Induzione elettromagnetica F i s i c a S p e r i m e n t a l e c. d. l. C h i m i c a

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1 Induzione elettromagnetica F i s i c a S p e r i m e n t a l e c. d. l. C h i m i c a I I

2 Campi elettrici Moti di cariche Campi magnetici Domanda: Meccanismi inversi sono possibili? Campi magnetici Campi elettrici

3 Faraday 1840 Calamita scintillante di Nobili È formata da una base di legno sulla quale si trova una calamita a ferro di cavallo. Un braccio mobile di ottone con manico di mogano reca una rudimentale bobina con contatti formati da lamine flessibili. Quando il circuito formato dalla calamita e dalle lamine viene interrotto, o prontamente ristabilito da un rapido movimento oscillatorio della bobina, si produce un minuscola scintilla elettrica tra le lamine e la calamita stessa. Torcia perpetua di Faraday

4 Questi esempi seguono la regola generale: Effetti elettrici si hanno in risposta a qualche cosa che si muove circuito chiuso su di un galvanometro Questa parte del circuito, sospesa tramite ponticelli, può oscillare ' I Solenoide movibile Circuito percorso da corrente Resistore per variare la corrente Normalmente il galvanometro non segna passaggio di corrente

5 Il galvanometro segnerà passaggio di corrente se: 1 si fa oscillare il tratto di filo sospeso tra i ponticelli ' si muove il solenoide sottostante il filo sospeso 3 si lascia tutto fermo, ma, agendo sul resistore, si varia il valore della corrente I

6 Primo caso: si fa oscillare il tratto di filo sospeso tra i ponticelli Il passaggio della corrente è ovvia conseguenza della forza di Lorentz F = qv B avrà in generale componenti lungo il filo Verrà fatto lavoro sulle cariche e si genererà quindi una corrente nel filo che dipenderà, istante per istante dalla velocità del conduttore Prima di proseguire, dobbiamo introdurre una grandezza fisica, che risponda alla domanda:

7 Quanto vale l energia trasferita, per unità di tempo, al sistema di cariche? W = q vd v f B q v f vd B = 0 Wm = q v f vd B = q vd v f B Wtrasferita = q vd v f B Considerando le cariche contenute in un elemento di filo: Wtrasferita S J dl = q vd v f B = n S dl q vd v f B = qv f B q Wtrasferita i dl 1 = qv f B = i dl Ff q q Integrando lungo tutto il circuito, avremo quindi: Wtrasferita 1 =i Ff dl qγ

8 Wtrasferita 1 =i Ff dl è espressa come il prodotto di due termini qγ La corrente i interessante il circuito Un integrale di linea della componente della forza di Lorentz derivante dal moto del circuito Forza elettromotrice: Wtrasferita = i ε 1 ε = Ff dl = v f B dl qγ Γ Unità di misura: Volt

9 Nel primo caso, vale una semplice relazione " A Valutiamo la forza elettromotrice V deriva dalla scelta del senso di percorrenza X ε = Γ dx v f B dl = v B a = B a contribuisce solo la parte mobile Od anche: d B ax d ε= = ΦS B In generale, quando i circuiti si deformano, o si muovono si ha sempre che: d ε = ΦS B Legge di Faraday

10 In condizioni di equilibrio dinamico, l energia fornita ci verrà restituita sotto forma di calore Wtrasferita d = i ε = i Φ S B = i R ε 1 d i= = ΦS B R R " A V X Nel caso considerato, il flusso aumenta e quindi il valore della corrente è negativo. Cosa significa una corrente negativa? Vale una regola generale:

11 La corrente, innescata dalla variazione del flusso del campo magnetico, circola sempre in modo tale che il flusso del campo da essa prodotto sia di segno opposto alla variazione Matematicamente, questo è dovuto al segno - presente nell espressione della forza elettromotrice " A I I V X d ε = ΦS B Legge di Lentz Legge di Faraday

12 Secondo caso: il ponticello è fermo, ma si muove il circuito che genera il campo " " A I I X V I A I I X I V Caso 1 Caso Fisicamente parlando, per il principio di relatività, le due situazioni fisiche debbono produrre un identico valore della corrente nel circuito contenente il ponticello Quindi: il valore numerico della forza elettromotrice deve essere lo stesso

13 Questa previsione è sperimentalmente verificata! ε1 = ε Dal punto di vista matematico, la variazione del flusso dipende dalla velocità relativa tra ponticello e solenoide d d ΦS B = ΦS B 1 Sperimentalmente, vale ancora: d ε = ΦS B

14 1 ε = Ff dl = v f B dl qγ Γ Ma come può essere se: e la velocità del filo è nulla? Si capisce che siamo di fronte a qualche cosa di nuovo! In generale la funzione integranda deve contenere un altro termine, che è nullo quando il circuito che genera il campo è fermo Ricordando che: Scriveremo quindi F = q E + v B ε = Γ E + v f B dl

15 Lo chiamiamo campo elettrico ma non campo elettrostatico ε = Γ E + v f B dl La relazione Lo abbiamo introdotto, ma a cosa è dovuto? d ε = E + v f B dl = Φ S B Γ ci fornisce la risposta Nel presente caso infatti: d Γ E dl = ΦS B

16 ora: E dl = Γ per cui: E n ds = Φ S E S S d db E n ds = B n ds = n ds S S questo è possibile solo se: db E = che è una generalizzazione della seconda equazione dell elettrostatica Esistono quindi due sorgenti del campo elettrico 1Le cariche elettriche Le variazioni nel tempo dei campi magnetici

17 Terzo caso: i circuiti sono fermi ma varia la corrente nel solenoide ' I Se varia la corrente nel solenoide, il campo magnetico varia e si avrà quindi una forza elettromotrice diversa da zero, responsabile dell insorgere della corrente nell altro circuito db E =

18 Riepilogando: all origine della legge: d ε = ΦS B si trovano due fenomeni fisici diversi 1 Forza di Lorentz Necessita della presenza di circuiti L instaurarsi di campi elettrici dovuti a variazioni temporali dei campi magnetici Si instaurano nello spazio, indipendentemente dalla presenza di cariche su cui agire Il fatto che i due fenomeni diano luogo ad una identica legge costituisce una verifica del Principio di Relatività

19 Una nota: La legge per circuiti che si muovono è formalmente identica a quella che descrive l insorgere di campi elettrici solo se si può trascurare la sezione del circuito Quindi attenzione! Una conseguenza della db E = Se il rotore del campo elettrico non è nullo, sembra saltare il concetto di potenziale elettrico! È un punto su cui dover tornare!

20 Alcune applicazioni della legge di Faraday Generatore di tensione e di corrente alternata

21 b v B = Ω Bsin π φ k ε = v B dl Z A B " V V F X Y b v B = Ω Bsin φ k Dipende dal tempo tramite una funzione seno ed è caratterizzata da una frequenza pari a quella di rotazione numero delle spire b ε t = v B dl = N Ω Bsin φ a = NΩabBsin φ = ε 0 sin Ωt ε 0 = NΩabB Quale è l effetto delle forze che stanno alla base dell insorgere della forza elettromotrice?

22 Supponiamo che il circuito della bobina sia aperto e che i contatti siano connessi ad uno strumento in grado di misurare differenze di potenziale elettrico Le forze, valutate ad un determinato istante, spingeranno in una direzione, lungo il filo i portatori Dato che il circuito è aperto, questo produrrà un accumulo di carica alle estremità del filo Istante per istante avremo quindi, nel filo: E t = v t B E quindi una d.d.p. segnata dallo strumento ΔΦ = E t dl = v t B dl = ε t Γ Γ Nota: se il generatore è sconnesso, le correnti sono infinitesime e quindi è corretto parlare di potenziale elettrico

23 Come si può misurare la forza elettromotrice? Semplicemente misurando la d.d.p. a circuito aperto Se invece i terminali sono chiusi su di una resistenza di grosso valore Li cariche, spinte su di un terminale dalla forza di Lorentz, avranno modo di portarsi all esterno, sulla resistenza... Si produrrà una corrente interessante il circuito BT t = B + Bi t Se: Bi t << B allora ε 0 sin Ωt it = i0 sin Ωt R

24 L energia estratta per unità di tempo uguaglia il valore della forza elettromotrice Dal lavoro che dobbiamo fare per mantenere in rotazione l avvolgimento Da dove proviene? Infatti: dl = M ext dθ = τ dθ = µ B Ω W = µ B Ω = N ab it Bsin Ωt Ω = itε t che è uguale alla potenza erogata

25 Coefficienti di mutua ed auto induzione E d ε t = B1 n ds S! Nel circuito si genererà una forza elettromotrice, legata al valore, dipendente dal tempo, della corrente che circola sul circuito 1 ora: d d d ε t = B1 n ds = A1 n ds = A1 dl S S Γ dove: A1 = 1 4πε 0 c Γ1 i1 dl1 r1,

26 Quindi: 1 d i1 ε t = dl1 dl 4πε 0 c Γ Γ1 r1, L unica grandezza che dipende dal tempo è la corrente 1 ε t = 4πε 0 c dl1 dl d d i = M i1 1, Γ Γ r1, 1 1 Coefficiente di mutua induzione M 1, 1 dl1 dl = 4πε 0 c Γ Γ 1 r1, Può essere sia positivo che negativo È simmetrico nello scambio degli indici

27 Coefficiente di mutua induzione positivo " M 1, 1 dl1 dl = 4πε 0 c Γ Γ 1 r1, Un coeff. positivo significa forza elettromotrice negativa quando le correnti aumentano ed infatti: ε t = M 1, d ε t = B1 n ds S Coefficiente di mutua induzione negativo " Un coeff. negativo significa forza elettromotrice positiva quando le correnti aumentano d i1

28 Non vi è alcun motivo per cui i due circuiti debbano essere necessariamente distinti: Una forza elettromotrice si genera anche nel circuito 1 Coefficiente di Auto Induzione 1 dl1 dl L1 = 4πε 0 c Γ 1 Γ 1 r1, Omessi gli indici in quanto simmetrici nello scambio d d ε1 t = L1 i1 M i d d ε t = M i1 L i È sempre positivo Scritto in questo modo l integrale diverge, occorre non trascurare la sezione del filo In generale, se entrambi i circuiti sono interessati da corrente variabile nel tempo

29 Il coefficiente di autoinduzione è una caratteristica dell intero circuito Tuttavia può essere che al suo valore contribuisca, in pratica, solo una piccola parte di esso Visivamente: filo avvolto strettamente una spira sull altra L elemento di circuito prende il nome di Induttanza Unità di misura: Henry In pratica si usano i sottomultipli: mh, nh

30 Nei casi di simmetria elevata, per valutare i coefficienti di mutua ed auto induzione si usa direttamente la d d ε t = M 1, i1 = B1 n ds S M 1, d B1 n ds S d = = B1 n ds d di1 S i1 ed analoga per L Es: solenoide B= 1 in ε0c volume occupato dal solenoide d d L = B n ds = i n ds = Sln = V n di S di S ε 0 c ε0c ε0c

31 Consideriamo il circuito 3 E Partendo dalla posizione indicata, portiamo su il commutatore, I 3 E, una corrente i inizierà a fluire nel circuito Percorrendo la maglia e sommando tutte le d.d.p. incontrate: di ε ir L = 0 ε R it = 1 exp t R L

32 Dopo aver atteso un tempo T tale che: it = I riportiamo il commutatore su 1 3 la corrente dovrà continuare a fluire, sostenuta dalla f.e.m. generata nella induttanza ε R ε 1 exp t R L R E, ir L x= R R t ; y= i L ε di =0 ε R it exp t T R L

33 Cosa si può dire delle d.d.p. ai capi della resistenza e della induttanza? Ai capi della resistenza: segue l andamento della corrente Ai capi dell induttanza: ε L = L ε L = L di R = ε exp t per t < T L di R = ε exp t T per t < T L

34 Serie e parallelo di induttanze Serie: ε ir L1 di di L = 0 Leq = L1 + L I Parallelo: Prima maglia: ε ir L1 Seconda maglia: ε ir L di1 =0 3 I E,, di =0 Conservazione della carica elettrica i = i1 + i I ε ir Identiche relazioni che per le resistenze. Con una differenza: Perché siano valide le induttanze devono essere lontane tra loro L1 L di =0 L1 + L L1 L Leq = L1 + L Si sommano gli inversi

35 Energia associata ad un sistema di correnti Riprendiamo le equazioni: I 3 di ε ir L = 0 E, I 3 ir L di =0 E, Moltiplicandole per il valore della corrente otteniamo: di εi = i R + L i di i R = L i

36 εi = i R + L i Consideriamo la prima: Energia al secondo immessa nel sistema di Energia, al secondo, persa Energia, al secondo, restituita sotto forma di calore In totale: i 1 di Em = L i = L i di = L i 0 0 Questa energia è definitivamente persa? La risposta è negativa infatti nella seconda fase, si sviluppa calore nella resistenza nonostante che la batteria sia sconnessa Dalla: di i R = L i otteniamo 0 1 di Ea = L i = L i di = L i 0 i

37 In generale osserviamo che: Quando le correnti aumentano, l energia immessa è maggiore di quella restituita per effetto Joule Quando le correnti diminuiscono, l energia immessa è minore di quella restituita per effetto Joule Riportando le correnti ad identici valori di quelli iniziali, l energia complessivamente fornita è uguale a quella complessivamente restituita Quindi: non processi che violano le leggi di conservazione ma la presenza di una nuova forma di energia potenziale

38 Quale ne sarà il contenitore? Valutiamo il lavoro che dovremo compiere per costruire un dato sistema di correnti Situazione di partenza: tanti circuiti posti all infinito ed infinitamente distanti tra loro. Il circuito è sostituito da una maglia di circuiti infinitesimi Lavoro per portare in posizione il generico circuito infinitesimo: Campo magnetico dovuto ai circuiti già portati in posizione Li = B ii n ds Si Superficie generica avente per contorno il circuito Momento dipolare magnetico associato a ciascuna maglia

39 Li = B ii n ds = ii A n ds = ii A dli ora: Si ricordando che: ii = Si J da i L= i Espressione con vincoli identici a quelli trovati in elettrostatica Li = A J i dv = sez e quindi: Vi A j Ji dv = U j, j <i V 1 U = A J dv V Formalmente analoga alla: U = 1 Φ ρ dv V Γi A j Ji dv j, j <i Vi

40 1 U = A J dv V ci permette di valutare l energia, ma non ci dice dove essa possa essere localizzata volume sufficientemente grande da contenere tutte le correnti 1 B= J ε0c 1 ε 0c U = A J dv = A B dv V V Se il sistema di correnti è contenuto in un volume finito, e quindi potenziali e campi si annullano all infinito, vale che: A B dv = B A dv come si verifica esplicitando le varie componenti del rotore del campo magnetico ed integrando per parti tutti i termini ricavati ε 0c ε 0c ε 0c U= A B dv = B A dv = B dv

41 Quindi: ε 0c Um = B dv ε 0c um = B in perfetta analogia con le: ε U e = 0 E dv ε0 ue = E

42 Coeff. di Autoinduzione ed energia del campo magnetico Si era scritto: ε 0c Um = B dv i 1 di Em = L i = L i di = L i 0 0 ε 0c L = B dv i 1 ε 0c Li = B dv Quindi: In un solenoide il campo è solo all interno B= 1 Ni 1 in ε 0 c π R ε 0 c volume occupato dal solenoide ε0c L= i ε0c 1 n B dv = i ε 0 c i n V = ε 0 c V come già visto.

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