Sistemi di equazioni lineari

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1 Capitolo Sistemi di equazioni lineari Insiemi numerici e campi Il primo oggetto di studio di questo corso saranno le equazioni lineari (e i sistemi di equazioni lineari), ovvero equazioni del tipo x + = 0, 2x = 5, x + y = 3, 3x y + z = in cui una o più incognite x, y, z, compaiono senza esponenti, radici etc ma semplicemente moltiplicate per un coefficiente numerico Prima di dare una definizione più precisa di cosa sia in generale un equazione lineare e dare un metodo generale per la risoluzione dei sistemi formati da tali equazioni, facciamo alcune considerazioni preliminari sulle proprietà elementari di cui avremo bisogno per manipolare e risolvere tali equazioni A questo scopo, prendiamo come modello la semplice equazione 2x + 3 = 0 Ricordiamo che risolvere un equazione significa determinare i valori numerici che sostituiti all incognita rendono l equazione un uguaglianza vera (ad esempio, se l equazione è 2x = 6 sostituendo x = 3 otteniamo l uguaglianza vera 2 3 = 6, mentre sostituendo x = 5 otteniamo l uguaglianza falsa 2 5 = 6: quindi, diremo che 3 è soluzione dell equazione mentre 5 non lo è) Per risolvere 2x + 3 = 0 dobbiamo determinare il valore della x che rende vera questa uguaglianza, ovvero vogliamo, manipolando l equazione, arrivare a un espressione del tipo x = che ci dirà proprio a quanto deve essere uguale l incognita x Ma arrivare a un espressione del tipo x = significa isolare l incognita in modo che a primo membro appaia solo la x Per fare ciò a partire da 2x + 3 = 0 dobbiamo, in un certo senso, spostare dal primo membro al secondo l addendo +3 e il coefficiente 2 Si veda il paragrafo 2 di questo capitolo

2 I due passaggi con i quali si ottiene questo scopo sono: - Si porta il +3 a secondo membro cambiandolo di segno : 2x + 3 = 0 2x = 3 - Si dividono entrambi i membri per 2 : 2x = 3 x = 3 2 Ora, analizziamo con maggiore attenzione questi due passaggi La prima cosa di cui abbiamo bisogno per poter svolgere il primo è l esistenza per ogni numero a di un suo inverso additivo o opposto, ovvero un numero, denotato a, tale che a + ( a) = ( a) + a = 0 Infatti, grazie a questo fatto possiamo prima sommare a primo e a secondo membro dell equazione l opposto 3 di 3, ottenendo (2x + 3) + ( 3) = 0 + ( 3); poi, sfruttando a primo membro la proprietà associativa della somma (a + b) + c = a + (b + c) e a secondo membro il fatto che 0 è elemento neutro per la somma, ovvero a + 0 = 0 + a = a qualunque sia a, si ottiene 2x + (3 + ( 3)) = 3 ovvero, sfruttando la proprietà dell opposto a + ( a) = ( a) + a = 0, 2x + 0 = 3 Infine, usando di nuovo il fatto che 0 è elemento neutro per la somma, possiamo scrivere 2x = 3 Analogamente, quello che ci serve per svolgere il secondo passaggio (dividere entrambi i membri di 2x = 3 per 2) è l esistenza per ogni numero a diverso da zero 2 di un suo inverso moltiplicativo o semplicemente inverso, ovvero di un altro numero, denotato a o a, tale che aa = a a = 2 Se pretendessimo che anche lo 0 debba avere un inverso moltiplicativo, diciamo 0, avremmo che tale numero soddisferebbe la proprietà 00 =, entrando così in conflitto con la nota proprietà che quando moltiplico per zero qualunque numero (quindi anche 0 ) il risultato deve essere zero, e non uno 2

3 Infatti, grazie a questo fatto possiamo moltiplicare primo e secondo membro di 2x = 3 per l inverso di 2 ottenendo 2 2 (2x) = 2 ( 3) Sfruttando ora a primo membro la proprietà associativa della moltiplicazione (ab)c = a(bc) si può scrivere ( 2 2)x = 3 2 ovvero, sfruttando la proprietà dell inverso aa = a a = x = 3 2 cioè, essendo l elemento neutro per la moltiplicazione (per ogni numero a si ha a = a = a) x = 3 2 Quindi, riassumendo, già le operazioni che usiamo per risolvere la semplice equazione 2x + 3 = 0 mostrano come l insieme numerico nel quale lavoriamo deve avere almeno le seguenti proprietà: () l insieme deve contenere l elemento 0 neutro per la somma, con la proprietà che a + 0 = 0 + a = a per ogni a (2) per ogni numero a, deve esistere un inverso additivo a tale che a + ( a) = ( a) + a = 0 (3) deve valere la proprietà associativa della somma, ovvero (a + b) + c = a + (b + c) (4) l insieme deve contenere l elemento neutro per la moltiplicazione, con la proprietà che a = a = a per ogni a (5) per ogni numero a 0, deve esistere un inverso moltiplicativo a tale che aa = a a = (6) deve valere la proprietà associativa della moltiplicazione, ovvero (ab)c = a(bc) 3

4 Ad esempio, l insieme dei numeri naturali {0,, 2, } (quelli che si usano per contare ), denotato solitamente N, possiede le proprietà (),(3),(4),(6) ma non le proprietà (2) e (5): quindi, limitarsi ai numeri naturali renderebbe impossibile la risoluzione anche di semplici equazioni come 2x + 3 = 0 L insieme dei numeri interi {0, ±, ±2, }, che si può pensare ottenuto dai naturali aggiungendo a ogni numero naturale il suo opposto, e denotato solitamente Z, possiede tutte le proprietà tranne la (5): quindi neanche tale insieme è sufficiente per i nostri scopi Il più semplice insieme numerico nel quale valgono tutte le proprietà ()- (6) di sopra è l insieme dei numeri razionali, denotato solitamente Q, che possiamo pensare come l insieme di tutte le frazioni ± a (dove a, b sono numeri b naturali con b 0) o, equivalentemente, come l insieme di tutte le espressioni decimali con un numero limitato di cifre dopo la virgola o con una successione illimitata di cifre ma periodica Accanto alle proprietà ()-(6), l insieme Q ha anche le seguenti proprietà: (7) vale la proprietà commutativa della somma, ovvero a + b = b + a (8) vale la proprietà commutativa della moltiplicazione, ovvero ab = ba (9) vale la proprietà distributiva, ovvero a(b+c) = ab+ac e (a+b)c = ac+bc Tali proprietà si dimostrano in effetti anch esse necessarie per le manipolazioni elementari che si svolgono normalmente su un equazione lineare o su un sistema di equazioni lineari: ad esempio, per risolvere il sistema di due equazioni in due incognite { 2x + y = 4 x y = basta ricavare x = +y dalla seconda equazione portando a secondo membro la y e cambiandole il segno (quindi usando, come abbiamo visto sopra, le proprietà ()-(6)) e poi sostituire tale espressione di x nella prima equazione, ovvero 2( + y) + y = 4 A questo punto, per procedere è necessario usare la proprietà distributiva, che ci dice che 2( + y) = y = 2 + 2y ottenendo ovvero 2 + 2y + y = 4 4

5 2 + 3y = 4 e si continua risolvendo questa equazione nella sola incognita y Si capisce quindi che, per poter manipolare le equazioni lineari e i loro sistemi e sviluppare dei metodi soddisfacenti per la loro risoluzione, bisogna supporre che valgano le proprietà ()-(9) viste sopra Questo giustifica la seguente: Definizione Un insieme numerico nel quale valgano le proprietà ()-(9) di sopra si dice un campo Solitamente un campo si denota con la lettera K Come abbiamo visto sopra, l insieme Q dei numeri razionali è un campo; altri esempi importanti di campi sono l insieme dei numeri reali R (che possiamo pensare come l insieme che si ottiene aggiungendo a Q anche le espressioni decimali illimitate non periodiche 3 ) o l insieme dei numeri complessi C, definibile come l insieme di tutte le espressioni del tipo a + bi, dove a e b sono numeri reali e i è un nuovo numero con la proprietà (non soddisfatta da nessun numero reale) che i 2 = (tale estensione si rende necessaria ad esempio perché tutte le equazioni di secondo grado abbiano una soluzione) Nel seguito, dal momento che per sviluppare la nostra teoria ci basta che l insieme numerico sul quale stiamo lavorando abbia le proprietà di campo, indipendentemente dal fatto che esso sia Q, R o C, parleremo di equazioni a coefficienti in un campo K: questo farà sì che i metodi che descriveremo saranno validi e applicabili sia che i coefficienti delle nostre equazioni siano razionali, sia che siano reali, sia che siano complessi, e la teoria così sviluppata non avrà bisogno di distinguere tra questi tre casi 2 Equazioni lineari, sistemi e matrici Per definire rigorosamente cosa intendiamo per equazione lineare e scrivere il generico esempio di equazione lineare, troviamo prima una notazione conveniente per denotare le incognite Infatti, per non avere limitazioni sul numero delle incognite, non possiamo continuare a indicarle con le lettere dell alfabeto, che sono in numero limitato, ma useremo sempre la stessa lettera, tradizionalmente la x, con degli indici 3 Tale estensione si rende necessaria, ad esempio, in geometria: la diagonale di un quadrato di lato unitario misura 2, che si dimostra avere un espressione decimale illimitata non periodica; un altro esempio di numero reale che non è esprimibile come frazione è π, ovvero il rapporto tra la misura di una qualunque circonferenza e il suo diametro 5

6 numerici che ci dicono di quale incognita si tratta: x indicherà quindi la prima incognita, x 2 la seconda, e così via in generale x n indicherà la n-esima incognita, dove n è un numero naturale Possiamo allora dire che per equazione lineare in n incognite x, x 2,, x n (i puntini indicano che stiamo omettendo di scrivere le incognite tra la seconda e l ultima) a coefficienti in un campo K intendiamo un equazione del tipo a x + a 2 x a n x n = b () dove b, a, a 2,, a n sono elementi di K che svolgono il ruolo rispettivamente di termine noto e coefficienti delle incognite (per ogni incognita x i, denotiamo il suo coefficiente con una lettera, a, con lo stesso indice dell incognita) Dare una soluzione dell equazione () significa trovare dei numeri (o, più precisamente, elementi del campo K) che sostituiti alle incognite rendano l uguaglianza vera Ad esempio, nell equazione lineare in due incognite x x 2 = a coefficienti nel campo dei reali R, ponendo x = 2 e x 2 = si ottiene l uguaglianza vera 2 =, mentre ad esempio ponendo x = e x 2 = 2 si ottiene 2 = che è falsa Da questo semplice esempio si vede come dare una soluzione dell equazione x x 2 = significa non solo dare due elementi di K, da sostituire alle due incognite dell equazione, ma è necessario precisare quale vada sostituito alla prima incognita e quale alla seconda, ovvero specificare in quale ordine stiamo prendendo questi due elementi La soluzione data di tale equazione può allora essere pensata e scritta come una coppia ordinata di numeri, che denotiamo (2, ) La coppia (2, ) è una soluzione dell equazione x x 2 =, mentre la coppia (, 2) non lo è Analogamente, per un equazione con 3 incognite, una sua soluzione sarà data da una cosiddetta terna ordinata: ad esempio, se l equazione è x x 2 +x 3 = 2, possiamo dire che la terna ordinata (3, 2, ) è una sua soluzione, in quanto sostituendo x = 3, x 2 = 2, x 3 = si ottiene l uguaglianza vera = 2; la terna (2,, 3) invece, non è una sua soluzione La generalizzazione dei concetti di coppia e terna ordinata è quello di n- upla ordinata (v, v 2,, v n ) (o semplicemente n-upla), che può essere quindi definita come una sequenza di n elementi v, v 2,, v n di K disposti in un preciso ordine 4 Possiamo allora dare la seguente: 4 Non bisogna quindi confondere la n-upla (v, v 2,, v n ) con l insieme {v, v 2,, v n }, per denotare il quale usiamo le parentesi graffe, che è determinato solo dagli elementi v, v 2,, v n indipendentemente dal loro ordine 6

7 Definizione 2 Data un equazione lineare a x + a 2 x a n x n = b in n incognite a coefficienti in un campo K, si dice soluzione dell equazione una n-upla ordinata (v, v 2,, v n ) di elementi di K tale che sostituendo v al posto di x, v 2 al posto di x 2 etc fino a v n al posto di x n l equazione risulta verificata (ovvero l uguaglianza a v + a 2 v a n v n = b risulta vera) L insieme delle n-uple di elementi di K si denota K n Ora, un sistema di equazioni lineari è semplicemente un insieme di equazioni lineari Per scrivere un generico tale sistema, dobbiamo risolvere un problema di notazione simile a quello affrontato quando abbiamo scritto la generica equazione lineare, ovvero abbiamo bisogno di una notazione efficace per indicare i diversi coefficienti delle incognite nelle diverse equazioni del sistema A questo scopo, nell espressione della generica equazione lineare a x +a 2 x a n x n = b faremo precedere sia i coefficienti sia il termine noto da un ulteriore indice che ci dice di quale equazione del sistema si tratta: la prima equazione del sistema sarà cioè denotata a x + a 2 x a n x n = b, la seconda a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 e così via Allora, il generico sistema di equazioni lineari con n incognite e m equazioni (il numero di incognite può anche essere diverso dal numero di equazioni, perciò li indichiamo con due lettere diverse) sarà a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 (2) a m x + a m2 x a mn x n = b m (i puntini indicano che stiamo omettendo di scrivere le equazioni tra la seconda e l ultima) Possiamo quindi dare la seguente Definizione 3 Una soluzione del sistema (2) è una n-upla (v, v 2,, v n ) K n che è soluzione comune di tutte le equazioni del sistema Ora osserviamo che, ovviamente, per conoscere un sistema abbiamo bisogno solo di sapere, equazione per equazione, quali sono i coefficienti che moltiplicano ogni singola incognita e i termini noti Quindi, se, dato un sistema, scriviamo una tabella di numeri disposti in righe e in colonne in modo che in ogni riga ci siano i coefficienti delle incognite di una certa equazione (ordinati secondo le incognite) e il termine noto, tale 7

8 tabella conterrà tutte le informazioni che ci servono sul sistema Ad esempio, il sistema { x + 3x 2 = 5 (3) 2x x 2 = 4 può essere rappresentato dalla tabella ( ) (4) che chiameremo la matrice completa del sistema Come vedremo, non solo la matrice completa costituisce una fotografia fedele di un sistema e contiene tutte le informazioni necessarie a determinarlo, ma sarà anche l oggetto sul quale lavoreremo per risolverlo Se ci limitiamo ai coefficienti delle incognite otterremo la cosiddetta matrice dei coefficienti del sistema Ad esempio, la matrice dei coefficienti del sistema (3) è ( ) 3 (5) 2 Come vedremo, il concetto di matrice sarà di fondamentale importanza per l algebra lineare e comparirà in molti contesti in questo corso Tratteremo in modo approfondito e indipendente le matrici nel Capitolo 2: per il momento, limitiamoci a definire una matrice come una tabella rettangolare di elementi di K, detti le sue entrate, disposti in righe e in colonne Analogamente alla notazione che abbiamo introdotto per identificare i coefficienti delle incognite di un sistema, per denotare la generica entrata di una matrice useremo due indici: il primo che ci dice in quale riga della matrice si trova, il secondo che ci dice in quale colonna Una generica matrice sarà quindi A = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn (6) Come si vede, tale matrice ha m righe e n colonne; la sua generica entrata è del tipo a ij, dove il primo indice è detto indice di riga e va da a m, mentre il secondo, detto indice di colonna, va da a n; si dice anche che a ij è l entrata di posto i j 8

9 Ad esempio, nella matrice che ha tre righe e due colonne, 5 è la prima entrata della prima riga, e quindi a = 5; il numero 7 invece lo troviamo in corrispondenza della terza riga e seconda colonna, quindi a 32 = 7 3 Equazioni superflue e equazioni incompatibili Nel prossimo paragrafo vedremo come lavorando sulla matrice completa di un sistema si possano determinare tutte le sue soluzioni In particolare, scopriremo che possono verificarsi solo le seguenti tre possibilità 5 : - il sistema non ha nessuna soluzione - il sistema ha una sola soluzione - il sistema ha infinite soluzioni Prima di entrare nei dettagli, vediamo un esempio di ciascuna di queste possibilità, con l obiettivo di iniziare a capire le ragioni per cui esse possono verificarsi Non è difficile esibire un esempio di sistema con infinite soluzioni Ad esempio, consideriamo il seguente sistema formato da una sola equazione in due incognite { x + x 2 = 0 Una soluzione del sistema è una coppia di numeri reali tali che la loro somma dà come risultato zero: questo significa che i numeri devono essere uno l opposto dell altro, e quindi scelto un qualunque t R, la coppia (t, t) è una soluzione: le soluzioni sono quindi infinite, tante quanti i numeri reali Aggiungiamo ora alla x + x 2 = 0 un altra condizione, ottenendo quindi un sistema di due equazioni, ad esempio { x + x 2 = 0 (7) x x 2 = 0 Le soluzioni del sistema sono quindi le coppie che soddisfano non solo la prima equazione, cioè come abbiamo detto tutte quelle del tipo (t, t), ma 5 Questo è un fatto caratteristico delle equazioni lineari: per una generica equazione possono verificarsi anche altri casi, ad esempio l equazione x 2 = 9 ha due soluzioni, x = 3 e x = 3 9

10 anche la seconda, che afferma semplicemente che x = x 2, cioè i due elementi della coppia devono essere non solo opposti ma anche uguali tra loro Ma l unico numero reale uguale al suo opposto è lo zero, e quindi il sistema ha come unica soluzione la coppia (0, 0) Questo esempio suggerisce che in generale più equazioni ci sono in un sistema, maggiori sono i vincoli che imponiamo sulle incognite e quindi meno n-uple ci saranno che soddisfano tutte le condizioni espresse dalle equazioni, ovvero meno soluzioni: il sistema (7) sembra ad esempio suggerire che con due incognite, due condizioni siano sufficienti a ottenere una sola soluzione Tuttavia, è facile fare un altro esempio che mostra che questa prima impressione non è del tutto esatta: consideriamo il sistema { x + x 2 = 0 (8) 2x + 2x 2 = 0 Ora, è immediato vedere che le soluzioni (t, t) della prima equazione soddisfano tutte anche la seconda, quindi il sistema continua ad avere le infinite soluzioni (t, t) Questo accade perché la seconda equazione è in realtà del tutto equivalente alla prima (mettendo in evidenza il 2, si può riscrivere 2x + 2x 2 = 0 come 2(x + x 2 ) = 0, ovvero, dividendo per 2, proprio la prima equazione) e non aggiunge nessun nuovo vincolo sulle incognite: si tratta di un equazione superflua, la cui presenza o meno non cambia l insieme delle soluzioni Le equazioni superflue presenti in un sistema possono essere tuttavia molto meno evidenti che nel caso appena visto Ad esempio, consideriamo il sistema di due equazioni in tre incognite { x + x 2 + x 3 = (9) 2x + x 2 + 3x 3 = 2 Una qualunque terna (x, x 2, x 3 ) che verifica le due equazioni soddisfa necessariamente anche l uguaglianza che si ottiene sommandole membro a membro, ovvero cioè, svolgendo i conti, (x + x 2 + x 3 ) + (2x + x 2 + 3x 3 ) = + 2 3x + 2x 2 + 4x 3 = 3 Essendo tale equazione una conseguenza delle prime due, aggiungerla al sistema non modifica l insieme delle soluzioni: in altre parole, il sistema 0

11 x + x 2 + x 3 = 2x + x 2 + 3x 3 = 2 3x + 2x 2 + 4x 3 = 3 (0) contiene un equazione superflua, dipendente dalle altre, certamente meno evidente a prima vista che nel caso del sistema (8) Si noti che, nella matrice completa del sistema (0) () il fatto che la terza equazione sia stata ottenuta sommando le altre membro a membro si traduce nel fatto che la terza riga della matrice è somma delle prime due, nel senso che ogni entrata di tale riga si ottiene sommando le corrispondenti entrate delle altre due righe (la prima con la prima: +2 = 3; la seconda con la seconda: +=2 etc) Denotando con R, R 2, R 3 le tre righe, possiamo scrivere questo fatto usando la notazione R 3 = R + R 2 Naturalmente, equazioni superflue possono essere ottenute anche con combinazioni più complicate della somma delle prime due equazioni, ad esempio sempre in riferimento al sistema (9), una terna che soddisfi le due equazioni necessariamente soddisfa anche l uguaglianza 5(x + x 2 + x 3 ) + ( 3)(2x + x 2 + 3x 3 ) = 5 + ( 3) 2 cioè, svolgendo i conti, ovvero anche nel sistema x + 2x 2 4x 3 = x + x 2 + x 3 = 2x + x 2 + 3x 3 = 2 x + 2x 2 4x 3 = (2) la terza equazione è superflua, in un modo forse ancora meno evidente Anche qui, nella matrice completa del sistema (2) (3) 2 4 la relazione di dipendenza tra le equazioni si traduce nella corrispondente relazione di dipendenza tra le righe, che stavolta possiamo scrivere come R 3 =

12 5R + ( 3)R 2 (ovvero ogni entrata della terza riga si ottiene moltiplicando la corrispondente entrata della prima per 5 e sommando la corrispondente entrata della seconda riga moltiplicata per -3) Per quello che riguarda i sistemi senza soluzioni, è abbastanza semplice esibirne uno Ad esempio, il sistema di due equazioni in due incognite seguente { x + x 2 = 0 x + x 2 = è evidentemente privo di soluzioni, in quanto se la somma di due numeri è uguale a 0 non può certamente nello stesso tempo essere uguale a In altre parole, le due equazioni del sistema sono tra loro incompatibili, ovvero esprimono condizioni contraddittorie Per questo motivo, un sistema che non ha soluzioni si dice incompatibile (e per contro, si dirà compatibile un sistema che ha almeno una soluzione) Analogamente a quanto fatto sopra per le equazioni superflue, si possono costruire esempi di sistemi in cui l incompatibilità di una equazione con le altre non è così evidente come nel semplice sistema precedente Ad esempio, prendiamo sempre come punto di partenza il sistema (9) Come abbiamo visto sopra, una terna che soddisfi le due equazioni soddisfa anche l uguaglianza 3x + 2x 2 + 4x 3 = 3 che si ottiene sommando le due equazioni membro a membro Ma allora, se modifichiamo solo il termine noto di quest ultima uguaglianza, ne otteniamo una che è incompatibile con le altre due: ad esempio, il sistema x + x 2 + x 3 = 2x + x 2 + 3x 3 = 2 3x + 2x 2 + 4x 3 = 5 (4) non ha soluzioni, perchè per una qualunque terna che soddisfi le prime due equazioni si deve avere che 3x + 2x 2 + 4x 3 è uguale a 3, e non a 5 Confrontando la matrice dei coefficienti e la matrice completa del sistema (4) , notiamo che l incompatibilità delle equazioni si traduce nel fatto che nella matrice dei coefficienti la terza riga è somma delle prime due, mentre nella matrice completa no (l ultima entrata non soddisfa 5 = + 2): la matrice 2

13 dei coefficienti presenta una relazione di dipendenza tra le sue righe che nella matrice completa non vale (giustamente, in quanto l incompatibilità è stata ottenuta sommando i primi membri delle due equazioni, che contengono i coefficienti delle incognite, ma non i termini noti) Osservazione 4 Osserviamo che un sistema di equazioni in cui i termini noti siano tutti uguali a zero (un tale sistema si dice omogeneo) ha sempre almeno la soluzione (0, 0,, 0): quindi i sistemi omogenei sono sempre compatibili 4 La risoluzione di un sistema lineare In questo paragrafo vedremo finalmente un metodo generale di risoluzione dei sistemi di equazioni lineari Tale metodo, come vedremo, consiste nel trasformare il sistema dato in un altro sistema in modo che nel corso della trasformazione emergano le eventuali incompatibilità tra le equazioni e scompaiano le equazioni superflue Più precisamente, trasformeremo il sistema lavorando sulla sua matrice completa, e in particolare trasformandola in una cosiddetta matrice a gradini: Definizione 5 Una matrice si dice a gradini se, guardando le righe dalla prima all ultima, il primo elemento non nullo in ogni riga compare con un indice di colonna sempre più grande Il primo elemento non nullo in ogni riga di una matrice a gradini si chiama pivot Chiariamo subito la Definizione 5 con qualche esempio: la matrice seguente è a gradini: i suoi pivot (7 nella prima riga, 4 nella seconda e 6 nella terza) si trovano, nell ordine, sulla prima, seconda e quarta colonna (indice di colonna sempre più grande) Invece, le matrici , non sono a gradini: nella prima matrice, il primo elemento non nullo della terza riga sta nella stessa colonna (la seconda) del primo elemento non nullo 3

14 della seconda riga; nella seconda matrice, il primo elemento non nullo della terza riga sta in una colonna di indice più piccolo del primo elemento non nullo della seconda riga Ora, lo scopo del procedimento che descriveremo per risolvere un sistema, detto procedimento di riduzione a gradini o procedimento di eliminazione di Gauss-Jordan, consiste nel trasformarlo in un sistema cosiddetto a gradini Definizione 6 Un sistema si dice a gradini se la sua matrice completa è una matrice a gradini Ad esempio, il seguente sistema x + x 2 + x 3 = 2x 2 + 3x 3 = 2 4x 3 = 5 ha come matrice completa la matrice che è una matrice a gradini: si tratta quindi di un sistema a gradini Vedremo ora come trasformare un qualunque sistema in un sistema a gradini, mostreremo che in questo procedimento di trasformazione emergono le eventuali incompatibilità e le equazioni superflue e si ottengono tutte le soluzioni del sistema Per trasformare un sistema in un sistema a gradini, trasformeremo la sua matrice completa in una matrice a gradini effettuando le seguenti operazioni sulle sue righe, dette operazioni elementari di primo, secondo e terzo tipo: (primo tipo): Scambiare tra loro due righe della matrice (secondo tipo): Moltiplicare una riga della matrice per un c K che non sia zero (terzo tipo): Sommare a una riga della matrice un altra riga moltiplicata per un c K qualunque ( ) Esempio 7 Consideriamo la matrice Come esempio di operazione elementare del primo tipo, possiamo scambiare tra di loro la prima e la seconda riga della matrice: ( ) ( )

15 Come esempio di operazione elementare del secondo tipo, possiamo moltiplicare la prima riga della matrice per 3: ( ) ( ) Infine, come esempio di operazione elementare del terzo tipo, possiamo sommare alla seconda riga della matrice la prima moltiplicata per 2 ( ) ( ) In generale, se R,, R m indicano le righe di una matrice, scriveremo R i R j per dire che stiamo scambiando tra loro la riga i-esima con la riga j- esima (operazione del primo tipo); R i cr i per indicare che stiamo moltiplicando la riga i-esima della matrice per c (operazione del secondo tipo); R i R i + cr j per indicare che stiamo sommando alla riga i-esima la riga j-esima moltiplicata per c (operazione del terzo tipo) Ad esempio, le tre operazioni fatte nella matrice dell Esempio 7 sono, nell ordine, R R 2, R 3R, R 2 R 2 + 2R Ora, dimostriamo il seguente importante risultato: Proposizione 8 Se effettuiamo operazioni elementari sulla matrice completa di un sistema, la matrice trasformata è la matrice completa di un sistema equivalente a quello iniziale (ovvero avente le stesse soluzioni del sistema iniziale) Dimostrazione Dobbiamo dimostrare che in seguito a ciascuna delle operazioni elementari, l insieme, diciamo S, delle soluzioni del sistema originale e l insieme, diciamo S, delle soluzioni del sistema trasformato rimangono uguali Ricordiamo che verificare che due insiemi S e S sono uguali significa verificare che ogni elemento del primo insieme S sta anche nell insieme S (cioè nel passare da S a S non abbiamo perso soluzioni), e viceversa che ogni elemento di S appartiene anche a S (cioè nel passare da S a S non abbiamo aggiunto soluzioni) 6 6 Verificare una sola di queste due affermazioni significa verificare solo che uno dei due insiemi è incluso nell altro Prendiamo ad esempio le due equazioni 2x = 6 e 4x 2 = 36 (ottenuta dalla prima elevando al quadrato entrambi i membri): l unica soluzione x = 3 della prima equazione è anche soluzione della seconda, ma viceversa non è vero che tutte le soluzioni della seconda equazione sono soluzioni della prima (la seconda equazione ha anche la soluzione x = 3, che non è soluzione della prima) Ovvero, l insieme {3} delle soluzioni della prima equazione è incluso nell insieme {3, 3} delle soluzioni della seconda, ma non uguale 5

16 Iniziamo dalle operazioni elementari del primo tipo: Data la matrice completa a a 2 a n b a i a i2 a in b i a j a j2 a jn b j a m a m2 a mn b m (5) del sistema a x + a 2 x a n x n = b a i x + a i2 x a in x n = b i (6) a j x + a j2 x a jn x n = b j a m x + a m2 x a mn x n = b m applichiamo l operazione elementare che consiste nello scambiare la riga i- esima con la riga j-esima, ottenendo la matrice a a 2 a n b a j a j2 a jn b j (7) a i a i2 a in b i a m a m2 a mn b m che corrisponde al sistema trasformato a x + a 2 x a n x n = b a j x + a j2 x a jn x n = b j a i x + a i2 x a in x n = b i a m x + a m2 x a mn x n = b m (8) 6

17 Notiamo che, chiaramente, il sistema originale (6) e il sistema trasformato (8) hanno esattamente le stesse equazioni: scambiare le righe della matrice ha avuto solo l effetto di scambiare le corrispondenti equazioni nel sistema che rimangono le stesse anche se disposte in un altro ordine Ma allora è chiaro che gli insiemi S e S delle soluzioni del sistema originale e del sistema trasformato sono uguali, in quanto il fatto che una n-upla sia soluzione di una sistema non dipende dall ordine in cui mettiamo le equazioni del sistema Vediamo ora cosa succede nel caso di operazioni elementari del secondo tipo Effettuiamo sulla matrice completa a a 2 a n b a i a i2 a in b i (9) a m a m2 a mn b m del sistema a x + a 2 x a n x n = b a i x + a i2 x a in x n = b i a m x + a m2 x a mn x n = b m (20) l operazione elementare che consiste nel moltiplicare la riga i-esima per c 0, ottenendo quindi la matrice a a 2 a n b ca i ca i2 ca in cb i (2) a m a m2 a mn b m che corrisponde al nuovo sistema a x + a 2 x a n x n = b ca i x + ca i2 x ca in x n = cb i a m x + a m2 x a mn x n = b m (22) 7

18 Ora, se (v,, v n ) S è una soluzione del sistema (20), questa verifica in particolare la sua i-esima equazione, ovvero a i v + a i2 v a in v n = b i Moltiplicando entrambi i membri di questa uguaglianza per c abbiamo c(a i v + a i2 v a in v n ) = cb i ovvero, sfruttando a primo membro la proprietà distributiva (che vale in quanto siamo in un campo K), ca i v + ca i2 v ca in v n = cb i Questa uguaglianza ci dice che (v,, v n ) soddisfa anche la i-esima equazione del sistema trasformato (22) Non dovendo verificare nulla sulle altre equazioni, che non sono cambiate, possiamo allora dire che (v,, v n ) è soluzione del sistema (22): in altre parole, abbiamo dimostrato la prima implicazione (v,, v n ) S (v,, v n ) S Per verificare l implicazione opposta, supponiamo che (v,, v n ) S sia una soluzione del sistema (22): in particolare, tale n-upla verifica la sua i-esima equazione, ovvero ca i v + ca i2 v ca in v n = cb i Mettendo in evidenza il fattore comune c a primo membro abbiamo c(a i v + a i2 v a in v n ) = cb i e, dividendo per c entrambi i membri (si noti che possiamo farlo perché siamo in un campo e perché c 0 per definizione di operazione elementare del secondo tipo), otteniamo a i v + a i2 v a in v n = b i Questa uguaglianza ci dice che (v,, v n ) soddisfa anche la i-esima equazione del sistema originale (20) Di nuovo, non dovendo verificare nulla sulle altre equazioni, che non sono cambiate, possiamo allora dire che (v,, v n ) è soluzione del sistema (20): in altre parole, abbiamo dimostrato anche la seconda implicazione (v,, v n ) S (v,, v n ) S, che assieme alla prima mostra che S = S, come volevamo Vediamo ora cosa succede nel caso di operazioni elementari del terzo tipo 8

19 Effettuiamo sulla matrice completa a a 2 a n b a i a i2 a in b i a j a j2 a jn b j a m a m2 a mn b m (23) del sistema a x + a 2 x a n x n = b a i x + a i2 x a in x n = b i (24) a j x + a j2 x a jn x n = b j a m x + a m2 x a mn x n = b m l operazione elementare che consiste nel sommare alla riga j-esima la riga i-esima moltiplicata per c, ottenendo quindi la matrice a a 2 a n b a i a i2 a in b i (25) a j + ca i a j2 + ca i2 a jn + ca in b j + cb i a m a m2 a mn b m che corrisponde al sistema a x + a 2 x a n x n = b a i x + a i2 x a in x n = b i (a j + ca i )x + (a j2 + ca i2 )x (a jn + ca in )x n = b j + cb i a m x + a m2 x a mn x n = b m (26) 9

20 Ora, se (v,, v n ) S, cioè è una soluzione del sistema (24), essa verifica in particolare le sue i-esima e j-esima equazione, ovvero a i v + a i2 v a in v n = b i a j v + a j2 v a jn v n = b j (27) Sommando il primo membro della seconda equazione con il primo membro della prima, moltiplicato per c, troviamo allora l uguaglianza a j v + a j2 v a jn v n + c(a i v + a i2 v a in v n ) = b j + cb i Sviluppando i calcoli, a j v + a j2 v a jn v n + ca i v + ca i2 v ca in v n = b j + cb i che, mettendo in evidenza v,, v n, può essere riscritta (a j + ca i )v + (a j2 + ca i2 )v (a jn + ca in )v n = b j + cb i Questa uguaglianza ci dice che (v,, v n ) soddisfa anche la j-esima equazione del sistema trasformato (26) Non dovendo verificare nulla sulle altre equazioni, che non sono cambiate, possiamo allora dire che (v,, v n ) è soluzione del sistema (26): in altre parole, abbiamo dimostrato la prima implicazione (v,, v n ) S (v,, v n ) S Per verificare l implicazione opposta, supponiamo che (v,, v n ) S sia una soluzione del sistema (26): in particolare, tale n-upla verifica le sue i-esima e j-esima equazione, ovvero a i v + a i2 v a in v n = b i (a j + ca i )v + (a j2 + ca i2 )v (a jn + ca in )v n = b j + cb i (28) Sviluppando i conti nella seconda uguaglianza, troviamo a j v + ca i v + a j2 v 2 + ca i2 v a jn v n + ca in v n = b j + cb i ovvero, mettendo in evidenza il fattore c negli addendi in cui compare, a j v + a j2 v a jn v n + c(a i v + a i2 v 2 + +a in v n ) = b j + cb i (29) 20

21 Ora, poichè (v,, v n ) soddisfa la prima delle uguaglianze (28), la quantità che moltiplica c a primo membro della (29) è uguale a b i, e quindi possiamo riscrivere la (29) come a j v + a j2 v a jn v n + cb i = b j + cb i Ma allora, semplificando il termine cb i che compare sia a primo che a secondo membro, arriviamo a a j v + a j2 v a jn v n = b j che ci dice esattamente che (v,, v n ) soddisfa anche la j-esima equazione del sistema originale (24) Di nuovo, non dovendo verificare nulla sulle altre equazioni, che non sono cambiate, possiamo allora dire che (v,, v n ) è soluzione del sistema (24): in altre parole, abbiamo dimostrato anche a seconda implicazione (v,, v n ) S (v,, v n ) S, che assieme alla prima mostra che S = S, come volevamo La dimostrazione è conclusa Ora, mostriamo tramite alcuni esempi come, usando le operazioni elementari, si possa trasformare un qualunque sistema in un sistema a gradini (che, in base alla Proposizione 8, sarà equivalente al sistema originale) e come poi risolvere tale sistema Sia il sistema con matrice completa 7 x + x 2 + x 3 = x + x 2 3x 3 = 0 x + x 2 + x 3 = (30) (3) Ora, vogliamo trasformare tale matrice in una matrice a gradini usando le operazioni elementari, in modo da ottenere un sistema a gradini equivalente al sistema (30) Ricordiamo che, in base alla definizione di matrice a gradini, visto che il primo elemento a della prima riga è diverso da zero, e sta nella prima colonna, i 7 D ora in poi, nella matrice completa tracceremo a volte una linea per separare la matrice dei coefficienti dalla colonna dei termini noti 2

22 primi elementi diversi da zero della seconda e della terza riga non possono stare anche loro nella prima colonna: in altre parole, dobbiamo trasformare la matrice in modo che a 2 e a 3 siano uguali a zero Otteniamo sicuramente questo scopo se applichiamo le operazioni elementari del terzo tipo R 2 R 2 + R e R 3 R 3 + R : infatti, R 2 R 2 +R R 3 R 3 +R La matrice trasformata non è ancora una matrice a gradini in quanto il primo elemento non nullo della terza riga si trova in corrispondenza della stessa colonna (la seconda) del primo elemento non nullo nella seconda riga: dobbiamo far sì che a 32 = 0 A questo scopo, basta applicare l operazione elementare R 3 R 3 R 2 : così facendo si ottiene R 3 R 3 R Abbiamo ottenuto quindi lo scopo desiderato di trasformare la matrice in una matrice a gradini Il sistema x + x 2 + x 3 = 2x 2 2x 3 = 4x 3 = (32) corrispondente alla matrice trasformata è, come sappiamo, equivalente al sistema originale (30), quindi trovando le sue soluzioni avremo risolto il sistema (30) Ora, il principale vantaggio di un sistema a gradini consiste nel fatto che nelle equazioni compaiono sempre meno incognite (leggendole dalla prima all ultima): per risolverlo, basta quindi iniziare a risolvere le equazioni da quella che contiene meno incognite (l ultima) e risalire mediante sostituzioni fino alla prima Più precisamente, dall ultima equazione 4x 3 = 3 ricaviamo subito x 3 = 3 ; sostituendo il valore così trovato nella seconda equazione 4 troviamo 2x 2 2x 3 = 2x 2 = + 2x 3 = + 2( 3 4 ) = 3 2 = 2 x 2 = 4 e analogamente, sostituendo i valori di x 2 e x 3 così ottenuti nella prima equazione troviamo 22

23 x + x 2 + x 3 = x = x 2 x 3 = ( 4 ) ( 3 4 ) = 2 Riassumendo, la terna (2,, 3 ) è l unica soluzione del sistema (32), 4 4 ovvero del sistema iniziale (30) Ora vediamo altri due esempi significativi di risoluzione di un sistema lineare, che metteranno in evidenza ulteriori vantaggi della riduzione a gradini Consideriamo il sistema x + x 2 + x 3 = x x 2 x 3 = 0 x + 3x 2 + 3x 3 = che ha come matrice completa (33) (34) Come fatto per il sistema precedente, trasformiamo tale matrice in una matrice a gradini mediante operazioni elementari R 2 R 2 R R 3 R 3 R R 0 3 R 3 +R Notiamo che la terza riga della matrice trasformata corrisponde all equazione 0x + 0x 2 + 0x 3 =, ovvero 0 = : poichè questa uguaglianza è falsa, non esiste nessuna terna che soddisfi le tre condizioni del sistema ridotto corrispondente, ovvero tale sistema non ha soluzioni Questo, in virtù dell equivalenza tra il sistema originale e quello ridotto, ci dice che il sistema di partenza non ha soluzioni, ovvero è incompatibile Evidentemente tra le equazioni del sistema di partenza vi era una incompatibilità non evidente che il procedimento di riduzione a gradini ha fatto emergere Consideriamo ora come ultimo esempio il sistema 23

24 x + x 2 + 3x 3 = x 2x 2 + x 3 = 0 x 5x 2 x 3 = che ha come matrice completa Applicando operazioni elementari per ridurre a gradini, (35) (36) R 2 R 2 R R 3 R 3 R R 3 R 3 2R (37) (38) Notiamo che la terza riga della matrice trasformata corrisponde all equazione 0x + 0x 2 + 0x 3 = 0, ovvero 0 = 0 Quest ultima condizione è un identità vera indipendentemente dal valore che diamo alle incognite, quindi essa può essere cancellata dal sistema senza influire sulle sue soluzioni In altre parole, il sistema iniziale di tre equazioni si è trasformato nel sistema di due equazioni equivalente { x + x 2 + 3x 3 = (39) 3x 2 2x 3 = Benché non sia rimasta un equazione con una sola incognita come nel primo sistema che abbiamo risolto, possiamo comunque procedere nel modo seguente: ricaviamo x 2 dalla seconda equazione: 3x 2 2x 3 = 3x 2 = 2x 3 x 2 = 2 3 x (40) e sostituiamo l espressione ottenuta nella prima equazione per ricavare x : ( x + x 2 + 3x 3 = x = x 2 3x 3 = 2 3 x 3 + ) 3x 3 = x 3 (4) 24

25 Ora, qualunque valore t R assegniamo a x 3, la (40) e la (4) ci dicono che se poniamo x 2 = 2t + e x 3 3 = 2 7 t, le equazioni del sistema saranno 3 3 soddisfatte, ovvero otterremo una soluzione In altre parole, le soluzioni del sistema sono esattamente tutte le terne del tipo ( 2 7t, 2t +, t) al variare di t R: il sistema ha quindi infinite soluzioni Più precisamente, dal momento che le infinite soluzioni del sistema dipendono da un solo parametro libero t, si dice che il sistema ha infinito alla uno (si scrive ) soluzioni In generale, possiamo dare la seguente Definizione 9 Un sistema di equazioni lineari ha k soluzioni se l espressione generale della sua soluzione dipende da k parametri liberi Osservazione 0 Quando risolviamo un sistema ridotto a gradini, procediamo dall ultima equazione alla prima ricavando per ogni equazione del sistema una incognita (eventualmente in funzione di altre incognite): questo significa che il numero di parametri liberi nell espressione della soluzione sarà uguale alla differenza tra il numero delle incognite e il numero di equazioni non nulle rimaste dopo la riduzione In particolare, avremo un unica soluzione (cioè nessun parametro libero) solo nel caso in cui il numero di equazioni non nulle rimaste dopo la riduzione sia uguale al numero di incognite 8 Concludiamo questo capitolo con una dimostrazione rigorosa del fatto che un sistema a gradini non ha equazioni dipendenti dalle altre, il che prova che il procedimento di riduzione elimina tutte le eventuali equazioni dipendenti (superflue) presenti in un sistema Poichè le equazioni di un sistema corrispondono alle righe della sua matrice completa e, in base alla definizione di sistema a gradini, tale matrice è una matrice a gradini, basterà dimostrare che in una matrice a gradini nessuna riga può essere scritta come combinazione lineare delle altre Prima di dare la dimostrazione, osserviamo che il fatto che una tra le righe R, R 2,, R m di una matrice si possa scrivere come combinazione delle altre equivale all esistenza di una relazione del tipo c R + c 2 R c m R m = 0 (42) 8 Osserviamo che questa affermazione è falsa se non ci limitiamo a sistemi ridotti a gradini, come dimostra il semplice esempio del sistema (8) che ha due equazioni, due incognite ma infinite soluzioni 25

26 dove c, c 2,, c m sono elementi di K non tutti uguali a zero (altrimenti tale uguaglianza sarebbe sempre banalmente vera) e dove stiamo denotando con 0 la riga nulla Infatti, da una parte, se vale la (42) con coefficienti c, c 2,, c m non tutti nulli, allora, supponendo ad esempio che sia c i 0, possiamo, portando a secondo membro 9 tutti gli addendi tranne c i R i, scrivere c i R i = c R c i R i c i+ R i+ c m R m e a questo punto, dividendo per c i che per ipotesi è diverso da zero, otteniamo R i = c c i R c i c i R i c i+ c i R i+ c m c i R m ovvero vediamo che una riga (proprio R i ) si scrive come combinazione delle altre Viceversa, se una riga R i si scrive come combinazione delle altre, ovvero R i = +c R + + c i R i + c i+ R i+ + + c m R m, portando tutto a secondo membro otteniamo c R + + c i R i R i + c i+ R i+ + + c m R m = 0 ovvero una relazione del tipo (42) con i coefficienti non tutti nulli (il coefficiente di R i è ) Siamo ora pronti a dimostrare quanto annunciato, ovvero la seguente Proposizione Tra le righe non nulle di una matrice a gradini non esiste nessuna relazione di dipendenza del tipo (42) con i coefficienti c i non tutti nulli Dimostrazione Per definizione di matrice a gradini le sue righe saranno del tipo R = (a, ), a 0 R 2 = (0,, 0, a 2k,, ), a 2k 0 R 3 = (0,, 0, 0,, 0, a 3j,, ), a 3j 0 9 Portare a secondo membro le righe presuppone, come abbiamo spiegato nel primo paragrafo nella discussione preliminare alla definizione di campo (pag 2), che ogni riga R abbia un suo opposto, ovvero una riga R che sommata a R dà come risultato la riga nulla Ma questo in effetti è vero: basta prendere come R la riga che si ottiene da R cambiando di segno tutte le sue entrate (in altre parole, R = ( )R) 26

27 con k >, j > k etc ovvero in ogni riga il primo elemento non nullo compare via via con secondo indice sempre più grande Ora, se tra le righe valesse una relazione come la (42), questo vorrebbe dire che c (a, )+c 2 (0,, 0, a 2k,, )+c 3 (0,, 0, 0,, 0, a 3j,, )+ = (0,, 0) (43) Ma andiamo a guardare cosa significa questa uguaglianza entrata per entrata: poichè la prima riga è l unica con prima entrata diversa da zero, facendo i calcoli a primo membro della (43) vediamo che nella prima entrata rimane solo c a = 0: ma, essendo per ipotesi a 0, necessariamente deve essere c = 0 Quindi, la (43) si riduce a c 2 (0,, 0, a 2k,, )+c 3 (0,, 0, 0,, 0, a 3j,, )+ = (0,, 0) (44) Ora, guardiamo la k-esima entrata di questa relazione (cioè la prima diversa da zero nella seconda riga): dal momento che tutte le righe successive alle seconda hanno la prima entrata diversa da zero con indice più alto, otteniamo c 2 a 2k = 0, che, essendo a 2k 0, ci dice che c 2 = 0 Dunque la (44) si riduce a c 3 (0,, 0, 0,, 0, a 3j,, ) + = (0,, 0) e, continuando a ragionare in questo modo, vedremo che tutti i coefficienti c i si devono annullare, e quindi non può esistere una relazione di dipendenza del tipo (42) con i coefficienti non tutti nulli Esempio 2 Non è difficile vedere concretamente come la comparsa di una riga nulla dopo una riduzione indica sempre una relazione di dipendenza tra le righe iniziali Ad esempio, riprendiamo il sistema (35) e in particolare la riduzione fatta nei passaggi (37) - (38) In tali passaggi, abbiamo effettuato prima le due operazioni R 2 R 2 R, R 3 R 3 R e infine abbiamo sottratto alla terza riga la seconda (entrambe trasformate dopo il primo passaggio) moltiplicata per due, ottenendo come risultato una riga nulla 27

28 In altre parole, se denotiamo con R 2 e R 3 la seconda e la terza riga trasformate dopo il primo passaggio (cioè R 2 = R 2 R e R 3 = R 3 R ) abbiamo trovato R 3 2R 2 = 0, ovvero, sostituendo l espressione di R 3 e R 2, si ha (R 3 R ) 2(R 2 R ) = 0, che svolgendo i conti ci dice R 3 + R 2R 2 = 0 che è proprio una relazione di dipendenza del tipo (42) Procedendo come in questo esempio si può dimostrare rigorosamente che in generale se dopo una riduzione si annulla una riga allora nella matrice originaria era presente una relazione di dipendenza, ma omettiamo i dettagli 28