Disensa n.1 Esercitazioni di Analisi Mat. 1 (a cura di L. Pisani) C.d.L. in Matematica Università degli Studi di Bari a.a. 2003/04 i
Indice Notazioni iii 1 Princii di sostituzione 1 1.1 Funzioni equivalenti in un unto.................. 2 1.2 Parti rinciali............................ 4 1.2.1 Equivalenze notevoli..................... 5 1.3 Equivalenza nelle somme....................... 6 1.4 Termini trascurabili......................... 7 1.4.1 Notazione o iccolo di Landau.............. 9 1.5 Considerazioni conclusive...................... 10 2 Limiti notevoli 11 2.1 Enunciati ed esemi......................... 11 2.2 Risoluzione delle forme +1 1.................. 16 3 Teoria degli ordini 18 3.1 In niti di ordine inferiore e iti.................. 18 3.2 Confronto tra in niti e ordini.................... 18 3.3 Valutazione numerica dell ordine.................. 20 3.3.1 Esemi notevoli........................ 21 3.3.2 Struttura ne......................... 22 3.3.3 Famiglie di in niti classi cate tramite un multiindice... 23 3.4 Confronto di in nitesimi, iti e ordini.............. 24 3.4.1 Valutazione numerica dell ordine.............. 25 3.5 Ordine e oerazioni.......................... 25 3.5.1 Prodotti e raorti...................... 25 3.5.2 Funzione comosta...................... 26 3.5.3 Somme............................ 27 3.5.4 Esemi............................ 28 ii
Notazioni Ove non resenti altre recisazioni, suorremo ssati A sottoinsieme di R; x 0 2 R unto di accumulazione er A; inoltre con f; g; : : : denoteremo funzioni reali de nite in A, non nulle in un intorno di x 0 ; tutti i iti si intendono er x! x 0 ; con ` si denoterà un generico elemento di R. iii
iv NOTAZIONI
Caitolo 1 Princii di sostituzione Consideriamo la funzione olinomiale P (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 : Saiamo che P (x) = a nx n : x!+1 x!+1 In altri termini esiste un altra funzione Q(x) = a n x n tale che P (x) = Q(x): x!+1 x!+1 Esistono due ossibili modi, del tutto equivalenti, er generalizzare questa sostituzione dentro il ite. Osserviamo che risulta Q(x) x!+1 P (x) = 1; questo conduce alla de nizione di funzioni equivalenti; risulta con P (x) = Q(x) + R(x) R(x) x!+1 Q(x) = 0; questo conduce alla de nizione di termine trascurabile. In questo caitolo resenteremo queste due nozioni. 1
2 CAPITOLO 1. PRINCIPI DI SOSTITUZIONE 1.1 Funzioni equivalenti in un unto De nizione 1.1 Due funzioni f(x) e g(x) si dicono (asintoticamente) equivalenti in x 0 se risulta f(x) = 1: (1.1) x!x 0 g(x) In questo situazione scriveremo f(x) = g(x) [er x! x 0 ]: Sottolineiamo che l equivalenza è una nozione di carattere locale, nel senso che due funzioni equivalenti in un unto non è detto che lo siano in altri unti. L utilità di questa de nizione viene messa subito in luce dai seguenti risultati. Proosizione 1.2 Se due funzioni sono equivalenti in x 0, allora hanno in x 0 lo stesso comortamento, nel senso che o entrambe non sono regolari o i risettivi iti coincidono; in simboli f(x) = g(x) (er x! x 0 ) =) x!x 0 f(x) = x!x 0 g(x): Proosizione 1.3 Si abbiano due coie di funzioni equivalenti: Allora risulta f 1 (x) = g 1 (x) e f 2 (x) = g 2 (x): f 1 (x) f 2 (x) = g 1 (x) g 2 (x): In articolare le funzioni f 1 (x) f 2 (x) e g 1 (x) g 2 (x) hanno lo stesso comortamento, nel senso sora recisato. L imortanza di questo corollario è evidente: nelle forme indeterminate 0 (1) otremo sostituire uno o entrambi i fattori con termini equivalenti. Proosizione 1.4 Se la funzione f(x) è equivalente a g(x), allora anche 1=f(x) è equivalente a 1=g(x). Se abbiamo due coie di funzioni equivalenti f 1 (x) = g 1 (x) e f 2 (x) = g 2 (x); allora le funzioni f 1 (x)=f 2 (x) e g 1 (x)=g 2 (x) hanno lo stesso comortamento. Questa roosizione ha un imortanza evidente, con riferimento alle forme indeterminate 0 0 e 1 1. Anche se l equivalenza si alica rincialmente a funzioni in nite o in - nitesime, vogliamo segnalare che, se f(x) converge ad numero ` 6= 0, allora ovviamente f(x) = ` (intendendo la funzione di costante valore `). Risultano molto utili, in ne, i seguenti risultati, concernenti il comortamento dell equivalenza risetto alla comosizione. Proosizione 1.5 Se t!t0 '(t) = x 0 '(t) 6= x 0 in un intorno di t 0
1.1. FUNZIONI EQUIVALENTI IN UN PUNTO 3 e allora risulta f(x) = g(x) er x! x 0 f('(t)) = g('(t)) er t! t 0. Nella roosizione recedente le due funzioni equivalenti comarivano all esterno della comosizione. Ora ci chiediamo in quali casi ossiamo a ermare che f(x) = g(x) =) ' (f(x)) = ' (g(x)) : Alcuni casi rilevanti in cui l equivalenza si conserva sono illustrati di seguito. Proosizione 1.6 Se allora, er ogni > 0, risulta Proosizione 1.7 Se allora, er ogni a > 0, a 6= 1 f(x) > 0 f(x) = g(x) er x! x0 (f(x)) = (g(x)) f(x)! ` 0; ` 6= 1; er x! x 0 : f(x) = g(x) er x! x0 log a (f(x)) = log a (g(x)) er x! x 0 : Esemio 1.8 La condizione aggiuntiva ` 6= 1 è necessaria. Le funzioni 1 + x e 1 + x 2 sono equivalenti er x! 0. Tuttavia vedremo che log(1 + x) = x 6 = x 2 = log(1 + x 2 ): Osservazione 1.9 Se f(x) è una funzione in nita, allora la condizione è detta di equivalenza forte in quanto essa imlica f(x) g(x)! ` 2 R (1.2) f(x) g(x)! 1; senza che valga l imlicazione oosta. Ad esemio er x! +1 le funzioni x2 + x e 3 x 3 + x 2 sono entrambe equivalenti ad x; tuttavia solo la rima è equivalente in senso forte. Osserviamo che la condizione (1.2) è ovvia er funzioni convergenti ed equivalenti. Nella terminologia della teoria degli ordini, otremmo a ermare che se f e g sono in nite ed equivalenti in senso forte, allora er ogni a > 0, a 6= 1 le funzioni comoste ex a (f) ed ex a (g) hanno lo stesso ordine. In articolare se allora g(x) f(x)! 0; (1.3) ex a (f(x)) = ex a (g(x)) er x! x 0 : La condizione aggiuntiva (1.3) è necessaria. Infatti le funzioni x 2 e x 2 + x sono equivalenti er x! +1, ma non veri cano (1.3). Risulta e x2 6 = e x2 +x er x! +1.
4 CAPITOLO 1. PRINCIPI DI SOSTITUZIONE 1.2 Parti rinciali In corrisondenza del unto x 0 vogliamo ssare un in nitesimo ed un in nito di riferimento. De nizione 1.10 Si de nisce in nitesimo rinciale in x 0 la funzione x x0 se x x0 (x) = 0 2 R; 1=x se x 0 = 1: La funzione in nita! x0 (x) = 1 1= (x x0 (x) = x0 ) se x 0 2 R; x se x 0 = 1; rende il nome di in nito rinciale in x 0. Tra le funzioni in nitesime in x 0, quelle iù semlici sono della forma c ( x0 (x)) (1.4) essendo c 2 R e > 0. Questo suggerisce la seguente de nizione. De nizione 1.11 Sia f(x) una funzione in nitesima. Si de nisce arte rinciale di f in x 0 l unico in nitesimo della forma (1.4) equivalente ad f(x) in x 0. La recedente de nizione richiede alcune immediate recisazioni. 1. Nel caso di esonenti non interi si richiede imlicitamente che si tratti di iti unilaterali, in modo che la base in (1.4) sia ositiva. 2. Come imlicitamente a ermato nella de nizione, la arte rinciale è unica. 3. Non è a atto detto che ogni in nitesimo ammetta arte rinciale. Consideriamo, ad esemio x! 0; le funzioni f(x) = x(1 + sin 2 1 x ) f(x) = e 1=x2 non ammettono arte rinciale; abbastanza semlice la dimostrazione nel rimo caso, iù delicata nel secondo. 4. Se f è una funzione di classe C 1 ed x 0 è un unto interno ad A, la arte rinciale di f in x 0 coincide con il rimo termine non nullo dello sviluo di Taylor. Osservazione 1.12 Sussiste ovviamente la de nizione analoga di arte rinciale di un in nito.
1.2. PARTI PRINCIPALI 5 1.2.1 Equivalenze notevoli Tutte le volte che si incontra un in nitesimo sarà oortuno cercare di assare alla risettiva arte rinciale. Essa si determina a artire da equivalenze note, tramite le regole contenute nelle roosizioni del aragrafo recedente. Riortiamo una tabella di arti rinciali di alcune funzioni in nitesime er x! 0. Una traccia di dimostrazione la daremo nel Paragrafo 1.5. Come casi articolari abbiamo funzione arte rinc. ordine sin x x 1 tan x x 1 arcsin x x 1 arctan x x 1 1 cos x x 2 =2 2 log a (1 + x) x= log a 1 a x 1 (log a) x 1 (1 + x) 1 x 1 funzione arte rinc. ordine log(1 + x) x 1 e x 1 x 1 n 1 + x 1 x=n 1 Abbiamo anche equivalenze notevoli er x! 1. funzione arte rinc. ordine log x x 1 1 arccos x 2 1 x 1=2 Vediamo come si alicano queste equivalenze Esemio 1.13 Determiniamo la arte rinciale di s f(x) = 4 log 1 + 3 arcsin 3 x2 2 er x! 0. Saiamo che log(1 + x) = x er x! 0: Alicando la Proosizione 1.5 con '(x) = 3 arcsin 3 x2 2 (in quanto '(x)! 0), otteniamo log 1 + 3 arcsin 3 x2 = 3 arcsin 3 x2 2 2 : (1.5) Saiamo anche che arcsin x = x er x! 0 e quindi, oiché elevando a otenza si conserva l equivalenza, arcsin 3 x = x 3 :
6 CAPITOLO 1. PRINCIPI DI SOSTITUZIONE Alicando ancora la Proosizione 1.5, con '(x) = x 2 =2! 0; otteniamo Da (1.5) e (1.6) consegue log arcsin 3 x2 2 = x6 8 : (1.6) 1 + 3 arcsin 3 x2 = 3 2 8 x6 : Elevando alla otenza 1=2 si conserva l equivalenza e ertanto s r log 1 + 3 arcsin 3 x2 3 = 2 8 x3 : In de nitiva ossiamo concludere che la arte rinciale di f(x), er x! 0, è 6x 3. A arte i casi segnalati nelle Proosizioni 1.6 e 1.7, osserviamo che si rocede dalla funzione iù esterna a quella iù interna. 1.3 Equivalenza nelle somme Sussiste la seguente roosizione. Proosizione 1.14 Si abbiano due coie di funzioni equivalenti f 1 (x) = g 1 (x) e f 2 (x) = g 2 (x): Suoniamo, in un intorno di x 0, g 1 (x) + g 2 (x) g 1 (x) > 0: (1.7) Risulta allora Osserviamo quanto segue. f 1 (x) + f 2 (x) x!x 0 g 1 (x) + g 2 (x) = 1 La condizione (1.7) è immediatamente veri cata qualora gli addendi siano concordi in un intorno di x 0. La condizione (1.7) è immediatamente veri cata qualora risulti f 1 (x) x!x 0 f 2 (x) = g 1 (x) = ` 6= 1: x!x 0 g 2 (x) Osservazione 1.15 In realtà, se g 1 (x) e g 2 (x) sono arti rinciali, la condizione g 1 (x) + g 2 (x) 6 0 (1.8) imlica la condizione (1.7); quindi nella maggior arte degli esercizi è su ciente veri care la (1.8).
1.4. TERMINI TRASCURABILI 7 Se g 1 e g 2 non sono arti rinciali, la condizione (1.8) non imlica la (1.7) quindi bisogna restare articolare attenzione. Ad esemio consideriamo f 2 (x) = 1 f 1 (x) = x = g 1 (x) 1 + 2x + 4x 2 = x 2x 2 = g 2 (x) L equivalenza è corretta ma, a norma di de nizione, g 2 (x) non è la arte rinciale di f 2 (x). In questo caso abbiamo g 1 (x) + g 2 (x) = 2x 2 6= 0, tuttavia non è a atto vero che f 1 (x) + f 2 (x) = 2x 2 : Infatti lasciamo come semlice esercizio lo studio del ite f 1 (x) + f 2 (x) x!0 x 2 = 3=2 che ci ermette di a ermare correttamente f 1 (x) + f 2 (x) = 3 2 x2 : Osservazione 1.16 Se alla funzione f 1 + f 2 non si ossono alicare le equivalenze, non è a atto escluso che un ite del tio f 1 (x) + f 2 (x) x!x 0 f 3 (x) ossa essere risolto scrivendolo nella forma x!x 0 Ad esemio ossiamo considerare f1 (x) f 3 (x) + f 2(x) f 3 (x) : log(1 + x) sin x x!0 + e x : 1 Osservazione 1.17 Nel caso di iù di due addendi si richiede articolare attenzione. Per la risoluzione degli esercizi ossiamo suggerire una regola ratica: se tutti gli addendi ammettono arte rinciale, a nché si conservi l equivalenza nella somma è su ciente che i termini con esonente iù basso abbiano somma diversa da 0. 1.4 Termini trascurabili Ora assiamo ad esorre una nozione che si integra con quella di funzione equivalente. De nizione 1.18 Assegnate due funzioni f(x) e h(x), il termine h(x) si dice trascurabile risetto ad f in x 0 se risulta x!x 0 h(x) f(x) = 0:
8 CAPITOLO 1. PRINCIPI DI SOSTITUZIONE La denominazione trascurabile viene motivata dalla seguente roosizione, di dimostrazione immediata. Proosizione 1.19 Se h(x) è trascurabile risetto ad f(x) in x 0, allora f(x) + h(x) = f(x): Una conseguenza immediata di questa roosizione è che, in tutte le somme, i termini trascurabili ossono essere cancellati, ottenendo una funzione equivalente. Vogliamo osservare che la Proosizione 1.19 ammette il viceversa. Proosizione 1.20 Se due funzioni sono equivalenti in x 0, allora di eriscono er un termine trascurabile risetto a ciascuna di esse. Proosizione 1.21 Suoniamo f(x) equivalente a g(x) in x 0 ed h(x) equivalente ad l(x) in x 0. Se h(x) è trascurabile risetto ad f(x), allora l(x) è trascurabile risetto a g(x). Diamo ora un esemio base. Esemio 1.22 Se f(x) è una funzione in nita ed h(x) è una funzione itata, allora h(x) è trascurabile risetto ad f(x). Esemio 1.23 Si voglia studiare, er x! +1, la funzione f(x) = 3 x 2 + sin 2 x + arctan x: Il termine arctan x; essendo itato, è trascurabile risetto a 3 x 2 + sin 2 x, che è divergente; ertanto f(x) = 3 x 2 + sin 2 x (1.9) A sua volta sin 2 x, essendo itato, è trascurabile risetto al termine divergente x 2 ; ertanto x 2 + sin 2 x = x 2 : (1.10) Dalla (1.10), alicando la Proosizione 1.6, consegue Dalla (1.9) e dalla (1.11) otteniamo f(x) = x 2=3. 3 x 2 + sin 2 x = x 2=3 : (1.11) Esemio 1.24 Siano 0 < < q. Consideriamo le funzioni x e x q. Se x! 0 +, allora x q è trascurabile risetto a x. Se x! +1, allora x è trascurabile risetto a x q. Dobbiamo recisare che in resenza di iù di due addendi, la cancellazione di un addendo non è oerazione da farsi con leggerezza. Esemio 1.25 Consideriamo x!+1 x2 + x x + arctan ( x) :
1.4. TERMINI TRASCURABILI 9 I rimi due addendi sono in niti mentre il terzo non lo è. Erroneamente otremmo ritenere arctan ( x) trascurabile risetto a x 2 + x x e cancellarlo, così facendo otteniamo x!+1 x2 + x x + arctan ( x) = x2 + x x : x!+1 Per risolvere questo ite osserviamo che r x2 + x x = x 1 + 1 = x 1 x 2 x! (1.12) 2 In realtà, come aena visto, x2 + x x non è in nito, quindi arctan( x) non è a atto trascurabile e, alla luce di (1.12) abbiamo x2 + x x + arctan ( x) = 0: x!+1 Esemio 1.26 Consideriamo x! 0. La funzione log(1 + x 2 ) è trascurabile risetto ad x e risetto a sin x. Tuttavia, come vedremo in seguito, essa non è trascurabile risetto a x sin x. 1.4.1 Notazione o iccolo di Landau De nizione 1.27 Assegnata una funzione f, il simbolo o(f; x 0 ) (si legge o iccolo di f in x 0 ) denota una generica funzione g trascurabile risetto ad f in x 0. Se non sorgono equivoci, si scrive semlicemente o(f). Questa nuova notazione richiede alcune recisazioni. Quando diciamo funzione generica intendiamo non meglio recisata, in quanto di essa ci interessa solo la trascurabilità risetto ad f. Esemio 1.28 Se consideriamo x! +1, con il simbolo o(x 2 ) si uò denotare tanto x quanto sin x. In maniera del tutto coerente con la de nizione che abbiamo dato, alcuni autori usano il simbolo o(1) er denotare una generica funzione in nitesima. La genericità uò dare luogo a scritture e regole aarentemente aradossali. Proosizione 1.29 Quale che sia f, si ha che o(f) + o(f) = o(f); o(f) o(f) = o(f 2 ): Infatti la somma di funzioni trascurabili risetto ad f è anch essa trascurabile risetto ad f. La dimostrazione è analoga riguardo al rodotto. Utilizzando la notazione o iccolo, la Proosizione 1.19 si enuncia sinteticamente come segue: f(x) + o(f) = f(x): (1.13) Tenuto conto della (1.13), i risultati 1.2, 1.3, 1.4 ossono essere rienunciati al modo seguente.
10 CAPITOLO 1. PRINCIPI DI SOSTITUZIONE Proosizione 1.30 La funzione f(x) + o(f) ha lo stesso comortamento, er x! x 0, della funzione f(x), nel senso che o entrambe non sono regolari o i risettivi iti coincidono. Il rodotto (f(x) + o(f))(g(x) + o(g)) ha lo stesso comortamento del rodotto f(x)g(x). Il raorto (f(x) + o(f)) = (g(x) + o(g)) ha lo stesso comortamento del raorto f(x)=g(x). Talvolta si incontra la scrittura f(x) = g(x) + o(h): Evidentemente essa vuol dire che (er x! x 0 ) la di erenza f(x) g(x) è trascurabile risetto alla funzione h. Ovviamente tale scrittura è signi cativa se a sua volta h = o(g). Esemio 1.31 (di erenziale) Se f è derivabile in x 0 si uò scrivere f(x) = f(x 0 ) + f 0 (x 0 )(x x 0 ) + o(x x 0 ) La notazione o verrà usata anche nella formula di Taylor. Esemio 1.32 Sia f una funzione su cientemente regolare. Possiamo scrivere f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + o(x n ) 1.5 Considerazioni conclusive Siamo artiti da una situazione nota, i iti all in nito delle funzioni olinomiali. Generalizzando quella situazione abbiamo visto che in un ite ossiamo sostituire la funzione con una ad essa equivalente; cancellare nella funzione eventuali termini trascurabili. Le due oerazioni sono collegate tra loro: infatti (Proosizioni 1.19-1.20) due funzioni sono equivalenti se e solo se di eriscono er un termine trascurabile. Abbiamo imostato la nostra esosizione sulla nozione di funzioni equivalenti; l eserienza didattica convalida questa scelta. In realtà l e cacia di questa tecnica negli esercizi diende er intero, oltre che delle regole di equivalenza, della tabella di equivalenze notevoli (vedi Sottoaragrafo 1.2.1). Tutte quelle equivalenze vengono ottenute rigorosamente tramite il calcolo di erenziale (vedi Esemio 1.31). Ad esemio, si dimostrerà che, er x! 0 sin x = x + o(x) Per la Proosizione 1.19 abbiamo e quindi, er transitività, x + o(x) = x sin x = x La nozione di termine trascurabile ritorna in alcuni iti notevoli che resentiamo nel rossimo caitolo.
Caitolo 2 Limiti notevoli Sotto il nome tradizionale di iti notevoli assano alcune forme indeterminate. 2.1 Enunciati ed esemi Proosizione 2.1 Per ogni a > 1 e er ogni > 0 x x!+1 a x = 0 In base a questo ite si suol dire che, er x! +1, le otenze sono trascurabili risetto agli esonenziali. Esemio 2.2 Calcolare x!+1 tan 3 x 1 cos 2 x Esemio 2.3 Calcolare x!+1 ex=2 sin 1 x arcsin 1 x Nella arentesi ossiamo assare alle arti rinciali. Quindi ossiamo osservare che 1 1 = 1 x 1 = x x x x oure direttamente D altra arte 1 1 x = o x : e x=2 = e x Esemio 2.4 Calcolare Osserviamo che e x2 +sin x x!+1 x 3 + 6x x 6 + 6x = x 3 : 11
12 CAPITOLO 2. LIMITI NOTEVOLI Abbiamo anche x 2 + sin x = x 2 ; tuttavia non ossiamo a ermare che e x2 +sin x = e x 2 : In questo caso articolare ossiamo osservare che e x2 +sin x = e x2 e sin x Pertanto il ite si trasforma in e x2 x!+1 x 3 esin x : Abbiamo D altra arte Pertanto si conclude e x2 x!+1 x 3 e sin x e 1 > 0: 2 t=x e t = = +1 t!+1 t3=2 e x2 +sin x x!+1 x 3 + 6x = +1: Esemio 2.5 Calcolare Osserviamo che quindi il ite si riduce a x!+1 4 3 x+1 x4 arctan x + 1 : x4 arctan x + 1 = r 2 x2 r 2 4 3 x+1 x!+1 x 2 : Poniamo da cui t = 3 x + 1; x = t 3 1 e quindi il ite diventa r 2 t!+1 r 4 t 2 (t 3 1) 2 = 4 t t!+1 t 6 = +1:
2.1. ENUNCIATI ED ESEMPI 13 Esemio 2.6 Calcolare e 1= x tan x 5 : x!0 + Si tratta di una forma (+1) 0. Anzitutto cerchiamo di semli care il ite: er x! 0 + tan x 5 = x 5 e quindi x x!0 e1= tan x 5 = x + x!0 e1= x 5 : + Ora, in questo caso abbastanza semlice, ossiamo cambiare variabile: t = 1= x! +1 e 1= x x 5 e t = = +1: x!0 + t!+1 t10 E oortuno segnalare un ovvio corollario sulle funzioni comoste. Corollario 2.7 Sia x!x0 '(x) = +1. Per ogni a > 1 e er ogni > 0 Esemio 2.8 Calcolare Abbiamo ('(x)) = 0 x!x 0 a '(x) sin x+x e1= tan x 5 : x!0 + 1 = +1 x!0 + sin x + x E ancora una forma (+1) 0. Come nell esemio recedente abbiamo e 1= sin x+x tan x 5 = e 1= sin x+x x 5 : x!0 + x!0 + Tuttavia in questo caso non sembra immediato il cambio di variabile, ertanto alichiamo il corollario e 1= sin x+x x 5 = x!0 + e 1= sin x+x x!0 + e 1= sin x+x x!0 + = 1= sin x + x 1= sin x + x x 5 = x 5 1= sin x + x (x + sin x) =2 Il rimo fattore è in nito (er ogni > 0), er = 10 il secondo fattore tende ad 1=2 5 e quindi, comlessivamente sin x+x e 1= x!0 + 1= sin x + x x 5 10 (x + sin x) 5 = +1 Proosizione 2.9 Per ogni > 0 e er ogni a > 0, a 6= 1 log a x x!+1 x = 0
14 CAPITOLO 2. LIMITI NOTEVOLI In base a questo ite si suol dire che, er x! +1, i logaritmi sono in niti trascurabili risetto alle otenze. Esemio 2.10 Calcolare Esemio 2.11 Calcolare Esemio 2.12 Calcolare Evidentemente inoltre quindi x 3 + log x x!+1 2 x + x 2 : x 3 + 3x + 4 x!+1 x 4 + 3x 2 5 x!+1 tuttavia non ossiamo a ermare che Dunque il ite si riduce a (x+sin x)2 e x 6 log x + e 1=x x 3 3 x 5 +x x 6 log x + e 1=x = x 6 log x; x + sin x = x (x + sin x) 2 = x 2 e (x+sin x)2 = e x 2 : x!+1 (x+sin x)2 e x 6 log x Considerato che x!+1 (x + sin x) 2 = +1, er ogni > 0 abbiamo x!+1 (x+sin x)2 e 2 = +1 (x + sin x) Per 2 (x+sin x)2 e x 6 log x = = = (x+sin x)2 e (x + sin x) (x + sin x) 2 x 6 log x (x+sin x)2 e x 2 (x + sin x) 2 x 6 log x = (x+sin x)2 e x 2 6 (x + sin x) 2 log x : 6 > 0 entrambi i fattori divergono. 2 = Esemio 2.13 Calcolare x x!+1 log x 1=x
2.1. ENUNCIATI ED ESEMPI 15 Corollario 2.14 Per ogni > 0, er ogni a > 1 e er ogni q > 0 log q a x x!+1 x = 0 Corollario 2.15 Per ogni > 0, er ogni a 2 (0; 1) e er ogni n 2 N Esemio 2.16 Calcolare x!+1 log n a x x!+1 x = 0 arctan x log 4 x + x 2 x 3 3x + x log(x 2 + 1) Anche in questo caso abbiamo iti analoghi er le funzioni comoste, ne riortiamo solo uno. Corollario 2.17 Sia x!x0 '(x) = +1. Per ogni > 0 e er ogni a > 0, a 6= 1 log a '(x) x!x 0 ('(x)) = 0 Proosizione 2.18 Per ogni > 0 e er ogni a > 0, a 6= 1 x!0 x log a x = 0: + Corollario 2.19 Per ogni > 0, er ogni a > 1 e er ogni q > 0 x log q x!0 + a x = 0: Corollario 2.20 Per ogni > 0, er ogni a 2 (0; 1) e er ogni n 2 N Esemio 2.21 Calcolare x log n x!0 + a x = 0: x + x3 log 2 sin x: x!0 + Anzitutto osserviamo che, er x! 0 +, abbiamo e quindi Inoltre saiamo che da ciò consegue (Proosizione 1.7) e quindi Pertanto x + x 3 = x x + x 3 = x sin x = x! 0; log sin x = log x; log 2 sin x = log 2 x: x!0 + x + x3 log 2 sin x = x!0 + x log 2 x = 0:
16 CAPITOLO 2. LIMITI NOTEVOLI Proosizione 2.22 Per ogni a > 1 e er ogni > 0 In articolare, er ogni n 2 N x! 1 ax jxj = 0: x! 1 ax x n = 0 Corollario 2.23 Sia x!x0 '(x) = 1. Per ogni a > 1 e er ogni n 2 N Esemio 2.24 Calcolare Abbiamo x! 1 a'(x) (' (x)) n = 0 x!1 x!1 (x 2)=(x 1)2 2 sin(x) log 2 x x 2 (x 1) 2 = 1 Dunque si tratta di una forma 0=0. Anzitutto cambiamo variabile Quindi il ite diventa Osserviamo che t!0 e ertanto il ite si riduce a t = x 1! 0 (t 1)=t2 2 sin((t + 1)) log 2 (t + 1) sin(t + ) = sin(t) = t log 2 (1 + t) = t 2 (t 1)=t2 2 t!0 t 3 = 1 n t 1 t 2 (t 2 n 1 1)=t2 t!0 t 2 t 1 t 3 : In base al corollario il rimo fattore è in nitesimo er ogni n 2 N, il secondo fattore è in nitesimo er n 2. Pertanto il ite è uguale a 0. Torneremo su alcuni di questi esemi quando avremo introdotto la teoria degli ordini. 2.2 Risoluzione delle forme +1 1 Ricordiamo che le forme indeterminate sono quattro +1 1; 0 (1) ; 1 1 ; 0 0 : Quella che sembra sfuggire alle rocedure viste no ad ora è la rima.
2.2. RISOLUZIONE DELLE FORME +1 1 17 Si abbia f(x) = g(x) = +1 x!x 0 x!x 0 e si voglia studiare la forma indeterminata (f(x) g(x)) = +1 1 x!x 0 Si suggerisce di e ettuare la trasformazione (f(x) x!x 0 g(x)) = f(x) 1 x!x 0 g(x) : (2.1) f(x) Ci siamo ricondotti a studiare la forma indeterminata Suoniamo di aver risolto g(x) x!x 0 f(x) = +1 +1 g(x) x!x 0 f(x) = ` 2 R Se ` 6= 1, la forma a secondo membro di (2.1) è determinata e il risultato è in nito (con il segno aroriato). Se ` = 1 (in niti equivalenti), la forma a secondo membro di (2.1) è indeterminata +1 0; in questo caso si suggerisce di studiare tramite equivalenze la natura del termine in nitesimo 1 g(x) f(x) : Esemio 2.25 Calcolare 1 x + log 2 x x!0 + x!+1 x 3 2 x 3 x 2 x
Caitolo 3 Teoria degli ordini 3.1 In niti di ordine inferiore e iti Introduciamo la seguente de nizione. De nizione 3.1 Se f e g sono in nite in x 0, diremo che g è un in nito di ordine inferiore a f se risulta g = o(f) ossia se g è trascurabile risetto ad f, ossia, in base alla de nizione, se g(x) x!x 0 f(x) = 0: In questo caso, equivalentemente, si dirà che f è un in nito di ordine sueriore a g. In base alla de nizione che abbiamo aena dato, la Proosizione 1.30 si rienuncia, grosso modo, come segue. Teorema 3.2 (einazione degli in niti di ordine inferiore) In un ite ove comaiano sommati iù in niti, si ossono cancellare quelli di ordine inferiore. Questo teorema risolve formalmente quasi tutte le forme +1 1 e semli ca di molto le forme 0(1) e (1)=(1). In ratica, così come enunciato, non è di grande utilità, in quanto confrontare tra loro tutti gli addendi in niti che comaiono in una somma equivale a risolvere il ite. La teoria che stiamo er svolgere ci risarmia di studiare volta er volta i raorti tra i diversi addendi. 3.2 Confronto tra in niti e ordini La relazione tra funzioni in nite de nita sora è sicuramente transitiva e lascia ensare ad una sorta di stretto ordinamento tra funzioni in nite. Tuttavia non si deve ensare che rese due qualsiasi funzioni f e g debba veri carsi che una delle due è di ordine sueriore all altra. Precisamente uò veri carsi quanto segue: 18
3.2. CONFRONTO TRA INFINITI E ORDINI 19 g(f) x!x0 f(x) = 0 e in questo caso, come si è detto, f è un in nito di ordine sueriore a g; g(f) x!x0 f(x) = +1 e in questo caso, simmetrico del recedente, g è un in nito di ordine sueriore a f. g(f) caso intermedio: x!x0 f(x) = ` 2 (0; +1); g(f) non esiste x!x0. f(x) Diamo dunque una de nizione. De nizione 3.3 I due in niti f e g hanno lo stesso ordine se 9 g(f) x!x 0 f(x) = ` 2 (0; +1): Se non esiste il ite del raorto, diremo sinteticamente che si tratta di in niti non confrontabili. Diamo di seguito due esemi. Esemio 3.4 Per x! +1, ossiamo considerare le funzioni f(x) = x(2 + sin x); g(x) = 2x: Per queste due funzioni non esiste x(2 + sin x) x!x 0 2x e risulta x(2 + sin x) x(2 + sin x) inf = 1=2 e su = 3=2: x!+1 2x x!+1 2x Esemio 3.5 Possiamo considerare, semre er x! +1, le funzioni f(x) = x 2 ; g(x) = x + x 3 sin 2 x: Per queste funzioni non esiste il ite del raorto; il minimo ite del raorto è 0, il massimo ite +1. Osservazione 3.6 Dobbiamo segnalare che, in alternativa alla 3.3, esiste un altra ragionevole de nizione di in niti dello stesso ordine. Secondo alcuni autori, i due in niti f e g hanno lo stesso ordine se 0 < inf x!x 0 g(f) f(x) e su x!x 0 g(f) f(x) < +1: Se adottiamo questa seconda de nizione, due funzioni non confrontabili in base alla De nizione 3.3 otrebbero risultare dello stesso ordine; è quello che si osserva nel rimo esemio. Tuttavia il secondo esemio mostra che, anche se adottassimo la seconda de nizione (meno restrittiva della 3.3), continueremmo ad avere in niti non confrontabili.
20 CAPITOLO 3. TEORIA DEGLI ORDINI Osservazione 3.7 E immediato osservare che se due in niti sono equivalenti nel senso della De nizione 1.1, essi hanno ovviamente lo stesso ordine; non è vero il viceversa. Fino ad ora si è arlato di ordine di in niti come conseguenza di un confronto. Ora vogliamo dare una de nizione rigorosa. Teorema 3.8 La rorietà di avere lo stesso ordine de nisce una relazione di equivalenza tra funzioni in nite. De nizione 3.9 Si de nisce ordine la classe di equivalenza tra in niti ord x!x0 (f) = fg in nita in x 0 j f e g hanno lo stesso ordineg Ovviamente, ove non sorgano ambiguità, si uò omettere la recisazione x! x 0. Data questa de nizione, sull insieme degli ordini (insieme quoziente) si uò anche introdurre una relazione d ordine (non totale). De nizione 3.10 Poniamo se x!x 0 ord(g) 4 ord(f) g(x) f(x) = ` 2 [0; +1); ossia l ordine di g è inferiore all ordine di f nel senso della De nizione 3.1 oure se f e g hanno lo stesso ordine nel senso della De nizione 3.3. Precisiamo che la de nizione della relazione 4 è ben osta in quanto il confronto tra in niti è comatibile con la relazione di equivalenza. 3.3 Valutazione numerica dell ordine Precisato che, a rigore, l ordine è una classe di equivalenza, è molto comodo er gli esercizi avere una valutazione numerica dell ordine, nel senso che andiamo a recisare. Fissato un in nito camione, un sottoinsieme rorio dell insieme degli ordini è bigettivo all intervallo (0; +1). Su questo insieme di ordini la relazione 4 coincide con la relazione d ordine su R. Quanto agli altri ordini, quelli non raresentati da un numero reale, anche confronti arziali ossono essere di una certa utilità. In corrisondenza del unto x 0, si considera l in nito camione! x0 (x) (coincidente con l in nito rinciale ssato a suo temo) e si assume la seguente de nizione. De nizione 3.11 Una funzione f è in nita di ordine reale 2 (0; +1) in x 0 se 9 f(x) x!x 0 (! x0 (x)) = ` 2 (0; +1): (3.1)
3.3. VALUTAZIONE NUMERICA DELL ORDINE 21 In altre arole, dire che l ordine di f è vuol dire che f è dello stesso ordine del camione elevato ad. In questo caso, con abuso di notazione risetto alla De nizione 3.9, scriveremo er semlicità ord(f) =. Analogamente si daranno le de nizione di in nito di ordine maggiore o minore di (secondo che il ite in (3.1) sia risettivamente +1 o 0). Coerentemente scriveremo ord(f) > e ord(f) <. 3.3.1 Esemi notevoli Per resentare alcune situazioni articolari, so eremeremo la nostra attenzione sulle funzioni in nite er x! +1, er le quali abbiamo ssato l in nito camione! +1 (x) = x. Per ogni 2 (0; +1) risulta Fissato > 0, la funzione ord(log x) < ord(e x ) > x log x ha ordine strettamente maggiore di e strettamente minore di q, er ogni q >. Se i rimi due esemi otevano farci ensare è su ciente aggiungere all intervallo di ordini (0; +1) un ordine comunque iccolo ed un ordine comunque grande, il terzo esemio mostra che le cose sono molto iù comlicate. Non esiste, infatti, alcun numero che realizza le disuguaglianze riferite all ordine di x log x. Gli esemi visti sora non sono ancora i eggiori, infatti le funzioni in questione erano confrontabili con tutte le otenze dell in nito camione. Non è detto che questo accada semre. Fissato > 0, la funzione x (1 + sin 2 x) ha ordine strettamente maggiore di q, er tutti i q < ; d altra arte l ordine è minore di q er tutti i q >, tuttavia la funzione non è confrontabile con x. Fissati > 0 e q 0, la funzione x (1 + x q sin 2 x) ha ordine maggiore di er ogni < ; d altra arte l ordine è minore di, er ogni > + q; tuttavia questa funzione non è confrontabile con alcuna funzione otenza con esonente 2 [; + q].
22 CAPITOLO 3. TEORIA DEGLI ORDINI Fissato > 0, la funzione log x(1 + x sin 2 x) ha ordine strettamente minore di q, er ogni q >, tuttavia non è confrontabile con alcuna funzione otenza con esonente. Fissato > 0, la funzione x (1 + e x sin 2 x) ha ordine maggiore di q, er ogni q <, tuttavia non è confrontabile con alcuna funzione otenza con esonente. A conclusione ossiamo osservare esistono funzioni i cui ordini veri cano le stesse stime arziali e che non sono confrontabili. Le funzioni non sono confrontabili. x (1 + x q sin 2 x) x (1 + x q cos 2 x) 3.3.2 Struttura ne Ora vogliamo arofondire alcune questioni riguardanti la struttura dell insieme degli ordini. Per semlicità continueremo ad occuarci di funzioni divergenti er x! +1. La rima questione è la seguente: scegliendo un in nito camione iù iccolo, si uò avere una classi cazione iù recisa degli ordini? La risosta è NO. Consideriamo, ad esemio, ~! +1 (x) = log x. Risulta quanto segue: la funzione log(log x) ha ordine comunque iccolo risetto a ~! +1 (x), infatti log(log x) t=log x log t x!+1 log = x t!+1 t = 0: Quindi si è rirodotta la situazione di un ordine non associabile ad alcun numero reale. Ma c è di eggio. Per ogni > 0 la funzione x ~! +1 (x). ha ordine comunque grande risetto a Questa mancanza di discriminazione tra funzioni diverse di uso comune non rende molto utile questa scelta dell in nito camione, mentre è molto comodo avere l ordine coincidente con l esonente. Possiamo ora vedere la cosa da un altro unto di vista. In una tabella indichiamo l ordine delle funzioni misurate risetto ai due diversi camioni