Cgm23 G. M. Coclite and M. M. Coclite. Stationary solutions for conservation laws with

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1 SUNTO ARTICOLO Cgm23 G. M. Coclite and M. M. Coclite. Stationary solutions for conservation laws with (1) singular nonlocal sources. Submitted Consideriamo il problema di dati iniziali iniziali ed al bordo per la legge di conservazione t u x f(u) = K(x, y)g(y, u(t, y))dy, t >, < x < 1, u(t, ) = u(t, 1) =, t >, u(, x) = u (x), < x < 1, con sorgente non locale e nonlinearità g singolare nell origine. Precisamente g(y, s), y 1, s >, si suppone positiva, limitata rispetto ad s in un intorno di, eventualmente non regolare per s. In particolare non si esclude che possa essere lim inf g(y, s) =, lim sup g(y, s) =, s su una parte di (, 1) con misura positiva. Come spesso accade nei modelli di traffico [AW] e di gasdinamica [LS], formulati mediante leggi di conservazione iperboliche [B, D, HR], l incognita u(t, x) rappresenta una densità, in presenza del vuoto è u(t, x) =. In (1) il termine non locale K(x, y)g(y, u(t, y))dy regolarizza la singolarità di g(, u) in presenza del vuoto. Formalmente se K tende a δ {x=y} o δ {x=y} si ottengono le leggi di conservazione singolari s t u x f(u) = g(x, u), t u x (f(u) g(x, u)) =. Osserviamo ancora che, nel caso in cui K è la funzione di Green di un operatore differenziale, (1) è equivalente ad un sistema. Ad esempio consideriamo la funzione di Green dell operatore 1 2 xx nell intervallo (, 1) con condizioni di Neumann omogenee al bordo e x e x e y 1 e 1 y, se x y 1, (2) Y (x, y) = 2 e e 1 e y e y e x 1 e 1 x, se y x 1. 2 e e 1 Se K = Y oppure K = x Y, (1) è equivalente ai sistemi 1

2 2 SUNTO ARTICOLO (3) t u x f(u) P =, xxp 2 P = g(x, u), x P (t, ) = x P (t, 1) =, u(t, ) = u(t, 1) =, u(, x) = u (x), t u x f(u) x P =, xxp 2 P = g(x, u), x P (t, ) = x P (t, 1) =, u(t, ) = u(t, 1) =, u(, x) = u (x), rispettivamente. Sistemi come (3) sono stati introdotti per descrivere onde dispersive da Camassa-Holm [CH:93,J:2] e Degasperis-Procesi [DP:99] in regimi di acque basse, da Hamer [H] per gas radianti e da Dai [Dai:98] per aste iperelastiche. In letteratura sono presenti vari risultati di esistenza per tali problemi, per una lista sufficientemente completa di referenze si vedano le bibliografie degli articoli [CHK:GenCH, CHK:ParEll, Coclite:25cr, LM]. La convergenza delle soluzioni di (3) a quelle di una legge di conservazione scalare quando K tende a δ è stata provata in [CK, Hw, LM]. Anche per leggi di conservazione generali con termini non locali si contano ormai diversi risultati. Ad esempio gli autori [CC4] hanno considerato il caso stazionario. Chen e Christoforou [ChenChristoforou] e Dafermos [D1, D2] hanno considerato leggi di conservazione scalari con termini di memoria, ossia equazioni integro-differenziali con nucleo integrale K regolare e nonlinearità g non singolare dipendente solo da x u. Christoforou [Christoforou] ha studiato il caso dei sistemi con ipotesi speciali su f e g. Colombo e Guerra [CG] hanno provato la buona positura globale nel tempo e stime di stabilità per un sistema iperbolico del primo ordine con sorgente nonlocale dissipativa. MacCamy [MC] ha elaborato un modello integrodifferenziale per la viscoelasticità nonlineare. Nohel, Rogers e Tzavaras [NRT] hanno considerato un equazione di Volterra motivato dal un modello nonlineare per il flusso di calore in materiali con memoria. Sulla nonlinearità g : [, 1] (, ) R, sul flusso f : R R, sul dato iniziale u : [, 1] R e sul nucleo K : [, 1] [, 1] R facciamo le seguenti ipotesi: (H.1) g è una funzione di Carathèodory (ossia g(, s) è misurabile in [, 1] per ogni s > mentre g(y, ) è continua in (, ) per q.o. C 2 ([, 1]) e p tali che dove ϕ () = ϕ (1) =, Inoltre per ogni < δ < 1 2 y [, 1]), g > ed esistono ϕ g (y, s) ϕ (y) s p, y [, 1], < s 1, g (y, s) := sup g(y, t). s t ed S > : δ δ inf g(y, s)dy >. <s S

3 SUNTO ARTICOLO 3 ( (H.2) f C 2 (R), f() = f f (s)) () =, s L 1 (, 1). s p (H.3) u H(, 1 1) H 2 (, 1), u > in (, 1) e p = 1 = ϕ log(u ) L 1 (, 1); p > 1 = ϕ u 1 p L 1 (, 1). (H.4) Esistono a W 1,1 (, 1) strettamente positiva in (, 1) e γ > tali che per quasi ogni x, y [, 1] : a(x)a(y) K(x, y); Inoltre x K L 2 (I I). (K(x, y) x K(x, y) )dx γa(y). L ipotesi su f è quella usuale per i flussi di problemi di Cauchy per leggi di conservazione. [B, D, HR]. Se p < 1, lo stesso può dirsi per l ipotesi sul dato iniziale, cioè si può assumere u BV (, 1). L ipotesi (H.4) sul nucleo è, ad esempio, soddisfatta dalla funzione di Green 1 e y, y x, H(x, y) = e y (e x 1), x y 1, del problema ai limiti xxω 2 x ω = φ(x) in (, 1), ω() = x ω(1) =. Infatti si verifica facilmente 1 e x 2 1 e y 2 H(x, y), perciò Posto a(x) = 1 e x 2 H(x, y)dx = 2(1 e y ) y, H x (x, y) 2 dx = 1 2 (1 e2y ), (H(x, y) H x (x, y) )dx 3(1 e y ) = e y. 2 e γ = 3 2, H soddisfa (H.4). Anche la funzione di Green (1 x)y, y x, (4) G(x, y) = x(1 y), x y 1, del problema ai limiti (5) 2 xxω = φ(x) in (, 1), ω() = ω(1) =, soddisfa (H.4) con a(x) = x(1 x) e γ = 5 2.

4 4 SUNTO ARTICOLO Infine la funzione di Green Y, definita in (2), del problema ai limiti (6) xxω 2 ω = φ(x) in (, 1), x ω() = x ω(1) =, 2e soddisfa (H.4) con a(x) = e γ = e 1 2e. e 2 1 e1 Obiettivo di questo articolo è provare l esistenza di soluzioni positive per il problema di valori iniziali ed al contorno (1). Useremo alcune delle tecniche elaborate per equazioni integro-differenziali stazionarie di tipo Hammerstein da M. M. Coclite e G. M. Coclite in [CC1, CC2, CC3, C98, C, C4]. Diamo la definizione di soluzione per (1). Definition.1. Una funzione u : [, [ [, 1] R si dice soluzione (entropica) di (1) se i) u L ((, T ); BV (, 1)), per ogni T >. ii) Per ogni c R ed ogni funzione test ϕ C ([, [ [, 1]) positiva a supporto compatto in R [, 1] ( u c t ϕ sign (u c) (f(u) f(c)) x ϕ) dtdx t t K(x, y)g(y, u(t, y)χ {u } )sign (u(t, x) c))ϕ(t, x)dtdxdy sign (c) (f(u(t, 1 )) f(c))ϕ(t, 1)dt sign (c) (f(u(t, )) f(c))ϕ(t, )dt u (x) c ϕ(, x)dx. Questa definizione di soluzione si ispira a quella data in [BLN] per lucrare la buona positura dei problemi di dati iniziali ed al contorno per equazioni iperboliche nonlineari del primo ordine. In particolare se la condizione di entropia ii) è soddisfatta la funzione u è anche una soluzione distribuzionale di (1) in [, ) [, 1], ossia per ogni funzione ϕ C ([, ) (, 1)) a supporto compatto in [, ) [, 1], (u t ϕ f(u) x ϕ) dtdx K(x, y)g(y, u(t, y))ϕ(t, x)dtdxdy u (x)ϕ(, x)dx =. Poichè, grazie ad i), per quasi ogni t, si ha u(t, ) BV (, 1), in ogni x (, 1) esistono u(t, x ) e u(t, x ); u(t, ) e u(t, 1 ) sono le tracce al bordo. La condizione di entropia ii) garantisce [BLN,B,D,HR, Kruzkov] x (, 1) = f(u(t, x )) f(u(t, x )), ( ( sign u(t, 1 ) ) (f(u(t, 1 )) f(c)) ) =, min c [min{,u(t,1 )},max{,u(t,1 )}]

5 SUNTO ARTICOLO 5 ( ( min sign u(t, ) ) (f(c) f(u(t, ))) ) =. c [min{,u(t, )},max{,u(t, )}] Le condizioni al bordo non sono necessariamente soddisfatte nel senso delle tracce; una discussione completa sui problemi al bordo per equazioni iperboliche è riportata in [M]. Il risultato principale di questo lavoro è il seguente. Theorem.1. Supponiamo siano soddisfatte le ipotesi (H.1), (H.2), (H.3) e (H.4). Il problema di valori iniziali ed al contorno (1) ammette almeno una soluzione (entropica) u, nel senso della Definizione.1, tale che (7) u > quasi ovunque in (, ) (, 1), e per ogni T e quasi ogni t T (8) u(t, ) L (,1) u(t, ) L 1 (,1) T V (u(t, )) 3γΛ T u W 1,1 (,1), dove Λ T è una costante crescente rispetto a T, divergente positivamente per T e dipendente da ϕ, f, u e p. Come in [BLN,CC2, CHK:GenCH, Coclite:25cr] la dimostrazione di questo risultato si basa sull analisi di alcune soluzioni della seguente approssimazione parabolica di (1) t u ε x F ε (u ε ) ε xxu 2 ε = (9) dove < ε 1 e = K(x, y)g ( y, u ε (t, y) ε 1 2p ) dy, t >, x I, u ε (t, ) = u ε (t, 1) =, t >, u ε (, x) = u (x), x I, (1) I := (, 1), F ε (u) := u f (ξ) 1 ε f (ξ) dξ. Useremo frequentemente le seguenti notazioni R := [, ); R := (, ); a b := min{a, b}; K(ϕ)(x) := K(x, y)ϕ(y)dy; L p loc (R ; X) := L p ((, T ); X); I T > C hα,kα (R Ī) è lo spazio delle u tali che i tu, xu k C(R Ī), i h, j k, e T > : sup t 1,t 2 T t h u(t 1, x) t h u(t 2, x) sup x 1 t 1 t 2 α

6 6 SUNTO ARTICOLO sup t T sup xu(t, k x 1 ) xu(t, k x 2 ) <. x 1,x 2 1 x 1 x 2 α