di R contenente a R n. 1.1 Proprietà delle soluzioni Teorema 1.1: (dell asintoto) Sia f : [a, + ) R derivabile tale che esistano i limiti per t + di f(x) e di f (x). Allora lim t + f (t) = 0. Dim: Consideriamo il limite f(x) + x lim t + x Questo limite vale uno (infatti è uguale al limite di 1 + f(x)/x e il secondo addendo tende a zero. Ma è anche il limite di un rapporto in cui numeratore e denominatore tendono a infinito, per cui si applica il teorema dell Hôpital e otteniamo f(x) + x 1 = lim = lim t + x f (x) + 1 t + Da cui la tesi. Teorema 1.2: (di regolarità) Sia u una soluzione di (PC) con f C. Allora anche u è C. Dim: Dimostriamo per induzione che u è C n per ogni n. u è derivabile per ipotesi (è una soluzione di (PC)). Inoltre è C 1 perchè la sua derivata è u (t) = f(t, u(t)) 1

che è composizione di funzioni continue. Sia ora u C n. Allora anche la sua derivata è C n perchè composizione di funzioni C n. Quindi u è C n+1. 1.2 Esistenza e unicità Teorema 1.3: (di esistenza e unicità locale) Sia (PC) un problema di Cauchy con f : Ω R n è una funzione da un aperto di R n+1 continua. Supponiamo che esistano ρ 1, ρ 2 > 0 tali che posto I = B(, ρ 1 ) e J = B(u 0, ρ 2 ), f sia lipschitziana nella seconda variabile uniformemente alla prima su I J, cioè tale che esista un L > 0 tale che u, u J, t I f(t, u) f(t, u ) L u u Allora esiste un intorno di U e un intorno di u 0 V tali che U V Ω e che esiste una ed una sola u : U V che risolve (PC). Dim: Notiamo che richiedere che u sia soluzione di (PC) è completamente equivalente a chiedere che sia soluzione di questa equazione integrale Pongo u(t) = u 0 + L la costante di Lipschitz di f M = maxf(x, y) x I, y J} ρ 0 < minρ 1, ρ1 M, 1 L }. U = [x 0 ρ 0, x 0 + ρ 0 ] f(s, u(s))ds V = B(u 0, ρ 1 ) = y R n y u 0 ρ 1 } J E dimostriamo che queste scelte di U, V vanno bene. A questo scopo consideriamo l insieme 0 X = u C (Ū) u(u) V } Questo è un sottoinsieme chiuso di C 0 (U) perchè consiste esattamente della palla chiusa centrata nella funzione che vale costantemente u 0 di raggio ρ 1 e perciò forma uno spazio metrico completo. Consideriamo quindi la funzione F : X C 0 (U) definita da F (u)(t) = u 0 + f(s, u(s))ds La nostra tesi diventa quindi dimostrare che esiste un unico punto fisso di F. Per farlo dimostreremo che F è una contrazione su X. Per cominciare dimostriamo che F (X) X. Infatti se u X per ogni t U F (u)(t) u 0 = f(s, u(s))ds f(s, u(s)) ds 2

Mds = M t Mρ 0 ρ 1 Quindi F manda X in se stesso. Ci manca unicamente da far vedere che F è una contrazione. Siano dunque u, v X. Allora per ogni t U F (u)(t) F (v)(t) = f(s, u(s)) f(s, v(s))ds f(s, u(s)) f(s, v(s)) ds L u(s) v(s) ds L u v ds = L t u v Lρ 0 u v e quindi F è una contrazione perchè Lρ 0 < 1. Ma questo, come già osservato, implica la tesi. Teorema 1.4: (di unicità globale) Siano u, v : I R n con I intervallo tali che sono soluzioni di (PC). Allora u = v. Dim: Consideriamo l insieme t I u(t) = v(t)}. Questo insieme è chiuso perchè u, v sono continue e aperto per l unicità locale. Infatti se u(t) = v(t) esiste un intorno di t in cui coincidono. Inoltre è non vuoto perchè ci sta. Allora è tutto I. 1.3 Soluzioni massimali e globali Definizione 1.1: Siano u, v due soluzioni di (PC). u si dice un prolungamento di v se dom u dom v. Definizione 1.2: Una soluzione u si dice massimale se non esistono suoi prolungamenti propri. Una soluzione u si dice globale se dom u = R. Osservazione 1.1: Se u è un prolungamento di v per ogni t dom v u(t) = v(t) per il teorema di unicità globale. Teorema 1.5: Esiste una soluzione massimale di (PC) Dim: Sia U = v soluzione di (PC) } l insieme delle soluzioni di (PC) e sia v U I v = dom v. Ricordiamo che due soluzioni di un problema di Cauchy coincidono sempre nell intersezione dei domini. Allora prendiamo I = v U Notiamo che I è un intervall perchè unione di intervalli non disgiunti. Definiamo ora u : I R n come u(t) = v(t) se t I v. Notiamo che u è ben definita per il teorema di unicità globale (il valore v(t) non dipende dalla particolare v scelta). Allora u è una soluzione perchè lo è localmente (se t I v allora u (t) = v (t) = f(t, v(t) = f(t, u(t))) e inoltre u(0) = u 0. Inoltre è un estensione di qualunque soluzione perchè il suo dominio contiene il dominio di qualunque altra soluzione. Quindi è una soluzione massimale. I v 3

Per analizzare i comportamenti della soluzione massimale agli estremi del dominio abbiamo bisogno di un lemma preliminare Lemma 1.1: Sia u : (a, b) R una soluzione di (PC) con b < +, e sia t k una successione convergente a b tale che u(t k ) u b R n. Allora esiste lim t b u(t) = u b Dim: Intanto notiamo che è possibile scegliere i t k in modo che convergano in modo monotono (eventualmente prendendone una sottosuccessione). Supponiamo ora per assurdo che il limite di u(t) per t b non sia u b. Allora possiamo scegliere un ɛ > 0 tale che l insieme R = t (a, b) u(t) u b > ɛ} sia non vuoto e abbia b come estremo superiore (cioè ci sono punti t arbitrariamente vicini a b tali che u(t) disti più di ɛ da u b ). Poichè Ω è aperto possiamo scegliere quindi c (a, b) tale che [c, b] [ ɛ, ɛ] Ω. Sia quindi M = max f(x) x [c,b] [ ɛ,ɛ] Dove il massimo esiste perchè l insieme è compatto. Prendiamo ora N N tale che per ogni n N e inoltre t N > c. Poniamo quindi t n b ɛ/4m e u(t n ) u b ɛ/4 t = inft (t N, b) u(t) u b > ɛ} = R (t N, b) Questo estremo inferiore possiamo prenderlo perchè l insieme al secondo membro è non vuoto perchè sup R = b. Allora, per la continuità della funzione u(t) u b Ma u( t) u b = ɛ u( t) u b u( t u(t N ) + u(t N ) u b = = u (η) t t N + ɛ/4 = f(η, u(η)) t t N + ɛ/4 dove η (t N, t) e quindi (η, u(η)) [c, b] [ ɛ, ɛ]. Infine sostituendo le stime abbiamo che ɛ = u( t) u b M ɛ 4M + ɛ 4 = ɛ/2 Assurdo. Teorema 1.6: Sia u : [, l) R una soluzione massimale di (PC) con l < +. Allora per ogni compatto K contenuto in Ω esiste δ > 0 tale che t [l δ, l) (t, u(t)) K 4

(La soluzione scoppia quando si avvicina all estremo superiore del suo dominio). Dim: Fissiamo K Ω compatto. Per assudo esista t k successione di reali convergente a l tale che (t k, u(t k )) K. Allora posso estrarne una sottosuccessione (t nk, u(t nk )) convergente a un certo (l, ũ). Ma allora per il lemma la soluzione è estendibile su [, l] e quindi non è massimale. Assurdo. 1.4 Stime di soluzioni Lemma 1.2: (di Gronwall) Sia u : [a, b] R n di classe C 1 tale che esistono ɛ, Q > 0 tali che t [a, b] u (t) ɛ + Q u(t) E sia [a, b]. Allora t [a, b] u(t) ɛ Q + u() e Q t t0 Dim: Per ogni σ > 0 consideriamo z : [a, b] R definita da Allora z(t) u(t). Inoltre z (t) = z(t) = σ 2 + u(t) 2 1 2 σ 2 + u(t) 2 2 < u(t), u (t) > u(t) u (t) σ2 + u(t) 2 u (t) ɛ + Q u(t) ɛ + Qz(t) Supponiamo ora t >. Ma allora, dividendo entrambi i membri per ɛ + Qz(t) (che è sempre positiva) e integrando otteniamo z (s) ɛ + Qz(s) ds t Da cui infine z(t) z() 1 ɛ + Qz dz t ln(ɛ + Qz(t)) ln(ɛ + Qz( ) Q t Qz(t) ɛ + Qz(t) (ɛ + Qz( ))e Q(t t0) z(t) (ɛ/q + z( ))e Q(t t0) 5

Procedendo analogamente per t < otteniamo la formula generale z(t) (ɛ/q + z( ))e Q t t0 E u(t) z(t) (ɛ/q + z( ))e Q t t0 = (ɛ/q + σ 2 + u( ) 2 )e Q t t0 Da cui prendendo l estremo inferiore per σ 0 otteniamo la tesi. Teorema 1.7: (Controllo lineare) Sia u una soluzione massimale di (PC) con f : I R R, I intervallo. Se esistono α, β : I R continue tali che t I x R f(t, x) α(t) x + β(t) Allora u è soluzione globale. Dim: Sia J il dominio di u e supponiamo che J I. Ma allora J J I. Ora i moduli di α, β hanno un massimo su J. Siano questi A, B. Allora t J e per il lemma di Gronwall u (t) A + B u u(t) (A/B + u( ) )e B t t0 Quindi u è limitata su J, per cui si estende a J. Assurdo Definizione 1.3: Sia (PC) un problema di Cauchy con f continua e localmente lipschitziana. Una funzione v è detta soprasoluzione (sottosoluzione) di (PC) se per ogni t vale v (t) f(t, v(t)) v( ) u 0 ( v (t) f(t, v(t)) v( ) u 0 Teorema 1.8: (Confronto) Sia (PC) un problema di Cauchy con f continua e localmente lipschitziana. Siano u una soluzione e v una soprasoluzione (sottosoluzione). Allora t u(t) v(t) (u(t) v(t)) t u(t) v(t) (u(t) v(t)) ) Dim: Consideriamo la funzione w(t) = u(t) v(t). w è continua perchè lo sono u e v. Consideriamo l insieme J := t > w(t) > 0} Notiamo che J è aperto perchè w è continua (è la controimmagine dell aperto y < 0}). Per assurdo sia J. Prendiamo ξ J e consideriamo t = inft > 6

(t, ξ) J} (l insieme è non vuoto perchè J è aperto, quindi esiste una palla centrata in ξ tutta contenuta in J). Allora, per la continuità di w abbiamo che w( t) = 0. Ma allora t [ t, ξ] w (t) = (u v) (t) = u (t) v (t) = f(t, u(t)) f(t, v(t)) L u(t) v(t) = L w(t) Dove L è la costante di Lipschitz per f. E infine per il lemma di Gronwall u(t) v(t) = w(t) (u( t) v( t))e L(t t) = 0 Assurdo perchè u(t) v(t) > 0 per ogni t J. 1.5 Dipendenza continua Teorema 1.9: (Dipendenza continua dai dati iniziali) Sia f : I R R continua, L-lipschitziana nel secondo argomento, I intervallo e x 0 I. Sia in oltre per ogni α R y α l unica soluzione del problema di Cauchy: y α(t) = f(t, y α (t)) y α (x 0 ) = α Allora per ogni α, α R x I y α (x) y α (x) α α e L x x0 Dim: Consideriamo w(x) = y α (x) y α (x). Allora w (x) = y α(x) y α (x) = f(x, y α(x)) f(x, y α (x)) L y α (x) y α (x) = L w(x) Da cui per il lemma di Gronwall w(x) w(x 0 ) e L x x0 che è la tesi. Corollario 1.1: Con le notazioni del teorema precedente, se α α allora y α y α uniformemente su ogni compatto in I. Osservazione 1.2: L enunciato del corollario si estende anche al caso di due successioni, α n α e f n f uniformemente su ogni compatto, tali che le f n siano continue e equilipschitziane. Allora le soluzioni y n dei problemi di Cauchy y n(x) = f n (x, y n (x)) y n (x 0 ) = α n tendono alla soluzione del problema di Cauchy limite uniformemente su tutti i compatti. 7

1.6 Sistemi lineari Definizione 1.4: Sia A M(n, R). L esponenziale di A è la matrice così definita: e A A n = n! n=0 Osserviamo che la serie converge in quanto lo fa la serie delle norme (con una qualunque norma matriciale indotta). Inoltre è facile verificare che la funzione f(t) = e At è derivabile e vale f (t) = Ae At Infine notiamo che e A commuta con A perchè limite di polinomi in A. Teorema 1.10: Sia dato il problema di Cauchy u (t) = Au(t) u( ) = u 0 Dove A è una matrice n n a coefficienti reali e u 0 R n. Allora la soluzione esiste ed è unica su tutto R e inoltre è data da u(t) = e A(t t0) u 0 Dim: Poichè la funzione u Au è lipschitziana i teoremi già visti ci garantiscono esistenza e unicità globale. Inoltre quella mostrata è manifestatamente una soluzione, e quindi è lei. Teorema 1.11: Sia dato il problema di Cauchy u (t) = Au(t) + b(t) u( ) = u 0 Dove A è una matrice n n a coefficienti reali, u 0 R n b è una funzione continua a valori in R n. Allora la soluzione esiste ed è unica su tutto R e inoltre è data da ] u(t) = e [u A(t t0) 0 + e A(s t0) b(s)ds Dove l integrale si intende effettuato componente per componente. Dim: La dimostrazione è del tutto analoga al caso precedente. Per ricordarla meglio però presentiamo un metodo per ricavarsi la formula, piuttosto oscura, della soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri a destra per e A(t t0) e con semplici passaggi otteniamo e A(t t0) u (t) Ae A(t t0) u(t) = e A(t t0) b(t) (e A(t t0) u(t)) = e A(t t0) b(t) 8

Integrando che è la tesi. e A(t t0) u(t) u 0 = e A(s t0) b(s)ds 9