Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, Università degli Studi di Roma Tor Vergata, facoltà di Ingegneria

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1 Analisi II er Ingegneria Elettronica&Internet, Informatica (frontale e online) A.A. 18/19, Sessione Estiva, rimo aello Nome(Stamatello) Cognome(Stamatello) Matricola Consegnare il resente foglio semre, anche in caso di ritiro Le risoste vanno motivate. Se immotivate, ancorché esatte, non verranno rese in considerazione. In caso di ritiro scrivere Ritirata/o sotto al cognome Gli studenti di Elettronica&Internet risolvano gli esercizi 1,,,4 Gli studenti di Informatica risolvano gli esercizi 1,,5,6 1) (7.5 unti) Calcolare il volume della regione definita da V = {x R :x,y,z, z 1 x y, z x+y} ) (7.5 unti) Calcolare (Nel risultato finale non voglio vedere neure una i) + x 4 +1 dx [1) Si disegni il cammino di integrazione, ) si arametrizzino tutte le curve coivolte] ) (7.5 unti) Si risolva l equazione differenziale { utt a u xx = x, x >,t > u(x,) =, u t (x,) =, u x (,t) = t, x,t, 4) (7.5 unti) Sia data la serie di funzioni k= 1) Si stabilisca l insieme I di convergenza untuale ) Si dica se in I la convergenza è uniforme. ) Sia f(x) = k= x e k/4x e si dimostri che 5) (7.5 unti) Si risolva l equazione differenziale x e k/4x, x R. f(x)dx 1/ x x +x = th(t 1) th(t ), x() = 1 x () = 6) (7.5 unti) Sia data la forma differenziale ω = (T+ VT ln T+VT lnt)dv + V (1+lnT)dT. 1) Esonendo i calcoli, dire se è esatta o meno ) calcolare l integrale curvilineo ω =. f(k) lungo una curva regolare il cui sostegno è il grafico della funzione TV = k, fra i unti (T,V ) = (1,k) e (T 1,V 1 ) = (,k/) ) Dire quanto vale k( ) tale che f(k) =. 4) Dimostrare che esiste una funzione h(t) tale che la forma ω 1 = h(t) ω sia esatta (Imorre le condizioni di chiusura er ω 1 e dedurne una equazione differenziale er h(t)) 5) Calcolare ω 1 lungo la stessa curva del unto ) /giugno/19; Esclusivamente er uso ersonale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazione 1

2 Svolgimento 1) Notare che 1 x y z = 1 x y e quindi dobbiamo stare nel triangolo di vertici (,),(1,),(,1). er cui l integrale è 1 x y x+y y x+ 1 x+1 1 x dx dy(x+y)+ dx dy(1 x y)+ 1 x dx dy(1 x y) = 5 6 x+1 A artire da {z 1 x z, z x+y} alcuni hanno referito scrivere z x ma il calcolo è iù comlicato. y 1 x z z x 1 x z z x, 1 x z y x+z 1 e quindi stiamo sia nel traezio di vertici (x,z) = (,), (x,z) = (,/), (x,z) = (1/,1/), (x,z) = (1,), (ricordare che x 1) sia nel triangolo di vertici (x,z) = (,), (x,z) = (1,), (x,z) = (,1)equindisiamoall internodellaregionedefinitadaivertici(,),(/,),(1/,1/) (1,). Poi abbiamo z x y. Se z x, si ha z x y 1 x z (regione del iano (I)) ma se z x allora y 1 x z (regione del iano (II)). Regione (I). L intersezione fra la retta z x = e la retta z = x dà x = 1/ e quindi nella regione (I) l integrale è Regione (II). Abbiamo x dx x dz(1 x z x ) = 1/18 x dx dz(1 x z)+ x dx dz(1 x z) = 1/16+1/48 = 1/1 ) Se con I indichiamo l integrale, il risultato è (il cammino è quello a ag.1 del giornale delle elzioni) [ (z e iπ/4 )z / I(1 e 4πi ) = πi lim z e iπ/4 z 4 +1 z e i5π/4 (z e i5π/4 )z / z 4 +1 Ossia (usando z = 1/z er le radici di z 4 = 1) (z e iπ/4 )z / z e iπ/4 z z e i7π/4 (z e i7π/4 )z / z 4 +1 isin π [ z / Ieiπ = πi lim z e iπ/4 4z z / z e iπ/4 4z z / z e i5π/4 4z z / ] z e i7π/4 4z /giugno/19; Esclusivamente er uso ersonale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazione ] =

3 e quindi Arriviamo a isin π Ieiπ = πi 4 k= z 5 k = πi 4 k= e 5 (i π 4 +kπ ) = πi 4 ei5π 1 1 e i1π 1 e i5π 6 ossia ii I = π( ) 8 = πi e i π 4 +i 1+ i I = π 4 (1 i)(+i )(1+ + i ) (1 i)(+i )(+ +i) = π( ) 8 4(+ ) = I = π ( 1) Alcuni studenti hanno osservato che la funzione integranda è ari ( t) = t e quindi + x 4 +1 dx = 1 + x 4 +1 dx e quindi hanno adottato il cammino a agina 15 del giornale delle elezioni scrivendo 1 + x ( ) x 4 +1 dx = πi Resf(e iπ iπ 4 )+Resf(e 4 ) e commettendo un errore. Lascio agli studenti l oortunità di caire dove sta l errore essendo consaevoli, sero, che la questione otenzialmente otrebbe interessare uno o iù dei rossimi comiti. ) v(x,) =. Lu(x,t).L equazione diventa v a v xx = x da cui v(x,) = αe x/a +βe x/a + x + a 5. Come la solito β =. La condizione iniziale è Lu x(,t) = 1. = vx (,) er cui e quindi a α = 1 = α = a = v(x,) = a e x a u(x,t) = ah(t x a )1 (t x a ) + x t + a t x + a 5 Osservazione Alcuni hanno sbagliato la soluzione della equazione v a v xx = x. Bisogna ricordarechelasoluzioneèlasommadellaiùgeneralesoluzionedellaequazioneomogenea v a v xx = ed una articolare soluzione della equazione v a v xx = x. L equazione omogenea ha soluzione αe x/a +βe x/a. In questo caso secifico ossiamo cercare la soluzione della non omogenea rovando a scrivere y(x) = α+βx+γx e sostituendo sii ottiene (α+βx+γx ) a γ = x = β =, γ = 1 α = a 5 4) 1) Convergenza untuale. Se x = la serie è chiaramente nulla e quindi converge. Sia x >. Basta osservare che lim k + k e k/4x = /giugno/19; Esclusivamente er uso ersonale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazione

4 Quante volte devo dire che se si ha una serie di funzioni k= f k (x) e si constàta che lim f k(x) =,ciò non basta ad affermare che la serie converge in quanto k + trattasi, aunto, di una serie. La condizione lim f k(x) =, è necessaria k + ma non sufficiente a stabilire la convergenza della serie. Ma è così difficile da caire? ) Convergenza uniforme. Il massimo della funzione x e k/4x si ha er x = k /4 e vale 4k / e. Siccome la serie k / converge e non diende da x, la serie converge totalmente e quindi uniformemente er ogni x. ). f(x)dx k= x e kx dx = x e x e x 1 dx x dx = 1/ 5) th(t 1) th(t ) = (t 1)H(t 1)+H(t 1) (t )H(t ) H(t ) er cui abbiamo X()( 1) = e + e e e X() = e ( 1) + e ( 1) e ( 1) e ( 1) + ( 1) x(t) = (t+1+(t )e t 1 )H(t 1)+H(t 1)(1+(t )e t 1 ) H(t )(t+(t 4)e t )+ H(t )(1+(t )e t )+t e t = = H(t 1)((t 5)e t 1 +t+) H(t )((t 7)e t +t+1)+t te t 6) Per chi non se ne fosse accorto, è sostanzialmente un esercizio di termodinamica. ω = (T + VT ln T)dV +d( V VT T lnt) e se chiamiamo (T + ln T) = (T,V), (ressione) U(T,V) = V T lnt (energia interna) si vede che ω = dq dove dq è la quantità di calore scambiata con il suo segno. 1) È chiaramente non esatta non essendo neure chiusa ) La curva è γ(t) = (T,k/T), 1 T e l integrale vale kln+ k 4 ln + 4 k ln 1 k da cui ln ) k = 1 4 ln + 4 ln 1 4) Sia ω = A(T,V)dV +B(T,V)dT. Se ω 1 è esatta, allora è chiusa e quindi (h(t)a(t,v)) T = (h(t)b(t,v)) V ed è una equazione er la funzione h(t). Otteniamo h A+h(1+ V ln T +V lnt +V lnt +V) = hv(1+lnt) ossia h (T + VT ln T +VT lnt)+h(1+ V ln T +V lnt) = = h T = h e quindi h(t) = 1/T (esattamente come nel secondo rinciio della termodinamica) 5) Ora ω 1 è esatta e quindi troviamo il otenziale nella regione T >. Sia S(T,V) il otenziale (entroia). S T = V V (1+lnT) = S(T,V) = T lnt + V 4 ln T +S(V) /giugno/19; Esclusivamente er uso ersonale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazione 4

5 V lnt + V ln T +S V = (1+ V ln T +V lnt) = S V = 1 = S(V) = V e quindi S(T,V) = V lnt + V 4 ln T +V e l integrale vale k 8 ln+ k 16 ln k /giugno/19; Esclusivamente er uso ersonale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazione 5