Rappresentazioni in 3D. Vettori: rappresentano punti e/o segmenti orientati

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1 Rappresentazioni in 3D Leggere Cap. 2 del libro di testo Sistemi di riferimento Caratterizzano i corpi rigidi Vettori: rappresentano punti e/o segmenti orientati Operazioni vettoriali: somma, prodotto scalare, prodotto vettoriale, norma Matrici Prodotto di matrice per vettore Traccia e determinante Rango Rotazioni e traslazioni Vettori e matrici omogenee (utili anche nella grafica 3D) 003/1

2 Sistemi di riferimento 003/2 Tre vettori unitari (versori) mutuamente ortogonali nello spazio sistema destrorso regola della mano destra k Se le dita della mano destra vanno da i a j il pollice è allineato con k j i

3 003/3 Ogni corpo rigido è descritto da un sistema di riferimento Tutti i punti di ogni corpo rigido sono definiti da coordinate (vettori) nel riferimento del corpo

4 Vettori e matrici Definizione di vettore Somma, prodotto per scalare, prodotto scalare (interno), prodotto vettoriale (esterno valido solo in 3D) Norma di vettore Vettore polare e vettore assiale (non c è sul libro) Matrici quadrate, simmetriche, diagonali, antisimmetriche Somma di matrici Prodotto di matrici e di matrice per vettore Determinante, traccia Matrice inversa e matrice trasposta Autovalori e autovettori Forme quadratiche Matrici definite e semidefinite 003/4

5 003/5 Cinematica La cinematica permette di rappresentare posizioni, velocità e accelerazioni di punti del manipolatore, indipendentemente dalle cause (forze, momenti) che le generano) Per descrivere la cinematica dei manipolatori e dei robot mobili occorre prima definire la catena cinematica Catena cinematica = insieme di giunti e bracci ideali Flexible Arm M = 102 [g], J = 530 [Kgmm^2], L = 25 [cm] M = 9.5 [g], J = [Kgmm^2], L = 2.5 [cm] M = 192 [g], J = 3595 [Kgmm^2], L = 47.5 [cm]

6 Robot = braccio + polso = arm + wrist 003/6 Polso Braccio La spalla di una persona ha 7 gdl Si dice che è ridondante Non ideale, nel senso che è composta di tessuti elastici ed ha una massa; non è un corpo rigido.

7 Catena cinematica (1) Composta da Bracci (rigidi e ideali) Giunti (rigidi e ideali) Definita solo a fini geometrici Possiede gradi di movimento e gradi di libertà Occorre saper fissare un riferimento per ogni parte mobile: convenzioni DH Deve essere possibile definire ogni punto in qualsiasi sistema di riferimento. 003/7

8 003/8 Catena cinematica (2) spalla polso spalla polso

9 Catena cinematica (3) Una struttura multicorpo composta da bracci rigidi ideali (privi di massa e altre proprietà dinamiche ), collegati tra loro da giunti ideali, che consentono il movimento relativo tra due bracci successivi Giunti 4, 5, 6 Braccio 1 Braccio 3 Giunto 3 Braccio 2 Giunto 2 Giunto 1 003/9

10 Catena cinematica (4) i giunti consentono un grado di movimento tra i bracci collegati i giunti possono essere: Rotoidali consentono un moto di rotazione relativo tra i bracci Prismatici consentono un moto di traslazione relativo tra i bracci 003/10

11 Catena cinematica (5) 003/11 I giunti rotoidali si disegnano in prospettiva come piccoli cilindri con l asse allineato all asse di rotazione del giunto stesso. I giunti rotoidali si disegnano in piano come piccoli cerchi oppure come piccole clessidre.

12 Catena cinematica (6) 003/12 I giunti prismatici si disegnano in prospettiva come piccoli cilindri con l asse allineato secondo l asse di rotazione del giunto stesso. I giunti prismatici si disegnano in piano come quadrati con un punto in centro oppure come rettangoli.

13 Catena cinematica (7) 003/13 Esempio

14 Catena cinematica (8) 003/14 q 6 q 5 q 4 Traiettoria cartesiana in posizione e assetto q 3 q 2 q 1

15 Gradi di movimento e gradi di libertà (1) I gradi di movimento indicano la presenza di giunti prismatici o rotoidali (attivi=motorizzati o passivi) I gradi di libertà (gdl, in inglese dof=degrees of freedom) indicano il numero di parametri liberi del corpo manipolato. I gdl possono essere riferiti al manipolatore, quando indicano quello che può fare il manipolatore, oppure al compito quando indicano quello che viene richiesto da parte dell applicazione Esempio: moto piano 003/15

16 Gradi di movimento e gradi di libertà (2) 003/16 Giunto R3 Giunto R1 BASE Giunto R2 Pinza o punta operativa Giunto R4 La catena cinematica ha 4 gradi di movimento = 4 giunti rotoidali, ma un oggetto sul piano ha solo 3 gradi di libertà (due posizioni + un angolo). La catena perciò è ridondante (ridondanza 4-3 = 1). Se il compito richiedesse solamente di posizionare un oggetto, senza imporre un particolare assetto, i gdl del compito sarebbero solo 2 e la ridondanza salirebbe a 4-2=2

17 003/17 Spesso sulle specifiche dei robot si leggono frasi come possiede 8 gradi di libertà. Queste frasi vanno interpretate correttamente a significare che il robot possiede 8 gradi di movimento (gdm), come nell esempio illustrato, dove a quelli del robot (5 gdm) si aggiungono i gdm del banco (3 gdm) Esempio di robot fornito di base con gradi di libertà addizionali

18 003/18 Anche in questo esempio, il robot ha 5 gdm, a cui si aggiungono quelli della base (1 gdm) e dei due banchi rotanti (2 gdm). Totale 5+1+2=8 gdm Esempio di robot con base traslante

19 003/19 Equazioni della cinematica esempio di equazioni della cinematica diretta Spesso sono assai complicate da scrivere e ancor più da invertire (cinematica inversa)