7. La misurazione degli angoli

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1 7. La misurazione degli angoli 7. Equazioni e disequazioni goniometriche Prerequisiti Concetto di angolo Concetto di misura Unità di misura sessagesimale degli angoli Le funzioni goniometriche elementari Dominio e codominio di una funzione Teoremi fondamentali di goniometria Uso della calcolatrice scientifica Obiettivi Risolvere semplici equazioni e disequazioni goniometriche Sapere risolvere problemi di trigonometria mediante la risoluzione di equazioni o sistemi di equazioni goniometriche Contenuti Risoluzione di equazioni e disequazioni goniometriche elementari Equazioni lineari in seno e coseno Equazioni omogenee in seno e coseno Disequazioni goniometriche

2 Risoluzione di equazioni goniometriche elementari Anche se non lo abbiamo sottolineato, quando applichiamo le funzioni goniometriche inverse stiamo risolvendo delle equazioni. Infatti determinare per esempio sin (0,) è lo stesso che determinare il minimo angolo, in valore assoluto, che sia soluzione dell equazione sin(x) = 0,. In questo paragrafo vogliamo trattare l argomento in modo più organico. La prima cosa che dobbiamo osservare è che un equazione goniometrica ha, in generale, infinite soluzioni che sono legate tra di loro da un comune periodo. Un altra ovvia osservazione è data dal seguente risultato: Teorema Supposto che la funzione f(x) abbia significato e la rispettiva funzione goniometrica di cui essa è argomento abbia anch essa significato, allora le equazioni sin[f(x)] = h, h R; cos[f(x)] = h, h R, hanno soluzioni solo se si ha: h ; sec[f(x)] = h, h R; csc[f(x)] = h, h R, hanno soluzioni solo se si ha: h h ; tan[f(x)] = h, h R; cot[f(x)] = h, h R, hanno sempre soluzioni reali. Esempio Consideriamo l equazione sin(x) = a, a R. Possiamo risolverla in diversi modi. Possiamo lavorare sulla circonferenza goniometrica. L equazione ha soluzione solo se è a, dato che per valori esterni a tale intervallo la retta, come mostrato per i punti G e H, non incontra la circonferenza goniometrica. Osserviamo che le soluzioni, limitatamente all intervallo [0 ; 60 ] o [0; π] se lavoriamo in radianti, se < a < sono due, fra loro supplementari, indicati da α e β = 80 α. Mentre se è a = ±, la soluzione è unica. Potremmo anche lavorare sulla sinusoide. In questo caso ovviamente lavoriamo in radianti e le soluzioni sono infinite, sempre se a differenti di un multiplo di π dalle due principali, che sono le ascisse dei punti E e F. Se poi è a = ±, il valore principale è solo uno, rispettivamente le ascisse dei punti J o G. Vediamo adesso un esempio numerico. Esempio Vogliamo risolvere l equazione sin(x) =. In gradi sessagesimali il minimo angolo il cui seno è è 0, π in radianti è. Ma sappiamo anche che, in generale, si ha: sin(x) = sin(80 x) = sin(π x). Pertanto abbiamo anche la soluzione 80 0 = 50 o, in radianti, π =. Tenuto conto delle periodicità pos- 6 π 5π 6 6 siamo dire perciò che le soluzioni sono infinite e si possono esprimere nelle forme compatte: x = 0 + k π 5π 60 x = 50 + k 60 ; o, in radianti, x = + kπ x = + kπ. In entrambi i casi k Z

3 Tenuto conto dell esempio precedente possiamo perciò enunciare il seguente risultato, in cui le funzioni inverse indicano i minimi archi, in valore assoluto, che hanno il dato argomento. Osserviamo che le calcolatrici scientifiche forniscono appunto una approssimazione di tale valore, tutte le volte in cui applichiamo le funzioni goniometriche inverse. Teorema L equazione sin(x) = h, h, ha come soluzioni x = sin (h) + kπ x = π sin (h) + kπ, se calcoliamo in radianti e x = sin (h) + k 60 x = 80 sin (h) + k 60 in gradi sessagesimali; k Z. Ricordando le proprietà del coseno e della tangente possiamo enunciare i seguenti risultati. Teorema L equazione cos(x) = h, h, ha come soluzioni, x = ± cos (h) + kπ, se calcoliamo in radianti, oppure x = ± cos (h) + k 60, in gradi sessagesimali; k Z. Teorema 4 L equazione tan(x) = h, ha come soluzioni, x = tan (h) + kπ, se calcoliamo in radianti, x = tan (h) + k 80, in gradi sessagesimali; k Z. Dato che secante e cosecante possono essere ricondotte a coseno e seno, così come la cotangente alla tangente, non vale la pena di considerare risultati generali legati a tali funzioni. Esempio Vogliamo risolvere l equazione sec(x) =. Essa è equivalente a: cos(x) =. Quindi, tenuto conto del teorema possiamo dire che la soluzione generale è, x = cos ± + kπ ±, + kπ, in radianti, oppure in gradi sessagesimali: x = cos ± + k 60 ± k 60. Possiamo risolvere anche equazioni goniometriche in cui non per forza l argomento debba essere x. Esempio 4 Risolvere l equazione tan(4x + ) =,. Data la presenza di nell argomento, le soluzioni sono ovviamente richieste solo in gradi sessagesimali. Si ha: 4x + = tan (,) + k k 80. Ma l incognita da determinare è sempre x: 4x k 80 x k 45. Capita anche di dover determinare soluzioni appartenenti ad un certo intervallo. Esempio 5 Risolvere tan(4x + ) =,; 00 x 75. Riprendiamo il valore trovato nell esempio precedente. Per stabilire quante delle infinite soluzioni rientrano nel dato intervallo, dobbiamo risolvere la coppia di disequazioni: k Si ha: k '48" 69 47'" 05 '48" k k. Ora si ha:,4 e '",77 e k è un numero intero, i valori accettabili sono k. Per tali valori si ha: = 84 47, = 9 47, = 5 48, = 50 48, = 95 48, = Invece = 9 47 < 00 e = > 75. Potevamo anche usare un metodo 9

4 meno rigoroso, assegnando valori a k in modo più o meno arbitrario, verificando quali rientravano nell intervallo dato. Ci sono anche altre equazioni che si possono ricondurre facilmente alle precedenti. Esempio 6 Vogliamo risolvere l equazione sin (x + ) cos(x + ) = 0. Trasformando il seno in coseno otteniamo un equazione di secondo grado in questa incognita: cos (x + ) cos(x + ) = 0 cos (x + ) + cos(x + ) + = 0. Determiniamo il discriminante dell equazione: = 9 4 = 5 > 0. L equazione ha soluzioni reali, troviamole: cos ( x + ) = ± 5 cos ( x + ) = cos ( x + ) =. Queste due equazioni hanno soluzioni solo se i termini a destra appartengono all intervallo [ ; ]. Dato che, 6; 0,8, solo la prima equazione ha soluzioni. Si + 5 ha allora: cos ( x + ) = x + ±,96 + kπ x 0,48 + kπ x,48 + kπ. Ovviamente le soluzioni sono da calcolarsi in radianti, come si vede dal fatto che l argomento delle funzioni goniometriche è formato da un espressione priva di gradi sessagesimali. Vi sono ancora altri tipi di equazioni facilmente risolvibili. Esempio 7 Vogliamo risolvere l equazione sin(4x + 5 ) = sin( x), x [ 40 ; 7 ]. La risoluzione equivale alla domanda: quando due angoli hanno lo stesso seno? Ovviamente quando sono lo stesso angolo, ma anche, data la periodicità, quando differiscono di un multiplo di 60 (in questo caso, dato che vogliamo soluzioni in gradi sessagesimali). Così per esempio sin(0 ) = sin(90 ) = sin( 0 ) = = = sin(0 + k 60 ). Ma dato che: sin(x) = sin(80 x) = sin(80 x + k 80 ), dobbiamo avere: 4x + 5 = x + k 60 oppure 4x + 5 = 80 ( x) + k 60. Risolviamo la prima: 7x = 6 + k x = + k x 7 '9" + k 5 5'4". La seconda: x = 4 + k 60. Adesso vediamo quante 7 7 soluzioni rientrano nell intervallo desiderato. Facilmente si vede che la seconda equazione non ammette soluzioni accettabili, poiché 4 60 < 40 e 4 > 7. Invece la prima equazione ammette soluzioni per k = 0 ( 7 9 ), k = ( ) e k = ( ). Più in generale possiamo enunciare i seguenti risultati. Teorema 5 L equazione sin[f(x)] = sin[g(x) è equivalente a: f(x) = g(x) + kπ f(x) = π g(x) + kπ, se calcoliamo in radianti, e f(x) = g(x) + k60 f(x) = 80 g(x) + 60 in gradi sessagesimali; k Z. Teorema 6 L equazione cos[f(x)] = cos[g(x)] è equivalente a f(x) = ± g(x) + kπ, se calcoliamo in radianti, oppure a f(x) = ± g(x) + k60, in gradi sessagesimali; k Z Teorema 7 L equazione tan[f(x)] = tan[g(x)] è equivalente a f(x) = g(x) + kπ, se calcoliamo in radianti, in gradi sessagesimali a f(x) = g(x) + k80 ; k Z. 9

5 Verifiche Vogliamo risolvere l equazione sin(5x 5 ) = 0,, x [0, 40 ]. Cominciamo a determinare il minimo angolo in gradi sessagesimali il cui seno vale 0,. Abbiamo: sin (0,) 6 5. Quindi in generale dobbiamo avere: 5x k 60 o 5x k 60. Ossia: 5x 5 + k 60 o 5x k 60, da cui x k7 o x k7. Quante di queste soluzioni rientrano nell intervallo [0, 40 ]? Risolviamo le disequazioni: 0 < k7 < 40 k 5 e 0 < k7 < 40 k 5 Quindi si ottengono soluzioni da ciascuna delle due soluzioni generali: = 4 ; = 94 4 ; = 66 4 ; = ; = ; = Risolvere le seguenti equazioni negli intervalli indicati Livello. cos ( x ) =, x [ 00 ; 5 ] ; sin( x ) =, x [ 00 ; 400 ]; cot(x) =, x [ 5 ; 90 ] [( ) ; ( ) ; 45 ]. tan(x) =. ( ), x [ 000 ; 0 ] ; csc ( x ) =, x [000 ; 45 ] ; sin(x) =, x [ ; 5] 4 π π [( ) ; (5 5 ; sec x =, x [ 45 ; 687 ] ; cos(x) =, x [ 4; ] ; tan(x) =, x [ ; ] π π π ( ); ; 4 4. cot(x) = 5. 6., x [ ; 5] ; csc ( x ) =, x [; 4] ; sec(x) =, x [ ; ] π π π 5π ; ; 4 4 x cot =, x [ 50 ; 07 ] ; sec x =, x [ ; 6] ; csc(4x) =, x [00 ; 45 ] 4 [( 5 45 ) ; 0 ; ( )] 4 x sec x =, x [ 4 ; 68 ] ; cos ( x ) =,x [ 0 ; ] ; tan =,x [ 00 ;05 ] [ 45 ; ( ) ; ] x sin x =, x [ 00 ; 00 ] ; cos ( x ) =, x [ ; ] ; csc = 0, x [; 4] 5π π π π ( ); ; 4 4 sin x =, x [ ; ] ; cot x = 0, x [ ; ] ; tan ( x ) =, x [ ; π] π ; ; π π π π π π π ( ) 8. 94

6 Livello 9. cos ( x + 0 ) =, x [ 48 ;5 ]; sin( x) 0. tan(4x + 5 ) =, x [ 00 ; 00 ] ; cos ( x) =, x [ 75 ;48 ]; sec(x+5 )=, x [00 ;00 ] [(55 5 ) ; ( ) ; ( )] =, x [ ; ] ; 95 ( ) ± π 8. cot ( 4x + 00 ) =, x [ 50 ; 00 ] ; sin( 4x + ) =, x [ ; ] 7π π 5π π 7π ( ); π Nei seguenti esercizi i risultati sono approssimati ai secondi per difetto o per eccesso. I valori in radianti sono approssimati a due cifre decimali. Se le soluzioni sono più di sei, scriviamo solo le prime e le ultime Livello. cos(4x 5 ) = 0,46; x [ 00 ; ] [ ]. sin(x + 7 ) = 0,; x [ 50 ; 5 ] [ ] 4. sec(x + 0 ) =,7; x [ 00 ; 00 ] [ ] 5. csc(x 54 ) =,; x [ 0 ;05 ] [ ] 6. tan(x + 5 ) = 0,84; x [ 5 ; 7 ] [x = x = x = ] 7. cot( x) =,84; x [ 0 ; 50 ] [ ] 8. csc(5x + ) =,7; x [ 5 ; 6 ] [ ] 9. tan(4x 54 ) =,47; x [ 5 ; 47 ] [ ] 0. sin(x + 8 ) = 0,6; x [ ; 05 ] [ ]. cos(84 x) = 0,64; x [ 5 ; 79 ] [ ]. sec(x + 7 ) = 4,5; x [ ; ] [x = x = 56 6 x 8 = 0 47 x 9 = 7 56 ]. cot(x 49 ) = 0,94; x [ 50 ; 0 ] ; cos(x + ) = 0,56; x [ ; ] [( ) ; (,05 0,9,04,48)] 4. sin(6x + 7) = 0,4; x [ ; ] ; cot(x ) = 0,8; x [ ; 5] [( 0,9 0,57 0,47 0,86,5,90) ; (, 0,08 0,96,0,06 4,0)] 5. sec(x + 4) =,7; x [ 4; ] [,90,4,,67 0,76 0,0 0,8,47,8] 6. tan(x + ) = 0,78; x [ ; 5] [ 0,89 0,6,,5,0 4,5] x π 4π 7. csc(x + ) =,; x [; 4] ; cos = 0,; x ; [( 0,66,,48) ; 0,78] x π 7π 8. sin, = 0,4; x ; [,60,9 0,0 0,59 4,78 7,9] 4x 5π 9π π π 9. csc +, = 5,0; x ; 5 4 ; sec(,x +,4) =,; x ; 5 8 [(,90,5 4,95 9,8,8) ; (x = 4, 0,4 x = 5,48 55,94)] π π 0. cot( x) =,4; x ; ; tan(,4x +,) = ; π 5π x ; [(0,6,9) ; (x = 4,9 x =,8 ; x 9 =,6 x 0 = 4,6)]

7 Abbiamo visto che l equazione sin(5x 5 ) = 0,, x [0, 40 ], ammette 6 soluzioni. Se consideriamo un generico intervallo [0, a], quanto deve essere a numero intero, affinché la data equazione abbia 0 soluzioni? Abbiamo visto che le soluzioni generali sono: x k 7 oppure x k 7. Ora noi abbiamo k 7 0 se k e k 7 0 se k 0. Essendo il periodo di entrambe le soluzioni pari a 7, per avere altre 8 soluzioni, 4 dalla prima e 4 dalla seconda equazione, dobbiamo avere per la prima equazione k = 5 con la soluzione: = 66 4 e k = 4 per la seconda con la soluzione: = Quindi il minimo valore intero a che risolve il problema è 67. Determinare il minimo valore del parametro positivo a, affinché le seguenti equazioni negli intervalli indicati i cui estremi sono sempre numeri interi, abbiano esattamente 5 soluzioni Livello. cos(x) =, x [57 ; a] ; sin(x + 0 ) =, x [40 ; a + ] ; tan(x + ) =, x [ ; a + ] ;48 ;. cot(4x + ) = 0, x [ ; a + ] ; csc ( x 5 ), x [ a;5 ]. cos(x + 0 ) = 0,, x [ a; 0 ] ; sin(x + ) = 0,, x [ 4a + ; ] = ; sec(x + ) =, x [a ; 6] 4. cot( x + ) =, x [ a + ; ] ; csc ( x + 5 ) =, x [ a + ;5 ] 5. sec x +, =,, x [ ; 6a + ] ; tan(x + 5 ) =,, x [ 0 ; 7a + 0 ] 4 ; 85 ; 5 7 ; 4 ; ; 7 Vogliamo risolvere l equazione sin[sin(x)] = 0. Si deve avere sin(x)) = k 80 sin(x) = kπ, a seconda che accettiamo la soluzione in gradi sessagesimali o in radianti. Per evitare complicazioni lavoriamo in radianti, perché sono numeri puri più facili da trattare. L equazione ha soluzione solo se k π k π π e poiché 0, e k è un numero intero vi è una sola soluzione accettabile, cioè k = 0, quindi l equazione π data equivale all equazione sin(x) = 0 pertanto le sue soluzioni sono x = kπ. Risolvere le seguenti equazioni Livello π 6. sin[cos(x)] = 0 ; sin[tan(x)] = 0 ; cos[cos(x)] = 0 ; cos[sin(x)] = 0 ; x = + kπ x = tan ( kπ ); ; 7. cos[cos(x)] = ; tan[tan(x)] = 0 ; tan[sin(x)] = 0 ; cot[cos(x)] = π π x = + kπ; x = tan ( kπ ) + hπ ; x = kπ; x = ± cos + kπ 4 π π 8. tan[sin(x)] = ; tan sin( x ) = x = sin + kπ x = π sin + kπ;

8 Vogliamo risolvere la seguente equazione: 4sin (x ) sin(x ) = 0, x. Risolviamo intanto ± + ± l equazione di II grado: sin( x ) = =. Vediamo se i valori ottenuti sono accettabili, ossia rientrano nell intervallo [ ; ]. Abbiamo: 0,59; 0,84. Entrambi sono accettabili. 8 8 ± 8 8 Dobbiamo risolvere le due equazioni sin( x ) x sin = = + + kπ 0,7 + kπ 8 8 x π sin = + + kπ ; x 4,78 + kπ 8 ; ( ) 97 + sin x x sin + = = + + kπ 8 8, 00 kπ x π sin + + = + + kπ,4 + kπ 8. Vediamo adesso quante soluzioni rientrano nell intervallo [ ; ]. La prima famiglia di soluzioni ammette solo la soluzione 0,7; per la seconda invece 4,78 π,50; la terza,00 e l ultima nessuna soluzione. Risolvere le seguenti equazioni negli intervalli indicati Livello 9. sin (x) = ; x [ 400 ; 50 ] ; cos (x) = 4 ; x [ 4; 5] ; sec (x) = ; x [ ; 6] π π π π π 5π 7π ( ± 90 ; ± 70 ;450 ); ± ; ± ; tan (x) = ; x [ 4 ; 456 ] [x = 40 x = 00 x = 80 x 4 = 00 ] 4. cot (x) = ; x [ ; 7] ; sin 5 7 (x) sin(x) = 0; x [ 4; 4] π π π π π ; π π π ( ) csc x = ; x [ 000 ; 50 ] ; cos (x) + cos(x) = 0; x [ 40 ; 55 ] [( ) ; ( )] tan x tan x = 0, x ;5 ; csc ( x) = csc( x), x [ ;8 π π π π π ] 0 π ; cot x = cot x, x 05 ;754 ; sec (x) = sec(x); x [ 00 ; 65 ] 4 4. ( ) ( ) [ ] 44. ( ) ( ) [ ] [(x = 0 x = 90 x = 60 x 9 = 600 x 0 = 60 ); ( )] sin ( ) ( ) x sin( x) 0; x [ 0;60 ] + = [ ] 46. cos (x) + cos(x) = 0, x [ 60 ; 59 ] [ ] 47. cot ( x) 4 cot ( x) + = 0, x [ π;5π ] x 7π 8 5 x π... x π 5 x π = = = 6 = sec ( ) ( ) x + sec( x) = 0; x [ 700 ; 400 ] ; tan ( ) ( ) x tan( x) = 0; x [ 4;] 5π π π π π ( x = 585 = x7 = 5 x8 = 60 ); ( ) ( ) 5π π π π csc x + + csc( x) + = 0; x [ 5;] Livello 50. cos (x) + 6cos(x) = 0; x [4 ; 65 ] ; 4sin (x) 5sin(x) = 0; x [5 ; 6 ][ ; ] 5. csc (x) 4csc(x) 5 = 0; x [748 ; 8 ] ; sec (x) + sec(x) = 0; x [74 ; 5 ] [ ; ] 5. 6tan (x) tan(x) 7 = 0; x [4 ; 65 ] ; 6tan (x) + tan(x) = 0; x [; ] [( );,68]

9 5. cot (x) cot(x) 8 = 0; x [ 45 ; 06 ] ; csc (x) + 5csc(x) + = 0; x [; 5] [( ) ; ] 54. sin (x) 4cos(x) = 0; x [4; 6] ; csc π π (x) + 4csc(x) + = 0; x [ 4; 8] 4, 44; 55. cot (x) + cot(x) + = 0; x [4; 9] ; cos (x) 4sin(x) = 0; x [ ; 8] [( 5,08 5,9 8,) ; ( 0,90 4,04 5,8)] Livello 56. 5sin (x + ) + sin(x + ) = 0; x [ ; ] ; cot (5 x) + 7cot( 5 x) = 0; x [ ; ] [(,57,00 0,8 0,95) ; (,95,5 0,9 0,0 0,4 0,75)] 57. tan 5 (4x ) tan(4x ) = 0; x [ ; ] π π π + 0,58 0,, 00, sec ( x) + sec( x) = 0; x [ ; ] ; cos (x + ) cos(x + ) = 0; x [ ; ] [( 0,58 0,8) ; ( 0,6 0,6,5,70)] 59. 4csc π π (x + ) + 5csc(x + ) + = 0; x [ ; ] cos (x + ) 9cos(x + ) + = 0; x [ 400 ; 5 ] [ ] 6. 8csc (x 47 ) csc(x 47 ) + = 0; x [ 5 ; 45 ] [45 40 ] 6. cot (58 x) + 7cot(58 x) + = 0; x [ 05 ; 78 ] [x x ] 6. sin (x + 5 ) sin(x + 5 ) = 0; x [ 0 ; 5 ] [ ] 64. 6sec (x + 5 ) 7sec(x + 5 ) + = 0; x [ 45 ; 84 ] [ ] 65. 4tan (65 x) 7tan(65 x) + = 0; x [ 8 ; 4 ] ; cot 4 ( + x) + cot ( + x) 6 = 0; x (; 5) [( ); (,76,67 4,90)] 66. 4cos (x + 5 ) 4cos (x + 5 ) cos(x + 5 ) + = 0; x [ 5 ; 0 ] [ ] 67. sin (4x ) sin (4x ) + = 0; x [ 0 ; 05 ] [ ] 68. tan (x + ) tan (x + ) + tan(x + ) = 0; x [ ; ] π π π π 69. cot ( x) + cot ( x) cot( x) = 0; x [ ; 4 ] [ ] 70. csc 4 ( x) 5 csc ( x) + 4 = 0; x (; ) ; sin (4x ) = 0; x [ ; ] π + 6 7π + 8 π + 6 π + 4 5π + 4 7π + 4 9π + 4 ; (,6;,84; 0,6 ) sec (4x 5 ) + 8sec (4x 5 ) sec(4x 5 ) 6 = 0; x (0 ; 40 ) [ ] 7. 4cos (5 x) 0cos (5 x) cos(5 x) + 6 = 0; x (0; ) [ 0,8,47 95] 7. 0tan ( + x) + 47tan ( + x) 7tan( + x) + 6 = 0; x [ 40 ; 84 ] [ ] Vogliamo risolvere l equazione: sin(8x + 5) = cos( x); x [ 6; ]. Trasformiamo il coseno in seno (potremmo fare anche il viceversa): sin(8x + 5) = sin + x. Adesso imponiamo la condizione che i seni π π π siano uguali: 8x + 5 = + x + kπ 8x + 5 = π + x + kπ.risolviamo le due equazioni: 7 7 7x = π 7 + kπ 9x = π kπ x = π + kπ x = π + + kπ Vediamo quante soluzioni rientrano nell intervallo indicato: 98

10 π 7 π 7 5 π 4 π 6 π π 6 + kπ kπ kπ kπ k k. Calcoliamo valori approssimati degli estremi: π π 4 π 4 π , ;,57; 9,96; 0, 07 π 4 π 4 π 4 π 4 Quindi, tenuto conto del fatto che k deve essere intero abbiamo: 4 k 9 k 0. La data equazione ha un totale di = 8 soluzioni. Calcoliamone alcune: π 7 π 7 x = + ( 4π ) 5,79;...; x8 = + π 0, 49; π 7 π 7 x9 = + + ( 9π ) 5,;...; x8 = + 0, Risolvere le seguenti equazioni negli intervalli indicati Livello 74. sin(5x 5 ) = sin(75 x); x [0 ; 400 ] [ ] 75. sec(8x 68 ) = sec(5 7x); x [58 ; 76 ] [ ] 76. cos(x 47 ) = cos(57 9x); x [5 ; 498 ] [ ] 77. csc(6x+7 ) = csc(9 4x); x [5 ; 48 ] ; cot(9x +4 ) = cot(8 + 4x); x [5 ; 448 ] [( ) ; ( ] 78. tan(6x 58 ) = tan(4 5x); x [ ; 8 ] [x 5 7 x x x ] 79. csc(7x+4) = csc(8 x); x [ ; 5] x 5π 7 9,..., x π +, x π 4,..., x π = = = 8 = sec(4x + ) = sec(5 4x); x [ 4; ] 0 π + 6 π x =,..., x6 =,..., x9 = cos(5x + 4) = cos( x); x [ 5; ] x 0π ,..., x π 8, x π 9,..., x π = = = = cot(5x + ) = cot(4 + x); x [ ; 6] x π 5, x π +,..., x π = = 8 = 8. sin(x + 7) = sin(5 4x); x [ ; 5] x π 5 5,..., x π 7, x π 8,..., x π = = = 0 = 84. tan(8x + ) = tan( x); x [ 4; ] 9 x 4π 9 9, x π +,..., x π = = 7 = Livello 85. tan(7x + 94 ) = cot(7 x); x [0 ; 50 ] [ ] 86. sin(7x + ) = cos(49 x); x [50 ; 450 ] [ ] 87. cot(7x 4 ) = tan(85 6x); x [0 ; 80 ] [9 ] 88. cos(6x + ) = sin( 8x); x [5 ; 48 ] [ ] 89. csc(x + 8 ) = sec(67 7x); x [765 ; 948 ] [ ] 90. sec(7x 64 ) = csc(84 5x); x [80 ; 70 ] [ ] tan(6x 7) = cot(4 + x); x [ 5; ] π π +... π + π

11 cot(4x ) = tan( + 5x); x [ ; ] π π +... π + π sin(9x + 7) = cos( + x); x [ ; ] x π x π 6 x π x π = = = = π 4 π 4 6 π 6 + π 6 + 5π 94. csc(4x + 7) = sec(0 x); x [ ; ] cos(4x 5) = sin(7 + x); x [ ] x π x π... x π = = 8 = Livello Senza risolvere le equazioni determinare quante soluzioni sono comprese negli intervalli indicati 96. sin(4x) = 0,7; x [0 ; 60 ] ; sin(4x) = 0,; x [0 ; 00 ] ; sin(4x) = 0,5; x [00 ; 60 ] [8; 7 ; 5] 97. sin(0 x) = 0,4; x [ 00 ; 00 ] ; cos(70 + x) = 0,; x [00 ; 600 ] [; 5] 5π 5π 98. cos(4 x) = 0,; x ; 6 6 ; cot(5 x) = ; x [ 0 ; 400 ] [5; ] 99. tan(x + ) =,; x [ ; ]; sec(x + 5 ) = ; x [ 50 ; 00 ] ; csc( + x) = ; x [ 5; ] [ ; ; ] Con l aiuto dei grafici possiamo risolvere, almeno qualitativamente, anche equazioni non risolvibili con metodi analitici. Per esempio possiamo risolvere l equazione sin(x) = x, rappresentando nello stesso grafico la sinusoide e la retta y = x. Facilmente si vede che i due grafici si incontrano nell origine. Possiamo perciò concludere che l equazione data ha l unica soluzione x = 0. Utilizzando le rappresentazioni grafiche dire quante e, se possibile, quali soluzioni hanno le seguenti e- quazioni goniometriche Livello x 00. cos(x) = x ; tan(x) = x ; sin = x ; cos(x) = x[x 0,74]; tan(x) = x + ; sin(x) = x [infinite; 0 ; x 0,50 ; infinite ; ] x 0. cos(x) = x ; sin(x + ) = x ; + sin(x) = x ; cos = x ; tan(x) = x [x 0,8 ; x 0,69 ; x,5 ; x 0, ; infinite] x 0. sin(4x ) = x ; + cos(x) = x ; tan = x ; sin(x) = + x [x 0, ; x 0,58 ; infinite ; x 0,7] Livello 0. cos(x) = x ; tan(x) = x ; sin(x) = x ; cos(x) = x [x ±0,8 ; infinite ; x 0,88 ; x 0,74] 04. tan(x) = x + ; sin(x ) = x ; cos ( x) = ; tan( x) = [infinite ; x 0,4 ; infinite ; infinite] x x 05. sin( x) = ; + cos ( x ) = ; tan ( x) = ; sin( x) = [infinite ; infinite ; infinite ; infinite] x x x x 06. cos(x) + sin(x) = x ; cos(x) sin(x) = x ; sin(x) + cos(x) = x [x,6 ; x 0,46 ; (x 0,56;x,5)] 00

12 Data una semicirconferenza di diametro AB lungo, vogliamo determinare su di essa, se esiste, un punto C 4 in modo che sia AC + BC =. Consideriamo la figura. Abbiamo evidenziato uno dei due angoli acuti, che scegliamo come incognita, dato che esso ovviamente dipende dalla posizione di C sulla semicirconferenza. Possiamo trasformare la condizione data in un equazione goniometrica, usando le proprietà sui triangoli rettangoli avremo, detto ABC ˆ = x, abbiamo: 4 AC = AB sin( x) = sin( x) ; BC = AB cos ( x) = cos ( x) AC + BC = 4 4 sin ( x) + 4 cos ( x) = 6 sin ( x) + 8 cos ( x) 4 = 0. L equazione si risolve trasformando seno in coseno o viceversa: 6sin (x) + 8 [ sin (x)] 4 = 0 sin (x) = 0. Facilmente si nota che l equazione non ha alcuna soluzione, quindi neanche il problema ne ha. Se invece la richiesta fosse stata: AC BC =, l equazione da risolvere sarebbe stata: sin ( x) 8 sin ( x) 4 = 04 sin ( x) = 0 sin ( x) = sin( x) = 7 7 Abbiamo scelto solo il valore positivo poiché l angolo deve ovviamente essere acuto, quindi un valore approssimato dell angolo soluzione sarà: sin 67 47'" 7. 6 Risolvere i seguenti problemi nei quali si deve impostare e risolvere un equazione goniometrica Livello 07. In una circonferenza una corda è perpendicolare al diametro e lo divide in due parti che stanno nel rapporto. Determina l ampiezza dell angolo al centro che insiste sulla corda. [ 5 4 ] Determinare le misure degli angoli interni di un triangolo rettangolo di ipotenusa lunga,89 e di area,7. [ ; 40 5 ] 09. Determinare la misura di uno degli angoli alla base α di un triangolo isoscele di perimetro 4,77 e lato obliquo,47. [ ] 0. Un triangolo isoscele di lato obliquo lungo,4 ha area 4,9. Quanto misura uno degli angoli alla base? [ 4 6 oppure ]. Su una semicirconferenza di diametro lungo 5,05, si scelga un punto C. Sia D la proiezione di C sulla tangente alla semicirconferenza in B. Se CD =,80, determinare CAB ˆ. [ ]. Il rettangolo ABCD ha lati AB = e BC =. Sulla retta condotta perpendicolarmente al piano del rettangolo nel punto medio del lato BC prendiamo un punto V in modo che il piano dei punti V, B, C formi col piano di ABCD un angolo x. Determinare x in modo che il volume della piramide di vertice V e base ABCD sia pari a unità cubiche. [ 6 5 ]. Sia P un punto sull arco AB, quarta parte di un cerchio di centro O e raggio r. Determinare la misura dell angolo AOP ɵ in modo che l area del triangolo isoscele OCP di base OP e con C appartenente al segmento OA, sia r. [ ] 4. Siano A e B due punti sulla circonferenza di centro O e raggio r. Determinare la misura di AOB ɵ in modo che l area del triangolo equilatero ABC sia r. [ ] Livello 5. Dato il triangolo isoscele ABC, di angolo al vertice di 0 e base lunga 5, tracciare il segmento AD, 0

13 DAB ˆ, in modo che il raggio della circonferenza circo- [ 84 4' ] con D sul lato BC. Determinare la misura di scritta al triangolo ABD misuri In una circonferenza una corda forma con il diametro un angolo di 5 e lo divide nel rapporto. Determina l ampiezza dell angolo al centro che insiste sulla corda. [ ] 7. Sia D un punto sull arco AB, quarta parte di un cerchio di centro O e raggio 4. Considera la proiezione ortogonale F di D sul raggio OB e il punto medio E del raggio OA. Determina la misura di AOD ˆ sa- pendo che DE + DF = 7,. [ ] 8. Sia P un punto sull arco AB, quarta parte di un cerchio di centro O e raggio r. Determinare la misura dell angolo AOP ˆ in modo che l area del quadrilatero OACP (C intersezione delle tangenti alla circonferenza in P e in A) sia r. [ 8 4 ] 4 9. In un triangolo rettangolo di ipotenusa lunga 7,75, la somma fra un cateto e la proiezione dello stesso cateto sull ipotenusa è 4,8. Calcolare gli angoli acuti. [ ; 64 7 ] 0. In un triangolo rettangolo di ipotenusa lunga,87, la differenza fra un cateto e la proiezione dello stesso cateto sull ipotenusa è 0,87. Quanto misurano gli angoli acuti? [ , oppure 4 0, ]. In un trapezio isoscele di perimetro 6,90, le diagonali sono perpendicolari ai lati obliqui. Determinare la misura dell angolo che la detta diagonale forma con la base maggiore, che è lunga 6,77. [ 7 44 oppure 5 0 ]. Su una circonferenza di diametro AB lungo 4, cm, si consideri un punto C. Determinare la misura di BAC ˆ in modo che, detta D la proiezione di C sulla retta perpendicolare in B ad AB, si abbia AC + CD=4,86 cm. [ oppure 59 ]. Data una semicirconferenza di diametro AB, sia un punto C su di essa e sia H la sua proiezione ortogonale su AB, determinare per quale valore dell angolo CAB ɵ CB + AH, si ha =. [ ] AB + HB 4 4. Data una semicirconferenza di diametro AB, sia un punto C su di essa e sia H la sua proiezione ortogonale su AB, determinare per quale valore dell angolo CAB ɵ, si ha CB + AH =. [0 ] AB + HB 5. Il punto K è la proiezione sul diametro di un punto P su una semicirconferenza di diametro AB = r. Determinare la misura di PAB ɵ 9 in modo che sia AK + PB = r. [ oppure 58 6 ] 4 6. Un cono è circoscritto a una sfera di raggio,4 cm. Determinare l ampiezza dell angolo di apertura del cono, in modo che il volume dello stesso cono valga 8,4 cm. [ o ] Livello 7. Dato il triangolo rettangolo ABC, dal punto medio M dell ipotenusa AB si tracci la perpendicolare al cateto BC che lo incontra nel punto D. Determinare la misura di ABC ˆ AC MD in modo che sia =. BD BC [ ] AC MD 8. Con riferimento al precedente quesito se si ha = p, con p numero reale positivo, qual è il BD BC massimo valore che può assumere p? [4] 9. In figura, AB è lungo 6 cm, O è il centro della semicirconferenza, gli angoli in O e C sono retti. Determinare la misura di ABP ˆ in modo che sia CD =,9 cm. [ ] 0

14 Equazioni omogenee in seno e coseno Un altro tipo di equazioni facilmente risolvibili sono le cosiddette equazioni omogenee in seno e coseno. Poniamo una definizione. Definizione Dati a, b e c numeri reali e f(x) una funzione reale di variabile reale a sin[f(x)] + b cos[f(x)] = 0, si chiama equazione omogenea di I grado in seno e coseno a sin [f(x)] + b sin[f(x)] cos[f(x)] + c cos [f(x)] = 0, si chiama equazione omogenea di II grado in seno e coseno. Vediamo perché questo tipo di equazioni si risolve abbastanza semplicemente. Esempio 8 Vogliamo risolvere l equazione sin(4x + ) 5cos(4x + ) = 0. Cominciamo ad osservare che né le soluzioni dell equazione sin(4x + ) = 0, né quelle dell equazione cos(4x + ) = 0, sono soluzioni dell equazione data. Infatti se si annulla il seno non si annulla il coseno e viceversa. Ciò significa che possiamo dividere per sin(4x + ) o per cos(4x + ), ottenendo così: tan(4x + ) 5 = 0 5cot(4x + ) = 0. Risolviamo la prima: tan(4x + ) = 5 4x + = 5 tan + kπ 4x +,0 + kπ x 0,0 + k π. Uguale risultato 4 avremmo ottenuto risolvendo l altra equazione. Vediamo adesso un esempio di equazione di II grado omogenea. Esempio 9 Vogliamo risolvere l equazione 7sin (x 0 ) + 4sin(x 0 ) cos(x 0 ) = 0. Stavolta non possiamo dividere per sin(x 0 ), poiché in tal modo verremmo a perdere delle soluzioni. Quindi trattiamo la detta equazione come se fosse una spuria di II grado, ossia mettiamo in evidenza il fattore comune e applichiamo il principio di annullamento del prodotto: sin(x 0 ) [7sin(x 0 )+ 4cos(x 0 )] = 0sin(x 0 ) = 0 7sin(x 0 )+4cos(x 0 ) = 0 In tal modo dobbiamo risolvere due equazioni, la seconda delle quali è una omogenea di I grado. sin(x 0 ) = 0 x 0 = k 80 x = 0 + k 60 7tan(x 0 ) + 4 = 0 x k 80 x k 60 Invece l equazione 7sin (x 0 ) + 4sin(x 0 ) cos(x 0 ) + cos (x 0 ) = 0, la risolviamo dividendo per cos (x 0 ) = 0 o per sin (x 0 ). Nel primo caso avremo: 7tan (x 0 ) + 4tan(x 0 ) + = 0, che è priva di soluzioni reali, avendo il discriminante negativo. Ovviamente dividendo per sin (x 0 ) avremmo ottenuto un equazione diversa, ma equivalente e quindi anch essa priva di soluzioni reali. 0

15 Verifiche Risolviamo l equazione sin(7x + ) cos(7x + ) = 0, x ( ; ), che è omogenea di I grado in seno e coseno. Dividiamo per cos(7x + ): tan(7x + ) = 7x + 0,96 + kπ x 0,6 + k π. Adesso si 7 tratta di vedere quali soluzioni appartengono all intervallo indicato. Deve perciò essere: < 0,6 + k π <,74 < 7 k π <,6 k. 7 Abbiamo tenuto conto che k deve essere un numero intero. Quindi vi sono 6 soluzioni: x,6; x,6; x 0,7; x 4 0,6; x 5 0,9; x 6 0,64. Risolvere le seguenti equazioni omogenee di I grado in seno e coseno Livello. sin(x) cos(x) = 0; x [0 ; 0 ] ; sin(x) + cos(x) = 0; x [ 0 ; 07 ] [ ; 45 ] π π. sin( x) cos ( x) = 0, x [ ;] ; sin( x) + cos ( x) = 0, x [ 4; ] ; 6 6. sin( x) cos ( x) 0, x [ 50 ;70 ] + = ; sin(x) cos(x) = 0; x [57 ; 50 ] [ 0 50 ; ] sin x + cos x = 0, x ; 4. sin(x) + 5cos(x) = 0; x [ 5 ; 000 ] ; ( ) ( ) [ ] 48'5" 9 48'5" 47 48'5" 65 48'5" 8 48'5"; tan 0, sin(x) cos(x) = 0; x [ ; ] ; sin(x) cos(x) = 0; x [ ; 5] tan 0, 64; 0,, 46 4 Livello 6. sin(x ) cos(x ) = 0; x [0 ; 40 ] [ ] 7. 6sin(7x + 4 ) 8cos(7x+ 4 ) = 0; x [ ; 45 ] [x x x x ] 8. 4sin(x+ ) + 9cos(x+ ) = 0; x [5 ; 46 ] [ ] 9. sin(x 47 ) + cos(x 47 ) = 0; x [45 ; 5 ] [8 ] 0. sin(4x+ 5 ) cos(4x+ 5 ) = 0; x [47 ; 84 ] [ ]. sin(7x 5) + cos(7x 5) = 0; x [; ] π sin(x 4) 4cos(x 4) = 0; x [ ; ] [,7 0, 0,7,78,8]. sin(5x ) + 5cos(5x ) = 0; x [; 5][,0,65,8,9,54 4,6 4,79] 4. 4sin(x ) 5cos(x ) = 0; x [ ; 4] [,46 0,4 0,6,68,7,77] 5. sin(7 x) + 7cos(7 x) = 0; x [ ; 4] [,86 0,9,9,85] L equazione sin (x) sin(x) cos(x) + 4cos (x) = 0, non è omogenea in seno e coseno a causa della presenza del termine noto. Però noi sappiamo che in goniometria vale la seguente identità, per qualsiasi angolo x: sin (x) + cos (x) =, pertanto possiamo riscrivere la data equazione nel seguente modo equivalente: sin (x) sin(x) cos(x) + 4cos (x) [sin (x) + cos (x)] = 0 sin (x) + sin(x) cos(x) cos (x) = 0 che adesso è un equazione omogenea e possiamo perciò risolverla con il consueto metodo: tan (x) + tan(x) = 0 ( ) ± ± 7 tan x = = x 0,5+ k π x, 0 + k π 04

16 Risolvere le seguenti equazioni omogenee, o riconducibili a esse, di II grado in seno e coseno, negli intervalli indicati Livello 6. sin (x) sin(x) cos(x) + cos (x) = 0, x [ ; ] ; sin (x) + sin(x) cos(x) = 0, x [ ; ] π ; (, 5 0,89 ) 4 7. sin (x) 4sin(x) cos(x) cos (x) = 0, x [ 07 ; 8 ] [ ] 8. 5sin(x) cos(x) + cos (x) = 0, x [ 0 ; 57 ] ; 4sin (x) cos (x) = 0, x [ 5; ] [( );,6] 9. sin (x) sin(x) cos(x) + cos (x) = 0,x [ 8 ; 4 ];5sin (x) + 7sin(x) cos(x) + cos (x) = 0, x [ 4; 0] [ ; (, 0,89)] 0. sin (x) 7sin(x) cos(x) + 0cos (x) = 0, x [ 4 ; ] [x x x x ]. sin (x) 5sin(x) cos(x) + 6cos (x) = 0, x [; 5] ; sin (x) 5sin(x) cos(x) + 6cos (x) = 0, x [ 0 ; ] [(,5 4,9) ; ( )] Livello. sin (x ) sin(x ) cos(x ) = 0, x [ 45 ; 40 ] [ ]. sin (x 5) 6cos (x 5) = 0, x [ ; ] [ 0,05 0,4,5] 4. sin(5x ) cos(5x ) + cos (5x ) = 0, x [ 5 ; 4 ] [ ] 5. sin ( x) sin( x) cos( x) cos ( x) = 0, x [ ; ] [,66 0,87 0,09 0,70,48,7] 6. sin (7 x) 5sin(7 x) cos(7 x) + cos (7 x) = 0, x [ 5 ; 7 ] [ ] 7. sin (x) + 4sin(x) cos(x)+cos (x) = ; x [0 ; 0 ]; sin (x) sin(x) cos(x) + cos (x) = ; x [4; 6] π 7π 5 ; 4 8. cos (x) + sin(x) cos(x) sin (x) = 4; x [0 ; 465 ]; sin (x) sin(x) cos(x) +5cos (x) = 4; x [; 6] [ ; (,54,4 5,68)] 9. sin (x) + 4sin(x) cos(x) +6 cos (x) = ; x [04 ; 45 ] [ 6 6 ] 0. sin (x) + 4sin(x) cos(x) cos (x) = ; x [; 5] ; cos (x) + sin(x) cos(x) sin (x) = ; x [; 7] π ; 4 Livello. sin (x ) sin(x ) cos(x ) + cos (x ) = 0, x [ ; ] [,]. sin (4x ) sin(4x ) cos(4x ) + cos (4x ) = 0, x [ ; ] 4 π 4 9π π sin (5x ) + sin(5x ) cos(5x ) 4cos (5x ) = 0, x [; ] [,05,9,45,5,68,9] 4. sin (x + ) sin(x + ) cos(x + ) + 4cos (x + ) = 0, x [ ; 4] [ ] 5. sin (x + ) 6sin(x + ) cos(x + ) + cos (x + ) + = 0, x [; 5] π π π 6. sin (4x ) sin(4x ) cos(4x ) 4cos (4x ) + = 0, x [ ; ] [,98,75,0] 7. sin (7x 5 ) 4sin(7x 5 ) cos(7x 5 ) + cos (7x 5 ) = 0, x [ 4 ; 57 ] [ ] 8. 4sin (x + 4 ) + sin(x + 4 ) cos(x + 4 ) 8cos (x + 4 ) = 0, x [ 48 ; 7 ] [ ] 9. sin (x 5 ) 4sin(x 5 ) cos(x 5 ) cos (x 5 ) = 0, x [ ; 48 ] [ }] 05

17 40. sin (5x + 4 ) sin(5x + 4 ) cos(5x + 4 ) + cos (5x + 4 ) = 0, x [0 ; 5 ] [6 48 ] 4. 5sin (6 x) sin(6 x) cos(6 x) 5cos (6 x) + = 0, x [ ; 08 ] [ ] 4. 4sin (4x + 8 ) sin(4x + 8 ) cos(4x + 8 ) cos (4x + 8 ) = 0, x [ ; 7 ] [ ] 4. sin (x) + sin (x)cos(x) + sin(x) cos (x) 4 cos (x) = 0, x [ 00 ; 50 ] [45 ] L equazione sin 4 (x) sin (x) cos (x) cos 4 (x) = 0, è ancora un equazione omogenea, di IV grado stavolta. Il procedimento risolutivo è simile ai precedenti, dando luogo alla risoluzione di un equazione biquadratica. 4 ± + 8 ± tan ( x) tan ( x) = 0 tan ( x) = = = 4 4 La soluzione negativa non è ovviamente accettabile, pertanto dobbiamo risolvere solo l equazione: π π π tan ( x) = tan( x) = ± x = ± + k π = + k. 4 4 Risolvere le seguenti equazioni omogenee di IV grado in seno e coseno Livello 44. sin 4 (x) sin (x) cos (x) = 0, x [0 ; 50 ] ; sin 4 (x) cos 4 (x) = 0; x [750 ; 876 ] [( ) ; ( )] 45. sin (x) cos (x) + cos 4 (x) = 0; x [64 ;748 ]; cos 4 (x) sin (x) cos (x) + sin 4 (x) = 0; x [578 ;749 ] [60 ; ] 46. sin 4 (x) sin (x) cos (x) cos 4 (x) = 0; x [647 ; 84 ] ; 4sin 4 (x) + cos 4 (x) = 0; x [ 4; 7] [( ) ; ] 47. sin 4 (x) + sin (x) cos (x) 5cos 4 (x) = 0; x [ ; ] ; sin 4 (x) + sin (x) cos (x) cos 4 (x) = 0; x [; 5] [( 0,9 0,9,) ;,8] 48. 4cos 4 (x) sin (x) cos (x) 5sin 4 (x) = 0; x [4; 7] ; sin 4 (x) + 5 sin (x) cos (x) cos 4 (x) = 0; x [0; ] [ 5,44 ; 0,40] L equazione sin 4 (x) sin (x) cos (x) cos 4 (x) =, non è un equazione omogenea di IV grado, ma può ricondursi a essa mediante una procedura simile a quella mostrata per le omogenee di II grado. sin 4 (x) sin (x) cos (x) cos 4 (x) [sin (x) + cos (x)] = 0 sin 4 (x) sin (x) cos (x) cos 4 (x) [sin 4 (x)+ + cos 4 (x) + sin (x) cos (x)] = 0 sin 4 (x) + 7sin (x) cos (x) + 4cos 4 (x) = 0 tan 4 (x) + 7tan (x) 7 ± ± + 4 = 0 tan ( x) = =. Stavolta entrambe le soluzioni sono negative, quindi l equazione non ha soluzioni. Risolvere le seguenti equazioni riconducibili a omogenee di IV grado in seno e coseno Livello 49. 9sin 4 (x) sin (x) cos (x) 0cos 4 (x) = ; x [0 ; 40 ] [ ] 50. 4sin 4 (x) + 6 sin (x) cos (x) = 5; x [75 ; 476 ] [ ] 5. 5sin 4 (x) + sin (x) cos (x) + 6cos 4 (x) = 8; x [ 6 ; 48 ] [ ] 5. sin 4 (x) sin (x) cos (x) = ; x [0 ; 405 ] [ ] 5. sin 4 (x) + 7sin (x) cos (x) 6cos 4 (x) = ; x [ 67 ; 4 ] [ ] 54. 7sin 4 (x) + 6sin (x) cos (x) 5cos 4 π π 4π (x) = 6; x [; 5] 55. 4sin 4 (x) + cos 4 (x) = ; x [ ; ] ; sin 4 (x) cos 4 (x) + = 0; x [ ; ] [ ± 0,68 ; ±0,90] 06

18 56. 7cos 4 (x) sin (x) cos (x) sin 4 7π 5π (x) = ; x [ 4; 0] sin 4 (x) + sin (x) cos (x) = 0; x [ ; ] [ ±,08,06] 58. 5sin 4 (x 5 ) 5sin (x 5 ) cos (x 5 ) + cos 4 (x 5 ) = ; x [ 78 ; 9 ] [ ] 59. sin 4 ( x) + sin ( x) cos ( x) cos 4 ( x) = ; x [5 ; 50 ] [ ] 60. 5sin 4 (5 4x) + sin (5 4x) cos (5 4x) + cos 4 (5 4x) = ; x [ 6 ; 8 ] [ ] 6. cos 4 (7 + x) sin (7 + x) cos (7 + x) + sin 4 (7 + x) + = 0; x [ 7 ; 9 ] [ ] 6. 4sin 4 (5x + 47 ) + sin (5x + 47 ) cos (5x + 47 ) cos 4 (5x + 47 ) + = 0; x [ 66 ; 4 ] [ ] 6. sin 4 ( x) + sin ( x) cos ( x) 4cos 4 ( x) = ; x [ ; ] π π 7π 5π π 64. sin 4 (x + ) + 6sin (x + ) cos (x + ) 5cos 4 (x + ) = 0; x [ ; ] π 8 π 8 π π 65. cos 4 (x ) 6sin (x ) cos (x ) + sin 4 (x ) + = 0 ; x [ ; ] 8 9 π 8 7 π π 66. sin 4 (x + 5) cos 4 (x + 5) + = 0; x [ ; 0] [ ] 67. sin 4 (x ) + sin (x ) cos (x ) + 5cos 4 (x ) = ; x [ ; ] [, 0,47 0,5] Risolvere i seguenti problemi nei quali deve impostarsi e risolvere un equazione omogenea Livello 68. Data una semicirconferenza di diametro AB lungo, determinare su di essa un punto C in modo che 7 5 sia AC BC =. Esprimere il risultato in termini dell angolo β. [β ] Nel triangolo rettangolo ABC di ipotenusa lunga 4,84 cm, si tracci l altezza CH. Determinare la misura di ABC ˆ in modo che sia CH + BH =,07. [ 6 0 ] 70. Nel trapezio rettangolo ABCD, la diagonale AC è perpendicolare al lato obliquo BC, la base maggiore AB è lunga 5,5. Determinare il valore dell angolo formato da AB e BC in modo che sia BC + CD AD = 0,. [ ] 7. Determinare l ampiezza dell angolo di apertura di un cono di altezza,5, in modo che la superficie laterale del cono valga 49,5 cm. [ 9 ] 7. In una semicirconferenza di diametro AB lungo r, sia un punto P, di cui M è la proiezione su AB. Determinare la misura di P ÂM in modo che la somma del quadruplo di AM con il doppio di MP sia r. [ ] 7. Traccia la tangente t nel punto B alla semicirconferenza di diametro AB. Sia C un punto sulla semicirconferenza. D la sua proiezione su AB ed E quella su t, determina la misura di CAB ˆ in modo che sia CD + CE = 4,5 AD. [ ] 74. Dato il triangolo ABC inscritto in una semicirconferenza di diametro AB, si tracci la perpendicolare in B e sia D l intersezione di essa con il prolungamento del cateto AC. Determinare la misura di ABC ˆ in modo che sia CD + BC = 4 AC. [ ] 75. Sia una semicirconferenza di diametro AB, prolunghiamo AB dalla parte di A di un segmento AC lungo quanto il raggio. Scelto un punto D sulla semicirconferenza, determinare la misura dell angolo DAB ˆ in modo che si abbia: AD BD = CD. [ o ] 5 07

19 Disequazioni goniometriche A questo punto il passaggio alle disequazioni appare abbastanza semplice. Esempio 0 Per risolvere la disequazione sin(x 48 ) >, consideriamo la circonferenza goniometrica: Abbiamo indicato in rosso le soluzioni, limitatamente all intervallo [0 ; 60 ]. Come era facile da capire, il seno è maggiore di se l argomento appartiene a (0 ; 50 ). Perciò: 0 < x 48 < 50, o, tenuto conto della periodicità: 0 + k 60 < x 48 < 50 + k k 60 < x < 98 + k k 0 < x < 66 + k 0. Se invece avessimo cercato soluzioni in [0 ; 70 ] avremmo 6 < x < 66 ; invece per x [7 ; 70 ] avremmo 7 x < 66 ; infine se x [7 ; 60 ] la soluzione è 7 x 60. Vediamo adesso come risolvere una disequazione goniometrica di secondo grado. Esempio Risolvere tan ± + (x) tan(x) > 0. tan( x) = è la soluzione dell equazione di secondo grado in 6 + tangente, quindi la disequazione ha soluzioni: tan( x) > tan( x) <, passando alle funzioni inverse avremo: x > tan 0,65 x < tan 0, Rappresentiamo graficamente sul- la circonferenza goniometrica. Ovviamente escludiamo ± π/, valori per i quali la tangente non esiste. Le soluzioni sono sempre rappresentate in rosso. Allora, indicando per semplicità con α 0,65 e con β 0,4, scriviamo: α + kπ < x < π/ + kπ π/ + kπ < x < π + β + kπ. Potevamo anche compilare una tabella in cui porre i segni dei singoli fattori, piuttosto che avvalerci della circonferenza goniometrica. 08

20 Verifiche Vogliamo risolvere la disequazione tan( x) 4 <. Intanto cominciamo a vedere quando la tangente è π uguale a e sappiamo che ciò accade per x = + kπ. Il grafico seguente ci mostra invece quando la tangente è minore di. Pertanto avremo le seguenti soluzioni: π k 4 x π k 4 π k x 4 π 4 π π 4 π π + π < < + π + + π < < + + kπ + k < x < + k. Osserviamo che non è necessario cambiare il segno di kπ, poiché k indica un qualsiasi intero relativo. 9 6 Vogliamo risolvere la disequazione sec x 5 > nell intervallo [0 ; 60 ]. Questa è equivalente alla disequazione >. Quest ultima, a sua volta, se il denominatore è positivo equivale a x cos 5 cos x 5 <, mentre se il denominatore è negativo, ovviamente non ha soluzioni. Se 0 x 60 x x x allora 0 < < 60 0 < < < 5 < 55. Quindi il coseno sarà positivo quando il suo argomento apparterrà a [0 ; 90 ] [70 ; 450 ]. Perciò la disequazione di partenza è equivalente al sistema: x cos 5 <. Detto α = cos 70 '44", a- x x 0 < 5 < < 5 < 450 x α < 5 < 60 α vremo: x. In effetti anche α + 60 < 5 < 60 α + 60 è soluzione, ma essa equivale a 50 + α < x 60. Quindi il sistema da risolvere diviene: x x 5 < < < < 465 α + 0 < x < 50 α 50 + α < x 60. Infine le soluzioni sono: α + 0 < x < < x < < x < 0 < x < 50 α 50 + α < x 60, come si vede dal grafico seguente, in cui le parallele all asse y sono quelle passanti per gli estremi delle disequazioni. 09

21 Risolvere le seguenti disequazioni negli intervalli indicati Livello In [0, 60 ] 0. cos(x) > 0 ; sin(x) > ; sin(x) [(0 < x < < x < 60 ) ; x = 90 ; (45 < x < < x < 5 )]. cos(x) < 0 ; tan( x ) < ; cot(x) [(90 < x < 70 ) ; (90 < x < < x < 0 ) ; (0 < x < x 5 )] In [0; π]. sin(x) ; cos(x) ; tan(x) < π 5π π π π 7π 0 x x π; x = π ; < x < < x < csc( x) ; tan(x) > 0; cot( x) Livello In [0 ; 60 ] 7 x π x ; 0 x π x π π π π ; 0 x π π x π = < < < < < < < < csc( x) ; sec(x) > ; sec( x ) > [(60 x 0 80 < x < 60 ) ; (0 < x < < x < 60 ); (45 < x < < x < 5 )] 5. sin( x 4 ) > ; sec(x 5 ) < [(8 < x < < x < < x < 88 ) ; (70 0 < x < 9 8 < x < < x < 7 8 < x < 40 0 )] 6. cos(4x + 5 ) > [0 x < x < < x < < x < < x 60 ] 7. cot ( x + ) < [5 40 < x < < x < < x < < x < ] 8. tan(5x + ) > [0 x < < x < < x < < x < < x 60 ] 9. csc(x + 7 ) > [0 x < < x < < x < < x < < x 60 ] In [0; π] 40. cos( x) > ; sec( x ) > 9 π x + π + π x + π π π π π < < < < ; 0 x < < x < < x π π + 8 π + 8 π + 8 5π + 8 7π + 8 9π sec(4 x) 0 < x < < x < < x <

22 4. sin( 4x + ) < π 4 9π 4 π 4 7π 4 9π 4 5π 4 7π 4 π 4 < x < < x < < x < < x < x 4. csc π 6 π 9π 6 ; tan x + ( 0 x 6 ); x x π < < < cot(5 x) 5 π 0 π π 5 + π 0 + π 5 + π 0 + 7π 0 x < x < x < x < < x π Risolvere le seguenti disequazioni negli intervalli indicati Livello In [0 ; 60 ] 45. sin(x) > 0,7 ; cos(x) < 0, [(α < x < 80 α, α 46 ) ; (α < x < 60 α, α 08 )] 46. tan(x) [α x < α x < 70, α ] 47. cot(x) 4 [0 < x α 80 < x 80 + α, α ] In [0; π] 48. sin(x) 0,8 ; cos(x) 0,54 [(0 x π + α π α x π, α 0,8) ; (0 x α π α x π, α,00)] 49. tan(x) ; cot(x) < π π < x α < x x + α; α, 0 ; ( α < x < π π + α < x < π; α,8) Livello In [0 ; 60 ] 50. sin(x + 5 ) < 0, [α < x < β 80 + α < x < 80 + β, α ; β 75 0 ] 5. cos(49 x) < 0,8 [α < x < β 80 + α < x < 80 + β, α ; β 56 6 ] 5. tan(4 x) > 0, [5 + k 90 < x < α + k 90, α 88 9, k = 0,,, ] 5. cot(x + 8 ) > 0,4 [0 x α 6 +k60 < x <α+k60 54 < x 60,α 0 6, k =,, 5] In [0; π] 54. sin(x) > 0, [0 x < π α α + kπ < x < π α + kπ α + π < x π; α = sin ( 0,)] 4 π π kπ 55. tan x <, x ; 0, 67, k 0,, α + < < + α = kπ kπ 56. cot(4x) >,4 < x < α + ; α 0,, k = 0,,...,7 4 4 Vogliamo risolvere la disequazione [sin(x) ] [cos (x) ] > 0. Scomponiamo il secondo fattore: sin( x) cos ( x) cos ( x) + > 0. Adesso determiniamo il segno dei singoli fattori, rappresentando ciascuno su una distinta circonferenza goniometrica Abbiamo rappresentato con il colore rosso e il tratto continuo i valori per cui l espressione è positiva, con il blu e il tratteggio laddove l espressione è negativa. Riportando il tutto in un unica circonferenza avremo

23 quanto segue. Quindi: 0 < x < 45 5 < x < 50 5 < x < 5. Risolvere le seguenti disequazioni negli intervalli indicati Livello 57. [sin(x) ] [tan(x) + ] < 0, x [0 ; 60 ] [0 x < 0, 90 < x < 5, 50 < x < 70, 5 < x 60 ] 58. sin( x) tan( x) > 0, x [ 0 ;60 ] [0 x < 0, 60 < x < 90, 0 < x < 0, 70 < x 60 ] 59. [sin(x) ] [cos(x) + ] 0, x [0 ; 60 ] [ 90 x 80 ] 60. sin( x) cot ( x) π π π 4π > 0, x [ 0; π ] < x < < x < π < x < π sec( x) csc ( x) π 4π π 5π 7π + 0, x [ 0; π ] 0 < x < x < x sin (x) < 0, x [0 ; 60 ] ; tan (x) 0, x [0 ; 60 ] [(0 x 60, x 90, 70 ) ; (60 x 0 40 x 00, x 90, 70 )] 6. csc (x) 0, x [ 00 ; 400 ] ; cot (x) < 0, x [ ; ] π π [( 45 x 45 5 x 5 5 x 400,x 0, 80, 60 ); < x < 64. sin (x) sin(x) < 0, x [ 50 ; 460 ] [0 < x < 80, 60 < x 460, x 90, 450 ] 65. cos π π (x) + cos(x) 0, x [ ; 4] x x 4 tan x tan x 0, x 00 ; ( ) ( ) [ ] [ 00 x x 0 0 x 80, x 90, 90 ] 67. sin (x) sin(x) 0, x [ 5 ; 54 ] [x = 90 0 x 0 x = 450 ] 68. cot ( ) ( ) x + cot ( x) < 0, x [ 50 ;750 ] 69. csc ( ) ( ) x csc( x) 0, x [ 50 ; 900 ] [50 x < 5 40 < x < < x < 675 ] [ 50 x 0 0 x x < 900, x 080 ] 70. ( ) ( ) 5 4 sin x + sin( x) + 0, x [ 0; 4] π x π π x π < sin (x) + sin(x) cos(x) + cos (x) > 0, x [ 0 ; 0 ] [x 45, 5 ] 7. sin ( ) ( ) x sin( x) cos ( x) cos ( x) > 0, x [ 70 ;08 ] [ 70 < x < 5 0 < x < < x < , x 90, 90, 70 ] 7. ( ) ( ) ( ) π π sin x + sin x cos x cos ( x) 0, x [ ; ] x, x sin(x)cos(x) + cos (x) 0, x [ ; 507 ] [90 x 5 70 x x 507 ] Livello sin( x) π π π < 0, x [ 0;π ] 0 tan( x) x < < x < π < x < π π < x π 6 6

24 sin( x) > 0, x [ 0;π ] tan( x) cos( x) 77. > 0, x [ 0;π ] + cot( x) sec( x) + < 0, x 0 ;60 + tan( x) sin( x) 0, x 0 ;60 tan( x) 78. [ ] 79. [ ] 4 sin ( x) 0, 0 ;60 + tan( x) 80. x [ ] 8. cot ( x ) cos ( 4x + ) + < 0, x [ 0 ;90 ] 8. cos ( 4x + ) tan( x ) 0, x [ ;] π π x < < x < π x π π < x π π 5 0 < x < π < x < π x π π < x < π 6 6 [0 x 90 0 x 5 40 < x < 5 x 70 ] [0 x < x 0 70 x 60, x 0 ] [0 x < 90 0 < x 50 0 x < < x 0 ] [0 x < < x < < x 90 ] π 4 π π 5π π 4 π π + x x x x cos (4x + ) > 0, x [ ; ] π π π + π + π + π < x < < x < < x < sin( x) + cot ( 5x ) + + 0, x [ ;] 6 π π 6 7π π 6 π 6 + 5π + π < x < < x < < x < < x < tan (x + 5 ) < 0, x [ 0 ; 05 ] [5 < x < 5 75 < x < 95, x 5, 85 ] 86. cos(x + ) + cos (x + ) 0, x [ ; ] π + x π +, x π < < 9 9 sin x cos x > 0, x ;456 [0 < x < < x < 0 90 < x < 450 ] 87. ( ) ( ) [ ] π 88. sin(x) + cos(x) > 0, x [ ; 4] x 4 sin x + cos x 0, x ;56 [50 x 80 ] 89. ( ) ( ) [ ] 90. sin( 4x ) cos ( 4x ) > 0, x [ ; ] 5π π + π + π π π + π + 4π < x < < x < < x < < x < cos( x) > 0 Vogliamo risolvere il seguente sistema di disequazioni goniometriche: 4 sin ( x) 0. Risolviamo singolarmente ciascuna disequazione: cos ( x) > 0 x < < x π. Passiamo alla seconda: 0 x π π 5π π 5π 7π π 4 sin ( x) 0 sin ( x) sin( x) 0 x x x π Rappresentiamo graficamente le due situazioni e poi le eventuali soluzioni comuni.

25 Pertanto le soluzioni del sistema sono: π π 0 x x π Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni goniometriche Livello sin( x) > cos( x) > 9. tan( x) < 0 ; sin ( x) > 0 0 x 60 0 x 60 [(0 x < x < 0 0 < x 60 ) ; (45 < x < < x < 5 )] sin( x) < csc ( x) 4 < 0 sin( x) < 9. tan( x) < 0 ; 4 sin ( x) < 0 ; 0 x π cos( x) > 0 0 x 60 0 x π π x < π < x < π π < x π; ; π < x < π sin( x) < cos( x) > 9. cos( x) < 0 ; 4 sin ( x) < 0 [(45 < x < 60 0 < x < 5 ); (0 x < 0 0 < x 60 )] 0 x 60 0 x 60 Livello sin( x) < 0 csc( x) < 0 cot ( x) > 0 cot ( x) > 0 sin( x) + > ; ; 4 cos ( x) < csc( x) > tan( x) 0 0 x 60 0 x π 0 x 60 π 0 < x < ; (60 < x < 90 ) ; (0 < x < 0 50 < x < 80 0 < x < < x < 0 ] ( x) ( ) ( x) 4 sec < sin x < 0 x π 8 sin 0 ; sin( x) cos ( x) cot ( x) ( ) > < 0 + < 0 tan x 0 x π π x < π < x < π π < x π;

26 96. ( ) ( x) ( ) ( x) tan x sin sin x + > 0 sec 0 x 60 ; sin x > cos x < 0 x 60 [(0 < x < 90 0 < x < 70 ) ; (90 < x < 80 )] Risolvi i seguenti problemi in cui si devono impostare e risolvere disequazioni Livello 97. Determinare in quale intervallo varia la misura dell angolo acuto maggiore di un triangolo rettangolo di ipotenusa lunga 8,58 e di area compresa tra, e 4,8. [ < α < ] 98. Un triangolo isoscele di lato obliquo lungo,06, ha il perimetro minore di 6. Che valori possono assumere gli angoli alla base? [minori di 6 5 ] 99. Dato un sistema di assi cartesiani ortogonali di centro O, tracciare la circonferenza γ di raggio unitario e centro O. Siano A (; 0), B (0; ), POA ˆ = x. Determinare per quali x si ha,54 < PQ <,9. [ 6 4 < x < o < x < ] 00. Con riferimento al precedente problema, sia B (0; y) e PQ =, determinare per quali valori di y il problema ammette soluzioni. [ y o y ] 0. Con riferimento al precedente problema, sia B (0;,) e PQ = k, determinare per quali valori di k il problema ammette soluzioni. [ 4, k, o, k 4,] 0. In un triangolo rettangolo di ipotenusa lunga 8,6, la differenza fra un cateto e la proiezione dell altro cateto sull ipotenusa è compresa tra,5 e 5,. In quale intervallo si trovano le misure degli angoli acuti? [ < β < , 0 5 < γ < 47 4 ] 0. In un triangolo rettangolo di ipotenusa lunga 7,08, la somma fra un cateto e la proiezione dell altro cateto sull ipotenusa è compresa tra 8,6 e 8,7. In quale intervallo si trovano le misure degli angoli acuti? [ < β < , 9 5 < γ < ; < β < , 0 49 < γ < 4 4 ] 04. Data una semicirconferenza di diametro AB lungo, determinare su di essa un punto C in modo che 4 sia AC BC <. [0 < β < ] Data una semicirconferenza di diametro AB lungo, determinare su di essa un punto C in modo che 5 5 sia < AC + BC <. [ < β < 90 ] Livello 06. Sia un quadrato ABCD di lato cm, si scelga un punto F sul lato BC, si tracci DF e sia EF perpendicolare a DF, con E sul lato AB. Determinare i valori che deve assumere l angolo FDC ˆ, in modo che la somma fra il triplo di FB e il doppio di AE sia minore di 8. [tra circa 54 e 45 ] Temi assegnati agli esami di stato I seguenti sono adattamenti dei temi assegnati in alcuni esami di stato degli anni scorsi, abbiamo variato solo la richiesta del problema, ma non i dati né lo spirito dei problemi. (Liceo scientifico 005/06) L equazione risolvente un dato problema è: k cosx 5k + = 0, dove k è un parametro reale e x ha le seguenti limitazioni: 5 < x < 45. Si discuta per quali k le radici dell equazione sono soluzioni del problema. < k < (Liceo scientifico 99/9) Sia ( ) ( ) x = sin t y = sin t. Esprimere y in funzione di x. 5 y = x x