CARDINALITÀ DI IMPORTANTI FAMIGLIE DI FUNZIONI E DI INSIEMI: ANALISI COMBINATO- RIA

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1 CARDINALITÀ DI IMPORTANTI FAMIGLIE DI FUNZIONI E DI INSIEMI: ANALISI COMBINATO- RIA Alcune definizioni e proprietà Se n è un numero naturale, si definisce per ricorsione il numero n fattoriale, e si scrive, 0! 1 n (n 1)! se n 1 Dunque, se n 1, allora 1! 1, se n 2, si ha n (n 1) Per ogni n N e per ogni 0,...,n si definisce il coefficiente binomiale indicato con il simbolo ( n ) e che si legge n su il numero! (n )! Si possono facilmente verificare le seguenti proprietà ( ) n per ogni n 1 e n per ogni 0,...,n 0 1 per ogni n 0 n ( ) n per ogni n 1 e per ogni 0,...,n 1 1

2 Siano X e Y insiemi finiti. Se X e Y sono disgiunti (i.e. X Y ) allora X Y X + Y In generale si ha Se X e Y sono insiemi finiti allora X Y X + Y X Y X Y X Y dove X Y {(x, y) x X, y Y }. Cardinalità di insiemi di funzioni e combinatoria 1) Siano X e Y insiemi. L insieme delle funzioni da X in Y si indica con il simbolo Y X Y X {f f : X Y } Se X e Y sono insiemi finiti, tali che X Y n allora la cardinalità di Y X vale Y X Y X n Infatti, se X {x 1,...,x } e Y {y 1,...,y n }, per definire una funzione f Y X occorre definire i valori f(x 1 ),...,f(x ) e ciascun f(x i ) può essere scelto tra n valori possibili {y 1,...,y n }, dunque le possibilità sono f(x 1 )... f(x ) } n... {{ n } volte 2

3 2) Se X e Y sono insiemi finiti con X e Y n, con n allora l insieme delle funzioni iniettive da X in Y ha cardinalità In(X, Y ) {f f : X Y, f è iniettiva} In(X, Y ) (n )! n (n 1)... (n ( 1) ) Infatti, se X {x 1,...,x } e Y {y 1,...,y n }, per definire una funzione iniettiva f Y X occorre definire i valori f(x 1 ),...,f(x ) tra n valori possibili {y 1,...,y n } in modo che gli f(x i ) siano tutti distinti, dunque le possibilità sono f(x 1 ) f(x 2 )... f(x ) ( ) n (n 1)... n ( 1) }{{} fattori Osservazione: se > n non esistono funzioni iniettive da X in Y!!! Abbiamo disposto in modo ordinato elementi scelti da un insieme con n elementi. Nel calcolo combinatorio, si dicono disposizioni (semplici) di n oggetti presi a a (o di classe ) gli ordinamenti di oggetti scelti fra n oggetti. Due disposizioni di questo tipo, possono differire o per qualche elemento o per l ordine degli elementi. Il numero di disposizioni di n oggetti di classe si indica con D n, ed è D n, (n )! n (n 1)... (n ( 1) ) 3

4 3) Se X e Y sono insiemi finiti tali che X Y n allora l insieme delle funzioni iniettive da X in Y coincide con l insieme delle funzioni biiettive da X in Y In questo caso Biject(X, Y ) {f f : X Y, f è biiettiva} Biject(X, Y ) n (n 1) In questo caso, Biject(X, Y ) corrisponde alle disposizioni ordinate di n oggetti di classe n. Due disposizioni di questo genere possono differire solo per l ordine degli elementi. Esse vengono dette permutazioni di n oggetti ed il loro numero viene indicato con il simbolo P n. Dunque P n D n,n Osservazione. Se si considerano n oggetti di cui alcuni sono uguali, allora le permutazioni di questi oggetti danno luogo a delle permutazioni con ripetizione. Per contare le permutazioni senza ripetizione si deve tener conto delle permutazioni che compaiono più volte. Nel caso gli oggetti siano lettere, le permutazioni senza ripetizione di n lettere sono dette anche anagrammi. Il numero di permutazioni senza ripetizione di n oggetti di cui n 1 sono uguali tra di loro, n 2 sono uguali tra di loro,..., n sono uguali tra di loro è n 1! n 2!... n! 4

5 Cardinalità di sottoinsiemi dell insieme delle parti e combinatoria 1) Se X è un insieme, l insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di X si chiama insieme delle parti di X e si indica con P(X) o con 2 X 2 X {A A X} La notazione 2 X è giustificata da un risultato che vale nel caso di insiemi finiti. Se, infatti, X è finito, allora si dimostra che 2 X {0, 1} X 2 X 2) Se X è un insieme e è un numero naturale, indichiamo con ( ) X l insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di X con elementi ( ) X {A A X, A } Anche in questo caso, la notazione è giustificata da un risultato che si ha nel caso di insiemi finiti. Infatti, se X è un insieme finito e X, allora ( ) ( ) X X X!! ( X )! Se X n un sottoinsieme di X con elementi corrisponde ad una combinazione di n oggetti presi a a. Due combinazioni possono differire solo per gli oggetti, l ordine non conta. Il numero di combinazioni di n oggetti a a viene indicato con C n, ed è pari a C n, D n,!! (n )! Utilizzando i coefficienti binomiali, tale numero vale dunque C n, 5