GIUSEPPE CALAFIORE APPUNTI DI CONTROLLI AUTOMATICI CLUT
Classe L A TEX: clut.cls opzioni: grande 2006 C.L.U.T. Editrice Proprietà letteraria riservata Stampato in Italia da STAMPATRE Torino Copyright C.L.U.T. - Torino - 2006 ISBN 88-7992-216-5 Edizioni C.L.U.T. - Torino Corso Duca degli Abruzzi, 24-10129 Torino Tel. 0115647980 Fax 0115421 92 RIPRODUZIONE TOTALE O PARZIALE VIETATA
control tr.v. 1. To exercise authoritative or dominating influence over; direct. 2. To adjust to a requirement; regulate. 3. To hold in restraint; check. 4. To reduce or prevent the spread of. 5. To verify or regulate by conducting a parallel experiment or by comparing with another standard. 6. To verify (an account, for example) by using a duplicate register for comparison. [Middle English controllen, from Anglo- Norman contreroller, from Medieval Latin contra rotulare, to check by duplicate register, from contra rotulus, duplicate register: Latin contra-, contra- + Latin rotulus, roll, diminutive of rota, wheel.]
Presentazione Nello scrivere questi appunti non mi sono inventato nulla. La teoria classica dei controlli automatici è infatti una disciplina molto ben consolidata, trattata ampiamente in svariati testi quali [6, 9, 10], per citarne solo alcuni. I temi presentati in questi appunti sono direttamente influenzati dai testi citati, così come da molti altri testi di riferimento, nonché dagli insegnamenti che a mia volta ho ricevuto dai docenti più anziani del Politecnico di Torino. Questo testo nasce comunque dall esigenza di rendere accessibili in maniera semplice e diretta gli argomenti di base dei controlli automatici agli studenti dei corsi di Laurea triennali in Ingegneria, e dovrebbe essere inteso come strumento di coadiuzione e supporto alle lezioni in aula. La trattazione muove dal presupposto che le nozioni fondamentali relative alla modellistica e all analisi generale dei sistemi dinamici siano già state acquisite dallo studente in moduli didattici propedeutici, quali Teoria dei Sistemi o Fondamenti di Automatica. Per questi argomenti preliminari si prenderà come riferimento il testo [2]. In questi appunti si introduce il problema fondamentale del controllo di un impianto lineare ad un ingresso e una uscita, tramite un architettura in retroazione sulla misura dell uscita. In una prima parte di analisi del sistema di controllo, si discutono varie forme grafiche di rappresentazione della risposta armonica del sistema, quali i diagrammi di Bode, i diagrammi polari e di Nyquist, e i diagrammi di Nichols. Questi strumenti vengono poi utilizzati per dedurre informazioni critiche sul sistema controllato, quali i margini di stabilità e le bande di funzionamento e di reiezione dei disturbi. Si passa poi a considerare le diverse specifiche di progetto che vengono tipicamente imposte su un sistema di controllo, quali VII
VIII Presentazione specifiche sul comportamento stazionario, sulla precisione, sulla reiezione dei disturbi, sulla sensitività, sul comportamento transitorio e in frequenza, etc. Vengono quindi presentate alcune tecniche classiche di sintesi del compensatore, quali la sintonizzazione dei parametri per i compensatori proporzionali-integrativi-derivativi (PID), ed il progetto di reti di compensazione lead-lag e di filtri notch. Un successivo capitolo discute alcune estensioni alla tecnica base di progetto, quali la sintesi a due gradi di libertà, la precompensazione dei disturbi ed il controllo in cascata. Il testo si conclude fornendo alcuni cenni sulle tecniche di discretizzazione ed implementazione digitale della legge di controllo. La maggior parte delle metodologie presentate nel testo sono corredate da esempi ed esercizi numerici. A supporto delle simulazioni numeriche viene utilizzato nel testo l ambiente di calcolo numerico Matlab, nella versione 7.0. Un errata corrige per questo testo è disponibile alla pagina web di riferimento: http://staff.polito.it/giuseppe.calafiore/control/appunti.htm che contiene anche parte dei codici Matlab utilizzati, oltre che eventuali aggiornamenti. Concludo con un ringraziamento a Cosimo Greco a Marina Indri e a Nicola Sacco per aver letto una bozza preliminare di questo testo, fornendomi utili commenti, e con un augurio agli studenti affinché questo mio lavoro possa aiutarli a comprendere le basi della materia e stimolare in loro curiosità verso lo studio più avanzato dei Controlli Automatici. G.C. Torino, Novembre 2005
Indice 1 Un Esempio Introduttivo 1 1.1 Come far girare a velocità costante un motore elettrico.. 1 1.1.1 Il caso in cui non ci sia il disturbo............. 2 1.1.2 La sensitività alle variazioni dei parametri...... 4 1.1.3 L effetto di un disturbo costante.............. 5 1.2 L architettura di controllo in retroazione.............. 7 1.2.1 La sensitività alle variazioni dei parametri...... 9 1.2.2 L effetto di un disturbo costante.............. 10 1.2.3 Il comportamento dinamico.................. 10 1.3 I diagrammi a blocchi............................. 13 1.4 Morale.......................................... 15 2 Diagrammi di Bode 17 2.1 Formalismo per funzioni di trasferimento.............. 17 2.1.1 La questione delle radici complesse............ 21 2.1.2 Conversioni tra rappresentazioni.............. 23 2.2 Risposta armonica e diagrammi di Bode.............. 24 2.2.1 Diagrammi di Bode di modulo................ 26 2.2.2 Diagrammi di Bode di fase................... 42 3 Diagrammi Polari e di Nyquist 61 3.1 Diagrammi polari................................. 61 3.2 Diagrammi di Nyquist............................. 71 3.2.1 Il principio dell argomento................... 74 3.2.2 Diagrammi di Nichols....................... 77 IX
X Indice 4 Stabilità dei Sistemi Retroazionati 81 4.1 La stabilità in catena chiusa........................ 81 4.2 Il criterio di Nyquist.............................. 84 4.2.1 Stabilità al variare del guadagno di anello...... 88 4.3 Margini di stabilità............................... 90 4.3.1 Robustezza alla perturbazioni di modulo....... 90 4.3.2 Robustezza alle perturbazioni di fase.......... 94 4.3.3 Robustezza alle perturbazioni additive......... 97 4.3.4 Robustezza alle perturbazioni moltiplicative.... 102 4.4 Margini di stabilità su Bode, Nyquist e Nichols........ 106 4.4.1 La trasformazione di retroazione e i luoghi a M e N costante................................ 108 4.5 L anello di controllo............................... 112 4.5.1 L anello di controllo a retroazione unitaria...... 114 4.5.2 Condizioni di stabilità per l anello a retroazione unitaria.................................. 114 4.5.3 L anello di controllo con un guadagno nel ramo di retroazione................................ 119 5 Cenni sul Luogo delle Radici 123 5.1 Proprietà del luogo delle radici...................... 126 5.2 Esempi di tracciamento del luogo delle radici.......... 133 6 Le Specifiche sul Sistema di Controllo 137 6.1 Specifiche statiche................................ 137 6.2 Risposta in regime stazionario ai segnali polinomiali.... 138 6.2.1 Errore di inseguimento del riferimento......... 140 6.2.2 Attività stazionaria sul comando.............. 142 6.2.3 Effetto del disturbo d 1 sull uscita............. 143 6.2.4 Struttura a bassa frequenza del controllore...... 144 6.2.5 Risposta stazionaria per sistemi con guadagno nel ramo di retroazione......................... 146 6.3 Specifiche sulla risposta in frequenza................. 149 6.3.1 Specifiche sulla funzione di sensitività S(s)..... 149 6.3.2 Specifiche sulla sensitività complementare T(s).. 152 6.3.3 Specifiche sull attività del comando............ 157 6.4 Specifiche sulla risposta transitoria................... 158 6.4.1 Zeri a fase non minima e undershoot.......... 164 6.5 Limiti strutturali alle prestazioni del controllo......... 167 6.5.1 Gli integrali di Bode e di Poisson............. 170
Indice XI 6.5.2 La stabilizzabilità dell impianto............... 173 7 Le Reti Classiche di Compensazione 175 7.1 Le reti ad azione derivativa......................... 178 7.2 Le reti ad azione integrativa........................ 187 7.3 Reti integro-derivative............................. 193 7.3.1 Procedura di progetto di una rete lead-lag...... 196 7.4 Filtri notch...................................... 198 7.4.1 Filtri di guardia........................... 200 7.4.2 Progetto per cancellazione................... 208 7.5 I regolatori standard.............................. 210 7.5.1 Il tuning dei regolatori PID.................. 211 8 Il Controllo a Due Gradi di Libertà 215 8.1 Analisi dell architettura a due gradi di libertà.......... 215 8.2 Progetto del prefiltro.............................. 218 8.2.1 Vincoli strutturali su Ḡry................... 218 8.3 Scelta del modello di riferimento di base.............. 221 8.4 Esempio di progetto a due gradi di libertà............ 228 8.5 Precompensazione del disturbo...................... 236 8.6 Cenni sul controllo in cascata....................... 238 8.6.1 Il servomeccanismo di posizione............... 238 8.6.2 Controllo del pendolo inverso................. 241 9 Elementi di Controllo Digitale 249 9.1 Tecniche di discretizzazione del controllore............ 251 9.1.1 Approssimazione per invarianza della risposta all impulso................................. 252 9.1.2 Approssimazione per invarianza della risposta al gradino.................................. 254 9.1.3 Approssimazione tramite trasformazione bilineare (metodo di Tustin)......................... 257 9.1.4 Discretizzazione per mappatura poli-zeri....... 260 9.1.5 Effetto del filtro di tenuta................... 264 9.1.6 Il filtro anti-aliasing........................ 267 9.2 Esempio di progetto di controllo digitale.............. 270 A Trasformate di Laplace 277 B Criteri di Routh e Hurwitz 280
XII Indice B.1 Criterio di Routh................................. 280 B.2 Criterio di Hurwitz............................... 284 B.2.1 Condizione necessaria di Hurwitz............. 285 Indice analitico 290 Bibliografia 294