Quesiti Pagina 1 di 7 in memoria del prof. E. Zanghì cura dei Prof. A. Scimone, G. Florio, M. T. Ripoli R. Sofia QUESITI.

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1 Quesiti Pagina di 7 in memoria del prof. E. Zanghì cura dei Prof. A. Scimone, G. Florio, M. T. Ripoli R. Sofia QUESITI Quesito Il volume di una striscia di larghezza dx è dv = A dx dove A è l area del triangolo equilatero di lato x l Essendo h = = x = x avremo x x A( x) = = x quindi dv = x dx x V = dv = x dx = = Quesito Indicando i lati del triangolo a = 8 b = 6 c = 4 ed applicando il teorema del coseno abbiamo c a b ab cosγ = + quindi

2 Quesiti Pagina di 7 in memoria del prof. E. Zanghì cura dei Prof. A. Scimone, G. Florio, M. T. Ripoli R. Sofia a + b c cosγ = = = =,875 quindi ab γ 8 57 '8 ' Inoltre a + c b cos β = = = =, 6875 quindi ac β 46 4' ' e α 4 8'9 ' Quesito L equazione x x k + Si può scrivere x x = k Ponendo y = k e y = x x Per trovare le soluzioni dell equazione basta risolvere il sistema y = k y = x x La prima equazione rappresenta un fascio di rette parallele all asse x, la seconda rappresenta una cubica passante per l origine, incontra l asse x in x = e x = ; ha un massimo e un minimo y ' = x x Per x = si ha un massimo, per x = Il grafico è La retta passa per il massimo x = y = si ha k = e quindi k = 4 La retta passa per il minimo x = y = si ha 7

3 Quesiti Pagina di 7 in memoria del prof. E. Zanghì cura dei Prof. A. Scimone, G. Florio, M. T. Ripoli R. Sofia 4 = k e quindi 7 k = 7 Per k < avremo una soluzione reale 7 Per k tre soluzioni reali 7 Per k > una soluzione reale Quesito 4 Indicando con α l angolo HVB avremo h = cosα Il raggio sarà r = HB = sinα Il volume del cono sarà V = A h e quindi sin cos base V = π α α Determiniamo il volume massimo V ' = π (sinα cos α sin α) = π sin α( cos α sin α) V ' = π sin α( sin α) avremo sinα sin α con sinα = ± Il volume massimo si ha per sinα = Quindi Vmax = π = π 7 Supponendo che un litro di olio equivale ad un Vmax = π = 4, 6l 7 dm avremo

4 Quesiti Pagina 4 di 7 in memoria del prof. E. Zanghì cura dei Prof. A. Scimone, G. Florio, M. T. Ripoli R. Sofia Quesito 5 La funzione y = x + 8 nell intervallo [, ] è continua e derivabile essendo comunque continua in, pertanto sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Lagrange, quindi esisterà almeno un punto, tale che x in ] [ f ( b) f ( a) f '( x ) = b a Si ha: f ( b) = f () = 6 f ( a) = f ( ) = avremo quindi 6 f '( x ) = = 4 4 Essendo inoltre f '( x ) = x otteniamo x = 4 x = ± Quindi x = e x = Che verificano il teorema di Lagrange in quanto interni all intervallo ], [ In questi punti la tangente al grafico di f ( x ) risulta parallela alla corda congiungente i punti A(,) e B (,6) Usando prima la maggiorazione avremo 6 6 p = p + p = p p = p + p = p = p Usando prima la diminuzione avremo 6 94 p = p p = p p = p + p = p = Essendo 6 94 < il prezzo finale è minore del prezzo iniziale L integrale di una funzione reale dispari esteso all intervallo [, ] simmetrico rispetto all origine è ovviamente nullo Si ha

5 Quesiti Pagina 5 di 7 in memoria del prof. E. Zanghì cura dei Prof. A. Scimone, G. Florio, M. T. Ripoli R. Sofia [ + ] = + f ( x) dx dx f ( x) dx Essendo f ( x) dx = avremo [ f x ] dx [ ] x + ( ) = = Si ha n n 4 = 5 e quindi 4 4 n ( n )( n )( n ) 5( n )( n )( n 4) = 4!! n( n )( n )( n ) = 5( n )( n )( n 4) [ ] ( n )( n ) n( n ) 5( n 4) = I valori n = ed n = non sono accettabili perché minori di 4 Avremo n n 5n + 6 = n 6n + 6 = Quindi n = 6 n = Risolvendo per parti l integrale I = x dx Poniamo x come fattore finito e dx come fattore differenziale Avremo x x I = x dx = x x dx = x x dx dx = x x x + arcsin x x x dx x Passando al primo membro Avremo x x dx I = x dx = x + arcsin x quindi x x dx x arcsin x arcsin π = + = = 4 Che è l area di un quarto di circonferenza avente centro nellrigine e raggio

6 Quesiti Pagina 6 di 7 in memoria del prof. E. Zanghì cura dei Prof. A. Scimone, G. Florio, M. T. Ripoli R. Sofia Articolo copiato dal sito Coordinate geografiche, latitudine e longitudine geografiche Nel sistema di coordinate terrestri si seglie come piano fondamentale quello dell'equatore mentre la direzione fondamentale è l'asse di rotazione della Terra. Si suppone che la superficie terrestre sia, in prima approssimazione, di forma sferica. Un qualunque piano che contenga l'asse terrestre (piano meridiano), determina sulla superficie terrestre un cerchio massimo passante per i poli detto circolo meridiano. Per meridiano geografico si intende una semicirconferenza compresa tra i due poli ed ogni meridiano ha un suo antimeridiano che completa il circolo meridiano, dalla parte opposta. I meridiani sono tutti uguali fra loro. I paralleli invece sono i circoli formati dall'intersezione tra qualunque piano parallelo all'equatore con la superficie terrestre. I paralleli sono tanto più piccoli quanto maggiore è la loro distanza dall'equatore. Paralleli e meridiani formano una rete sulla superficie (reticolato geografico), che ci permette di identificare la posizione assoluta di un punto. Per far questo basta indicare il parallelo e il meridiano che passano per tale punto (parallelo del luogo e meridiano del luogo). Allo scopo di indicare un preciso parallelo o meridiano, si definiscono le coordinate geografiche. Viene fissato convenzionalmente un meridiano fondamentale, passante per l'osservatorio astronomico di Greenwich, nei pressi di Londra. Tale meridiano è chiamato anche meridiano zero, meridiano origine, primo meridiano, meridiano iniziale, o meridiano di Greenwich. e rappresenta il riferimento per la suddivisione convenzionale in fusi orari e per il tempo universale. La longitudine geografica (λ) è la distanza angolare di un punto dal meridiano fondamentale, misurata sull'arco di parallelo che passa per quel punto. Essa corrisponde all'angolo compreso tra il piano del meridiano del punto e il piano del meridiano fondamentale. Nel disegno qui a fianco, si tratta dell'angolo PAO dove A è un punto sull'asse terrestre appartenente al piano

7 Quesiti Pagina 7 di 7 in memoria del prof. E. Zanghì cura dei Prof. A. Scimone, G. Florio, M. T. Ripoli R. Sofia del parallelo di P. La longitudine può essere EST o OVEST a seconda che il punto si trovi a oriente o a occidente del meridiano fondamentale. Essa varia numericamente da (per i punti che si trovano lungo il meridiano fondamentale) a 8, in senso positivo verso OVEST e negativo verso EST. La latitudine geografica (φ) è la distanza angolare di un punto dall'equatore misurata lungo il meridiano che passa per quel punto. Essa corrisponde all'angolo compreso tra la verticale del luogo e il piano dell'equatore. Nel disegno si tratta dell'angolo PCP' dove C è il centro della Terra. Essa varia da +9 (polo nord) a -9 (polo sud). I punti lungo l'equatore hanno latitudine. Vedi anche latitudine astronomica. Sia la longitudine che la latitudine geografiche vengono espresse in gradi e frazioni di grado. I paralleli si possono considerare insiemi di punti sulla superficie terrestre che hanno uguale latitudine e i meridiani insiemi di punti con uguale longitudine. Meridiani e paralleli sono infiniti, ma spesso si usa prendere in considerazioni quelli che distano di un grado l'uno dall'altro. Essi sono detti meridiani di grado e paralleli di grado. Esistono 6 meridiani di grado e 78 paralleli di grado (escludendo i due paralleli ai poli, che sono ridotti ad un punto). La parola meridiano deriva dal latino meridies, perché un meridiano unisce tutti i punti che hanno il mezzogiorno nello stesso momento.