12.3 Formule dei minimi quadrati

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1 240 Fit 1. se allora le gaussiane che descrivono la probabilità di intorno a diventano delle e quindi 2. Il caso generale di può essere trattatoesattamente nello stesso modo, con la complicazione che l integrale è un po più complicato. Il risultato è che si riconduce al caso precedente quando. Essenzialmente essa dice che si sostituiscono alle delle deviazioni standard effettive ottentue sommando in quadratura quelle delle e quelle delle, opportunamente propagate mediante la derivata, che nel caso lineare è esattamente. Ovviamente, in questocaso la soluzionediventa più complicata, ma il problema può essere affrontato per iterazione, calcolando e senza tener conto delle e poi inserendo nelle formule le deviazioni standard effettive calcolate con questo valore di. La convergenza è, in genere talmente rapida, che, se i punti sono già stati graficati, nemmeno vale la pena di fare troppi conti: basta valutare a occhio dal grafico e usare questo valore nel calcolo delle deviazioni standard effettive Formule dei minimi quadrati Riportiamo direttamente i risultati che si ottengono applicando i ragionamenti descritti nel paragrafo precedente nota e costante Indichiamo con Cov numero di punti sperimentali deviazione standard delle media aritmetica dei valori delle ascisse idem per valori delle ordinate idem per i quadrati idem per i prodotti Si noti come la non sia legata agli errori delle (nulli), ma alla distribuzione dei punti sperimentali proiettata sull asse delle ascisse. Con questo

2 12.3 Formule dei minimi quadrati 241 formalismo abbiamo quindi: E Cov (12.6) (12.7) E (12.8) (12.9) segno (12.10) Si noti la dipendenza delle incertezze dalla deviazione standard che descrive la distribuzione degli errori sulle, dal numero di punti sperimentali (il solito ), dal bracciodi leva dei punti sperimentali (quantificato da ) e, per quantoriguarda l intercetta, dalla distanzadelbaricentrodei puntidall asse. Il coefficiente di correlazione è pari a zero quando la coordinata del baricentro dei punti sperimentali è pari a 0, mentre aumenta in modulo quando i punti sono molto distanti. Il suo segno è uguale a quello della coordinata del baricentro. Si faccia inoltre a non confondere questo il correlazione fra e con quello fra e, ovvero. Si noti, inoltre, come l equazione 12.8 indica che il baricentro dei punti debba appartenere alla retta ottenuta dal fit. Questo rappresenta un modo rapido per verificare che non ci siano errori di calcolo ignote e supposte costanti Tutte le formule precedenti valgono ancora. La sola differenza consiste nel fatto che va valutato dagli scarti fra le ascisse dei punti sperimentali e quelle della retta che meglio approssima i punti, ovvero quella in corrispondenza di E e E. Si è già fatto cenno a questo metodo nel paragrafo In analogia con la deviazione standard, si calcola la radice quadrata della media dei quadrati degli scarti fra e le funzioni calcolate in. Inoltre, come spiegato nel paragrafo , il problema diventa complicato quando il numero di puntisperimentali è piccolo. Con i dovuticaveat espressi intale paragrafo, il modo usuale e che va nella direzione giusta di trattare il problema è di dividereper, anziché per, la somma deiquadratidei residui. Quindila formula pratica è (12.11)

3 246 Fit ove va sostituito nel modo indicato nel paragrafo precedente se le incertezze sono diverse. Le derivate vanno calcolate, come solito in corrispondenza di e. I conti vengono lasciati per esercizio. Si noti l andamento di in funzione di. Essa è minima in corrispondenza dei punti sperimentali, in quanto tutte le informazioni contribuiscono a costringere (probabilisticamente) il valore di in un piccolo intervallo intorno alla retta. A mano a a mano che ci allontana dai punti misurati la qualità dell informazionesu si deteriora, come indicato molto chiaramente dalla formula Questo è mostrato in modo eloquente nella figura 12.1, ove le due curve tratteggiate indicano la banda di intorno alla retta e quelle puntinate la banda di di (chiaramente le scale di e di coincidono). Infine, la figura 12.2 mostra infine la qualità della determinazione dei parametri e della determinazione di da a seconda di deviazione standard, numero e tipo di configurazione dei punti sperimentali Analisi grafi ca Vediamo quali sono i passi necessari per un analisi grafica che, condotta a termine fino in fondo, produce risultati quantitativiin accordo con quelli ottenibili mediante fit con i minimi quadrati. In molte esperienze, comunque, non è necessario procedere ad un analisi così accurata come quella proposta e ci si può fermare al primo passo Stima dei parametri Si traccia la retta stimata ad occhio, cercando di passare in mezzo a tutti i punti. Questa retta praticamente coincide con quella che si ottiene con i minimi quadrati. Si ricavano quindi dal grafico due punti che giacciono sulla retta, che siano ben distanziati e ben leggibili. Da questi si ricavano e (l intercetta si ottiene in genere più agelvomente in modo diretto, come è ben noto). Per quantoriguarda le cifre con cui rileggere i valori si noti come i punti della retta sono più stabili di quelli delle singole misure e quindi possono essere riletti anche con una cifra in più. Si ottengono quindi e con il numero di cifre che seguono dalle solite regolette sulle cifre significative Stima dell incertezza sui parametri ripetendo le misure Il modo più semplice, e che per le prime esperienze è indubbiamente istruttivo, è quello di ripetere più volte la misura e studiare le fluttuazioni dei risultati. Si tenga conto che, non facendo calcoli di errori massimi né propagazionivarie, è molto facile ripetere più volte le misure in alcune ore.

4 248 Fit Figura 12.3: Residui e barre di incertezza ( ) Stima dell incertezza della singola misura dai residui In realtà non c è alcun bisogno di ripetere le serie di misure. Se ciascuna serie contiene un numero sufficiente di punti (tipicamente, leggermente superiore al numero di parametri che si vogliono valutare) essa racchiude in sé le informazioni necessarie alla valutazione delle incertezze, o almeno a quelle derivanti da errori casuali, mediante il metodo dei residui. Una volta tracciata la retta si può leggere dal grafico, per ogni punto, il residuo, ovvero la differenza fra l ordinata misurata e il valore della retta in corrispondenza dell ascissa misurata, come mostrato in figura Si ottiene quindi, dalla media dei quadrati dei residui, la stima della deviazione standard delle ordinate, assumendo che sia la stessa per tutti i punti e attribuendo soltanto alle ordinate le deviazioni dal valore vero: Il nome sta a indicare sia che essa è calcolato dai residui sia che rappresenta l equivalente della deviazione standard di ripetitività delle misure. Il fattore al posto di ha la stessa giustificazione dell nella deviazione standard, tenendo conto che ora ci sono due vincoli fra i dati. Ripetiamo ancora una volta quanto detto a proposito di : anche se le ragioni profonde di questa scelta non sono sempre condivisibili, il risultato va nella direzione giusta. Anche qui, quando è dell ordine della decina, la correzione è ininfluente ai fini pratici. A questo punto, finalmente si conosce l errore casuale sulle ordinate in condizioni di ripetività (nell ipotesi che quello sulle ascisse sia trascurabile)! Ovviamente, si può anche fare l esercizio opposto e attribuire tutto l errore alle ascisse (senza dover fare tutti i conti, si può propagare su mediante la derivata: ). È interessante notare che, anche se il punto di vista cambia drasticamente, saranno invarianti le conclusioni sulle grandezze fisiche di interesse, legate a coefficiente angolare e intercetta.

5 12.6 Analisi grafi ca Valutazione semplifi cata di Spesso non c è tempo per rileggere tutti i punti della retta e calcolare dalla somma dei quadrati dei residui. Oppure, semplicemente, ci si accontenta di una sua stima al %, (sembra tanto, ma anche un incertezza del 50 % su è più che accettabile per molte applicazioni, specialmente se essa è ottenibile in tempi rapidi). In questi casi si possono tracciare, simmetricamente alla retta di migliore stima, due rette parallele tali che contengano i 2/3 circa dei punti. La distanza, lungo l asse delle ascisse, fra le due rette è approsimativamente uguale a. Analogalmente, si possono considerare la quasi totalità dei punti, e considerarlo un intervallo a 2 o a 3 deviazioni standard Barre di incertezza Soltanto a questo punto è lecito riportare le barre di incertezza sui punti del grafico. Ogni barretta verticale è centrata sul punto sperimentale ed ha lunghezza Incertezza dei parametri mediante ricavata dai dati Nota la deviazione standard da attribuire alle singole fluttuazioni delle, si possono usare le formule delle incertezza che si ricavano dal metodo dei minimi quadrati, che qui riportiamo per comodità, riscritte in termini delle grandezze che si conoscono e di quanto altro sia facilmente valutabile per via grafica: (12.17) (12.18) (12.19) Si noti che non è legata alle incertezze sulle (convenzionalmente nulle): essa misura invece la dispersione delle e la sua radice quadrata è legata al cosiddetto braccio di leva dei dati sperimentali. È interessante notare come questo possa essere valutato agevolmente dal grafico se i punti sono circa spaziati lungo l ascissa (caso tipico delle esercitazioni di laboratorio). Approssimando i punti sperimentali ad una distribuzione uniforme si ottiene infatti 2 2 Si noti che questa espressione `e valida per variabili continue. Per variabili discrete equispaziate fra e, la formula esatta `e che tende alla deviazione standard del caso continuo quando `e molto grande. Comunque, gi`a per il fattore correttivo `e del 20 % e per `e del 10 %.