Nonequilibrio, termostati e limite termodinamico

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1 Nonequilibrio, termostati e limite termodinamico coll. Errico Presutti, GG Modelli di termostato (Feynman-Vernon 1963): sistemi finiti in contatto con altri infiniti. Esempi C 1 C 2 C 0 Ω 1 Ω 0 Ω 2 C 3 x=(x 0, Ẋ 0, X 1, Ẋ 1,..., X ν, Ẋ ν ) Stato iniziale:µ 0 (dx) def = Ce ν j=0 β j H j (X j,ẋ j ) dx j dẋ j j N j! Aquila 31 marzo 2010

2 Equazioni del moto mẍ 0i = i U 0 (X 0 ) i U 0,j (X 0, X j )+ i Ψ(X j )+Φ i (X 0 ) j>0 mẍ ji = i U j (X j ) i U 0,j (X 0, X j )+ i Ψ(X j ) U j (X j )= q,q X j ϕ(q q ), U 0,j (X 0, X j )= Ψ(X)= q Xψ(q) ϕ 0 ϕ ψ ( r d wall )α ϕ 0 q Ω 0,q Ω j ϕ(q q ) r ϕ Inizialmente: distrib. di Gibbs a date densitàδ j e temperatureβ 1 j

3 Ipotesi di assenza transizioni fase energia cinetica-potenziale, densità di energia, densità e molti osservabili sono costanti conµ 0 probabilità 1 al tempo t=0: esempi lim Λ lim Λ lim Λ 1 Λ Ω j K j,λ(x)= d 2 β 1 j 1 Λ Ω j N j,λ(x)=δ j 1 Λ Ω j U j,λ(x)=u j δ j Termostati dovrebbero ammettere evoluzione: definita da un limite

4 SE si regularizza in in una sferaλ n (lato 2 n r ϕ ) Time evolution exists x x S (n,0) t si dovrebbe avere anche lim n S (n,0) t x=s (0) t x?? Temperatura, densità, densità di energia dovrebbero essere costanti per t, j>0 lim Λ 1 Λ Ω j K j,λ(s (0) t x)= d 2 β 1 j δ j d 2 k BT j δ j?? Entropy: l entropia dei termostati cresce di Q j σ 0 (x)= k B T j (x), Q def j= Ẋ j Xj U 0,j (X 0, X j )) j>0

5 Existence: Theorema di Caglioti, Marchioro, Pulvirenti (2000) Notevole conclusione di una serie di lavori di Lanford (1968) 1 dimensione (q.o. per stati generali) Sinai (1971) 1 dimensione (q.o. per stati generali, ottenendo dinamica a gruppi ) Marchioro, Pellegrinotti, Presutti (1974) (q.o. solo per stati di Gbbs dim. arbitraria). Dobrushin Fritz (1975) (q.o. per dim.= 2: stati generali)

6 W(x;ξ, R) def = energia totale + numero di particelle in sfera B(ξ, R) E(x) def W(x;ξ, R) = sup sup ξ R>(log + ( ξ R d rϕ ))1/d SiaN i (t, n)= numero di particelle entro r di q (n,0) i (t) e sia T> 0, v 1 = Risultato 0: C(E), c(e) 1, E, e se q i (0) Λ k t T, (1) q (n,0) (t) v 1 C(E) k 1/2, (2) distanza ( q (n,0) i (t), ( j Ω j Λ) ) c(e) k 3/2α r ϕ (3) N i (t, n) C(E) k 3/4 (4) x (n,0) i (t) x (0) i (t) C(E) r ϕ e c(e)2nd/2 n>k. Il moto x (0) (t) é l unico privo di attrito che soddisfa 1,2,3 2ϕ 0 m

7 Q1: La temperatura resta costante per t>0? e le quantità intensive sono costanti del moto? Q2: Modelli alternativi (termostati GaussianiΛ n regularizzati) mẍ 0i = i U 0 (X 0 ) i U 0,j (X 0, X j )+ i Ψ(X j )+Φ i (X 0 ) j>0 mẍ ji = i U j (X j ) i U 0,j (X 0, X j )+ i Ψ(X j ) α j,n Ẋ ji Conα j,n scelti sì che U j,λn + K j,λn = E j,λn sono esattamente costanti α j,n def = Q j d N j k B T j (x), Q def j= Ẋ j j U 0,j (X 0, X j ) ove mẋ 2 j def = 2K j,λn (x) def = d N j k B T j (x)

8 Equivalenza? (nel lim. therm.λ n ) Idea: Q j def = Ẋ j j U 0,j (X 0, X j ) is O(1) (Williams,Searles,Evans 2004) quindiα j = Q j d N j k B T j,n (x) 0 per n. But is T j,n (x) c>0?? Risultato 1 (Presutti, G): Conµ 0 probabilità 1 (a) K j,λn (S(n,1) x) Λ n Ω j 1 4 dδ j k B T j per n grande (pertantoα n 0). (b) lim n S (n,1) t x=lim n S (n,0) t x per tutti t>0. (c) dµ t(dx) dt = σ(x)µ t (dx) and Q j σ(x)= k B T j (x) +β 0( K 0 + U 0 + Ψ 0 ) def =σ 0 (x)+ḟ(x) j>0 Produzione di entropia=contrazione del volume+una derivata temporale:

9 (media diσ) (media diσ 0 ) purchéβ j (x) sia una costante del moto per n eβ j (S t x)=β j In altre parole: assai in generale la contrazione dello spazio delle fasi può essere identificata con la prodizione di entropia definita nella termodinamica classica. Risultato 2: SiaΓun potenziale a due corpi eϕ+εγ sia superstabile per ε piccolo e P(ϕ + εγ) (2 volte) differenziabile a ε = 0 (i.e. no transiz. fase. )) g(s t x) def = lim Λ n 1 Γ(q i (t) q j Λ n Ω (t))=g j q i,q j x conµ 0 -probabilità 1 e per tutti t>0: i.e. g(x) é costante del moto.

10 superstabilità) (incluse energie specifiche di potentiali Γ a molti corpi) se, per ogni fissati m, n, la funzione di correlazioneµ 0 fattorizza ρ(q 1,..., q n, y 1 +ξ,...,y m +ξ) ρ(q 1,..., q n )ρ(y 1 +ξ,...,y m +ξ) ξ 0 uniformemente nei diametri degli insiemi{q 1,..., q n } e{y 1,...,y n }. Infinite constanti del moto

11 Metodo: Stime entropiche per i moti con termostato (I) Si mostra che l energia cinetica per particella (nel moto Λ n regolarizzato) resta> d 4 δ jβ 1 j conµ 0 -probabilità 1 per t Θ. (II) Si dimostra che il numero di particelle e ls loro energia inclusa la cinetica e quella d interzione con le pareti) in una scatola unitaria cresce al più con una potenzaγ ( 1 2, 1) of (log + ( ξ /r ϕ)) 1 2 (log n) γ Idee Sinai, Fritz-Dobrushin, e Marchioro, Pellegrinotti, Presutti, Pulvirenti (1975,1976). Si collega x def = max ξ Λn max(n Cξ (x),ε Cξ (x)) (log + (ξ/r ϕ )) 1/2 ove C ξ def = cubo unitario centratoξ, N Cξ (x)= numero di particelle in C ξ, ε 2 C ξ def = max q Cξ ( 1 2 q2 +ψ(q)). energia cinetica+parete

12 1) Dato 1>γ> 1 2, definisco per x t.c.e(x) E, il tempo d arrestoτ(x) T n (x) def = max { t : t Θ: τ<t, K j,n (S (n,1) τ x) ϕ 0 >κ2 nd, S (n,1) t x n < (log n) γ}. 2) si mostra che prima dell arresto l evoluzione senz attrito e quella termostatata sono molto vicine per particelle che inizialmente sono inλ k purchè la regolarizzazione sia a n k. 3) Si controlla che laµ 0 -probabilità dib def ={x x X E e T n (x) Θ} sia µ 0 (B) C e c(log n)2γ. Via stime di grandi deviazioni. Se si è entro il tempo di arresto alllora il moto resta vicino a quello senza attrito: ma allora la produzione di emtropia e finita e allora la distribuzione di probabilit a non é cambiata molto e si può usare la distribuzione iniziale i equilibrio e quindo nota