ALGEBRA 1. Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata * * *

Transcript

1 ALGEBRA 1 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata * * * Prof Lidia Angeleri Anno accademico si veda la nota a pagina seguente! 2 appunti aggiornati in data 1 ottobre 2015

2 Nota importante: Questi appunti non sono le dispense del corso, ma vogliono soltanto fornire un filo rosso attraverso il corso Sicuramente il materiale qui raccolto non è sufficiente per preparare l esame Lascio spazio apposito per poter inserire le osservazioni, gli esempi, le dimostrazioni ecc che verranno presentati e discussi a lezione, e aggiungo riferimenti bibliografici per chi non segue le lezioni Buon lavoro! Bibliografia: S Bosch, Algebra, Springer, Unitext 2003 INHerstein, Algebra, Editori Riuniti 2003 Aspetti storici: JPTignol, Galois Theory of Algebraic Equations World Scientific 2001 JDerbyshire, Unknown quantity A real and imaginary history of algebra Plume 2006 MLivio, L equazione impossibile Rizzoli 2005

3 Indice I Gruppi 5 1 Gruppi e sottogruppi 5 11 Gruppo 5 12 Sottogruppo 5 13 Esempi 5 14 Laterale di G modulo H, ordine, indice 6 15 Teorema di Lagrange 7 16 Lemma 7 2 Il gruppo quoziente 8 21 Sottogruppo normale 8 22 Il gruppo quoziente 8 23 Esempi 8 24 Omomorfismo, isomorfismo 9 25 Nucleo e immagine di un omomorfismo 9 26 Teorema di Fattorizzazione di Omomorfismi Teorema Fondamentale dell Omomorfismo 10 3 Gruppi ciclici Esempio: I sottogruppi generati da un elemento in (Z/6Z, +) L ordine di un elemento Gruppo ciclico Classificazione dei gruppi ciclici 11 4 Il gruppo simmetrico Teorema di Cayley Permutazioni Notazione per le permutazioni Esempi Il segno di una permutazione Il gruppo alterno Cicli disgiunti Esempio Scomposizione di permutazioni 14 5 Gruppi risolubili Definizione Proprietà del sottogruppo commutatore Gruppi risolubili Corollario Risolubilità del gruppo simmetrico 17

4 4 INDICE

5 5 Parte I Gruppi 1 Gruppi e sottogruppi 11 Gruppo Un gruppo (G, +) è costituito da un insieme non vuoto G e un operazione + : G G G, (a, b) a + b su G che gode delle seguenti proprietà: (G1) associatività: a + (b + c) = (a + b) + c per a, b, c G; (G2) elemento neutro: a + 0 G = 0 G + a = a per ogni a G; (G3) elemento inverso: per ogni a G esiste b G tale che a + b = b + a = 0 G ; Il gruppo (G, +) si dice abeliano 1 se vale anche la proprietá: (G4) commutativa: a + b = b + a per a, b G OSSERV AZION I (1) 0 G è univocamente determinato e per ogni a G l elemento inverso è univocamente determinato e si indica con a (2) In un gruppo si ha la proprietà cancellativa: se a + x = a + y allora x = y per a, x, y G (3) Si usa spesso la notazione moltiplicativa (G, ) In tal caso l elemento neutro si indica con e oppure con 1 G e l elemento inverso di a si indica con a 1 ESEMP I (1) (Z, +), (Q, +), (Q \ {0}, ), (R, +), (R \ {0}, ) sono gruppi abeliani L insieme Gl(n, K) di tutte le matrici invertibili di ordine n su un campo K è un gruppo rispetto alla moltiplicazione di matrici, non è abeliano per n 2 (2) Sia A un insieme non vuoto e sia S(A) l insieme di tutte le applicazioni biiettive f : A A La composizione di applicazioni definisce un operazione : S(A) S(A) S(A), (f, g) g f Con questa operazione (S(A), ) diventa un gruppo, in generale non abeliano 12 Sottogruppo Sia (G, +) un gruppo Un sottoinsieme non vuoto H G si dice sottogruppo di G se H è un gruppo rispetto all operazione + di G In tal caso si scrive H G OSSERV AZION E Un sottoinsieme H G è un sottogruppo se e solo se H e per tutti gli a, b H si ha a b H 13 Esempi (0) L insieme dei numeri dispari non forma un sottogruppo di (Z, +) perché non è chiuso rispetto all operazione + (1) Ogni gruppo (G, ) possiede i sottogruppi banali {e} e G 1 Niels Abel, matematico norvegese ( )

6 6 1 GRUPPI E SOTTOGRUPPI (2) Il sottogruppo generato da un elemento Sia (G, ) un gruppo con elemento neutro e Per a G e un intero n Z si pone { a } a {{ a } se n > 0 n a n = e se n = 0 a } 1 a 1 {{ a 1 } n se n < 0 L insieme a = {a n n Z} è un sottogruppo di G, detto il sottogruppo generato da a (3) Il gruppo abeliano (Z, +) Il sottogruppo di (Z, +) generato da un elemento n è < n >= {nz z Z} = nz I sottogruppi di (Z, +) sono precisamente i sottoinsiemi di forma nz con n N 0 Infatti: Dati n N 0 e due numeri interi z, z, si ha z z < n >= nz se e solo se il resto della divisione di z per n coincide con quello della divisione di z per n Per 0 r n 1 chiamiamo classe di resto di r modulo n l insieme r = {z Z r è il resto della divisione di z per n} = {nq + r q Z} Abbiamo quindi che z z < n >= nz se e solo se z e z appartengono alla stessa classe di resto Si noti che le classi di resto 0, 1,, n 1 sono disgiunte a due a due, e la loro unione è Z = 0 1 n 1 14 Laterale di G modulo H, ordine, indice Ogni sottogruppo H di gruppo (G, +) definisce una relazione di equivalenza su G a b se a b H La classe di equivalenza di un elemento a rispetto a a = {x G x a} = {h + a h H} = H + a si chiama laterale destro di G modulo H con rappresentante a L insieme di tutti i laterali destri si indica con G/H = {a a G} L ordine G di G è il numero degli elementi dell insieme G Il gruppo G si dice finito se il suo ordine è finito L ordine di G/H (cioè il numero dei laterali destri di G modulo H) è detto indice di H in G e si indica con [G : H] DIMOST RAZIONE :

7 15 Teorema di Lagrange 7 ESEMP IO : I laterali (destri e sinistri) di Z modulo nz sono esattamente le classi di resto 0, 1,, n 1 15 Teorema di Lagrange Sia (G, +) un gruppo finito e sia H G Allora In particolare, l ordine H divide l ordine G Per la dimostrazione serve il seguente 16 Lemma G = H [G : H] Sia A un insieme non vuoto con una relazione di equivalenza Per a, b A si ha a b a = b a b Quindi induce una partizione su A: l insieme A è l unione di classi di equivalenza disgiunte a due a due DIMOST RAZIONE : DIMOST RAZIONE del T eorema di Lagrange :

8 8 2 IL GRUPPO QUOZIENTE 2 Il gruppo quoziente Sia (G, ) un gruppo con sottogruppo H G Vogliamo definire un operazione sui laterali come segue: Ha Hb = H ab Affinché l operazione sia ben definita, dobbiamo garantire che serve quindi la condizione seguente: 21 Sottogruppo normale Un sottogruppo H G di un gruppo (G, ) si dice normale se soddisfa In tal caso scriviamo H G aha 1 H per ogni a G, h H OSSERV AZIONE : H G se e solo se ah = Ha per ogni a G (Esercizio) 22 Il gruppo quoziente Sia (G, ) un gruppo con sottogruppo normale H G Allora l insieme dei laterali G/H con l operazione Ha Hb = H ab, ovvero a b = ab, è un gruppo con elemento neutro e G/H = e = H, detto gruppo quoziente di G modulo H Si ha a = e se e solo se a H Infatti 23 Esempi (1) Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale Per un esempio di un sottogruppo non normale si vedano gli Esercizi (2) (Z/nZ, +) è un gruppo rispetto all operazione a + b + a + b Per n = 2 :

9 24 Omomorfismo, isomorfismo 9 Per n = 5: 24 Omomorfismo, isomorfismo Siano (G, ) e (G, ) due gruppi Un applicazione f : G G si dice: - omomorfismo se f(a b) = f(a) f(b) per a, b G; - isomorfismo se f è un omomorfismo biiettivo Se esiste un isomorfismo f : G G si dice che G e G sono isomorfi e si scrive G = G 25 Nucleo e immagine di un omomorfismo Siano (G, ) e (G, ) due gruppi e sia f : G G un omomorfismo (1) L insieme Kerf = {a G f(a) = e G } è un sottogruppo normale di G, detto nucleo di f (2) L insieme Imf = {f(a) a G} è un sottogruppo di G, detto immagine di f (3) e G Kerf, e f è iniettivo se e solo se Kerf = {e G } (4) Se H G, allora l applicazione ν : G G/H, a a = Ha è un omomorfismo suriettivo con nucleo Kerν = H, detto epimorfismo canonico DIMOST RAZIONE :

10 10 2 IL GRUPPO QUOZIENTE 26 Teorema di Fattorizzazione di Omomorfismi Sia (G, ) un gruppo con sottogruppo normale H G Sia inoltre f : G G un omomorfismo tale che H Kerf Allora esiste uno e un solo omomorfismo f : G/H G tale che f ν = f Si ha Kerf = Kerf/H = {x x Kerf} e Imf = Imf DIMOST RAZIONE 27 Teorema Fondamentale dell Omomorfismo Sia f : G G un omomorfismo Allora esiste uno e un solo omomorfismo f : G/Kerf G tale che f ν = f In particolare R/Kerf = Imf DIMOST RAZIONE

11 11 3 Gruppi ciclici 31 Esempio: I sottogruppi generati da un elemento in (Z/6Z, +) 32 L ordine di un elemento Sia (G, ) un gruppo e sia a G L ordine dell elemento a è definito come ord(a) = a (1) Se a l a k per l k allora ord(a) = (2) Se esistono l k tali che a l = a k allora ord(a) = m <, dove m è il minimo intero positivo tale che a m = e Infatti COROLLARIO del T eorema di Lagrange Se G = n, allora ord(a) divide n e quindi a n = e DIMOST RAZIONE : Per il Teorema di Lagrange si ha: ord(a) = m /n, quindi n = mq, e perciò a n = a mq = (a m ) q = e 33 Gruppo ciclico Un gruppo (G, ) è detto ciclico se esiste un elemento a G tale che G = a In particolare, un gruppo ciclico è sempre abeliano 34 Classificazione dei gruppi ciclici Sia (G, ) un gruppo ciclico (1) Se G =, allora (G, ) = (Z, +) (2) Se G = m allora (G, ) = (Z/mZ, +) DIMOST RAZIONE : Sia G = a con a G Allora nel caso (1) f : Z G, n a n è isomorfismo Infatti f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) Nel caso (2) analogamente f : Z/mZ G, n a n è un isomorfismo per il Teorema Fondamentale dell Omomorfismo OSSERVAZIONE Ogni gruppo che abbia un numero primo p di elementi è ciclico (e isomorfo a Z/pZ) Infatti, se a G \ {e}, allora per il Teorema di Lagrange ord(a) è un divisore di G = p diverso da 1, e se p è primo segue ord(a) = p, quindi < a >= G Vedremo in 44 che già per ordine 4 esistono gruppi non ciclici, e per ordine 6 esistono gruppi non abeliani

12 12 4 IL GRUPPO SIMMETRICO 4 Il gruppo simmetrico 41 Teorema di Cayley Ogni gruppo G è isomorfo a un sottogruppo del gruppo simmetrico (S(G), ) DIMOSTRAZIONE Ogni elemento a G definisce un applicazione biiettiva f a : G G, x ax Infatti, f a è iniettiva per la proprietà cancellativa, ed è suriettiva poiché ogni elmento b G può essere scritto come b = aa 1 b = f a (a 1 b) Abbiamo quindi un applicazione ι : G S(G), a f a Verifichiamo che ι è un omomorfismo: se a, b G, dobbiamo mostrare ι(ab) = ι(a) ι(b), ovvero l uguaglianza delle applicazioni f ab = f a f b Prendiamo quindi un elemento x G e controlliamo: f ab (x) = (ab)x = a(bx) = a f b (x) = f a (f b (x)) = f a f b (x) Verifichiamo inoltre che ι è un applicazione iniettiva: se a, b G soddisfano ι(a) = ι(b), ovvero l uguaglianza delle applicazioni f a = f b, allora in particolare si ha f a (e) = f b (e), che significa a = b A questo punto sappiamo (per il Teorema Fondamentale dell Omomorfismo) che quindi abbiamo dimostrato il teorema G = Imι S(G) 42 Permutazioni Consideriamo il gruppo simmetrico di un insieme finito A Possiamo assumere A = {1, 2,, n} Il gruppo S n = S(A) è detto gruppo simmetrico su n oggetti e i suoi elementi si chiamano permutazioni Abbiamo S n = n! 43 Notazione per le permutazioni (1) Per indicare un elemento σ S n useremo la notazione ( n σ(1) σ(2) σ(3) σ(n) Ad esempio per n = 3 l applicazione σ : {1, 2, 3} {1, 2, 3} con σ(1) = 2, σ(2) = 3, σ(3) = 1 si indica con σ = ( ) ) mentre τ = ( ) indica l applicazione τ : {1, 2, 3} {1, 2, 3} con τ(1) = 2, τ(2) = 1, τ(3) = 3

13 44 Esempi 13 (2) Una permutazione π S n è detta ciclo di lunghezza k se permuta ciclicamente k elementi di {1, 2,, n} e lascia fissi i restanti n k elementi, ovvero esistono k 2 elementi distinti m 1,, m k {1,, n} tali che σ(m 1 ) = m 2 σ(m 2 ) = m 3 σ(m k 1 = m k σ(m k ) = m 1 e σ(m) = m per tutti gli altri elementi m {1,, n}\{m 1,, m k } In tal caso possiamo anche scrivere π = (m 1,, m k ) tralasciando dunque gli n k elementi fissati da π Ad esempio τ = (12) S 3 è un ciclo di lunghezza 2, detto anche trasposizione o scambio, e σ = (123) è un ciclo di lunghezza 3 Ogni ciclo di lunghezza k è un elemento di S n di ordine k Per ogni ciclo π = (m 1,, m k ) S n e ogni permutazione σ S n si ha (vedi Esercizi) σ π σ 1 = (σ(m 1 ),, σ(m k )) 44 Esempi (1) S 3 è un gruppo di 6 elementi non abeliano, quindi in particolare non isomorfo a Z/6Z (2) L insieme V = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} S 4 è un sottogruppo normale di S 4, detto gruppo di Klein 2, che è abeliano ma non ciclico, quindi in particolare non isomorfo a Z/4Z Si dimostra che, a meno di isomorfismo, esistono solo due gruppi di quattro elementi: Z/4Z e V - vedi Esercizi 45 Il segno di una permutazione Data una permutazione σ S n, una coppia di numeri (i, j) con 1 i < j n è detta inversione per σ se σ(i) > σ(j) Se r è il numero delle inversioni per σ, chiamiamo segno di σ il numero ε(σ) = ( 1) r = 1 i<j n σ(i) σ(j) i j Diremo che σ è pari se ε(σ) = +1, ovvero il numero delle inversioni è pari, altrimenti σ è detta dispari 2 Felix Klein, matematico tedesco ( )

14 14 4 IL GRUPPO SIMMETRICO ( ) ESEMPI: La trasposizione τ = (13) = S 3 ha le coppie (1, 2), (2, 3), (1, 3) come inversioni ed è pertanto dispari In generale una trasposizione (i, j) S n con i < j ha la coppia (i, j) e tutte le coppie (i, k) e (k, j) con i < k < j come ( inversioni ed ) è quindi sempre dispari Il ciclo (123) = S 3 ha le coppie (2, 3) e (1, 3) come inversioni ed è pari Il gruppo alterno L applicazione ε : S n {1, 1}, σ ε(σ) è un omomorfismo suriettivo il cui nucleo A n consiste delle permutazioni pari ed è detto gruppo alterno Si ha S n /A n = Z/2Z e An = n! 2 DIM OST RAZION E Si noti innanzitutto che {1, 1} è un gruppo rispetto alla moltiplicazione con elemento neutro 1, e come tale è isomorfo a (Z/2Z, +) Resta quindi da verificare che ε(στ) = ε(σ)ε(τ): Abbiamo quindi che A n = Kerε è un sottogruppo normale di S n e gli enunciati seguono dal Teorema Fondamentale dell Omomorfismo e dal Teorema di Lagrange 47 Cicli disgiunti Due cicli σ 1, σ 2 si dicono disgiunti se operano su sottoinsiemi disgiunti di {1,, n} In tal caso σ 1 σ 2 = σ 2 σ 1 Ad esempio in S 5 i cicli (12) e (345) sono disgiunti, mentre non lo sono (12) e (13) 48 Esempio 49 Scomposizione di permutazioni (1) Ogni permutazione è prodotto di cicli disgiunti (e tale scomposizione è unica a meno dell ordine) (2) Ogni permutazione è prodotto di trasposizioni

15 49 Scomposizione di permutazioni 15 Lemma: Dati un gruppo (G, ) e un insieme non vuoto A, supponiamo che G agisca su A, cioè che esista un applicazione G A A, (σ, x) σ(x) con le seguenti proprietà: (A1) e(x) = x per ogni x A, (A2) (στ)(x) = σ(τ(x)) Per ogni elemento x A consideriamo l orbita di x attraverso l azione di G, cioè l insieme O(x) = {σ(x) σ G} Le orbite degli elementi di A attraverso l azione di G inducono una partizione di A, cioè A è l unione di orbite disgiunte a due a due Dimostrazione: Consideriamo la relazione su A definita da a b se a O(b) E una relazione riflessiva poiché a = e(a) O(a); è simmetrica poiché a O(b) significa che a = σ(b) per un σ G e implica b = σ 1 (a) O(a); è transitiva perché se a O(b) e b O(c) allora a = σ(b) e b = τ(c) con σ, τ G e perciò a = στ(c) O(c) Abbiamo quindi una relazione di equivalenza le cui classi di equivalenza sono esattamente le orbite degli elementi di A attraverso l azione di G L enunciato segue dunque da 16 DIMOSTRAZIONE del Teorema: Sia adesso G =< σ > S n e sia A = {1,, n} Ovviamente G agisce su A attraverso l operazione G A A, (σ, x) σ(x) e per (a) le orbite inducono una partizione A = O(x 1 ) O(x r ) Ogni orbita è di forma O(x i ) = {x i, σ(x i ), σ 2 (x i ),, σ mi (x i )} per un m i N 0 opportuno Per ogni i consideriamo il ciclo di ordine m i τ i = (x i, σ(x i ), σ 2 (x i ),, σ mi (x i )) Poiché le orbite sono disgiunte, anche i cicli τ 1,, τ r sono disgiunti E poiché l unione delle orbite è tutto l insieme A, si ha σ = τ 1 τ r Tale scomposizione è unica a meno dell ordine: se anche σ = ρ 1 ρ s, allora gli insiemi {x A ρ i (x) x}, 1 i s determinano le orbite degli elementi di A attraverso l azione di G =< σ > Quindi r = s e {τ 1,, τ r } = {ρ 1,, ρ s } OSSERVAZIONI: (1) Una permutazione è pari (rispettivamente, dispari) se e solo se può essere espressa come prodotto di un numero pari (rispettivamente, dispari) di trasposizioni (2) La scomposizione σ = τ 1 τ r in prodotto di trasposizioni non è unica, peró il numero delle trasposizioni in qualsiasi scomposizione è unico a meno di congruenza modulo 2 Più precisamente: se abbiamo anche σ = ρ 1 ρ s, allora r = s Z/2Z, ovvero r, s sono entrambi pari o entrambi dispari

16 16 5 GRUPPI RISOLUBILI (3) Possiamo adesso dare una descrizione alternativa del determinante di una matrice: Data una matrice A = (a ij ) M n (K) di ordine n su una campo K, si ha deta = σ S n ε(σ) a 1 σ(1) a 2 σ(2) a n σ(n) 5 Gruppi risolubili 51 Definizione Sia G un gruppo Per a, b G il commutatore di a e b è l elemento [a, b] = a b a 1 b 1 Il sottogruppo di G generato da tutti i commutatori [a, b] si denota con ed è detto sottogruppo commutatore di G Per iterazione definiamo K(G) =< { [a, b] a, b G} > K 2 (G) = K(K(G)) K i+1 (G) = K(K i (G)) 52 Proprietà del sottogruppo commutatore Sia G un gruppo 1 G è abeliano se e solo se K(G) = {e} 2 Per ogni omomorfismo di gruppi f : G G si ha f(k(g)) K(G ) Se f è suriettivo si ha addirittura f(k(g)) = K(G ) 3 K(G) è un sottogruppo normale di G 4 K(G) è il più piccolo sottogruppo normale N di G tale che G/N sia abeliano DIMOSTRAZIONE (1) per definizione (2) Un elemento di K(G) è di forma e per ogni 1 i n si ha [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ] f([a i, b i ]) = f(a i )f(b i )f(a i ) 1 f(b i ) 1 = [f(a i ), f(b i )] Quindi f(k(g)) K(G ) Analogamente si dimostra l altra inclusione quando f è suriettivo (3) Sia a G Per l automorfismo f : G G, x axa 1 abbiamo a K(G) a 1 = f(k(g)) = K(G) per (2), quindi K(G) è un sottogruppo normale di G (4) G/K(G) è abeliano: per tutti gli elementi a, b G si ha ab(ba) 1 = [a, b] K(G), quindi nel gruppo quoziente G/K(G) otteniamo a b = b a Se inoltre N è un sottogruppo normale tale che G/N sia abeliano, allora per tutti gli elementi a, b G abbiamo Na Nb = Nb Na in G/N, ovvero N ab = N ba, quindi [a, b] = ab(ba) 1 N, che dimostra K(G) N

17 53 Gruppi risolubili Gruppi risolubili Per un gruppo G sono equivalenti i seguenti enunciati: 1 Esiste un n N 0 tale che K n G = {e} 2 G possiede una catena finita di sottogruppi con le proprietà (a) N i è sottogruppo normale di N i 1, (b) il gruppo quoziente N i 1 /N i è abeliano Con queste proprietà G è detto un gruppo risolubile DIMOSTRAZIONE : Per 52 (3) e (4) {e} = N n N n 1 N 2 N 1 G {e} = K n (G) K n 1 (G) K 2 (G) K(G) G è una catena di sottogruppi normali con quozienti abeliani : Sia {e} = N n N n 1 N 2 N 1 G una catena di sottogruppi tale che N i è sottogruppo normale di N i 1 e il gruppo quoziente N i 1 /N i è abeliano per ogni 1 i n Procediamo per induzione su n n = 1 : in questo caso G è abeliano, quindi K(G) = {e} n n + 1 : per l ipotesi induttiva esiste m N tale che K m (N 1 ) = {e} Inoltre K(G/N 1 ) = {e G/N1 } poiché G/N 1 è abeliano Applicando 52 (2) all omomorfismo ν : G G/N 1 vediamo che ν(k(g)) = {e G/N1 }, quindi K(G) Ker ν = N 1 e perciò K m+1 (G) K m (N 1 ) = {e} 54 Corollario Sia G un gruppo risolubile Allora sono risolubili anche ogni sottogruppo H G e ogni gruppo quoziente G/N (dove N è un sottogruppo normale) Inoltre G è risolubile se (e solo se) esiste un sottogruppo normale N tale che N e G/N sono risolubili DIMOSTRAZIONE Sia K n (G) = {e} Applicando 52 (2) all immersione H G e all epimorfismo canonico ν : G G/N si ottiene K n (H) = {e} e K n (G/N) = {e G/N } Dato infine un gruppo G con un sottogruppo normale N tale che N e G/N sono risolubili, si procede come nella dimostrazione del passo induttivo in 53 per concludere che G è risolubile 55 Risolubilità del gruppo simmetrico Il gruppo S n è risolubile se e solo se n 4 DIMOSTRAZIONE (1) Ogni gruppo abeliano è risolubile: si scelga {e} G Quindi S 1 e S 2 sono risolubili

18 18 5 GRUPPI RISOLUBILI (2) S 3 è risolubile: {id} A 3 S 3 è una catena di sottogruppi normali dove i quozienti A 3 = Z/3 Z e S3 /A 3 = Z/2 Z sono tutti abeliani (3) S 4 è risolubile: {id} V A 4 S 4 è una catena di sottogruppi normali dove i quozienti V, A 4 /V = Z/3 Z e S 4 /A 4 = Z/2 Z sono tutti abeliani (4) S n non è risolubile se n 5: (i) Verifichiamo che se N è un sottogruppo normale di S n che contiene tutti i 3-cicli, anche K(N) contiene tutti i 3-cicli: infatti N deve contenere a = (123) e b = (145) (stiamo usando n 5), quindi K(N) contiene ( ) n [a, b] = (123) (145) (321) (541) = = (124) Inoltre, essendo un sottogruppo n normale, K(N) deve contenere anche σ 1 (124) σ per tutte le permutazioni σ S n Allora ogni 3-ciclo (xyz) con x, y, z {1,, n} appartiene a K(N) poiché possiamo scrivere (xyz) = σ 1 (124) σ scegliendo una permutazione σ con σ(1) = x, σ(2) = y, σ(4) = z, vedi Esercizi (ii) Poiché G = S n contiene tutti i 3-cicli, deduciamo da (i) che K(G) contiene tutti i 3-cicli, quindi anche K 2 (G), anche K 3 (G),, anche K n (G) per qualsiasi n N Da 53 segue che G non è risolubile