Dinamica dei Sistemi Aerospaziali Esercitazione 7 9 dicembre 0 M, ft G k, r k, r b z l l y Figura : Sistema a gradi di libertà. Il sistema meccanico rappresentato in Figura è composto da una trave di massa M e momento d inerzia, vincolata a muoversi nel piano verticale e sospesa agli estremi da due sistemi molla-smorzatore di caratteristiche k, r e k, r. Il baricentro dell asta G si trova a distanza l da un estremo e a distanza l dall estremo opposto. Una forzante ft agisce in direzione verticale a distanza b dal baricentro. Si richiede, assumendo come coordinate libere lo spostamento verticale della trave e la sua rotazione, di:. scrivere le equazioni di moto linearizzate del sistema attraverso i bilanci dinamici;. scrivere le equazioni di modo linearizzate del sistema mediante l applicazione del formalismo di Lagrange; 3. calcolare le frequenze proprie e i modi di vibrare del sistema libero e non smorzato, con M 950 kg, 400 kgm, k k 0 4 N/m, l l.5 m; 4. calcolare le frequenze proprie e i modi di vibrare del sistema libero e non smorzato, con M 950 kg, 400 kgm, k k 0 4 N/m, l m, l m;
z y ft G k l sin r l k l sin r l Mg Mẍ k r ẋ k r ẋ Figura : Sistema in configurazione deformata. Sono evidenziate le forze applicate e le forze d inerzia. soluzioni. Equazioni di moto - Equilibri dinamici In Figura è rappresentato il sistema in configurazione deformata e sono evidenziate le forze che esso scambia con l esterno. Dal bilancio di forze in direzione z si ottiene l equazione di moto rispetto alla coordinata libera : Mẍ + r + r ẋ + r l r l + k + k + k l k l sin ft che linearizzata diventa Mẍ + r + r ẋ + r l r l + k + k + k l k l ft 4 Mentre scrivendo il bilanco di momenti rispetto al baricentro si ottiene l equazione di moto rispetto alla coordinata libera : + r l + r l cos + r l r l ẋ + k l + k l sin cos + k l k l ftb cos Nelle equazioni di moto linearizzate nell intorno della posizione di equilibrio, in questo caso, non compaiono termini relativi alla forza peso. Questo avviene perchè la forza peso dà un contributo costante alle equazioni di moto, che viene a bilanciarsi, nel momento in cui si scrivono le quazioni di moto linearizzate, con il termine relativo al precarico statico delle molle. Infatti, scrivendo il potenziale elastico del sistema, completo del termine gravitazionale V k l + k l + mgh k l sin + k + l sin + mg e derivando rispetto alle coordinate libere scelte, si ottengono le due equazioni di equilibrio statico del sistema: V k 0 l sin 0 + k 0 + l sin 0 + Mg 0 V k 0 l sin 0 l cos 0 + k 0 + l sin 0 l cos 0 0 3a 3b Risolvendo il sistema di equazioni algebriche non lineari appena ricavato, in funzione di 0 0 0 T e assumendo come coordinate libere le perturbazioni rispetto all equilibrio T 0 0, il contributo associato a Mg nell equazione di moto in non compare, perchè bilanciato dal corrispondente termine di precarico. Nel proseguo il vettore di coordinate libere sarà indicato con, per comodità grafica, sottintendendo però che in realtà si tratta del vettore delle perturbazioni rispetto all equilibrio.
5 che linearizzata diventa + r l + r l + r l r l ẋ + k l + k l + k l k l ftb Le equazioni di moto possono essere scritte in forma matriciale: M 0 ẍ 0 + r + r r l r l ẋ r l r l + r l + k + k k l k l k l k l + k l b ft che in forma compatta assumono il familiare aspetto: 6 7 M ẍ + R ẋ + B ft 8. Equazioni di moto - Formalismo di Lagrange in forma scalare Forme di energia: E c Mẋ + V k k l + k l k l + k + l D r l + r l r δl ftδ f ft δ + bδ ẋ l + r ẋ + l 9 Applicando il formalismo di Lagrange, rispetto a e : d Ec dt ẋ d Ec dt + D ẋ + V δl δ + D + V δl δ 0a 0b si ottengono le equazioni di moto 4, 6..3 Equazioni di moto - Formalismo di Lagrange in forma matriciale Si scrivono le forme di energia in forma matriciale, in coordinate fisiche E c ẏm T diagm ẏm V k l T diagk l D k l T diagr l δl ft δy f 3
la scelta delle coordinate fisiche permette di scrivere le matrici di massa, rigidezza e smorzamento in forma diagonale: M 0 diagm 0 r 0 diagr 0 r diagk k 0 0 k a b c d mettendo in evidenza gli acobiani si possono scrivere le forme di energia in funzione delle coordinate libere scelte: E c ẋ T T ẋ Λm diagm Λm V k T T Λk diagk Λk D k ẋ T T ẋ Λk diagr Λk δl ft Λ F δ 3a 3b 3c 3d in questo caso, il vettore delle coordinate fisiche y m coincide con il vettore delle coordinate indipendenti: ym 4 da cui Λ m I. Per il vettore degli allungamenti delle molle vale invece l l l l l Λ k Infine, considerando il lavoro virtuale della forza ft 5 δl ftδy f 6 esplicitando δy f : δy f δ + b si ottiene infine b Λ m 7 δl ft Λ f δ Il sistema di equazioni di moto può essere scritto direttamente in forma matriciale, notando che 8 T M Λm diagm Λm T Λk diagk Λk T R Λk diagr Λk B Λf 9a 9b 9c 9d esplicitando i prodotti si ottengono le matrici di massa, rigidezza e smorzamento come definite nelle 7. 4
.4 Frequenze proprie e modi di vibrare Si considera il sistema libero non smorzato: M + 0 0 La soluzione generica è e iωt sostituendo la nella 0, si ottiene ω M + e iωt 0 perchè esistano soluzioni non banali deve essere det ω + M 0 3 ovvero det M k + k k l k l M k l k l k l + k l 0 4 che porta a scrivere ω 4 ω M k l + k l + k + k + k l k l + k + k k l + k l 0 che può essere riscritta come 5 ω 4 + Bω + C 0 6 le sue soluzioni sono ω I,II B ± B 4C Si trovano quindi 4 valori di ω in generale N valori, con N numero di gradi di libertà del sistema, tali per cui 7 ω,3 ±ω I ω,4 ±ω II 8 e la soluzione generica è quindi esprimibile come combinazione lineare di 4 termini e iω t + e iω t + 3 e iω 3t + 4 e iω 4t 9 ovvero e iω It + e iω IIt + 3 e iω It + 4 e iω IIt 30 5
parametro valore unità M 950 kg 400 kgm k 0 4 N/m k 0 4 N/m l.5 m l.5 m Tabella : Parametri del sistema. Caso. parametro valore unità M 950 kg 400 kgm k 0 4 N/m k 0 4 N/m l.5 m l 3 m Tabella : Parametri del sistema. Caso. con 3 e 4 autovettori associati alla matrice M. Si ottengono sostituendo le ωi e ω II nella stessa matrice, ottenendo un sistema di due equazioni linearmente dipendenti tra di loro. Con i parametri della tabella si ottiene k 0 0 kl la matrice di rigidezza risulta diagonale: il sistema è disaccoppiato. Questo significa che esisterà un modo di vibrare puramente traslazionale lungo la coordinata e un modo di vibrare puramente rotazionale lungo la coordinata. 3 Le frequenze proprie si ottengono da det ω + M k M ω 0 kl 0 3 0 ω da cui si ottiene k ω, ± ±6.49 rad/s M 33a kl ω,4 ± ±.03 rad/s 33b in questo caso i modi di vibrare sono semplicemente 3 0 4 0 Con i parametri della Tabella si ottiene invece k kl kl 5kl 34a 34b 35 6
in questo caso il sistema è accoppiato. Le frequenze proprie si ottengono risolvendo det ω + M k M ω kl kl M 5kl 0 36 ω che conduce a ω I 36.56 rad /s ω, ±6.05 rad/s ω II 66.7 rad /s ω,4 ±.89 rad/s 37a 37b sostituendo ω I nelle 36 si ottiene ω + M prendendo, per esempio, la prima equazione: 5.45 3.57 0 38.4 4.06 5.45 + 3.57 0 39 si ottiene 3. 0.7 Sostituendo ω II si ottiene, invece ω + M prendendo anche in questo caso la prima equazione 4.06 3.57 0 40.4 5.46 4.06 + 3.57 0 4 da cui 4. 3.93 7