Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
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2 Un teorema è per sempre a cura di Alessandro Musesti Università Cattolica del Sacro Cuore, Brescia
3 Advertisement Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
4 Breaking news Il 26 dicembre 2017 è stato scoperto il più grande numero primo conosciuto:
5 Breaking news Il 26 dicembre 2017 è stato scoperto il più grande numero primo conosciuto: Tale numero ha cifre:
6 Breaking news Il 26 dicembre 2017 è stato scoperto il più grande numero primo conosciuto: Tale numero ha cifre: ( cifre)
7 Breaking news Il 26 dicembre 2017 è stato scoperto il più grande numero primo conosciuto: Tale numero ha cifre: ( cifre) Il precedente record aveva cifre (gennaio 2016) I promessi sposi ha circa caratteri...
8 Numeri primi Troveremo mai il numero primo più grande di tutti? Quello definitivo?
9 Numeri primi Troveremo mai il numero primo più grande di tutti? Quello definitivo? La risposta, naturalmente, è NO! I numeri primi sono infiniti.
10 Numeri primi Troveremo mai il numero primo più grande di tutti? Quello definitivo? La risposta, naturalmente, è NO! I numeri primi sono infiniti. Ma come facciamo ad esserne certi?
11 Numeri primi Troveremo mai il numero primo più grande di tutti? Quello definitivo? La risposta, naturalmente, è NO! I numeri primi sono infiniti. Ma come facciamo ad esserne certi? Lo possiamo dimostrare! Euclide lo ha fatto prima di noi, 2300 anni fa (e probabilmente non fu il primo).
12 Numeri primi Troveremo mai il numero primo più grande di tutti? Quello definitivo? La risposta, naturalmente, è NO! I numeri primi sono infiniti. Ma come facciamo ad esserne certi? Lo possiamo dimostrare! Euclide lo ha fatto prima di noi, 2300 anni fa (e probabilmente non fu il primo). Ma noi possiamo seguire e capire la sua dimostrazione, o farne un altra, se ne siamo capaci.
13 Numeri primi Troveremo mai il numero primo più grande di tutti? Quello definitivo? La risposta, naturalmente, è NO! I numeri primi sono infiniti. Ma come facciamo ad esserne certi? Lo possiamo dimostrare! Euclide lo ha fatto prima di noi, 2300 anni fa (e probabilmente non fu il primo). Ma noi possiamo seguire e capire la sua dimostrazione, o farne un altra, se ne siamo capaci. Una volta che una proprietà è dimostrata, se il ragionamento è corretto e le ipotesi di partenza sono chiare, lo resterà per sempre. Una dimostrazione dura per sempre, ben più di un diamante!
14 La dimostrazione di Euclide Teorema I numeri primi sono infiniti.
15 La dimostrazione di Euclide Teorema I numeri primi sono infiniti. Dimostrazione Prendiamo i numeri primi p 1, p 2,..., p n e formiamo il numero 1 + p 1 p 2 p n
16 La dimostrazione di Euclide Teorema I numeri primi sono infiniti. Dimostrazione Prendiamo i numeri primi p 1, p 2,..., p n e formiamo il numero 1 + p 1 p 2 p n Tale numero non è divisibile per p 1, né per p 2,... né per p n, perché dà sempre resto 1.
17 La dimostrazione di Euclide Teorema I numeri primi sono infiniti. Dimostrazione Prendiamo i numeri primi p 1, p 2,..., p n e formiamo il numero 1 + p 1 p 2 p n Tale numero non è divisibile per p 1, né per p 2,... né per p n, perché dà sempre resto 1. Se lo fattorizziamo, troveremo quindi almeno un numero primo nuovo.
18 La dimostrazione di Euclide Teorema I numeri primi sono infiniti. Dimostrazione Prendiamo i numeri primi p 1, p 2,..., p n e formiamo il numero 1 + p 1 p 2 p n Tale numero non è divisibile per p 1, né per p 2,... né per p n, perché dà sempre resto 1. Se lo fattorizziamo, troveremo quindi almeno un numero primo nuovo. Semplice, vero? Eppure questo semplice ragionamento ci garantisce che la caccia ai numeri primi grandi non finirà mai, almeno fino a quando ci sarà qualche essere interessato a trovarli.
19 La dimostrazione di Euclide Teorema I numeri primi sono infiniti. Dimostrazione Prendiamo i numeri primi p 1, p 2,..., p n e formiamo il numero 1 + p 1 p 2 p n Tale numero non è divisibile per p 1, né per p 2,... né per p n, perché dà sempre resto 1. Se lo fattorizziamo, troveremo quindi almeno un numero primo nuovo. Semplice, vero? Eppure questo semplice ragionamento ci garantisce che la caccia ai numeri primi grandi non finirà mai, almeno fino a quando ci sarà qualche essere interessato a trovarli. I moderni metodi crittografici si basano proprio su questo.
20 Il teorema di Pitagora Teorema Per un triangolo rettangolo di cateti a, b e ipotenusa c vale l uguaglianza a 2 + b 2 = c 2.
21 Il teorema di Pitagora Teorema Per un triangolo rettangolo di cateti a, b e ipotenusa c vale l uguaglianza a 2 + b 2 = c 2. Dimostrazione b a a c c b b c c a a b Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
22 Il teorema di Pitagora Teorema Per un triangolo rettangolo di cateti a, b e ipotenusa c vale l uguaglianza a 2 + b 2 = c 2. Dimostrazione b a a c c b (a + b) 2 = 4 1 ab + c2 2 b c c a a b Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
23 Il teorema di Pitagora Teorema Per un triangolo rettangolo di cateti a, b e ipotenusa c vale l uguaglianza a 2 + b 2 = c 2. Dimostrazione b a a c c b (a + b) 2 = 4 1 ab + c2 2 b c c a a 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2 a b Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
24 Il teorema di Pitagora Teorema Per un triangolo rettangolo di cateti a, b e ipotenusa c vale l uguaglianza a 2 + b 2 = c 2. Dimostrazione b a a c c b (a + b) 2 = 4 1 ab + c2 2 b c c a a 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2 a 2 + b 2 = c 2 a b Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
25 Il teorema di Pitagora Il sito riporta 115 dimostrazioni diverse del Teorema di Pitagora!
26 Il teorema di Pitagora Il sito riporta 115 dimostrazioni diverse del Teorema di Pitagora! b a c b c a Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
27 Il teorema di Pitagora Il sito riporta 115 dimostrazioni diverse del Teorema di Pitagora!
28 Il teorema di Pitagora Il sito riporta 115 dimostrazioni diverse del Teorema di Pitagora!
29 Il teorema di Pitagora Il libro del 1927 The Pythagorean Proposition, di Elisha S. Loomis ( ) presenta 367 dimostrazioni diverse del teorema!
30 Il teorema di Pitagora Il libro del 1927 The Pythagorean Proposition, di Elisha S. Loomis ( ) presenta 367 dimostrazioni diverse del teorema! È senza dubbio uno dei teoremi più apprezzati della storia della Matematica, e ammette anche tante generalizzazioni: ad esempio, è vero anche il viceversa: Teorema Se per un triangolo di lati a, b, c vale l uguaglianza a 2 + b 2 = c 2, allora il triangolo è rettangolo, con l angolo retto tra a e b.
31 Il teorema di Pitagora Il libro del 1927 The Pythagorean Proposition, di Elisha S. Loomis ( ) presenta 367 dimostrazioni diverse del teorema! È senza dubbio uno dei teoremi più apprezzati della storia della Matematica, e ammette anche tante generalizzazioni: ad esempio, è vero anche il viceversa: Teorema Se per un triangolo di lati a, b, c vale l uguaglianza a 2 + b 2 = c 2, allora il triangolo è rettangolo, con l angolo retto tra a e b. Ed è valido per poligoni qualsiasi, basta che siano simili.
32 Il teorema di Pitagora generalizzato Euclide, nella Proposizione VI.31, ha dimostrato anche questo teorema più generale. Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
33 L ultimo teorema di Fermat Sappiamo che esistono le terne pitagoriche, terne di numeri interi che soddisfano il teorema di Pitagora, ad esempio = 5 2, = 13 2
34 L ultimo teorema di Fermat Sappiamo che esistono le terne pitagoriche, terne di numeri interi che soddisfano il teorema di Pitagora, ad esempio = 5 2, = 13 2 Pierre de Fermat nel 1637 affermò che queste terne di numeri interi non esistono per potenze superiori, cioè non esistono numeri interi per cui a n + b n = c n, n 3
35 L ultimo teorema di Fermat Sappiamo che esistono le terne pitagoriche, terne di numeri interi che soddisfano il teorema di Pitagora, ad esempio = 5 2, = 13 2 Pierre de Fermat nel 1637 affermò che queste terne di numeri interi non esistono per potenze superiori, cioè non esistono numeri interi per cui a n + b n = c n, n 3 Purtroppo Fermat non scrisse la dimostrazione (che diceva però di avere).
36 L ultimo teorema di Fermat Sappiamo che esistono le terne pitagoriche, terne di numeri interi che soddisfano il teorema di Pitagora, ad esempio = 5 2, = 13 2 Pierre de Fermat nel 1637 affermò che queste terne di numeri interi non esistono per potenze superiori, cioè non esistono numeri interi per cui a n + b n = c n, n 3 Purtroppo Fermat non scrisse la dimostrazione (che diceva però di avere). Nonostante Fermat fosse un matematico di altissimo livello, in mancanza di una dimostrazione non gli si poteva credere sulla parola...
37 L ultimo teorema di Fermat Sappiamo che esistono le terne pitagoriche, terne di numeri interi che soddisfano il teorema di Pitagora, ad esempio = 5 2, = 13 2 Pierre de Fermat nel 1637 affermò che queste terne di numeri interi non esistono per potenze superiori, cioè non esistono numeri interi per cui a n + b n = c n, n 3 Purtroppo Fermat non scrisse la dimostrazione (che diceva però di avere). Nonostante Fermat fosse un matematico di altissimo livello, in mancanza di una dimostrazione non gli si poteva credere sulla parola... Dopo secoli di tentativi Andrew Wiles, matematico britannico, ne pubblicò la prima dimostrazione nel 1995, oltre 350 anni dopo la sua formulazione.
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39 Nascita di un teorema: la congettura Quasi sempre un teorema nasce da una congettura, ovvero una proposizione che si ritiene possa essere vera, ma che ancora non è stata dimostrata.
40 Nascita di un teorema: la congettura Quasi sempre un teorema nasce da una congettura, ovvero una proposizione che si ritiene possa essere vera, ma che ancora non è stata dimostrata. Quello che abbiamo chiamato Ultimo teorema di Fermat, prima del 1995 avrebbe dovuto chiamarsi congettura di Fermat poiché, anche se si riteneva fosse vero, non ne esisteva dimostrazione.
41 Nascita di un teorema: la congettura Quasi sempre un teorema nasce da una congettura, ovvero una proposizione che si ritiene possa essere vera, ma che ancora non è stata dimostrata. Quello che abbiamo chiamato Ultimo teorema di Fermat, prima del 1995 avrebbe dovuto chiamarsi congettura di Fermat poiché, anche se si riteneva fosse vero, non ne esisteva dimostrazione. Esistono tuttora notevoli congetture, in attesa di una dimostrazione: tra le più famose troviamo i sette Millennium Problems, del Clay Institute, ognuno dotato di un premio di un milione di dollari.
42 La congettura di Goldbach Una congettura molto facile da enunciare è la seguente: ogni numero pari più grande di 2 è la somma di due numeri primi.
43 La congettura di Goldbach Una congettura molto facile da enunciare è la seguente: ogni numero pari più grande di 2 è la somma di due numeri primi. Essa è stata formulata in un carteggio tra Christian Goldbach e il grande Leonhard Euler nel Pur nella sua semplicità, tale proposizione non è stata tuttora né dimostrata né falsificata.
44 La congettura di Goldbach Una congettura molto facile da enunciare è la seguente: ogni numero pari più grande di 2 è la somma di due numeri primi. Essa è stata formulata in un carteggio tra Christian Goldbach e il grande Leonhard Euler nel Pur nella sua semplicità, tale proposizione non è stata tuttora né dimostrata né falsificata. Nel 2013, il matematico di origine peruviana Harald Helfgott ha annunciato la dimostrazione della cosiddetta congettura debole di Goldbach, secondo cui ogni numero dispari più grande di 5 è la somma di tre numeri primi.
45 La congettura di Goldbach Una congettura molto facile da enunciare è la seguente: ogni numero pari più grande di 2 è la somma di due numeri primi. Essa è stata formulata in un carteggio tra Christian Goldbach e il grande Leonhard Euler nel Pur nella sua semplicità, tale proposizione non è stata tuttora né dimostrata né falsificata. Nel 2013, il matematico di origine peruviana Harald Helfgott ha annunciato la dimostrazione della cosiddetta congettura debole di Goldbach, secondo cui ogni numero dispari più grande di 5 è la somma di tre numeri primi. La sua dimostrazione però è ancora allo studio degli esperti che devono validarla.
46 La congettura di Goldbach Esistono naturalmente delle grosse evidenze numeriche della congettura di Goldbach: con l aiuto dei calcolatori elettronici la congettura è stata verificata per tutti i numeri pari fino a (quattro miliardi di miliardi) =
47 La congettura di Goldbach Esistono naturalmente delle grosse evidenze numeriche della congettura di Goldbach: con l aiuto dei calcolatori elettronici la congettura è stata verificata per tutti i numeri pari fino a (quattro miliardi di miliardi) = Ma finché non ne verrà data una dimostrazione, non potremo mai sapere che l affermazione è vera per tutti i numeri pari, neppure con l uso dei computer più potenti.
48 La congettura di Goldbach Esistono naturalmente delle grosse evidenze numeriche della congettura di Goldbach: con l aiuto dei calcolatori elettronici la congettura è stata verificata per tutti i numeri pari fino a (quattro miliardi di miliardi) = Ma finché non ne verrà data una dimostrazione, non potremo mai sapere che l affermazione è vera per tutti i numeri pari, neppure con l uso dei computer più potenti. E pensare che per dimostrare che Goldbach si sbagliava basterebbe trovare un solo controesempio...
49 Attenzione alle cattive congetture! Non tutte le congetture formulate nella storia si sono rivelate vere. Tra le più famose c è la congettura sui numeri primi di Fermat: 2 2n + 1 è un numero primo
50 Attenzione alle cattive congetture! Non tutte le congetture formulate nella storia si sono rivelate vere. Tra le più famose c è la congettura sui numeri primi di Fermat: 2 2n + 1 è un numero primo Pierre de Fermat enunciò la congettura in base all osservazione che = = = = = che sono tutti numeri primi. Il numero successivo era troppo grande per essere trattato da Fermat.
51 I primi di Fermat Ma un secolo dopo, ancora Euler, che era un abilissimo calcolatore, dimostrò che = falsificando così la congettura di Fermat.
52 I primi di Fermat Ma un secolo dopo, ancora Euler, che era un abilissimo calcolatore, dimostrò che = falsificando così la congettura di Fermat. La cosa buffa è che da allora non sono più stati scoperti altri numeri primi di Fermat, oltre ai primi cinque già noti, ed anzi oggi si è più orientati a pensare che non ce ne siano altri o che, se ce ne sono, debbano comunque essere in numero finito.
53 I primi di Fermat Ma un secolo dopo, ancora Euler, che era un abilissimo calcolatore, dimostrò che = falsificando così la congettura di Fermat. La cosa buffa è che da allora non sono più stati scoperti altri numeri primi di Fermat, oltre ai primi cinque già noti, ed anzi oggi si è più orientati a pensare che non ce ne siano altri o che, se ce ne sono, debbano comunque essere in numero finito. La congettura di Fermat si è dunque rivelata grossolanamente falsa: diffidate dal trarre conclusioni troppo frettolose!
54 Un altra congettura: l ipotesi cinese Congettura Un numero naturale n > 2 è primo se e solo se il resto della divisione 2 n : n è esattamente 2.
55 Verifica - I 3 primo 2 4 non primo 0 5 primo 2 6 non primo 4 7 primo 2 8 non primo 0 9 non primo 8 10 non primo 4 11 primo 2 12 non primo 4 13 primo 2 14 non primo 4 15 non primo 8 16 non primo 0 17 primo 2 18 non primo primo 2 20 non primo non primo 8 22 non primo 4 23 primo 2 24 non primo non primo 7 26 non primo 4 27 non primo non primo primo 2 30 non primo 4 31 primo 2 32 non primo 0 33 non primo 8 34 non primo 4 35 non primo non primo primo 2 38 non primo 4 39 non primo 8 40 non primo primo 2 42 non primo primo 2 44 non primo non primo non primo 4 47 primo 2 48 non primo non primo non primo non primo 8 52 non primo 16 Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore 53 primo 2 54 non primo non primo non primo non primo 8 58 non primo 4 59 primo 2 60 non primo primo 2 62 non primo 4 63 non primo 8 64 non primo 0 65 non primo non primo primo 2 68 non primo non primo 8 70 non primo primo 2 72 non primo primo 2 74 non primo 4 75 non primo non primo non primo 18
56 Verifica - II 78 non primo primo 2 80 non primo non primo non primo 4 83 primo 2 84 non primo non primo non primo 4 87 non primo 8 88 non primo primo 2 90 non primo non primo non primo non primo 8 94 non primo 4 95 non primo non primo primo 2 98 non primo non primo non primo primo non primo primo non primo non primo non primo primo non primo primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo primo 2 Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore 128 non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo primo non primo primo non primo 104
57 Verifica - III 153 non primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo primo non primo primo non primo non primo non primo primo non primo primo non primo non primo non primo 4 Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore 203 non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo primo 2
58 Verifica - IV 228 non primo primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo primo 2 Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore 278 non primo non primo non primo primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo 4
59 Verifica - V 303 non primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo primo non primo primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo 8 Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore 328 non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo = non primo 2
60 Verifica - V 303 non primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo primo non primo primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo = non primo 2 La congettura è falsa! Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
61 Verifica - V 303 non primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo primo non primo primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo non primo non primo primo non primo non primo non primo = non primo 2 La congettura è falsa! Nei primi numeri ce ne sono 79 falsi (e 9592 primi) Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
62 Attenzione alle dimostrazioni Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
63 Attenzione alle dimostrazioni Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
64 Attenzione alle dimostrazioni Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
65 Attenzione alle dimostrazioni Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
66 Attenzione alle dimostrazioni Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
67 Attenzione alle dimostrazioni Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
68 Attenzione alle dimostrazioni Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
69 Attenzione alle dimostrazioni Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
70 Una citazione Scopo della scienza non è tanto quello di aprire la porta all infinito sapere, quanto quello di porre una barriera all infinito errore. B. Brecht, Vita di Galileo
71 Un applicazione alla crittografia Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
72 Condivisione di una chiave: l esempio con i colori Alice e Bob vogliono poter scambiare messaggi senza che altri (rappresentati da Eve, il malvagio) li capiscano. Per fare questo devono entrambi avere una chiave che apra lo stesso lucchetto. Come possono fare a condividere questa chiave? Vediamo un esempio, fatto coi colori, che si basa su un colore segreto (la chiave privata) e un colore noto a tutti (la chiave pubblica). Entrambi giungono a condividere un colore senza che Eve ne sia a conoscenza.
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74 È facile mescolare i colori, ma è difficile capire quali colori formano una miscela.
75 Come fare nella realtà? La matematica ci viene in aiuto: una funzione unidirezionale è una funzione facile da calcolare ma difficile da invertire.
76 Come fare nella realtà? La matematica ci viene in aiuto: una funzione unidirezionale è una funzione facile da calcolare ma difficile da invertire. Esempio importante: è facile (magari con una calcolatrice!) calcolare = 1829
77 Come fare nella realtà? La matematica ci viene in aiuto: una funzione unidirezionale è una funzione facile da calcolare ma difficile da invertire. Esempio importante: è facile (magari con una calcolatrice!) calcolare = 1829 ma è mooolto più difficile (perché ci vuole tanto tempo!) scoprire che 1829 è composto da 59 e 31.
78 Come fare nella realtà? La matematica ci viene in aiuto: una funzione unidirezionale è una funzione facile da calcolare ma difficile da invertire. Esempio importante: è facile (magari con una calcolatrice!) calcolare = 1829 ma è mooolto più difficile (perché ci vuole tanto tempo!) scoprire che 1829 è composto da 59 e 31. Provate a fattorizzare il numero
79 Come fare nella realtà? La matematica ci viene in aiuto: una funzione unidirezionale è una funzione facile da calcolare ma difficile da invertire. Esempio importante: è facile (magari con una calcolatrice!) calcolare = 1829 ma è mooolto più difficile (perché ci vuole tanto tempo!) scoprire che 1829 è composto da 59 e 31. Provate a fattorizzare il numero E invece verificate, con la calcolatrice, quanto fa
80 Come fare nella realtà? La matematica ci viene in aiuto: una funzione unidirezionale è una funzione facile da calcolare ma difficile da invertire. Esempio importante: è facile (magari con una calcolatrice!) calcolare = 1829 ma è mooolto più difficile (perché ci vuole tanto tempo!) scoprire che 1829 è composto da 59 e 31. Provate a fattorizzare il numero E invece verificate, con la calcolatrice, quanto fa Nelle attuali applicazioni informatiche si usano numeri di 1024 bit, che superano le 300 cifre decimali, e addirittura di 2048 bit!
81 RSA Factoring Challenge Nel 1991 fu lanciato un concorso che chiedeva di fattorizzare alcuni numeri grandi, per stimolare la ricerca sulla sicurezza dell algoritmo RSA, che si basa sulla fattorizzazione. Nel 2007 il concorso si è ufficialmente chiuso, ma tuttora alcuni gruppi stanno tentando di risolvere alcune delle sfide proposte. Nel settembre del 2013 è stato fattorizzato il numero RSA-210, composto da 210 cifre decimali! =
82 Un attrezzo matematico: le moltiplicazioni e le potenze sull orologio Se un orologio segna le 9 e si aggiungono 5 ore, che ora segnerà?
83 Un attrezzo matematico: le moltiplicazioni e le potenze sull orologio Se segna le 9 e si aggiungono 5 ore, che ora segnerà? Ovviamente, le 2.
84 Un attrezzo matematico: le moltiplicazioni e le potenze sull orologio Se segna le 9 e si aggiungono 5 ore, che ora segnerà? Ovviamente, le 2. Se l orologio segna le 5 si moltiplica quest ora per 8, che Le 4, poiché 5 8 = 40 = Quindi la lancetta delle ore fa tre giri e finisce sulle 4.
85 Un attrezzo matematico: le moltiplicazioni e le potenze sull orologio Se segna le 9 e si aggiungono 5 ore, che ora segnerà? Ovviamente, le 2. Se l orologio segna le 5 si moltiplica quest ora per 8, che Le 4, poiché 5 8 = 40 = Quindi la lancetta delle ore fa tre giri e finisce sulle 4. Nell aritmetica dell orologio non interessa il numero dei giri, ma solo quello che avanza alla fine (il resto della divisione).
86 Un attrezzo matematico: le moltiplicazioni e le potenze sull orologio Se segna le 9 e si aggiungono 5 ore, che ora segnerà? Ovviamente, le 2. Se l orologio segna le 5 si moltiplica quest ora per 8, che Le 4, poiché 5 8 = 40 = Quindi la lancetta delle ore fa tre giri e finisce sulle 4. Nell aritmetica dell orologio non interessa il numero dei giri, ma solo quello che avanza alla fine (il resto della divisione). Questa si chiama aritmetica modulare. Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
87 L aritmetica modulare con numeri primi Risulta particolarmente utile usare orologi con p ore, dove p è un numero primo. Le operazioni fatte su questi orologi verranno indicate col suffisso (modp) (si legge modulo p).
88 L aritmetica modulare con numeri primi Risulta particolarmente utile usare orologi con p ore, dove p è un numero primo. Le operazioni fatte su questi orologi verranno indicate col suffisso (modp) (si legge modulo p). Scrivere (modp) significa che delle operazioni che si fanno bisogna tenere solo il resto della divisione per p.
89 L aritmetica modulare con numeri primi Risulta particolarmente utile usare orologi con p ore, dove p è un numero primo. Le operazioni fatte su questi orologi verranno indicate col suffisso (modp) (si legge modulo p). Scrivere (modp) significa che delle operazioni che si fanno bisogna tenere solo il resto della divisione per p. Ad esempio, scegliendo p = 11, avremo = 5(mod11),
90 L aritmetica modulare con numeri primi Risulta particolarmente utile usare orologi con p ore, dove p è un numero primo. Le operazioni fatte su questi orologi verranno indicate col suffisso (modp) (si legge modulo p). Scrivere (modp) significa che delle operazioni che si fanno bisogna tenere solo il resto della divisione per p. Ad esempio, scegliendo p = 11, avremo = 5(mod11), 5 8 = 7(mod11),
91 L aritmetica modulare con numeri primi Risulta particolarmente utile usare orologi con p ore, dove p è un numero primo. Le operazioni fatte su questi orologi verranno indicate col suffisso (modp) (si legge modulo p). Scrivere (modp) significa che delle operazioni che si fanno bisogna tenere solo il resto della divisione per p. Ad esempio, scegliendo p = 11, avremo = 5(mod11), 5 8 = 7(mod11), 2 6 = 9(mod11)
92 L aritmetica modulare con numeri primi Risulta particolarmente utile usare orologi con p ore, dove p è un numero primo. Le operazioni fatte su questi orologi verranno indicate col suffisso (modp) (si legge modulo p). Scrivere (modp) significa che delle operazioni che si fanno bisogna tenere solo il resto della divisione per p. Ad esempio, scegliendo p = 11, avremo = 5(mod11), 5 8 = 7(mod11), 2 6 = 9(mod11) L insieme dei numeri {0, 1,..., p 1} dotato di queste operazioni particolari si denota con Z p.
93 Generatori di Z p Un generatore g in Z p è un numero più piccolo di p tale che calcolando g, g 2, g 3,..., g p 2, g p 1 (modp) si esauriscano tutti i numeri tra 1 e p 1. Ad esempio, si può verificare che 2 è un generatore per p = 11, poiché n n (mod11)
94 Generatori di Z p Un generatore g in Z p è un numero più piccolo di p tale che calcolando g, g 2, g 3,..., g p 2, g p 1 (modp) si esauriscano tutti i numeri tra 1 e p 1. Ad esempio, si può verificare che 2 è un generatore per p = 11, poiché n n (mod11) Se p è primo, esiste sempre almeno un generatore in Z p, anche se potrebbe non essere semplice trovarlo.
95 Lo scambio di chiavi Diffie Hellman Merkle (1976) È un metodo per condividere un numero tra due persone, in modo che solo loro due lo conoscano. Questo numero potrà poi servire a scambiarsi messaggi in codice.
96 Lo scambio di chiavi Diffie Hellman Merkle (1976) È un metodo per condividere un numero tra due persone, in modo che solo loro due lo conoscano. Questo numero potrà poi servire a scambiarsi messaggi in codice. È basato sull elevamento a potenza e sull aritmetica dell orologio. Si prende un numero primo p, ad esempio p = 17, e un generatore g di Z 17.
97 Lo scambio di chiavi Diffie Hellman Merkle (1976) È un metodo per condividere un numero tra due persone, in modo che solo loro due lo conoscano. Questo numero potrà poi servire a scambiarsi messaggi in codice. È basato sull elevamento a potenza e sull aritmetica dell orologio. Si prende un numero primo p, ad esempio p = 17, e un generatore g di Z 17. Ad esempio, si verifica che 6 è un generatore per p = 17, poiché n n
98 Lo scambio di chiavi Diffie Hellman Merkle (1976) È un metodo per condividere un numero tra due persone, in modo che solo loro due lo conoscano. Questo numero potrà poi servire a scambiarsi messaggi in codice. È basato sull elevamento a potenza e sull aritmetica dell orologio. Si prende un numero primo p, ad esempio p = 17, e un generatore g di Z 17. Ad esempio, si verifica che 6 è un generatore per p = 17, poiché n n Questi numeri p e g sono noti a tutti e decisi una volta per tutte. Nella pratica p è un numero molto grande (1024 bit), mentre g può anche essere piccolo.
99 Lo scambio di chiavi Diffie Hellman Merkle (1976) È un metodo per condividere un numero tra due persone, in modo che solo loro due lo conoscano. Questo numero potrà poi servire a scambiarsi messaggi in codice. È basato sull elevamento a potenza e sull aritmetica dell orologio. Si prende un numero primo p, ad esempio p = 17, e un generatore g di Z 17. Ad esempio, si verifica che 6 è un generatore per p = 17, poiché n n Questi numeri p e g sono noti a tutti e decisi una volta per tutte. Nella pratica p è un numero molto grande (1024 bit), mentre g può anche essere piccolo. Poi si esegue la procedura seguente:
100 1) Alice sceglie un numero a caso a tra 1 e p 1, e lo stesso fa Bob con un numero b. Questi numeri sono le chiavi private di Alice e Bob, e vanno tenuti segreti. Nel nostro esempio, scegliamo a = 10 e b = 14. Alessandro Musesti - Università Cattolica del Sacro Cuore
101 1) Alice sceglie un numero a caso a tra 1 e p 1, e lo stesso fa Bob con un numero b. Questi numeri sono le chiavi private di Alice e Bob, e vanno tenuti segreti. Nel nostro esempio, scegliamo a = 10 e b = 14. 2) Alice calcola il numero A = g a (modp) = 6 10 (mod17) =
102 1) Alice sceglie un numero a caso a tra 1 e p 1, e lo stesso fa Bob con un numero b. Questi numeri sono le chiavi private di Alice e Bob, e vanno tenuti segreti. Nel nostro esempio, scegliamo a = 10 e b = 14. 2) Alice calcola il numero A = g a (modp) = 6 10 (mod17) = 6 n :
103 1) Alice sceglie un numero a caso a tra 1 e p 1, e lo stesso fa Bob con un numero b. Questi numeri sono le chiavi private di Alice e Bob, e vanno tenuti segreti. Nel nostro esempio, scegliamo a = 10 e b = 14. 2) Alice calcola il numero A = g a (modp) = 6 10 (mod17) = 15 e Bob calcola il numero B = g b (modp) = 6 14 (mod17) = 9. 6 n :
104 1) Alice sceglie un numero a caso a tra 1 e p 1, e lo stesso fa Bob con un numero b. Questi numeri sono le chiavi private di Alice e Bob, e vanno tenuti segreti. Nel nostro esempio, scegliamo a = 10 e b = 14. 2) Alice calcola il numero A = g a (modp) = 6 10 (mod17) = 15 e Bob calcola il numero B = g b (modp) = 6 14 (mod17) = 9. I numeri A e B sono le chiavi pubbliche e vengono divulgati. Chiunque li può conoscere. 6 n :
105 1) Alice sceglie un numero a caso a tra 1 e p 1, e lo stesso fa Bob con un numero b. Questi numeri sono le chiavi private di Alice e Bob, e vanno tenuti segreti. Nel nostro esempio, scegliamo a = 10 e b = 14. 2) Alice calcola il numero A = g a (modp) = 6 10 (mod17) = 15 e Bob calcola il numero B = g b (modp) = 6 14 (mod17) = 9. I numeri A e B sono le chiavi pubbliche e vengono divulgati. Chiunque li può conoscere. 3) Infine Alice prende la chiave pubblica di Bob, B = 9, e calcola B a (modp) = 9 10 (mod17) = 13.
106 1) Alice sceglie un numero a caso a tra 1 e p 1, e lo stesso fa Bob con un numero b. Questi numeri sono le chiavi private di Alice e Bob, e vanno tenuti segreti. Nel nostro esempio, scegliamo a = 10 e b = 14. 2) Alice calcola il numero A = g a (modp) = 6 10 (mod17) = 15 e Bob calcola il numero B = g b (modp) = 6 14 (mod17) = 9. I numeri A e B sono le chiavi pubbliche e vengono divulgati. Chiunque li può conoscere. 3) Infine Alice prende la chiave pubblica di Bob, B = 9, e calcola B a (modp) = 9 10 (mod17) = 13. Bob prende la chiave pubblica di Alice, A = 15, e calcola A b (modp) = (mod17) = 13.
107 1) Alice sceglie un numero a caso a tra 1 e p 1, e lo stesso fa Bob con un numero b. Questi numeri sono le chiavi private di Alice e Bob, e vanno tenuti segreti. Nel nostro esempio, scegliamo a = 10 e b = 14. 2) Alice calcola il numero A = g a (modp) = 6 10 (mod17) = 15 e Bob calcola il numero B = g b (modp) = 6 14 (mod17) = 9. I numeri A e B sono le chiavi pubbliche e vengono divulgati. Chiunque li può conoscere. 3) Infine Alice prende la chiave pubblica di Bob, B = 9, e calcola B a (modp) = 9 10 (mod17) = 13. Bob prende la chiave pubblica di Alice, A = 15, e calcola A b (modp) = (mod17) = 13. È un caso che sia risultato lo stesso numero? Certamente no: si ha sempre A b = (g a ) b = g ab = (g b ) a = B a (modp). Quindi Alice e Bob hanno una chiave in comune: il numero 13.
108 Un esempio con numeri più grandi p = è un numero primo e g = 5 è un generatore di Z
109 Un esempio con numeri più grandi p = è un numero primo e g = 5 è un generatore di Z Scegliamo (a caso) le chiavi private: a = , b =
110 Un esempio con numeri più grandi p = è un numero primo e g = 5 è un generatore di Z Scegliamo (a caso) le chiavi private: a = , b = Allora le chiavi pubbliche sono A = g a = , B = g b =
111 Un esempio con numeri più grandi p = è un numero primo e g = 5 è un generatore di Z Scegliamo (a caso) le chiavi private: a = , b = Allora le chiavi pubbliche sono A = g a = , B = g b = E si ha A b = B a = , che è la chiave condivisa.
112 Sicurezza della procedura Che cosa conosce Eve? Conosce: il numero primo p, il generatore g, le chiavi pubbliche A = g a e B = g b. Da questi dati si può scoprire la chiave comune A b = B a? L unico modo per farlo è scoprire almeno una delle due chiavi segrete a oppure b.
113 Sicurezza della procedura Che cosa conosce Eve? Conosce: il numero primo p, il generatore g, le chiavi pubbliche A = g a e B = g b. Da questi dati si può scoprire la chiave comune A b = B a? L unico modo per farlo è scoprire almeno una delle due chiavi segrete a oppure b. Nel nostro esempio, sapendo che p = 17, g = 6 e A = g a = 15, si può scoprire a: scorrendo tutta la tabella delle potenze del generatore si va a cercare quale potenza di 6 risulta 15 (modulo 17), e si trova n = 10. Quindi la chiave segreta di Alice è 10.
114 Sicurezza della procedura Che cosa conosce Eve? Conosce: il numero primo p, il generatore g, le chiavi pubbliche A = g a e B = g b. Da questi dati si può scoprire la chiave comune A b = B a? L unico modo per farlo è scoprire almeno una delle due chiavi segrete a oppure b. Nel nostro esempio, sapendo che p = 17, g = 6 e A = g a = 15, si può scoprire a: scorrendo tutta la tabella delle potenze del generatore si va a cercare quale potenza di 6 risulta 15 (modulo 17), e si trova n = 10. Quindi la chiave segreta di Alice è 10. Ma allora dove sta la sicurezza della procedura? Nella realtà si usano numeri primi molto grandi, fatti da almeno 300 cifre, e la lista da scorrere per individuare l esponente a a partire dalla conoscenza di g a è molto, molto lunga!
115 Sicurezza della procedura Che cosa conosce Eve? Conosce: il numero primo p, il generatore g, le chiavi pubbliche A = g a e B = g b. Da questi dati si può scoprire la chiave comune A b = B a? L unico modo per farlo è scoprire almeno una delle due chiavi segrete a oppure b. Nel nostro esempio, sapendo che p = 17, g = 6 e A = g a = 15, si può scoprire a: scorrendo tutta la tabella delle potenze del generatore si va a cercare quale potenza di 6 risulta 15 (modulo 17), e si trova n = 10. Quindi la chiave segreta di Alice è 10. Ma allora dove sta la sicurezza della procedura? Nella realtà si usano numeri primi molto grandi, fatti da almeno 300 cifre, e la lista da scorrere per individuare l esponente a a partire dalla conoscenza di g a è molto, molto lunga! Questa operazione si chiama logaritmo discreto, ed è una funzione unidirezionale: è abbastanza facile calcolare A = g a, ma è molto difficile scoprire l esponente a conoscendo g e A. Anche i computer attualmente più potenti impiegherebbero centinaia di anni.
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