Anno scolastico Istituto Statale Sandro Pertini Esperienze capacitive

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1 Anno scolastico Istituto Statale Sandro Pertini Esperienze capacitive Gruppo di lavoro: Angela Berto Enrica Butini Emma De Matteis Maria Vittoria Giaume Gabriella Sanguineti

2 Sommario Sommario...1 Premesse... La teoria...4 La pratica con il cronometro...9 La pratica con un sistema di acquisizione on line...4 Una variante alle precedenti esperienze...7 La carica e la scarica del condensatore in sequenza...30 Una semplice analogia...37 Considerazioni energetiche in un circuito R-C...39 Bibliografia e sitografia

3 Premesse Se si guarda indietro nella Storia della Fisica si scopre che lo studio di questa disciplina nasce essenzialmente in risposta ad esigenze pratiche, dal bisogno di comprendere perché succedano le cose, perché gli oggetti cadano, perché il cielo sia azzurro, perché il fuoco bruci, ecc. Nel tempo questa disciplina ha, a tal punto, ampliato il suo ambito di studio da investire campi che, a prima vista, nulla hanno in comune fra loro (si pensi, per esempio, alle applicazioni in Astrofisica, da un lato, e in Fisica Medica, dall altro), ma che si intrecciano sulla base di principi comuni, capaci di offrire innumerevoli spunti di discussione e di approfondimento. In corrispondenza all ampliamento dei campi di interesse della Fisica, anche le funzioni educative di questa disciplina hanno conosciuto una forte crescita e, attualmente, si esplicano in vari ambiti, da quello più strettamente culturale a quello sociale e relazionale. Non è possibile descrivere in poche righe tutte le funzioni educative della fisica, ma è bene richiamarne alcune legate all utilizzo del laboratorio. Prima di tutto è importante stimolare nello studente la capacità di cogliere i collegamenti fra le leggi o gli esperimenti che studia in classe e la realtà quotidiana di ogni giorno e, quindi, in senso molto più generale, il nesso profondo fra scuola e vita. In effetti, non c è argomento di Fisica classica che, in una forma o nell altra, non tocchi o non abbia toccato gli studenti da vicino, per esempio, quando osservano il tramonto, quando guardano una sorgente di luce, quando ascoltano musica. La Fisica permette loro di inserirsi meglio negli eventi di ogni giorno, arricchendo il piacere della contemplazione estetica con quello della comprensione intellettuale. Un compito fondamentale dell insegnante è appunto quello di fare in modo che lo studente prenda contatto concretamente con i problemi e i temi tipici della disciplina, per evitare il pericolo sempre presente che una trattazione teorica sviluppata solo sui libri di testo perda, nella mente degli studenti, il contatto col mondo reale che quella teoria cerca di interpretare. Gli studenti hanno bisogno di sperimentare con gli oggetti del mondo di tutti i giorni. E, quindi, molto importante agevolare la costruzione di quello che Bruner chiamava ponte fra scuola e vita. Il laboratorio di Fisica ha un ruolo fondamentale per lo sviluppo del connubio tra sapere e saper fare in quanto, attraverso gli esperimenti, gli studenti imparano a concretizzare i principi teorici studiati. Inoltre, l utilizzo del laboratorio di Fisica aiuta la classe a costituirsi come gruppo perché promuove la capacità di relazione fra gli studenti e stimola lo sviluppo di atteggiamenti di solidarietà, di confronto e di collaborazione fra i membri dello stesso gruppo o fra un gruppo di lavoro e l altro. In laboratorio gli studenti imparano a riflettere criticamente su ciò che osservano, ad interpretare e a problematizzare ciò che vedono, a dialogare e a discutere con gli altri, a mettersi in discussione avanzando ipotesi, a confrontarsi con i compagni e con l insegnante, ad accogliere o a respingere i suggerimenti degli altri motivando di volta in volta le loro scelte, ad esporre con coraggio le loro perplessità senza timore di essere presi in giro. Il laboratorio educa, quindi, all ascolto e all apertura mentale, sviluppa la capacità di concentrarsi, di analizzare i problemi sotto più punti di vista; insegna a prendere l iniziativa, ad imparare a rischiare, ad imparare a fare a meno del docente e, quindi, a lavorare in maniera autonoma. La realizzazione pratica degli esperimenti promuove negli studenti la capacità di operare in maniera ordinata e precisa, prestando la dovuta attenzione ai dettagli; l interpretazione dei risultati sviluppa la capacità di ragionare e il senso logico; la presentazione dell esperienza ai compagni insegna ad utilizzare un linguaggio rigoroso. In questo lavoro, sono descritte delle esperienze realizzate in laboratorio con l utilizzo di condensatori. Diversamente dagli esperimenti in corrente continua o in corrente alternata con componenti solo resistivi, che sostanzialmente si riducono a banali applicazioni della legge di Ohm, gli esperimenti con condensatori non sono sempre di semplice esecuzione. Per esempio, nel caso dei processi di carica e scarica di un condensatore in un circuito R-C, se si sceglie una coppia resistenza-capacità con una costante di tempo abbastanza lunga (alcuni secondi), tale da poter essere agevolmente misurata leggendo manualmente la tensione durante il processo, sorgono difficoltà o per il fatto che i condensatori di grande capacità (decine o centinaia di µf) sono

4 elettrolitici (e quindi sensibili al valore della tensione di polarizzazione e richiedono attenzione con il segno della polarità), o per il fatto che valori troppo elevati della resistenza (centinaia di kω) rendono non sempre trascurabile l impedenza di ingresso del voltmetro utilizzato. Se, invece, la costante di tempo è piccola, il processo di carica/scarica avviene assai rapidamente e lo strumento che, tradizionalmente, si deve usare è l oscilloscopio. Purtroppo, a meno di usare un costoso oscilloscopio digitale, in questo modo non si possono analizzare i dati con comodità anche in tempi successivi all esecuzione dell esperimento. Il sistema on line della Pasco Scientific risolve il problema: infatti, risulta particolarmente utile proprio quando i fenomeni da analizzare sono rapidi, in quanto consente di acquisire dati a frequenza di campionamento relativamente alta (qualche khz) per brevi intervalli di tempo a partire da un istante che può essere opportunamente scelto mediante l uso di un trigger. Queste caratteristiche possono semplificare la scelta dei componenti e dell apparato sperimentale, permettendo agli studenti un analisi dei dati più attenta e rigorosa. 3

5 La teoria Finché si considerano circuiti comprendenti un generatore di forza elettromotrice costante ed una o più resistenze, l intensità di corrente che percorre tali circuiti non muta nel tempo. Nel momento in cui, però, si introduce anche la capacità come elemento di circuito, l intensità di corrente diventa variabile nel tempo. Da un punto di vista qualitativo, si può osservare che, collegando le armature di un condensatore ai poli di un generatore, si produce un movimento di cariche dal generatore verso le armature e, quindi, anche una corrente variabile nel tempo, in quanto con il moto delle cariche si genera una differenza di potenziale tra le armature che ostacola il successivo afflusso di cariche. Allorché il condensatore è carico, escludendo il generatore, si genera una corrente in senso inverso in quanto le cariche si spostano da una faccia all altra del condensatore che si scarica, diminuendo così via via la differenza di potenziale, finché le due facce si trovano allo stesso potenziale. A questo punto la corrente cessa di fluire. Prima di procedere a delle misure, il fatto che il condensatore sia in grado di immagazzinare carica e, di conseguenza, energia può essere visto facilmente con la seguente breve esperienza, realizzabile procurandosi una pila da 4,5 V, un condensatore elettrolitico da circa 1000 µf ed un led cui si aggiunge in serie una resistenza da 100 Ω. Ecco la descrizione dell esperienza: 1) Il condensatore viene collegato alla pila, facendo attenzione alla polarità (il segno "+" del condensatore deve corrispondere al segno "+" della pila); dopo pochi secondi il condensatore è carico. ) Il condensatore carico viene staccato dalla pila ed è collegato al led, facendo attenzione alla giusta polarità dei terminali ed interponendo la resistenza da 100 Ω: per qualche istante il led si illumina, come se lo si avesse collegato alla pila, spegnendosi gradualmente man mano che il condensatore si scarica. La resistenza serve per far scorrere la corrente più lentamente durante la scarica, altrimenti il led farebbe solo un rapido lampo di luce, rischiando anche di bruciarsi. Usando condensatori di maggiore capacità, il led rimane acceso più a lungo. Punto 1) Punto ) Figura 1. Punto 1): il condensatore è caricato, collegandolo alla pila; punto ): il condensatore carico fa accendere il led, che si spegne gradualmente, man mano che il condensatore si scarica. Fonte: Per un esame quantitativo delle proprietà del circuito suddetto è necessario distinguere, invece, tra processo di carica e processo di scarica. 4

6 Figura. Portando il commutatore sulla posizione A, si ottiene il circuito relativo al processo di carica, mentre se si porta il commutatore sulla posizione B, si ottiene quello relativo al processo di scarica. a) Il processo di carica Collegando un condensatore di capacità C, inizialmente scarico, attraverso una resistenza R ai poli di una batteria di accumulatori di forza elettromotrice f e resistenza interna R i, la carica q sulle armature, inizialmente nulla, tende a raggiungere il valore nominale fc con un certo ritardo, che dipende dalla capacità del condensatore e dalla resistenza R del circuito. (La resistenza interna del generatore R i è supposta trascurabile). L equazione del circuito è data da dq dove i =. dt Per mezzo del calcolo integrale si trova che q 0 q f = C dq q Cf dq q Cf = Ri dt RC 1 = RC q Cf t ln( ) = Cf RC Pertanto, la carica q sulle armature del condensatore è espressa in funzione del tempo dalla relazione: τ q = Cf ( 1 e ) con τ = RC nota come costante di tempo. Analogamente, la differenza di potenziale tra le armature aumenta dal valore iniziale zero al valore nominale f secondo la formula τ V = f ( 1 e ) La misura della differenza di potenziale può essere eseguita per mezzo di un voltmetro inserito in parallelo con il condensatore. L intensità di corrente, invece, è massima per t=0 e uguale a f/r, mentre, successivamente, tende ad annullarsi; la relazione matematica è data da t f τ i = e R La sua misura può essere eseguita inserendo un milliamperometro in serie con il condensatore. t t t 0 dt 5

7 Dalle relazioni precedenti segue che, per t tendente all infinito, la carica sulle armature del condensatore, la differenza di potenziale tra le armature e l intensità di corrente hanno un andamento esponenziale verso Cf, f e 0 rispettivamente. In pratica, però, dopo un tempo di alcuni τ tutte le variazioni tendono ad annullarsi. Figura 3. Curve attese ai capi del condensatore durante il processo di carica. b) Il processo di scarica Se, dopo aver caricato un condensatore per mezzo di un generatore, si disinserisce dal circuito il generatore, il condensatore si scarica sulla resistenza R, dando origine per un intervallo di tempo la cui durata dipende dai valori di R e C inseriti nel circuito, ad una corrente di intensità i variabile nel tempo. Contemporaneamente la carica sulle armature e la differenza di potenziale tra le stesse diminuiscono dai valori massimi iniziali, Cf ed f rispettivamente, a zero. L equazione del circuito è data da q = Ri C dq dove i =. dt Utilizzando il calcolo integrale come nel processo di carica, si trova che dq dt = q RC q q 0 dq q 1 = RC t 0 dt q t ln( ) = Cf RC Pertanto, la carica sulle armature del condensatore è espressa in funzione del tempo dalla relazione: con t τ q = 0 q = Cfe con τ = RC; la differenza di potenziale tra le armature è data da: mentre l intensità di corrente è data da V i = = f R Ne segue che tutte e tre le grandezze q, V e i decrescono esponenzialmente col tempo. In pratica, però, dopo un tempo di alcuni τ sono pressoché nulle. È interessante notare che l andamento dell intensità di corrente in funzione del tempo, a parte il verso che nel processo di scarica è opposto, è identico a quello per il processo di carica. fe e t τ t τ Cf 6

8 Figura 4. Curve attese ai capi del condensatore durante il processo di scarica. Osservazione La carica e la scarica del condensatore avvengono in un tempo che può essere previsto e che dipende dal valore (in Ohm) della resistenza in serie al condensatore e dal valore della capacità (in Farad) del condensatore stesso. Sperimentalmente è stato appurato che il tempo necessario affinché il condensatore si carichi al 63% della tensione che gli viene applicata è uguale al risultato del prodotto della resistenza per la capacità. Il risultato di tale prodotto viene chiamato "costante di tempo" e viene indicato con la lettera greca τ (tau), e quindi: τ = R * C dove R è espresso in Ohm e C in Farad ed il risultato in secondi. Sempre sperimentalmente è stato verificato che il condensatore può essere considerato carico dopo un tempo T = (4 5) τ perchè dopo il primo τ si carica del 63% della tensione applicata e dopo ogni altra costante di tempo τ si carica sempre di un ulteriore 63%, ma della differenza restante. La carica rispetta, all'incirca, la seguente tabella: Tabella 1 Tempo % di carica 1 τ 63 % τ 86 % 3 τ 95 % 4 τ 97 % 5 τ 99 % Dopo il quinto τ il condensatore si può considerare carico. Per la scarica avviene il processo inverso: che dopo il primo τ il condensatore si scarica del 63 % e, quindi, ai suoi capi si ha una tensione pari al 37 % del valore della tensione a cui si era caricato. Dopo il quinto τ il processo di scarica si può considerare esaurito ed il condensatore può, praticamente, considerarsi scarico. La scarica rispetta, dunque, all incirca la seguente tabella: 7

9 Tabella Tempo % di scarica Vc in % rispetto al valore di carica 1 τ 63 % 37 % τ 86 % 14 % 3 τ 95 % 5 % 4 τ 97 % 3 % 5 τ 99 % 1 % 8

10 La pratica con il cronometro Negli esperimenti che seguono, in laboratorio, è costruito il circuito di figura, attraverso il quale avvengono i fenomeni di carica e di scarica del condensatore. Tali esperimenti richiedono i seguenti prerequisiti: Prerequisiti disciplinari: circuiti in corrente continua; legge di Ohm; legge di Kirchoff; elementi di base del calcolo integrale; Prerequisiti metodologici e operativi: lettura di grafici dell evoluzione temporale di diverse grandezze misurate, loro trasformazione in grafici di dispersione con scelta qualificata delle variabili rappresentate, utilizzo del foglio elettronico, del software ScienceWorkshop e/o del software DataStudio. a) Obiettivi Verificare che la differenza di potenziale agli estremi di un condensatore, quando viene collegato ad un generatore elettrico attraverso una resistenza, aumenta esponenzialmente verso il valore della forza elettromotrice del generatore stesso. Verificare che nella scarica la differenza di potenziale tra le armature del condensatore si porta a zero con andamento esponenziale. Verificare la diretta proporzionalità tra la capacità e la costante di tempo. Verificare che la costante di tempo, per la carica e la scarica, ha lo stesso valore. Sono, inoltre, obiettivi formativi trasversali delle modalità proposte per una cultura scientifica di base: l analisi e la discussione dei grafici; la correlazione tra la forma tabulare e quella grafica di rappresentazione dei dati; la gestione di ipotesi per le misure e di informazioni sperimentali per un confronto con il modello interpretativo. b) Destinatari L attività è adatta a studenti del triennio della scuola superiore, con particolare riferimento a quelli del liceo scientifico e del liceo scientifico tecnologico. c) Tempi di esecuzione Per la preparazione: 0 min. Per l esecuzione: 30 min. Per l eventuale elaborazione dei dati col foglio elettronico e/o col software DataStudio: h d) Materiale occorrente resistenza elettrica dell ordine di 00 KΩ; condensatore dell ordine di qualche centinaio di microfarad; generatore di tensione continua da 10 V; interruttore; basetta per il circuito; fili elettrici per i collegamenti. 9

11 Figura 5. Da sinistra,un generatore di corrente, un condensatore elettrolitico, dei fili elettrici per i collegamenti, una basetta (bread board). Osservazioni L interruttore può essere realizzato semplicemente con due fili che vanno messi a contatto, purché il contatto sia stabile. Tutti i collegamenti fra i vari componenti devono essere fatti in modo da non aprirsi accidentalmente nel corso della misura. La rapidità con cui un condensatore si carica e si scarica dipende, tra l altro, dalla sua capacità. Poiché è necessario che la carica avvenga lentamente per poterla studiare con comodo, è opportuno usare un condensatore di capacità molto alta, realizzato mediante deposizione di un isolante per via elettrolitica e, pertanto, con un polo negativo ed uno positivo (altrimenti, dovrebbe avere dimensioni esagerate!). È assolutamente indispensabile collegarlo in modo che il polo positivo sia a tensione maggiore del polo negativo, cioè dal lato positivo della batteria. Bisogna fare la massima attenzione a non invertirne la polarità, a scanso di inconvenienti spiacevoli. Di un condensatore, infatti, oltre al valore della capacità (intesa come l'attitudine ad immagazzinare energia elettrica) è importante conoscere anche la tensione di lavoro ( VL ). La tensione di lavoro dipende dal tipo e dallo spessore del dielettrico e rappresenta il valore di tensione massima a cui può essere sottoposto il condensatore per funzionare correttamente. Se si supera la tensione di lavoro il dielettrico può forarsi determinando perdite o cortocircuito tra le armature. Molto importante, poi, è il valore di tolleranza, generalmente espressa in percentuale sul valore nominale della capacità. Tra i condensatori fissi un posto di grande importanza è occupato dai condensatori elettrolitici; essi sono condensatori che, rispetto agli altri, hanno un elevatissimo valore di capacità per unità di volume. In questi condensatori le armature sono di alluminio o di tantalio. Su una delle armature, che poi dovrà essere sempre collegata al potenziale positivo, viene provocata (per dissociazione elettrolitica) la formazione di uno strato di ossido isolante dello stesso materiale e che, quindi, si comporterà come dielettrico. Tra l'armatura positiva (anodo) e l'armatura negativa (catodo) viene interposto un elettrolita molto denso con il compito di assicurare la permanenza dello strato di ossido sull'armatura positiva. I condensatori elettrolitici sono polarizzati e, quindi, possono essere usati solo in corrente continua facendo attenzione a rispettare sempre la polarità che è indicata sul condensatore stesso. Se un condensatore elettrolitico viene collegato al circuito con le polarità invertite può esplodere e rappresentare, quindi, un pericolo. E' necessario, pertanto, fare sempre molta attenzione nel collegare i condensatori elettrolitici. 10

12 La basetta (bread board) contiene molte strisce metalliche nel supporto di plastica che connettono i buchi (sockets) in cui possono essere inseriti i componenti. Le connessioni tra due componenti si ottengono connettendo due piedini alla stessa striscia metallica (stessa riga o colonna di buchi nella matrice). Due strisce (in genere quella superiore e quella inferiore) si possono connettere all alimentatore. La figura 6 mette in evidenza come leggere i valori di una resistenza o di un condensatore. Resistenza Codice dei colori per le resistenze Codice di lettura per i condensatori Figura 6. Una resistenza, il codice dei colori per le resistenze e il codice di lettura dei valori dei condensatori. c) Strumenti di misura cronometro (sensibilità di 1/1000 s); voltmetro con resistenza interna molto elevata. Osservazione Un voltmetro contiene un circuito con una certa resistenza elettrica, attraverso cui fluisce corrente quando viene collegato alla tensione che si vuole misurare. È bene tenere presente, quindi, che la sua presenza in un circuito altera le caratteristiche del circuito, e, per questo, va usato con precauzione. d) Esecuzione É stato realizzato un circuito come in figura 7. Figura 7. Un voltmetro è posto in parallelo con il condensatore al fine di misurare la differenza di potenziale. 11

13 Collegando inizialmente il commutatore con A, il condensatore è caricato da un generatore di corrente continua attraverso una resistenza. Utilizzando valori adeguati per il condensatore e per la resistenza, la carica avviene molto lentamente ed è possibile determinare il grafico della differenza di potenziale ai capi del condensatore in funzione del tempo. L interruttore inserito ha la funzione di collegare durante la carica (o scollegare durante la scarica) il condensatore al generatore di corrente. Per l esecuzione della prova si è usato un condensatore di capacità teorica C = 470 µf (errore percentuale del 30%) e una resistenza R = 0 KΩ (errore percentuale dell 1%); la forza elettromotrice del generatore di corrente era al massimo di 10 V. Prima di alimentare il circuito si sono collegati tra loro i capi del condensatore mediante un filo per eliminare eventuali cariche residue. Si è fatta anche attenzione a collegare il condensatore secondo le polarità indicate su di esso. Nel momento in cui è stato chiuso il circuito, si è fatto scattare contemporaneamente il cronometro. A intervalli regolari, di 10 secondi, l operatore che seguiva il contasecondi avvisava colui che seguiva il voltmetro, il quale prontamente leggeva il valore sulla scala dello strumento; un terzo operatore aveva il compito di trascrivere le letture. La prova realizzata ha, dunque, un carattere indicativo, senza pretese di eccessiva precisione, in quanto le letture effettuate sugli strumenti di misura sono state piuttosto approssimate, dato che sono state effettuate a vista, cioè senza l'uso di strumenti registratori e mentre i valori cambiavano. È stata così compilata la seguente tabella di dati: Tabella 3 Tempo (s) Potenziale (V) 0 0, , ,658 30,79 40, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,970 1

14 50 8, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,890 Figura 8. Il circuito realizzato in laboratorio. Riportando i dati sugli assi cartesiani si è ottenuto il grafico di figura 9 relativo alla differenza di potenziale ai capi del condensatore in funzione del tempo: 13

15 10,000 9,000 8,000 7,000 Differenza di potenziale (V) 6,000 5,000 4,000 3,000,000 1,000 0, Tempo (s) Figura 9. Il grafico della differenza di potenziale in funzione del tempo durante la carica del condensatore. (Realizzazione con Microsoft Excel). Il grafico mette in evidenza che la differenza di potenziale ai capi del condensatore, inizialmente nulla, cresce dapprima molto rapidamente per aumentare, poi, con molta lentezza. Il valore massimo raggiunto è appena inferiore a 9V: pertanto, dal momento che il generatore ha erogato una tensione di 10 V, c è stata dispersione dovuta alla resistenza interna del generatore e, soprattutto, all inserimento del voltmetro. Teoricamente il processo avrebbe potuto durare un tempo infinito, ma la lettura dei dati è stata cessata quando questi hanno terminato di variare sensibilmente. Conducendo, a partire dall asse delle ordinate, la retta tangente al grafico fino ad incontrare la retta di equazione V = f (ossia V=10) come in figura 10, è interessante confrontare il valore del tempo τ così individuato sull asse dei tempi con la quantità RC. La pendenza della tangente alla curva calcolata nell origine è data da dvc ( t) f =. dt t=0 RC Pertanto, l equazione della retta tangente è data da f V = t. RC Nel caso in cui V = f, si ottiene che t = RC. 14

16 10,000 9,000 8,000 7,000 Differenza di potenziale (V) 6,000 5,000 4,000 3,000,000 1,000 0, Tempo (s) Figura 10. La tangente alla curva V = V(t) nell origine. (Realizzazione con Microsoft Excel). Dal punto di vista teorico, essendo C = 470 µf (errore percentuale del 30%) R = 0 KΩ (errore percentuale dell 1%) si trova τ = RC = (0 KΩ * 470 µf) = 103,4 s con errore percentuale del 31%. Dal punto di vista reale, si può leggere approssimativamente sul grafico che τ = 15 s: tale valore discosta da quello trovato per via teorica del 0,9%. Si può osservare, inoltre, che dopo un tempo inferiore a 5τ tutte le variazioni tendono ad annullarsi. Con l ausilio del foglio elettronico, si può notare che la curva che interpola meglio i dati trovati ha equazione: t 103,4 V = 9,87(1 e verificando, così, l andamento esponenziale della curva. ) 15

17 10,000 9,000 8,000 7,000 Differenza di potenziale (V) 6,000 5,000 4,000 3,000,000 1,000 0, Tempo (s) Curva reale Curva di tendenza Figura 11. Il grafico relativo alla carica e la relativa curva di tendenza. (Realizzazione con Microsoft Excel). Figura 1. Il grafico relativo alla carica e la relativa curva di tendenza. (Realizzazione con DataStudio). 16

18 Figura 13. Il grafico relativo alla carica e la relativa curva teorica. (Realizzazione con DataStudio). L esperienza è stata ripetuta introducendo un condensatore in parallelo al precedente in modo da raddoppiare la capacità. Si è ottenuta la seguente tabella : Tabella 4 Tempo (s) Potenziale (V) 0 0, , ,608 30, , , , , , , , , , , , , ,864 17

19 170 13, , , , , , , , , , ,708 80, , , , , , , , , , , , , , , , , ,180 Riportando i dati su un grafico si è potuto confrontare i risultati ottenuti con quelli precedenti: 18

20 10,000 9,000 8,000 7,000 Differenza di potenziale (V) 6,000 5,000 4,000 3,000,000 1,000 0, Tempo (s) Figura 14. Confronto delle curve e relative tangenti ottenute con condensatori di capacità l uno il doppio dell altro. (Realizzazione con Microsoft Excel). Il confronto mette in evidenza che, al raddoppiare della capacità, anche il tempo τ raddoppia; infatti, sul grafico si legge approssimativamente τ = 50 s. Si è montato, quindi, il circuito come in figura 7, con il commutatore collegato in B e il condensatore carico. La grandissima resistenza del voltmetro ha fatto sì che il condensatore si scaricasse lentamente. È stata compilata una tabella tensione tempo in cui si sono raccolti i valori di V ai capi del condensatore, rilevati sul voltmetro, ogni 10 s durante la scarica: Tabella 5 Tempo (s) Potenziale (V) 0 8, , ,3 30 6, , , , , , , , ,60 10, , , ,330 19

21 160, , , , , ,90 0 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,000 È stato costruito il grafico V = f(t) e si è giudicato, con l ausilio del foglio elettronico, quale potesse essere la funzione matematica che lo rappresentava meglio. Si può valutare graficamente la costante di tempo del circuito τ = RC che rappresenta approssimativamente il tempo di scarica del condensatore, misurando il segmento staccato sull asse dei tempi dalla tangente al grafico nel punto iniziale sull asse V. Dal grafico si legge approssimativamente che τ = 110 s, con errore percentuale del 6,4%. 0

22 10,000 9,000 8,000 7,000 Differenza di potenziale (V) 6,000 5,000 4,000 3,000,000 1,000 0, ,000 Tempo (s) Figura 15. Il grafico relativo alla scarica e la tangente al grafico nel punto iniziale. (Realizzazione con Microsoft Excel). Con l ausilio del foglio elettronico si trova pure che, nella scarica del condensatore, l equazione della curva V = V(t) che interpola meglio i valori trovati è data da 10,000 V = 8,798e t 110 9,000 8,000 7,000 Differenza di potenziale (V) 6,000 5,000 4,000 3,000,000 1,000 0, Tempo (s) Curva reale Curva di tendenza Figura 16. Il grafico relativo alla scarica e la relativa curva di tendenza. (Realizzazione con Microsoft Excel). 1

23 Figura 17. Il grafico relativo alla scarica e la relativa curva di tendenza. (Realizzazione con DataStudio). Figura 18. Il grafico relativo alla scarica e la relativa curva teorica. (Realizzazione con DataStudio).

24 10,000 9,000 8,000 7,000 Differenza di potenziale (V) 6,000 5,000 4,000 3,000,000 1,000 0, ,000 Tempo (s) Figura 19. Confronto tra il processo di carica e quello di scarica di un condensatore. (Realizzazione con Microsoft Excel). Osservazioni conclusive Collegando un condensatore ad una sorgente di tensione, le sue armature si caricano attraverso un impulso di tensione. La carica si conserva anche dopo l esclusione della tensione V del generatore. Stabilendo un collegamento fra le armature di un condensatore, ha luogo la scarica che porta ad una compensazione delle cariche sulle armature attraverso la resistenza del circuito (resistenza del voltmetro) e ad una diminuzione progressiva di tensione fra le armature del condensatore. L impulso di tensione di carica è una funzione crescente del tempo, quella di scarica è una funzione decrescente. Confrontando i risultati raggiunti per la carica e per la scarica del condensatore, si osserva che i dati ottenuti non sono del tutto soddisfacenti. Infatti, l esperienza è stata realizzata con notevole approssimazione e con un margine di errore decisamente troppo elevato. Per ovviare a questi inconvenienti, l esperienza è stata ripetuta usando una strumentazione on line. 3

25 La pratica con un sistema di acquisizione on line L analisi di un fenomeno transitorio, quale quello della carica/scarica di un condensatore, è effettuata più facilmente con un sistema di misura on line piuttosto che con metodi tradizionali. Tale sistema, infatti, permette di acquisire i dati rapidamente e accuratamente, offre la possibilità di registrarli in formato duplicabile e trasferibile, consente di rappresentarli graficamente in modo immediato e dà facoltà di poterli poi manipolare con semplicità. Per questo motivo l esperienza è stata realizzata con il sistema on line della ditta Pasco Scientific che non richiede particolari abilità sperimentali. Gli esperimenti richiedono, oltre ai requisiti elencati in precedenza, di saper utilizzare il sistema di acquisizione per misure on line precedentemente citato e il software allegato ScienceWorkshop. a) Obiettivi Usare il sensore di tensione per misurare la differenza di potenziale ai capi di un condensatore durante il processo di carica e quello di scarica; Calcolare la capacità del condensatore; Confrontare la misura di capacità trovata con quella teorica. b) Destinatari L attività è adatta a studenti del triennio della scuola superiore, con particolare riferimento a quelli del liceo scientifico e del liceo scientifico tecnologico. c) Tempi di esecuzione Per la preparazione: 0 min. Per l esecuzione: 30 min. Per l eventuale elaborazione dei dati col foglio elettronico e/o col software DataStudio: 1h d) Materiale occorrente Sonda di tensione; Sensore di tensione corrente; Interruttore; Basetta per componenti; Resistenza; Condensatore elettrolitico; Cavetti per le connessioni; Alimentatore; Interfaccia; Computer; Software ScienceWorkshop; Stampante. e) Esecuzione L'apparato sperimentale si monta in questo modo: si realizza il circuito di figura 0: è usata una resistenza nominale di 100 Ω e un condensatore di capacità nominale di 330 µf, al 0 % di accuratezza ; 4

26 Figura 0. Il circuito per lo studio del processo di carica del condensatore si connette l interfaccia Pasco 750 al computer attraverso dei connettori a banana; Figura 1. L interfaccia Pasco 750 si connette il sensore di tensione ad un canale analogico dell interfaccia e alle estremità del condensatore; si attiva il software ScienceWorkshop per preparare il computer a ricevere i dati, selezionando un range di valori per la tensione e per il tempo di durata dell'esperimento. Osservazioni È molto importante la calibrazione dei componenti. In particolare, per quanto riguarda il condensatore, sono applicabili al massimo 5 V con onda quadra solo positiva. Il sensore di tensione è costituito da due cavi elettrici, lunghi circa 1 m, uno rosso e uno nero. Ogni cavetto monta ad un capo un connettore a banana da 4 mm, mentre l altro capo termina in un connettore DIN, comune ad entrambi. Bisogna fare attenzione a non inserire assolutamente i terminali del sensore in una presa di rete (0 V) in quanto il sensore non deve misurare differenze di potenziale maggiori di 10 V. Qualche Volt in più potrebbe danneggiare l interfaccia. A questo punto: si imposta il generatore di segnale in modo che ci sia in uscita una tensione di 4 V con onda quadra solo positiva e frequenza di 0,40 Hz; 5

27 si fa partire la rilevazione dei dati, che si fa fermare automaticamente dopo 4s; si osserva il grafico che appare sullo schermo del computer. Il grafico ottenuto immediatamente consente numerosi quesiti, ai quali possono essere fornite risposte date in modi assai diversi tra loro. Innanzitutto, è sicuramente opportuno osservare che l esperienza è stata effettuata con meno approssimazione rispetto a quella eseguita con il cronometro, per cui gli errori sperimentali sono sicuramente inferiori. Si può provare, pertanto, a calcolare la capacità del condensatore e a confrontare il valore trovato con quello teorico. Un modo per calcolare la capacità del condensatore può essere quello di utilizzare il tempo che la tensione ai capi del condensatore impiega per raggiungere la metà del suo valore finale. Infatti, dalla relazione teorica τ V = V0 (1 e ) V si ricava, con semplici calcoli, che per V = 0, t = τ ln = RC ln 0, 693RC t 1 t 1 = Pertanto, C =. 0,693R Leggendo sul grafico che t 1 = 0, 069s, si ottiene che la capacità reale è con un errore percentuale del 17,5%. C=388 µf Figura. Lo studio della carica del condensatore col software DataStudio. 6

28 Una variante alle precedenti esperienze Negli esperimenti precedentemente descritti, si è posto l accento sulla differenza di potenziale ai capi di un condensatore durante i processi di carica e scarica. Una variante potrebbe essere data dall osservazione del comportamento dell intensità di corrente in un circuito R-C. In tal caso, è necessario un microamperometro inserito in serie con il condensatore. a) Obiettivi Visualizzare l andamento grafico della corrente durante il processo di scarica di un condensatore; Determinare la quantità di carica elettrica ceduta dal condensatore nella fase di scarica. b) Destinatari L attività è adatta a studenti del triennio della scuola superiore, con particolare riferimento a quelli del liceo scientifico e del liceo scientifico tecnologico. c) Tempi di esecuzione Per la preparazione: 0 min. Per l esecuzione: 30 min. Per l eventuale elaborazione dei dati col foglio elettronico e/o col software DataStudio: 1h d) Materiale occorrente Sonda di corrente elettrica; Sensore di corrente; Interruttore; Basetta per componenti; Resistenza; Condensatore elettrolitico; Cavetti per le connessioni; Alimentatore; Interfaccia; Computer; Software ScienceWorkshop; Stampante. e) Traccia dell esecuzione Supponendo di prendere in considerazione la scarica, l intensità della corrente cala rapidamente, per cui è necessario leggere lo strumento ad intervalli di tempo molto brevi; questo può creare problemi nella lettura, per cui è preferibile collegarsi on line con l elaboratore per la raccolta dei dati. Con i dati raccolti in una tabella del tipo Tempo (s) Intensità di corrente (µa) si può costruire il grafico dell intensità della corrente in funzione del tempo, che è una curva decrescente con andamento esponenziale. Anche in questo caso, tracciando la tangente alla curva nel punto iniziale i 0, si può dimostrare, con calcoli analoghi a quelli visti in precedenza, che tale retta incontra l asse dei tempi in t = τ = RC. 7

29 Nel caso in cui il valore di τ trovato sperimentalmente sia soddisfacente e nota R, si può provare a calcolare il valore della capacità del condensatore. Una grandezza interessante è la quantità di carica elettrica che si trova sul condensatore all inizio della scarica. Le intensità di corrente che l amperometro misura durante la scarica sono dovute al flusso di cariche elettriche che lasciano gradualmente il condensatore. Per calcolare la carica totale si può pensare di utilizzare la definizione di intensità di corrente: q = i * t dove t è il tempo di scarica. Però, l equazione è valida solo se l intensità di corrente i è costante durante il tempo t. Nel nostro caso, invece, l intensità di corrente decresce rapidamente, ma si possono trovare intervalli di tempo sufficientemente piccoli per considerare la corrente costante. Si può, quindi, suddividere il tempo di scarica in piccoli intervalli e, con l aiuto del foglio elettronico, calcolare in ogni intervallo il valore medio dell intensità di corrente. Con il metodo di integrazione grafica si può così calcolare l area compresa tra la curva e l asse dei tempi al fine di conoscere la quantità di carica ceduta (e quindi precedentemente acquisita) dal condensatore. Figura 3. La suddivisione in intervalli del tempo di scarica Tabella 6 Valore medio di i (A) t (s) i* t (Coulomb) t (s) i (A) 0,0 5,00E-04 1,7 4,70E-04 4,85E-04 1,7 0,00085,7 4,50E-04 4,60E-04 1,0 0, ,5 4,30E-04 4,40E-04 0,8 0, ,9 4,00E-04 4,15E-04 1,4 0, , 3,70E-04 3,85E-04 1,3 0, ,0 3,50E-04 3,60E-04 0,8 0, ,3 3,30E-04 3,40E-04 1,3 0, ,8 3,00E-04 3,15E-04 1,5 0, ,0,70E-04,85E-04, 0, ,1,50E-04,60E-04 1,1 0,

30 14,9,30E-04,40E-04 1,8 0, ,,00E-04,15E-04,3 0, ,7 1,70E-04 1,85E-04 3,5 0, ,0 1,50E-04 1,60E-04,3 0, ,9 1,30E-04 1,40E-04,9 0, ,1 1,00E-04 1,15E-04 5, 0, ,9 9,00E-05 9,50E-05 1,8 0, ,5 8,00E-05 8,50E-05,6 0, ,8 7,00E-05 7,50E-05,3 0, ,9 6,00E-05 6,50E-05 3,1 0, ,3 5,00E-05 5,50E-05 3,4 0, ,8 4,00E-05 4,50E-05 3,5 0, ,6 3,00E-05 3,50E-05 5,8 0, ,6,00E-05,50E-05 8,0 0, ,9 1,00E-05 1,50E-05 16,3 0,00045 Area = 0, Osservazioni In corrispondenza dell ultimo t, l intensità di corrente non è nulla: pertanto, la quantità di carica calcolata non è esattamente tutta la carica che si trovava sul condensatore all inizio della scarica. In tale istante, dunque, c è ancora una piccola quantità di carica che fluisce nel circuito, dando però luogo ad una corrente più piccola della sensibilità dello strumento usato e quindi non rilevabile da questo strumento. La quantità di carica è rappresentata nella figura 3 dall area di tutti i rettangoli evidenziati e può essere considerata una buona approssimazione dell area sotto la curva. Tale approssimazione è tanto migliore quanto più piccoli sono gli intervalli di tempo, quindi è bene non considerare intervalli di tempo troppo lunghi. Il software DataStudio è in grado di calcolare immediatamente l area sotto la curva dell intensità di corrente (figura 4). Figura 4. La quantità di carica calcolata come area sotto la curva dell intensità di corrente nel processo di scarica. (Realizzazione col software DataStudio). 9

31 La carica e la scarica del condensatore in sequenza Si consideri il circuito di figura. A seconda della posizione del deviatore, il circuito si carica o si scarica attraverso la resistenza. Pertanto, si supponga di agire in rapida successione sul deviatore, generando una sequenza di cariche e scariche alternate, ciascuna di durata TM. La forma che assumono i grafici di Q in funzione del tempo dipende dal valore di TM in rapporto alla costante di tempo τ = RC. È, quindi, interessante esaminare le diverse forme dei grafici ottenibili variando opportunamente i dati in ingresso. Si supponga che TM sia dello stesso ordine di grandezza di τ. Il condensatore inizia la carica, ma, prima che Q si sia sensibilmente avvicinato al valore Q lim, lo scatto del deviatore fa iniziare la scarica. Questa parte dal valore di Q appena raggiunto (punto B in figura 5) e tende a Q lim = 0; anche questo valore, però, non viene raggiunto perché un nuovo scatto del deviatore fa riprendere la carica che, a sua volta, inizia dal nuovo valore di Q (punto C in figura 5). Figura 5. La carica e la scarica in sequenza. Utilizzando circuiti R-C si può osservare quel fenomeno che in elettronica è noto come generazione di onde quadre e di onde triangolari. Infatti, se il tempo TM è molto maggiore della costante di tempo RC, il condensatore ha modo di caricarsi fino a Q lim, rimanendo a tale valore fino allo scatto del deviatore; in quell istante, comincia a scaricarsi e, poiché TM è elevato, ha modo di raggiungere Q = 0 e rimanere a tale valore fino al nuovo scatto del deviatore, quando torna a caricarsi. La successione di cariche e scariche ha l aspetto di un onda quadra, come è mostrato in figura 6. Se, invece, il tempo TM è sensibilmente più piccolo della costante di tempo RC, il condensatore ha appena il tempo di iniziare la carica che lo scatto del deviatore impone la scarica; d altra parte, neppure la scarica può essere portata a termine perché lo spostamento del deviatore produce una nuova carica. Il grafico di Q in funzione del tempo assume l aspetto di figura 7 che mostra come, dopo una breve fase transitoria, si generi un onda triangolare. I segmenti che la compongono rappresentano la parte iniziale delle curve di carica e di scarica del condensatore. 30

32 Figura 6. Carica e scarica del condensatore con TM>>RC. Figura 7. Carica e scarica del condensatore con TM<RC. Esercitazione Obiettivi Rilevare il comportamento di un circuito R-C quando viene alimentato da un segnale ad onda quadra con frequenza variabile, in modo da visualizzare, utilizzando l'oscilloscopio, 31

33 l'andamento della carica e della scarica in riferimento al semiperiodo del segnale applicato all'ingresso. Verificare, in particolare, che il condensatore si carica completamente durante la semionda positiva del segnale di ingresso e si scarica completamente durante la semionda successiva solo se si verifica la condizione che la frequenza del segnale d'ingresso sia f <= 1/ (10 τ), mentre, se la frequenza è superiore a tale limite, sia la carica sia la scarica sono incomplete. Destinatari L attività è adatta a studenti del triennio della scuola superiore, con particolare riferimento a quelli del liceo scientifico e del liceo scientifico tecnologico. Tempi di esecuzione Per la preparazione: 0 min. Per l esecuzione: 40 min. Per l eventuale elaborazione dei dati col software DataStudio: 1h Materiale occorrente Sonda di tensione; Sensore di tensione corrente; Interruttore; Basetta per componenti; Resistenze; Condensatori elettrolitici; Cavetti per le connessioni; Alimentatore; Oscilloscopio; Interfaccia; Computer; Software ScienceWorkshop; Stampante. Figura 8. Schema di un oscilloscopio 3

34 Osservazione La figura soprastante riproduce lo schema di massima di un oscilloscopio. Solitamente il campo elettrico delle placche disposte verticalmente è pilotato da un apposito circuito che determina lo spostamento sul piano orizzontale del fascio elettronico con velocità costante. Al termine del suo spostamento il circuito azzera il valore del campo elettrico in un tempo brevissimo; il fascio elettronico torna, allora, al suo punto di partenza, pronto per ricominciare lo spostamento orizzontale sotto l azione del campo elettrico nuovamente attivato dal circuito. Questo movimento del fascio viene pilotato da una differenza di potenziale tra le placche verticali. L intervallo di tempo T nel quale la tensione tra le placche si azzera dipende dal tipo di oscilloscopio e solitamente è uguale all 1% dell inverso della banda passante dello strumento. Il tempo T può essere regolato a piacere, entro certi limiti, e definisce il valore della base dei tempi dell oscilloscopio. Inviando un segnale di tensione variabile sulle placche orizzontali, si produce un moto secondo la direzione verticale che va a sovrapporsi a quello precedentemente descritto. Esecuzione Per la prova sono stati scelti valori di R e C in modo da avere τ = R*C = 0,1 ms e, quindi, avere frequenza limite di 1 KHz <= 1/ (10τ). Pertanto, sono stati effettuati i rilievi utilizzando, per il segnale di ingresso, rispettivamente le frequenze di 0,5 KHz, 1 KHz, KHz e 5 KHz. Il circuito di misura utilizzato è quello rappresentato nella figura che segue: Figura 9. La figura mette in evidenza l inserimento del generatore di funzioni (a sinistra) e dell oscilloscopio (a destra) nel circuito. Il circuito è stato realizzato su una bread-board. È stato applicato all'ingresso un segnale ad onda quadra del valore di 0 Vpp e, siccome il condensatore ha iniziato a caricarsi dal valore max negativo, detto valore è stato considerato come valore iniziale 0 V della carica del condensatore. Il condensatore ha, quindi, potuto caricarsi al valore massimo di 0 V. Si sono effettuate le quattro prove previste e per ognuna di essa il Generatore di Funzioni è stato regolato in modo da dare rispettivamente le frequenze di 0,5 KHz, 1 KHz, KHz, 5 KHz. Sono state regolate le scale di lettura dell'oscilloscopio e, per ognuna delle prove, sono stati rilevati la tensione d'ingresso massima ( VM ), il valore iniziale V0 ed il valore finale Vf della tensione di uscita. 33

35 I valori ricavati sono stati riportati in una tabella come quella che segue: Tabella 7 Prove f (KHz) T/ (ms) τ(ms) V M (V) V 0 (V) V f (V) 1 0,5 1 0, ,5 0, ,5 0,1 0 ~ 1,5 ~ 18, ,1 0,1 0 ~ 4,5 ~ 15,5 Per ognuna delle misure effettuate, l oscilloscopio ha permesso di visualizzare dei segnali così come nelle figure successive. 1. Analisi dei risultati della prima misura (f = 0,5 khz T/ = 1 ms) Dall'analisi dei segnali della prima prova ed i cui valori sono riportati nella tabella, emerge che, essendo la frequenza di ingresso di 0,5 KHz e quindi inferiore a quella limite, la durata del semiperiodo T/, pari a 10 τ, è tale da consentire la carica e la scarica completa del condensatore; la tensione che si ha in uscita è una sequenza di esponenziali completi, con valore iniziale nullo ( 0 V ) e valore finale 0 V, pari a quello della tensione di ingresso. Figura 30. Grafico relativo alla prima misura (f = 0,5 khz T/ = 1 ms). Analisi dei risultati della seconda misura (f = 1 KHz T/ = 0,5 ms) In questo caso la frequenza del segnale di ingresso è quella limite, con T/ = 5 τ, il condensatore si carica e si scarica completamente ma, a differenza della prima prova, non vi è più il periodo di tempo finale in cui la tensione d'uscita rimane praticamente costante per ogni ciclo. 34

36 Figura 31. Grafico relativo alla seconda misura (f = 1 khz T/ = 0,5 ms) 3. Analisi dei risultati della terza misura (f = KHz T/ = 0,5 ms) In questo caso, essendo la frequenza del segnale ad onda quadra d'ingresso inferiore a quella limite e avendosi T/ =,5 τ, la durata del semiperiodo non è tale da consentire la carica e la scarica completa del condensatore; la tensione d'uscita è una sequenza di curve esponenziali non a regime, con valore iniziale di circa 1,5 V e valore finale di circa 18,5 V inferiore quindi a quella della tensione d'ingresso. Figura 3. Grafico relativo alla terza misura (f = khz T/ = 0,5 ms) 4. Analisi dei risultati della terza misura (f = 5 KHz T/ = 0,1 ms) In questo ultimo caso l'andamento della tensione d'uscita è simile a quello della terza prova; essendo però minore la durata del semiperiodo ( T/ = τ ), è ancora più evidente il fatto che gli esponenziali non sono a regime e quindi, per ogni ciclo, la tensione d'uscita parte da un valore maggiore (circa 4,5 V) e arriva ad un valore minore ( circa 15,5 V ), rispetto all'andamento della prova 3. Figura 33. Grafico relativo alla quarta misura (f = 5 khz T/ = 0,1 ms) 35

37 Osservazione Questa esperienza può, ovviamente, essere effettuata cambiando i valori dei componenti R e C in modo da avere una costante di tempo diversa, come pure può essere cambiata l'ampiezza del segnale d'ingresso. Figura 34. I quattro grafici sovrapposti permettono di confrontare la scarica di un condensatore, tenendo fissata la capacità, ma variando la resistenza. 36

38 Una semplice analogia Esiste una semplice analogia fra il circuito R-C ed il sistema meccanico mostrato nella figura sottostante, il quale è una versione semplificata di un meccanismo per la chiusura automatica delle porte. Figura 35. Il meccanismo di chiusura automatica delle porte. Il pistone è forato e l olio è costretto a passare attraverso i fori quando il pistone si muove. Di conseguenza, si ha una forza resistiva, dipendente dalla velocità, a causa della viscosità dell olio. Per velocità abbastanza piccole questa forza è proporzionale alla velocità e può venir espressa come F = -bv, dove b è una costante di proporzionalità e il segno negativo indica che la forza è sempre opposta al moto. Anche la molla esercita una forza sul pistone in movimento. Quando la molla viene spostata di una quantità x dalla sua posizione di equilibrio, essa esercita una forza F = -kx, dove k è la costante elastica della molla. La somma di queste due forze, che agiscono sul pistone, deve essere uguale alla massa del pistone per la sua accelerazione, in accordo con la seconda legge di Newton. Se la massa è trascurabile, la somma delle due forze è uguale a zero, e si ha kx bv = 0 oppure dx k = x. dt b Questa equazione differenziale ha esattamente la stessa forma dell equazione per la carica del condensatore. Lo spostamento x corrisponde alla carica q, la velocità v alla corrente i. Esistono relazioni simili anche fra i parametri delle componenti corrispondenti dei due sistemi: la costante di smorzamento b corrisponde alla resistenza R e la costante elastica k della molla all inverso della capacità C. Questa analisi mostra immediatamente che quando si sposta il dispositivo automatico di chiusura dalla sua posizione di equilibrio di una quantità x 0, esso tende all equilibrio in modo esponenziale, secondo l equazione x = x 0 e con una costante di tempo uguale a b/k. Se al meccanismo di chiusura automatica viene aggiunta un ulteriore forza esterna F(t) dipendente dal tempo, la situazione è analoga a quella del circuito R- C con una tensione esterna V(t) dipendente dal tempo, come è mostrato nella figura sotto riportata. k t b 37