I Giochi di Archimede - Soluzioni Triennio

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1 I Giochi di Archimede - Soluzioni Triennio dicembre 999 C E C A C B D C D C C B D D E A B E C D B C E B D ) La risosta e (C). Infatti 39 = 723, quindi i lati sono lunghi 64 m e 88 m, e il erimetro e ( ) m = 304 m. 2) La risosta e (E). Il numero che indica le ore e un quadrato erfetto se e 0,, 4, 9, 6 (5 ossibilita). Quello che indica i minuti e un quadrato erfetto se e 0,, 4, 9, 6, 25, 36, 49 (8 ossibilita). Poiche ciascuna delle ore si uo accoiare con ciascuno dei minuti, le combinazioni ossibili sono 5 8 = 40. 3) La risosta e (C). Infatti er il teorema di Pitagora il segmento OQ e ugualea = 3 inoltre MNOQ e un rettangolo, er cui MN = OQ = 3. Si ricava quindi che il erimetro del entagono e 46cm sommando le lunghezze di tutti i suoi lati. 4) La risosta e (A). (2 5 0 ;3 ) (8 0 )=(2 5 8) (0 ;3 0 )=00 0 ;3+ = =0 0 : 5) La risosta e (C). La somma dei numeri su una diagonale e = 30. Analizzando i numeri sulla rima riga si ha dunque a = 30, da cui a = 2. Analogamente, analizzando i numeri sulla rima colonna si ha 6 + b + c = 30, da cui b + c = 4. Pertanto a + b + c = = 26. 6) La risosta e (B). Il rodotto NON e multilo di 5 se e solo se nessuno dei due numeri estratti e multilo di 5 (oiche 5eunnumero rimo). Gli unici multili di 5 comresi fra e 2 sono i numeri 5 e 0, 0 2 ertanto la robabilita che nessuno dei due numeri estratti sia multilo di 5 e = La robabilita cercata e quella del caso comlementare, ed e dunque uguale a ; = 36. 7) La risosta e (D). Infatti = =(999 2 ) l'ultima cifra di e e quindi anche l'ultima cifra di (999 2 ) 999 e. Inne moltilicando questo numero er 999 si ottiene un numero la cui ultima cifra e 9. 8) La risosta e (C). Infatti il ezzo ottenuto e una iramide avente er base un triangolo isoscele e rettangolo, con il vertice che si roietta ortogonalmente sulla base all'intersezione dei cateti.

2 In tale iramide i due cateti suddetti e l'altra valgono, e dunque er la formula del volume della iramide si ha V = 3 area di base altezza = 3 2 = 6 9) La risosta e (D). Se scriviamo x 3 ; y 3 =(x ; y)(x 2 + xy + y 2 ), abbiamo che sia x ; y, siax 2 + xy + y 2 sono semre ositivi (erche x 2 + xy + y 2 = x + y y2 e somma di due quadrati). Inne si uo vericare che tutte le altre risoste sono sbagliate onendo x =0ey = ;. 0)La risosta e (C). La velocita relativa dei due ciclisti e di 5 km/h. Essi artono a una distanza di 200 m (mezzo giro di ista). Per ercorrere 200 m a 5 km/h ci vuole lo stesso temo che a ercorrere 600 m (4 giri) a 40 km/h. )La risosta e (C). Infatti in questo modo scriviamo 2 numeri interi ogni 6 (quelli che, divisi er 6, danno come resto o5). Pertanto tra e = 5994 ci sono esattamente = 998 interi che non sono multili di 2 o di 3. Il 999{esimo sara quindi )La risosta e (B). Si ha Dunque area(aln) = 2 3 area(alc) = area(abc) : area(aln) = area(bml) = area(cnm)= 2 9 area(abc) : Di conseguenza N area(lmn) = area(abc) ; area(aln) ; area(bml) ; area(cnm)= 3 area(abc) : C M A L B 3)La risosta e (D). Infatti se y = , si ha che xy =980; =, er cui x =. Siccome y e ositivo y e maggiore di 00, x e ositivo e minore di Seconda Soluzione Infatti se y =5 2 ; 7, si ha che 00. y 2 =25 2 ; =99; 70 2=x: Siccome 4 < 2 < 42 si ha che 0 <y< 0 e x = y2 e strettamente comreso tra 0 e 00.

3 4)La risosta e (D). Quando la lancetta delle ore e in corrisondenza del minuto 23, essa ha comiuto i 3 5 tra il minuto 20 (corrisondente alle 6) e il minuto 25 (corrisondente alle 7). un'ora equivalgono a 36 minuti sono le 6:36. del ercorso Poiche 3 5 di 5)La risosta e (E). Il numero rimo iu iccolo e 2,mentre gli altri sono tutti disari. Nella somma ci sono ertanto un addendo ari e 24 addendi disari, er cui la somma e ari. L'unica cifra ari fra le risoste e 0 e quindi (E) e l'unica risosta che uo essere corretta (si osservi che e stabilito a riori che c'e una e una sola risosta corretta). D'altra arte, si uo vericare che, essendo i rimi 25 numeri rimi i seguenti: , la cifra richiesta si ottiene considerando la cifra delle unita del numero ottenuto sommando le cifre delle unita di tali numeri rimi, e si ottiene 0. 6)La risosta e (A). Ci sono soltanto le radici 0 e 3. Infatti, osto y =2 x, si ottiene 9 ;y =8=y, ossia y 2 ; 9y +8 = 0, da cui y = oure y =8. 7)La risosta e (B).! 8 I casi ossibili sono tutte le ossibili scelte di 8 oggetti fra 6, cioe. I casi favorevoli nella 6!! 4 4 situazione (A)sono =4900inquanto si debbono scegliere 4 calzini blu su 8 e 4 calzini 8 8!! neri su 8. I casi favorevoli nella situazione (B) sono 2 =2 = 6272 in quanto si ossono scegliere o 3 calzini blu e 5 neri o 3 calzini neri e 5 blu. Analogamente, nelle situazioni 2 0 (C), (D), (E), i casi favorevoli sono risettivamente 2, 2, 2 che sono in numero inferiore alla situazione (B). 8)La risosta e (E). La (D) e falsa in quanto ogni triangolo equiangolo e isoscele risetto a ogni suo lato, e dunque e equilatero. Per vericare che (A), (B), (C) sono false, basta considerare un rombo che non sia un quadrato, un rettangolo che non sia un quadrato, e, ad esemio, un traezio rettangolo ottenuto tagliando un quadrato con una retta non arallela a nessun lato, e che tagli due lati oosti. Per vericare inne che (E) e vera si consideri ad esemio un entagono regolare, tagliato da una retta arallela ad un lato e \molto vicina" ad esso. 9)La risosta e (C). Il rimo ragazzo uo stare in 3 osizioni (sinistra, centro o destra della foto) il secondo uo stare nelle due osizioni non occuate dal rimo il terzo deve stare nell'unica osizione non occuata dagli altri due. Pertanto essi ossono sistemarsi in 3 2 =6modidiversi. Allo stesso modo, er ogni ossibile osizione dei ragazzi, le ragazze ossono sistemarsi in 6 modi diversi, er un totale di 6 6 = 36 osizioni ossibili. 20)La risosta e (D). L'ultima cifra dovra sicuramente essere uno zero (altrimenti n non e divisibile nemmeno er 0). A questo unto la somma delle rimanenti cifre deve fare 999 e dunque, oiche = 998 <

4 999, le altre cifre saranno almeno 223, e quindi n avra almeno 224 cifre. D'altra arte il numero 299 :::9 {z } 80 ha esattamente 224 cifre la cui somma e 999, ed e divisibile er 20 in quanto termina 22cifre con 20. 2)La risosta e (B). Chiamiamo T uno dei due unti di tangenza e O il centro del cerchio di cui dobbiamo trovare il raggio, che indichiamo con r. Saiamo che AO = r, OC = OT 2=r 2eAC = 2. Quindi ossiamo scrivere 2 = r + r 2, da cui ricaviamo r = 2 2+ =2( 2 ; ) : 22)La risosta e (C). Suoniamo infatti che sia a b + b a = 7 3. Allora con semlici calcoli ricaviamo che 3a2 ;7ba+3b 2 = 0. Questa e una equazione di secondo grado risetto all'incognita a, il cui discriminante vale 3b 2. Poiche 3 non e un quadrato erfetto, il discriminante non e un quadrato erfetto, e dunque a non uo essere intero. D'altra arte gli altri numeri roosti si ossono raresentare nella forma richiesta. Infatti: 25 2 = , 0 3 = 3 + 3, 7 4 = 4 + 4, 29 0 = )La risosta e (E). Se Andrea fosse un cavaliere le aermazioni degli altri tre sarebbero correttamente riferite, ma questo non e ossibile. Infatti se Bruno fosse un cavaliere allora Carlo sarebbe un furfante e dunque Diego un cavaliere e inne Bruno un furfante, assurdo. Ma se Bruno fosse un furfante allora Carlo sarebbe un cavaliere e dunque Diego un furfante e inne Bruno un cavaliere, ancora assurdo. Quindi Andrea e un furfante, mentre nulla si uo dire sugli altri. 24)La risosta e (B). Ricordiamo che un numero e divisibile er quando la dierenza fra la somma delle cifre di osto ari e quelle di osto disari e 0, o un suo multilo. Di conseguenza il numero cercato e formato da cifre 3 e 5 alternate. Se infatti nel numero richiesto vi fossero due cifre uguali vicine (una di osto ari e l'altra di osto disari) sarebbe ossibile ottenere da esso un altro numero con le caratteristiche richieste, ma con meno cifre sorimendo tale coia di cifre uguali. Sia 2n + il numero di cifre cercato. Si hanno allora due casi: La cifra delle unita e 5. In questo caso nel numero comare n +volte la cifra 5 e n volte la cifra 3. Quindi 5(n +); 3n =2n + 5 deve valere 0 o un multilo di. Per minimizzare n, devo scegliere il multilo iu iccolo che fornisce una soluzione n intera, cioe stesso e si ottiene n = 3. In questo caso il numero risultante ha 7 cifre, ed e La cifra delle unita e 3. In questo caso nel numero comare n +volte la cifra 3 e n volte la cifra 5. Quindi 5n ; 3(n +) = 2n ; 3 deve valere 0 o un multilo di. Per minimizzare n, devo scegliere il multilo iu iccolo che fornisce una soluzione n intera, cioe di nuovo stesso e si ottiene n = 7. In questo caso il numero risultante ha 5 cifre, e non e quindi quello richiesto. 25)La risosta e (D). Indichiamo con x la lunghezza del segmento OP. Alicando il teorema di Pitagora ai triangoli OPB e O 0 PC, e imonendo che PB =2PC si ha che q 4 ; x 2 =2 ; ( ; x) 2 da cui, elevando al quadrato e riordinando i termini, 3x 2 ; 8x + 4 = 0. Risolvendo si ottiene x = 2 (da scartare)

5 e x = 2,che e la soluzione cercata. 3 B C O P O 0 A Seconda Soluzione I triangoli rettangoli OPB e O 0 PC sono simili. Infatti l'iotenusa e un cateto dell'uno sono il doio dell'iotenusa e un cateto dell'altro. Quindi OP = 2PO 0 e OP + PO 0 = da cui OP = 2( ; OP )eop = 2 3.