On the properties of the Integral Part of Ample and Big Divisors

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1 FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE FISICHE NATURALI Graduation Thesis in Mathematics by Stefano Urbinati On the properties of the Integral Part of Ample and Big Divisors Sintesi Supervisor Prof. Angelo Felice Lopez The Candidate The Supervisor ACADEMIC YEAR JULY 2007 AMS Classification: primary 14C20; secondary 14E99,14J99 Key Words: Algebraic geometry, Ample divisors, Nef divisors, Big divisors, Integral part.

2 Per secoli gli uomini sono stati incuriositi dall interazione fra l algebra e la geometria. Gli antichi Greci stabilirono un tale collegamento quando inventarono la costruzione con riga-e-compasso per la somma, la differenza, il prodotto, il quoziente e la radice quadrata di lunghezze. Il passo successivo fu l invenzione delle coniche, le prime curve che studiarono completamente, dopo le linee rette e le circonferenze, per risolvere problemi algebrici (intersezione di curve per risolvere equazioni). Oltre ai piani e alle sfere, i Greci inoltre studiarono alcune superfici rivoluzionarie, quali i coni, i cilindri, alcuni tipi di quadriche e perfino i tori. Forse il più grande singolo passo nel collegamento tra l algebra e la geometria è stata l introduzione, da parte di Descartes nel 1637, della geometria Cartesiana (o geometria analitica). Questa ha posto il fondamento matematico per il calcolo e la fisica Newtoniana nella metà successiva del secolo. Durante i primi anni del diciottesimo secolo comincia una nuova era con l introduzione simultanea dei punti all infinito e dei punti immaginari: la geometria ora, per quasi 100 anni, significherà esclusivamente geometria nel piano proiettivo complesso P 2 (C) o nello spazio proiettivo complesso tridimensionale P 3 (C). Dalla geometria proiettiva di Möbius, Plücker e Cayley alla geometria birazionale di Riemann ci sono stati molti differenti approcci alla geometria algebrica. Con Riemann è iniziata una rivoluzione grazie all introduzione delle superfici di Riemann, la prova non-costruttiva di Hilbert del Nullstellensatz nel 1888 è stata un grande segno di innovazione. Recentemente, la scuola che include Weil, Chevalley e Zariski ha rivoluzionato la geometria algebrica staccandosi dal vincolo di lavorare su C, sostituendo C con un campo-base arbitrario. Gli anni 50 trovarono una nuova tempesta in fermento, che si è conclusa nell assorbimento da parte della geometria algebrica di quasi tutta l algebra commutativa e nozioni topologiche quali i fibrati, i fasci e le varie teorie coomologiche. Seguendo un suggerimento di Cartier, A. Grothendieck ha intrapreso intorno al 1957 un programma gigantesco che puntava ad un ampia generalizzazione della geometria algebrica, assorbendo tutti gli sviluppi precedenti, I

3 partendo dalla categoria di tutti gli anelli commutativi (con unità) anziché algebre ridotte finitamente generate su un campo algebricamente chiuso. Parte degli studi moderni è stata interessata alle serie lineari, che sono state a lungo al centro della geometria algebrica. Intorno al 1890, la scuola italiana della geometria algebrica, sotto la direzione di un trio di grandi geometri quali Castelnuovo, Enriques e (successivamente) Severi, ha intrapreso un programma di studio sulle superfici algebriche (e più successivamente di varietà con dimensione più alta) che generalizzano l approccio di Brill- Noether tramite i sistemi lineari: principalmente hanno lavorato con metodi puramente geometrici, quali le proiezioni o le intersezioni delle curve e delle superfici nello spazio proiettivo, con poco uso per quanto possibile dei metodi che appartengono all analisi ed alla topologia, o all algebra astratta. I sistemi di divisori sono stati impiegati classicamente per studiare e definire gli invarianti delle varietà proiettive ed è stato riconosciuto che molte proprietà delle varietà sono legate alle sezioni iperpiane. L immagine classica è stata notevolmente chiarita dalle nuove idee rivoluzionarie che hanno dato vita alla nuova teoria che comincia negli anni 50. Per cominciare, dal grande lavoro di Serre ( Faisceaux algébrique cohérents ), continuando fino al lavoro di Kodaira (i.e. On a differential-geometric method in the theory of analytic staks ), hanno messo a fuoco l importanza dell ampiezza per i fibrati. Verso le metà degli anni 60 era già stata formulata una corposa teoria, che mostrava la possibilità di riconoscere la positività in modo geometrico, coomologico, o numerico. Durante gli stessi anni, Zariski ed altri hanno cominciato a studiare il comportamento più complicato delle serie lineari definita dai fibrati che potevano non essere ampi e la teoria degli Q ed R- divisori (i.e. The theorem of Riemann-Roch for high multiples of an effective divisor on an algebraic surface ). In questo lavoro ci concentreremo sulle varietà algebriche. Definizione Una varietà astratta è uno schema separato integro di II

4 tipo finito su un campo algebricamente chiuso k. Se è proprio su k, inoltre diremo che è completa. Uno dei modi usuali per studiare le proprietà delle varietà algebriche è quello di utilizzare i divisori, Definizione (divisori di Weil). Sia X uno schema integro noetheri- [Def.1.2.2] ano separato tale che ogni anello locale O X,x di X di dimensione 1 è regolare ([Har77]). Un divisore primo su X è uno schema integro chiuso Y di codimensione uno. Un divisore di Weil è un elemento del gruppo abeliano libero WDiv(X) generato dai divisori primi. Scriviamo un divisore come una somma finita D = n i Y i dove gli Y i sono divisori primi e gli n i sono interi. Se ogni n i 0, diciamo che D è effettivo. Similmente ai divisori di Weil considereremo i divisori di Cartier e legheremo queste due definizioni al concetto di fibrato lineare. Denotiamo Div(X) il gruppo di tutti i divisori di Cartier. [Def:1.2.1] Un buon metodo per studiare le varietà algebriche è quello di immergerle, se possibile, in qualche spazio proiettivo P n. Come è ben noto, i morfismi in spazi proiettivi sono dati da fibrati lineari e sezioni scelte opportunamente. Definizione Definiamo un fibrato lineare L su X molto ampio se [Def.2.1.2] esiste un immersione i : X P n per qualche n, tale che L = i (O(1)). L si diceampio se esiste un intero m > 0 tale che L m è molto ampio. Definizione X è una varietà proiettiva se è propria e possiede un fibrato lineare ampio. La parte centrale di questo lavoro è lo studio delle proprietà dell ampiezza per Z, Q ed R-divisori. III

5 Seguendo risultati ben noti, daremo in primo luogo una dimostrazione globale di equivalenza di tutte le caratterizzazioni di ampiezza già esistenti. Prima di enunciare il risultato, introduciamo le seguenti notazioni: V D 1... D n not = (D 1... D k V ) è il numero di intersezione. [Sec.1.3] N 1 (X) = Div(X)/Num(X) è il gruppo di Néron-Severi di X, gruppo [Sec.1.3] delle classi di equivalenza numerica dei divisori su X, dove due divisori D i, D 2 sono numericamente equivalenti se (D 1.C) = (D 2.C) per ogni curva irriducibile C X. NE(X) = { a i [C i ] C i Xcurvairriducibile, a i 0}. [Def.2.3.5] Proposizione (Ampiezza per Z-divisori). Sia D Div(X) un [Pro:2.4.1] divisore di Cartier intero su una varietà normale proiettiva X, e sia O X (D) il fibrato lineare associato (a volte penseremo D un divisore di Weil tramite la canonica corrispondenza (1.2.5)). Le seguenti affermazioni sono equivalenti alla definizione di ampiezza: 1. Esiste un intero positivo m tale che O X (md) è molto ampio; 2. Dato un fascio coerente F su X, esiste un intero positivo m 1 = m 1 (F) avente la proprietà che H i (X, F O X (md)) = 0 i > 0, m m 1 ; 3. Dato un qualsiasi fascio coerente F su X, esiste un intero positivo m 2 = m 2 (F) tale che F O X (md) è globalmente generato m m 2 ; 4. Esiste un intero positivo m 3 tale che O X (md) è molto ampio m m 3 ; 5. Per ogni sottovarietà V X di dimensione positiva, esiste un intero positivo m = m(v ), con una sezione non-nulla 0 s = s V H 0 (V, O V (md)), tale che s si annulla in qualche punto di V ; IV

6 6. Per ogni sottovarietà V X di dimensione positiva, χ(v, O V (md)) + se m + ; 7. (Criterio di Nakai-Moishezon-Kleiman) c 1 (O X (D)) dim(v ) > 0 V per ogni sottovarietà di dimensione positiva V X; 8. (Criterio di Seshadri) Esiste un numero reale ε > 0 tale che (D.C) mult x C ε per ogni punto x X ed ogni curva irriducibile C X passante per x; 9. Sia H un divisore ampio. Esiste un numero positivo ε > 0 tale che per ogni curva irriducibile C X; (D.C) (H.C) ε 10. (Tramite i coni) NE(X) {0} D > Esiste un intorno U di [D] num N 1 (X) R tale che U\{[D] num } Amp(X). Per questioni di positività, è molto utile discutere piccole perturbazioni di divisori dati. Il modo naturale per farlo è attraverso il formalismo degli Q ed R-divisori: Definizione Sia X una varietà algebrica. Un R-divisore di Cartier su X è un elemento dell R-spazio vettoriale Div R (X) def = Div(X) Z R. Equivalentemente D Div R (X) D = c i D i c i R, D i Div(X). V

7 Lo studio di queste nuove classi di divisori è iniziato nella prima parte degli anni 80. Sono fondamentali nello studio birazionale delle varietà algebriche, in particolare per alcuni teoremi di vanishing come il teorema di vanishing di Kawamata e Viehweg ([Laz04b], ) (si noti inoltre che esistono varietà singolari in cui il divisore canonico è un Q-divisore). Il nostro scopo sarà quello di dare una caratterizzazione di ampiezza per queste due nuove classi di divisori, simile a quella per gli Z-divisori, ancora seguendo risultati ben noti. Alcune proprietà della Proposizione (6-11) dipendono solo dalla classe numerica di D ed è ben noto che caratterizzano l ampiezza [Laz04a]. D altra parte, alcune proprietà dei divisori interi che caratterizzano l ampiezza sono collegate al concetto di fibrato lineare associato ad un divisore (1-5 della Proposizione 0.0.5), che è definito soltanto per i divisori interi. Per superare questo problema ci sono diverse possibilità. In questo lavoro abbiamo scelto di sostituire ogni divisore reale con la parte intera ogni qual volta si è dovuto considerare il fibrato lineare associato. Dato un R-divisore a i D i a i R, D i Div(X) divisori primi, definiamo la parte intera di D come [D] = i [ai]di Div(X). Definizione (ampiezza per Q ed i R-divisori). Un Q-divisore D Div Q (X) (rispettivamente R-divisore D Div R (X)) è detto ampio se [Def.2.1.9] può essere scritto come una somma finita D = c i A i dove c i > 0 è un numero razionale positivo (rispettivamente reale) e A i è un divisore di Cartier ampio. VI

8 Uno dei contributi originali di questo lavoro è stato quello di ottenere una caratterizzazione di ampiezza anche quando un Q o R-divisore viene sostituito dalla sua parte intera. Questo è sintetizzato nei seguenti risultati: Proposizione (Ampiezza per i Q-divisori).. Sia D Div Q (X) [Pro:2.6.4] un divisore di Cartier su una varietà normale proiettiva X, e sia O X ([D]) il fibrato lineare associato (a volte penseremo [D] un divisore di Weil tramite la canonica corrispondenza (1.2.5)). Le seguenti affermazioni sono equivalenti alla definizione di ampiezza per Q-divisori: I) Dato un fascio coerente F su X, esiste un intero positivo m 1 = m 1 (F) avente la proprietà che H i (X, F O X ([md])) = 0 i > 0, m m 1 ; II) Dato un qualsiasi fascio coerente F su X, esiste un intero positivo m 2 = m 2 (F) tale che F O X ([md]) è globalmente generato m m 2 ; III) Esiste un intero positivo m 3 tale che O X ([md]) è molto ampio m m 3 ; IV) Per ogni sottovarietà V X di dimensione positiva, esiste un intero positivo m 4 = m 4 (V ), tale che per ogni m m 4 esiste una sezione non-nulla 0 s = s V,m H 0 (V, O V ([md])), tale che s si annulla in qualche punto di V ; V) Per ogni sottovarietà V X di dimensione positiva, χ(v, O V ([md])) + se m + ; VI) (Criterio di Nakai-Moishezon-Kleiman) c 1 (O X (D)) dim(v ) > 0 V per ogni sottovarietà di dimensione positiva V X; VII

9 VII) (Criterio di Seshadri) Esiste un numero reale ε > 0 tale che (D.C) mult x C ε per ogni punto x X ed ogni curva irriducibile C X passante per x; VIII) Sia H un divisore ampio. Esiste un numero positivo ε > 0 tale che per ogni curva irriducibile C X; (D.C) (H.C) ε IX) (Tramite i coni) NE(X) {0} D >0. X) Esiste un intorno U di [D] num N 1 (X) R tale che U\{[D] num } Amp(X). Osservazioni Le equivalenze VI-X con il concetto di ampiezza erano già conosciute, le equivalenze I-V con il concetto del ampiezze sono originali. 2. È facile trovare degli esempi in cui (1) e (5) della Proposizione non valgono se utilizziamo la parte intera. 3. Per estendere proprietà (5) della Proposizione 0.0.5, abbiamo scelto di sostituire l esistenza di m(v ) con m m 4 (V ). Per gli Q-divisori è stato abbastanza facile estendere le proprietà, perché siamo stati aiutati dall esistenza, per un Q-divisore D, di un numero intero k tale che kd Div(X). Su R ci sono serie difficoltà, comunque abbiamo potuto dimostrare le seguenti affermazioni: Proposizione Sia D Div R (X) un divisore di Cartier su una vari- [Pro:2.6.4] età normale proiettiva X, e sia O X ([D]) il fibrato lineare associato (a volte penseremo [D] un divisore di Weil tramite la canonica corrispondenza). Si considerino le seguenti affermazioni: VIII

10 i) Dato un qualsiasi fascio coerente F su X, esiste un intero positivo m 2 = m 2 (F) tale che F O X ([md]) è globalmente generato m m 2 ; ii) (Criterio di Nakai-Moishezon-Kleiman) c 1 (O X (D)) dim(v ) > 0 V per ogni sottovarietà di dimensione positiva V X; iii) (Criterio di Seshadri) Esiste un numero reale ε > 0 tale che (D.C) mult x C ε per ogni punto x X ed ogni curva irriducibile C X passante per x; iv) Sia H un divisore ampio. Esiste un numero positivo ε > 0 tale che per ogni curva irriducibile C X; (D.C) (H.C) ε v) (Tramite i coni) NE(X) {0} D >0. vi) Esiste un intorno U di [D] num N 1 (X) R tale che U\{[D] num } Amp(X). vii) Dato un fascio coerente F su X, esiste un intero positivo m 1 = m 1 (F) avente la proprietà che H i (X, F O X ([md])) = 0 i > 0, m m 1 ; viii) Esiste un intero positivo m 3 tale che O X ([md]) è molto ampio m m 3 ; ix) Per ogni sottovarietà V X di dimensione positiva, esiste un intero positivo m 4 = m 4 (V ), tale che per ogni m m 4 esiste una sezione non-nulla 0 s = s V,m H 0 (V, O V ([md])), tale che s si annulla in qualche punto di V ; IX

11 x) Per ogni sottovarietà V X di dimensione positiva, χ(v, O V ([md])) + se m + ; allora: (i)-(vi) sono equivalenti al concetto di ampiezza per R-divisori. L ampiezza implica ognuno dei (vii)-(x). Osservazioni Rimane un problema aperto l equivalenza di (iii) con ampio, comunque abbiamo potuto dimostrare l equivalenza su una superficie (Osservazione 2.6.3). Le equivalenze (ii)-(vi) con il concetto di ampiezza erano già conosciute, l equivalenza (i) è originale. Il fatto che l ampiezza implica (vii)-(x) è originale. Nel terzo capitolo abbiamo introdotto i divisori big, che hanno svolto un ruolo importante durante gli ultimi venti anni. A volte è molto difficile distinguere un ampio da un divisore big e per questo abbiamo cercato una descrizione dell essere big simile a quella dell ampiezza, ancora sostituendo i divisori con la parte intera quando ci fosse stato il bisogno. Definizione (Big). Un fibrato lineare L su una varietà proiettiva [Def:3.3.1] X è big se κ(x, L ) = dimx. Un divisore D di Cartier su X è big se lo è O X (D). Definizione (Big per R-divisori). Un R-divisore D Div R (X) è [Def.3.3.7] big se può essere scritto nella forma D = a i D i dove ogni D i è un divisore big intero e a i è un numero reale positivo. X

12 Proposizione (R-divisori big). Sia D un R-divisore su una varietà [Pro. proiettiva X. Le seguenti affermazioni sono equivalenti: ] (i) D è big; (ii) Esiste un intero a N tale che ϕ [md] è birazionale per ogni m N(X, D) a ; (iii) ϕ [md] è genericamente finito per qualche m N(X, D); (iv) Per ogni fascio coerente F su X, esiste un intero positivo m = m(f) tale che F O X ([md]) è genericamente globalmente generato, cioè che la mappa naturale H 0 (X, F O X ([md])) C O X F O X ([md]) è genericamente suriettiva; (v) Per ogni R-divisore ampio A su X, esiste un R-divisore effettivo N tale che D num A + N; (vi) Come in (v) per qualche R-divisore ampio A; La sezione 3.4 è una descrizione della teoria dei coni di divisori big. In particolare questi divisori saranno utilizzati per dimostrare il criterio di Nakai-Moishezon per R-divisori. L ultima sezione è un introduzione molto rapida alla teoria del volume, che è il naturale sviluppo di questo lavoro: un nuovo invariante birazionale per lo studio di varietà algebriche. Definizione Sia X una varietà proiettiva irriducibile di dimensione [Def.3.5.1] n, e sia L un fibrato lineare su X. Il volume di L è definito come in numero reale non-negativo vol(l ) = vol X (L ) = lim sup m h 0 (X, L m ). n n /n! Il volume vol(d) = vol X (D) di un divisore di Cartier D è definito come il volume del fibrato lineare associato O X (D). XI

13 Bibliografia [Bea96] Arnaud Beauville. Complex algebraic surfaces, volume 34 of London Mathematical Society Student Texts. Cambridge University Press, Cambridge, second edition, Translated from the 1978 French original by R. Barlow, with assistance from N. I. Shepherd-Barron and M. Reid. [CCP05] Frederic Campana, Jungkai A. Chen, and Thomas Peternell. Strictly nef divisors, [CP90] [Die72] Frédéric Campana and Thomas Peternell. Algebraicity of the ample cone of projective varieties. J. Reine Angew. Math., 407: , J. Dieudonné. The historical development of algebraic geometry. Amer. Math. Monthly, 79: , [Har70] Robin Hartshorne. Ample subvarieties of algebraic varieties. Notes written in collaboration with C. Musili. Lecture Notes in Mathematics, Vol Springer-Verlag, Berlin, [Har77] Robin Hartshorne. Algebraic geometry. Springer-Verlag, New York, Graduate Texts in Mathematics, No. 52. [Ken83] Keith M. Kendig. Algebra, geometry, and algebraic geometry: some interconnections. Amer. Math. Monthly, 90(3): , XII

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