Elaborazione dei Segnali Proff. Marina Ruggieri, Ernestina Cianca

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1 a.a. 2005/2006 Università di Roma Tor Vergata Dipartimento di Ingegneria Elettronica Benvenuti al al modulo di: di: Elaborazione dei Segnali Proff. Marina Ruggieri, Ernestina Cianca

2 Informazioni generali (1/3) Ricevimento: Ruggieri: Giovedi ore Cianca: Martedi, a prova in itinere: 20 Aprile 2006 Recupero prova in itinere: 27 Aprile 2006 Appello scritto + colloqui orali: 9 Maggio 2005 Colloqui orali bis: 12 Maggio 2005

3 Informazioni generali (2/3) Testo di Teoria: A. V. Oppenheim R. W. Schafer Benedetto, E. Biglieri: Discrete-Time Signal Processing Prentice Hall, 1989 Testo di Esercizi M. Ruggieri-M. Luglio M. Pratesi Digital Signal Processing: Exercices and Applications Aracne, 2004 Altro materiale didattico: Dispense ed esercizi a cura dei docenti

4 Concetti base: segnali digitali egnali: I dati sperimentali che rappresentano un fenomeno fisico sono hiamati segnali. Es.: fluttuazioni della temperatura in una stanza in funzione del empo, variazioni di pressione in un punto di un campo acustico. Il fenomeno fisico rilevato da un trasduttore e trasformato in na grandezza elettrica opportuna si presenta di solito come egnale continuo (o analogico) in funzione del tempo.

5 Concetti base: segnali digitali egnali Digitali: n molti casi i segnali possono assumere una rappresentazione iscreta, o per motivi inerenti al fenomeno stesso o per qualche rocedimento di campionamento. In questo caso i segnali sono aratterizzati da una sequenza di punti (numeri). ttenzione: non e detto che la variabile indipendente sia il empo, potrebbe essere il profilo di una strada e quindi la ariabile e la distanza.

6 Sistemi Un sistema e un entità che manipola uno o più segnali per svolgere una funzione e quindi tirare fuori altri segnali ingresso sistema uscita Es.: sistema di controllo dell atterraggio di un aereo Ingresso: posizione dell aereo relativamente alla pista Sistema: aereo Uscita: correzione laterale alla posizione dell aereo Obiettivo: tenere l aereo parallelo alla pista d atterraggio

7 Operazioni base sui segnali Operazioni sulla variabile dipendente Amplificazione/attenuazione dell ampiezza y(t)=cx(t) Esempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione: amplificatore elettronico, un resistore Addizione y(t)=x 1 (t)+ x 2 (t) Esempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione: operazionale Moltiplicazione y(t)=x 1 (t)x 2 (t) Esempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione: modulatore d ampiezza

8 Operazioni base sui segnali Operazioni sulla variabile dipendente erivazione: sempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione: induttore ntegrazione: d y ( t) = x( t) dt d v ( t) = L i( t) dt y( t) = t x(τ ) dτ sempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione: seguente circuito on condensatore. v( t) = 1 C t i(τ ) dτ

9 Operazioni base sui segnali Operazioni sulla variabile indipendente spansione/compressione temporale: y(t)=x(at) x(t) x(2t) x(t/2) /2 1/2-2 iflessione: y(t)=x(-t) x(t) x(-t) -a b -b a raslazione temporale: y(t)=x(t-t 0 )

10 Elaborazione del segnale digitale o analogica? elaborazione del segnale può essere implementata in due odi: Analogica o tempo continua: uso di elementi circuitali analogici come resistenze, capacità, induttori, transistor, amplificatori, diodi Digitale o tempo discreta: Digitale o tempo discreta: uso di sommatori e moltiplicatori (per operazioni artimetiche) e di elementi di memoria per immagazzinare i dati (questi tre sono gli elementi base degli elaboratori digitali)

11 Elaborazione del segnale digitale o analogica? DIGITALE ANALOGICA mpo reale essibilità ipetibilità Dipendente dal tempo necessario per svolgere le operazioni richieste Lo stesso dispositivo digitale (HW) può essere usato per realizzare diverse operazioni di elaborazione del segnale, semplicemente cambiando il programma SW Una prescritta elaborazione del segnale può essere realizzata più volte uguale a se stessa (es. controllo di un robot). garantito Il sistema deve essere riprogettato ogni volta che le specifiche per l elaborazione cambiano I sistemi analogici sono sensibili alle variazioni di parametri come la tensione di alimentazione o la temperatura della stanza, rendendo impossibile la ripetibilità di una prescritta elaborazione

12 elaborazione digitale ieri: Elaborazione del segnale digitale o analogica? principale svantaggio dell elaborazione digitale era il fatto che comporta na complessità circuitale maggiore e quindi, in passato, un costo aggiore. elaborazione digitale oggi: a crescente disponibilità di circuiti VLSI, nella forma di chip di silicio, ha so l elaborazione digitale relativamente economica e quindi i risultati laboratori digitale hanno prezzi competitivi con la controparte analogica. La scelta tra analogico e digitale può essere determinata solo all applicazione specifica, le risorse disponibili, il costo complessivo. Gran parte dei sistemi oggi hanno una parte digitale ed una parte analogica.

13 SEQUENZE E SISTEMI DISCRETI Marina Ruggieri, Modulo di Elaborazione Numerica dei Segnali 1, a.a. 2004/2005

14 Sequenze esempio x(n): indica la sequenza oppure il valore n-simo di essa x(n) non e definita per valori di n non interi interpretazione temporale di x(n): x(t) t=nt con T=quanto temporale

15 Energia e Potenza di una sequenza ENERGIA Sequenza e di energia se ε s non e infinita POTENZA attenzione all origine! Sequenza e di potenza se e solo 0 < P s < Sequenza e di potenza e periodica attenzione al numero di punti!

16 Impulso discreto (unitario) Esempi e una sequenza di energia Gradino discreto (unitario) e una sequenza di potenza Esponenziale discreto

17 Traslazione di una sequenza

18 Proprietà dei sistemi discreti INEARITA ENERGIA n) a 1 x 1 (n) T a 1 n) a 2 T y 1 (n) x 2 (n) T a 2 n) a 3 x 3 (n) T a 3 Se y 1 (n)= y 2 (n),t descrive un sistema lineare

19 Proprietà dei sistemi discreti varianza alla traslazione Fisicamente: le caratteristiche del sistema non cambiano nel tempo

20 Esempio: meccanica delle vibrazioni tudio delle vibrazioni tratta ogni oscillazione di una grandezza intorno ad una osizione di equilibrio. a forma piu semplice di oscillazione e il moto armonico che puo essere i t escritto da un vettore rotante che si ripete ad uguali intervalli di tempo. sempio di sistema oscillante: ig. 1 Ae ω m x assa m che può traslare in una sola direzione x, legata ad una molla di gidezza k.

21 Esempio: meccanica delle vibrazioni a molla applica alla massa una forza di richiamo proporzionale allo ostamento e l equazione fondamentale della dinamica si scrive: F 2 d x = m = mx & 2 dt = kx (*) esta equazione differenziale del secondo ordine, risolta, definisce il moto di x Moto di x = uscita del sistema oscillante Ingresso del sistema = eventuale forza esterna applicata quazione differenziale (*) suppone che non ci sia una forza esterna eccitante lvo all inizio del fenomeno (perturbazione iniziale). La soluzione rappresenta siddette oscillazioni libere del sistema, dovute solo all azione di forze inerenti tema e non esterne ad esso

22 Esempio: meccanica delle vibrazioni efinendo w n = k/m, l equazione precedente ha la seguente oluzione: x( t) = Asin ω t + n B cos ω n t on A e B determinate dalle condiziono iniziali (t=0). e oscillazioni del sistema sono oscillazioni armoniche con equenza w n che prende il nome di pulsazione propria o naturale el sistema.

23 scillazioni smorzate Esempio: meccanica delle vibrazioni. 2 m x m && x + cx& + kx = 0 Elemento smorzante smorzamento viscoso R ( x) = cx&

24 Esempio: meccanica delle vibrazioni n molti casi pratici le azioni eccitanti sono invece continuamente pplicate ed interessa allora conoscere la legge del moto queste ondizioni di oscillazioni forzate. i consideri il sistema di Fig.2, a cui venga applicata alla massa una forza variabile con il tempo F(t). equazione differenziale del moto diventa: m && x + cx& + kx = F (t) o studio della risposta ad una eccitazione arbitraria può essere ttenuto considerando la forza eccitante costituita da un insieme i impulsi elementari. orza impulsiva che agisce nell istante t=a e cosi definita: F ( t) = F0δ ( t a)

25 Esempio: meccanica delle vibrazioni mpulso di Dirac puo essere considerato come il caso limite di un resso ad ampiezza finita, applicato per t finito, tale che F 0 t=1. inuendo t tale che rimanga F 0 t=1, l impulso termina prima che il tema si sia mosso sensibilmente, ma si raggiunge una notevole locita! Per t 0 il sistema non ha tempo di spostarsi quindi x 0 e quazione diventa: olvendo si ottiene: m && x + cx& = mv& + cv = v = F m 0 ( c / m ) t uindi, il sistema risponde all impulso con condizioni iniziali: x(0) x& (0) = = 0 v e 0 = F0 m F 0

26 Esempio: meccanica delle vibrazioni on queste condizioni iniziali e definendo il fattore di morzamento: c δ = 2 km a soluzione diventa: F0 δω n t 2 x( t) = e sin( 1 δ ω t) F0h( t) 2 n = mω 1 δ n Risposta impulsiva del sistema

27 Esempio: meccanica delle vibrazioni r un sistema lineare a parametri costanti nel tempo (come quello ll esempio), la risposta stazionaria a una forza qualsiasi F(t) e enibile come prodotto di convoluzione o prodotto convolutorio lla forza F(t) e la risposta impulsiva del sistema: x( t) t = F ( τ ) h( t τ ) dτ = 0 F ( t) h( t)

28 Proprietà dei sistemi discreti Sistema Lineare E Invariante alla Traslazione (LTI = Linear and Time Invariant) ) La risposta del sistema è additiva e omogenea: vale cioe il principio di sovrapposizione e inoltre la risposta ad una eccitazione per una costante è pari alla costante per la risposta alla sola sollecitazione ) Proprietà base dei sistemi LTI: le caratteristiche dinamiche del sistema possono essere descritte dalla risposta impulsiva h(t)

29 Proprietà dei sistemi discreti STABILITA CAUSALITA' MEMORIA

30 Esempio di convoluzione discreta (1/3) ema LIT con x(n) rettangolare di durata N e : Sequenze di partenza: x(n) e ribaltamento di h(n) Traslazioni di h(-n)=h(0 n)=h(0-n)

31 Esempio di convoluzione discreta (2/3) per n < 0 : h(n - k) e x(k) non hanno campioni non nulli che si sovrappongono y(n) = 0 per 0 n < N : h(n - k) e x(k) hanno valori non nulli che si sovrappongono da k=0 a k per n per n > N - 1 : i valori non nulli di h(n - k) e x(k) che si sovrappongono si estendono k= 0 a k = N - 1

32 Esempio di convoluzione discreta (3/3) IL RISULTATO FINALE DELL ESEMPIO DI CONVOLUZIONE E, DUNQUE: Zona 2 Zona 3 Zona 1

33 Esempi sulle proprieta dei sistemi ESEMPIO SU CAUSALITA E STABILITA

34 Esempi sulle proprieta dei sistemi ESEMPI SULLA MEMORIA

35 UN MODELLO PER SISTEMI DISCRETI odello (equazione alle differenze a coefficienti costanti di ordine N) si applica istemi LIT che supporremo anche causali e, dunque, in forma esplicita diven n.mo valore di uscita e calcolabile da: 1) n.mo valore ingresso; 2) M valori recedenti d ingresso; 3) N valori precedenti d uscita.

36 UN MODELLO PER SISTEMI DISCRETI Se nel modello si pone N=0: cioe y(n) e dato dalla convoluzione discreta tra x(n) e: di durata finita pari a M+1.

37 CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI DISCRETI LIT I sistemi LIT possono essere: 1. FIR (Finite Impulse Response), con risposta all impulso (di durata) finita. N.B. se N=0 nel modello, il sistema e FIR 2. IIR (Infinite Impulse Response), con risposta all impulso (di durata) infinita. N.B. se N 0 N 0 nel modello, il sistema e IIR Questa e una classificazione molto importante ai fini progettuali.