Incontri di introduzione alla Relatività Ristretta

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1 Incontri di introduzione alla Relatività Ristretta Prima parte La Torre del Sole, Brembate di Sopra (BG) - 19 Ottobre 2017 Andrea Castelli, Ph.D. Università degli Studi di Bologna

2 Indice 1. Introduzione 2. I sistemi di riferimento: inerziali e non inerziali 3. Il contesto storico: le misurazioni della velocità della luce e la teoria dell elettromagnetismo 4. Il problema dell etere 5. L esperimento di Michelson - Morley 6. Le trasformazioni di Galileo applicate all elettromagnetismo 7. I postulati della Relatività Ristretta 8. La sincronizzazione degli orologi

3 Introduzione La fisica del 900 ha cambiato per sempre e in profondità quello che sappiamo sulla natura e sui concetti cardine dell intera concezione umana del mondo, quali spazio e tempo, materia ed energia. Agli inizi del 900 erano note solo due interazioni fondamentali: quella elettromagnetica e quella gravitazionale. Prima dell avvento delle teorie relativistiche, le leggi della meccanica erano quelle formulate da Newton.

4 Introduzione L avvento della teoria della Relatività Ristretta (1905) non fu un fulmine a ciel sereno : il terreno era fertile da anni. I lavori di molti fisici dell epoca - tra cui Voigt, Lorentz, Poincaré, Fitzgerald e Larmor - prepararono il terreno alla rivoluzione einsteiniana. Lorentz e Poincaré arrivarono addirittura ad un passo dalla formulazione della Relatività Ristretta. La genialità di Einstein e l originalità del suo pensiero spiccarono anche in un contesto complesso ed articolato come questo.

5 Introduzione Newton ipotizzava nella sua opera principale Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) l esistenza di uno spazio e di un tempo esistenti a priori, assoluti e sempre uguali a sé stessi. Il tempo assoluto, vero, matematico, in sé e per sua natura senza relazione ad alcunchè di esterno, scorre uniformemente. (Newton, op. cit., p. 105) Lo spazio assoluto è senza relazione ad alcunchè di esterno, omogeneo e immobile; le sue componenti sono i luoghi assoluti, che dall infinito per l infinito conservano, gli uni rispetto agli altri, determinate posizioni. (Newton, op. cit., pp )

6 Introduzione La teoria newtoniana dello spazio e del tempo non fu mai una semplice ipotesi metafisica, bensì un tentativo di definire i concetti presupposti dalla nuova meccanica. Le definizioni di Newton poggiano su due concetti fondamentali: 1) l uguaglianza assoluta degli intervalli temporali; 2) la simultaneità assoluta; Le leggi di Newton sono valide per sistemi di riferimento inerziali.

7 I sistemi di riferimento

8 I sistemi di riferimento Immagine tratta da Immagini della fisica di Amaldi, Zanichelli (2009)

9 inerziali O O Per entrambi gli osservatori O e O, il ragazzo verifica il principio di inerzia (primo p. della dinamica): essendo soggetto a forze la cui risultante è nulla, egli persevera nel suo stato di quiete (O) o di moto rettilineo uniforme (O ). Un sistema di riferimento inerziale è un sistema rispetto al quale un corpo non soggetto a forze resta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme.

10 non inerziali Stando nel sistema di riferimento dell autobus, quando questo frena, il ragazzo ha la sensazione di essere stato spinto in avanti (accelerato) da una forza che si manifesta improvvisamente e misteriosamente. Un sistema di riferimento non inerziale è un sistema rispetto al quale non è verificato il principio di inerzia. Si tratta quindi di un sistema che si muove di moto accelerato.

11 Il principio galileiano di Relatività Non esiste alcun esperimento che possa permettere di decidere se, in condizioni opportune, ci si trova in un sistema di riferimento in quiete o in moto rettilineo uniforme.

12 Il principio galileiano di Relatività Il principio galileiano di relatività afferma che le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento che sono in quiete o che si muovono di moto rettilineo uniforme uno rispetto all altro. x 0 = x y 0 = y z 0 = z t 0 = t v 0 t Legge galileiana di composizione delle velocità: v 0 = v V

13 Il principio galileiano di Relatività Una trasformazione galileiana è una trasformazione di coordinate che permette di passare da un sistema di riferimento inerziale ad un altro che abbia una velocità V costante rispetto al primo. Le leggi della meccanica sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Galileo.

14 Le misurazioni della velocità della luce Dalla metà del IXX secolo in avanti sono stati approntati metodi sempre più precisi di misura della velocità della luce (c). Il valore più accurato è oggi pari a m/s (circa Km/s) nel vuoto. Qual è il sistema di riferimento a cui si riferisce tale valore? La legge classica di composizione delle velocità ci dice che la velocità della luce dovrebbe risultare diversa nei vari sistemi di riferimento. Allora il valore appena indicato dovrebbe valere per un particolare sistema di riferimento.

15 La teoria dell elettromagnetismo Nel 1865 James Clerk Maxwell formulò la teoria dell elettromagnetismo. Le onde luminose presentano caratteristiche elettromagnetiche. Grazie alle osservazioni di Thomas Young riguardanti i fenomeni di interferenza, trionfò definitivamente il modello ondulatorio della luce. Caratteristica principale dell elettromagnetismo è l aver sostituito la nozione di azione a distanza, tipica della fisica newtoniana, con quella di azione per contiguità, tipica della concezione dei campi.

16 Il problema dell etere Problema: nelle equazioni di Maxwell compare una velocità privilegiata (quella della luce), deducibile dalla teoria. Questa velocità sembra indicare la presenza di un sistema di riferimento privilegiato (quello in cui la velocità della luce assume proprio il valore previsto dalla teoria). Sembrava la conferma dell esistenza dello spazio assoluto di Newton. Serviva un entità con caratteristiche materiali per consentire il movimento delle onde elettromagnetiche, ma che fosse anche impalpabile per garantirne la propagazione nel vuoto.

17 Il problema dell etere A tale mezzo fu dato il nome di etere luminifero e i fisici si misero alla ricerca di esperimenti che evidenziassero il moto della Terra rispetto ad esso. Ricapitoliamo: secondo Maxwell la velocità della luce ricavabile dalla sua teoria è riferita all etere. Se esiste l etere, esso deve essere il sistema di riferimento inerziale privilegiato (assoluto) rispetto al quale la luce ha velocità c.

18 L esperimento di Michelson-Morley La speranza di riuscire a rilevare il moto della Terra rispetto all etere fu delusa dal risultato nullo del celebre esperimento del 1887 condotto da Michelson e Morley.

19 L esperimento di Michelson-Morley Supponiamo che l etere esista. S1 l1 v S P l2 S2 C

20 L esperimento di Michelson-Morley Supponiamo che SS2 sia parallelo alla direzione della velocità v del moto della Terra rispetto all etere. Da S a S2 la luce si muove, rispetto all etere, con velocità c-v, mentre da S2 a S con velocità c+v. t 2 = l 2 c + v + l 2 c v = 2l 2 c(1 v 2 c 2 ) S1 P H P

21 L esperimento di Michelson-Morley PS 1 = S 1 P, PS 1 = c t PS 1 = c t = qph 2 + HS 21 = q (v t) 2 + l 2 1 c 2 t 2 = v 2 t 2 + l 2 1 t = l 1 p c 2 v 2 t 1 = 2l p 1 c 2 v 2 = 2l q 1 c 1 v 2 c 2 t 2 6= t 1 Cammini ottici diversi, quindi sullo schermo C si formano delle frange di interferenza.

22 L esperimento di Michelson-Morley Se si ruota l interferometro di 90, la velocità della Terra si sommerà ora a l1, dunque la differenza di cammino ottico fra i due raggi varierà. Si dovrebbe quindi avere uno spostamento nelle frange di interferenza.

23 L esperimento di Michelson-Morley L esperimento fallì clamorosamente: nessuno spostamento delle frange di interferenza venne mai rilevato! Conclusione: la velocità della Terra rispetto all etere luminifero risultò inesistente. La velocità della luce è allora indipendente dallo stato di moto del sistema di riferimento!

24 L esperimento di Michelson-Morley Per spiegare tale insuccesso sperimentale, furono proposte tre ipotesi ad hoc da parte di Lorentz, Fitzgerald e Poincarè: 1) la contrazione dei corpi rigidi nella direzione del moto; 2) il rallentamento degli orologi quando si muovono attraverso l etere; 3) il trascinamento dell etere da parte della Terra durante il proprio moto.

25 L esperimento di Michelson-Morley Il risultato negativo dell esperimento di Michelson-Morley ci dice che la legge galileiana di composizione delle velocità ha una validità limitata. Non sembra valere per i fenomeni connessi con la propagazione della luce. La legge galileiana di composizione delle velocità è basata su: 1) trasformazioni di Galileo 2) concetti classici di spazio, tempo e velocità L invarianza della velocità della luce costituisce un fatto sperimentale ben verificato e in contrasto con le trasformazioni di Galileo: è necessaria quindi una revisione critica delle idee su cui si basano queste trasformazioni.

26 Trasformazioni di Galileo ed equazioni di Maxwell Cosa accade alle leggi dell elettromagnetismo quando vengono sottoposte a una trasformazione galileiana? Si supponga che le equazioni di Maxwell siano riferite a un sistema di riferimento K. Se in K la velocità della luce risulta essere c, applicando le trasformazioni di Galilei avremo che in K, in moto rispetto a K, essa sarà c - V. In K le equazioni di Maxwell devono essere diverse per poter rendere conto di questa incongruenza nella misura della velocità della luce. Le equazioni di Maxwell non sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Galileo, cioè cambiano forma e contenuti cambiando il sistema di riferimento.

27 Trasformazioni di Galileo ed equazioni di Maxwell Ricapitoliamo: 1) La velocità della luce è la stessa in tutti i sistemi inerziali. 2) E necessario estendere all elettromagnetismo il principio galileiano di relatività. 3) Il principio galileiano di relatività comporta che, in accordo con le trasformazioni di Galileo, la velocità della luce dipenda dallo stato di moto del sistema di riferimento. 4) Volendo conciliare il principio galileiano di relatività con l invarianza della velocità della luce in tutti i sistemi inerziali si arriva ad una contraddizione.

28 Verso la Relatività Ristretta 5) Non ci sono alternative: o si rinuncia all invarianza della velocità della luce (fatto sperimentalmente ben corroborato) o si deve rinunciare alla validità universale delle trasformazioni di Galileo. Questa contraddizione verrà completamente risolta dalla Relatività Ristretta. Drastica revisione dei concetti di spazio, tempo, materia ed energia.

29 L entrata in scena di Einstein Le pubblicazioni scientifiche di Einstein del 1905, il suo annus mirabilis: 1) 17/3, Su un punto di vista euristico sulla generazione e la trasformazione della luce. Si tratta della formulazione dell ipotesi del quanto di luce. 2) 11/5, Sul moto di particelle in sospensione in un fluido in quiete, come previsto dalla teoria cinetica del calore. Si tratta del primo articolo sul moto browniano. 3) 30/6, Elettrodinamica dei corpi in movimento. E la prima memoria sulla Relatività Ristretta.

30 L entrata in scena di Einstein 4) 27/9, L inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?. E la seconda memoria sulla Relatività Ristretta. 5) 19/12, Sulla teoria del moto browniano. Si tratta della seconda memoria sul moto browniano. Ognuno di questi articoli valeva un premio Nobel! Questi risultati di straordinaria importanza furono il frutto del lavoro di una sola persona!

31 L entrata in scena di Einstein Elementi decisivi nel lavoro di Einstein: 1) insoddisfazione per i difetti epistemologici di meccanica ed elettromagnetismo; 2) riflessioni di natura metodologica; 3) ricerca di principi unificatori; 4) ricerca di criteri di semplicità. Per nulla preoccupato di sfatare tabù che resistevano fin dai tempi di Newton, Einstein comprese che, quando ci si muove a velocità prossime a quella della luce, spazio e tempo perdono la loro assolutezza.

32 I postulati della Relatività Ristretta L approccio di Einstein in sintesi: a) lo spazio assoluto non esiste; b) le equazioni di Maxwell sono valide in una classe di infiniti sistemi di riferimento entro i quali risultano invarianti; c) se le trasformazioni di Galileo non sono applicabili all elettromagnetismo, sono sbagliate, così come lo sono le ordinarie nozioni di spazio e tempo.

33 I postulati della Relatività Ristretta 1 - Principio di Relatività (estensione di quello galileiano): le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Tutti i fenomeni naturali, non solo quelli meccanici, sono governati dalle medesime leggi fondamentali in qualsiasi sistema di riferimento inerziale. Osservatori diversi, collocati in sistemi di riferimento diversi, devono poter osservare i medesimi eventi e devono poterli descrivere attraverso leggi che abbiano la stessa forma. Einstein non mette in discussione la validità delle equazioni di Maxwell, ma ritiene errato il fatto che esse abbiano una forma particolare solo nel sistema di riferimento dell etere.

34 I postulati della Relatività Ristretta 2 - Principio di invarianza della velocità della luce: la velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Questo postulato ha una natura prettamente sperimentale ed è fondato su un dato di fatto ben verificato: svariati tentativi di misurare composizioni di c con altre velocità hanno costantemente dato come risultato ancora c. Non sono lo spazio e il tempo ad essere invarianti per tutti gli osservatori inerziali, ma c.

35 I postulati della Relatività Ristretta Partendo da questi principi fondamentali, Einstein costruisce una nuova e rivoluzionaria teoria che: a) spiega in modo semplice il risultato negativo dell esperimento di Michelson-Morley; b) dimostra l inutilità dell etere; c) distrugge alle fondamenta i concetti newtoniani di spazio e tempo assoluti; d) apre la strada ad alcune previsioni inattese e sconvolgenti (dipendenza della massa dalla velocità ed equivalenza di massa ed energia).

36 La simultaneità degli eventi Fisica classica/senso comune: qualcosa accade in un determinato punto dello spazio ad un certo istante di tempo. Non è necessario specificare a quale istante di tempo ci si sta riferendo: il tempo è assoluto. Quando si ha a che fare con fenomeni che avvengono a grande distanza uno dall altro è invece necessario riferire i tempi di un evento al valore del tempo segnato da un orologio collocato nelle vicinanze del punto in cui l evento ha luogo. Non è più trascurabile il tempo impiegato dalla luce per portarci l informazione relativa a quell evento.

37 La sincronizzazione degli orologi Due orologi identici e sufficientemente precisi, dopo essere stati sincronizzati in uno stesso punto, continuano a conservare nel tempo la loro sincronia se non vengono spostati. Come si possono sincronizzare due orologi a distanza? Einstein propone un metodo di sincronizzazione attraverso segnali di luce: - siano P1 e P2 due punti del sistema inerziale S; - sia nota la distanza L tra i due punti; - si invia un segnale luminoso da P1 verso P2. Al momento dell invio del segnale, l orologio in P1 segna il tempo 0; - al momento della ricezione del segnale, l orologio in P2 deve essere settato su un valore pari a L/c.

38 La sincronizzazione degli orologi km Esempio tratto da: C. Durell, La Relatività con le quattro operazioni (Bollati Boringhieri) A C A e C sono in quiete uno rispetto all altro. Un raggio luminoso inviato da uno di loro all altro impiegherà km km/s = 15s per coprire la distanza che li separa. All ora zero del suo orologio, A manda un segnale luminoso a C e C, appena lo riceve, lo rimanda indietro ad A.

39 La sincronizzazione degli orologi C sincronizza il suo orologio con quello di A facendo in modo che segni 15 secondi dopo lo zero, ma non lo fa partire fino a quando non riceve il segnale inviatogli da A. A, 15 secondi dopo lo zero (misurati con il suo orologio), ritiene che C abbia ricevuto il segnale. A si convince di questo fatto dal momento che il segnale di ritorno da C gli arriva quando il suo orologio segna 30 secondi dopo lo zero. C, quando vede che il suo orologio segna 30s dopo lo zero, ritiene che il segnale sia tornato ad A. Gli orologi di A e C sono sincronizzati perché entrambi segnano 30 secondi dopo lo zero quando il segnale torna ad A. Né A né C hanno un metodo diretto per accertarsi delle loro conclusioni.

40 FINE PRIMA PARTE

41 Incontri di introduzione alla Relatività Ristretta Seconda parte La Torre del Sole, Brembate di Sopra (BG) - 26 Ottobre 2017 Andrea Castelli, Ph.D. Università degli Studi di Bologna

42 Indice 1. La relatività della simultaneità 2. Un po di fantascienza 3. Distruzione dei concetti di tempo e spazio assoluti 4. Simultaneità e lunghezza: considerazioni preliminari 5. Il punto della situazione 6. Le trasformazioni di Lorentz 7. La legge di composizione relativistica delle velocità 8. La contrazione delle lunghezze e la lunghezza propria

43 km La relatività della simultaneità Sia O un osservatore che ritiene che il sistema formato da A e C si allontani da lui a km/s nella direzioni AC. A transita su O nell istante in cui A invia un segnale luminoso a C; in quell istante, O regola il suo orologio sullo zero. B km/s O A km C

44 La relatività della simultaneità Supponiamo che A svolga l esperimento di Michelson-Morley. A manda il segnale a C e, nello stesso istante, ne manda un altro a B. Entrambi i segnali, dopo essere stati riflessi in C e in B, tornano in A nel medesimo istante. A e O concordano sulla lunghezza di AB (misura eseguita in direzione perpendicolare a quella del loro moto). A, O e C concordano che la velocità della luce è km/s.

45 km La relatività della simultaneità km/s t OB 1 2 = BB OB km/s t t = 25s In base all orologio di O, il tempo complessivo del viaggio del segnale luminoso è: t tot =2t = 50s Il cammino del segnale luminoso che A manda a B visto da O. Il braccio AB si muove alla velocità di km/s, mentre il segnale luminoso si muove a km/s. Supponiamo che il viaggio da O a B1 duri t secondi.

46 La relatività della simultaneità Secondo l esperimento di Michelson-Morley, il segnale che da C torna ad A arriva in A contemporaneamente a quello proveniente da B. In base all orologio di O, il segnale di ritorno da C arriva quindi ad A 50s dopo lo zero. Ma l orologio di A segna solo 30s dopo lo zero quando A riceve il segnale di ritorno da C e quello di ritorno da B. O sostiene quindi che: - il ritorno in A del segnale proveniente da C avviene 50s dopo lo zero se misurato con il proprio orologio; - 30s dopo lo zero se misurato con l orologio di A.

47 La relatività della simultaneità Nonostante fossero d accordo sul tempo zero, se O è in moto rispetto al sistema AC, la sincronizzazione tra i loro orologi scompare! Secondo O, all andata (da A a C): - il segnale viaggia a km/s; - C gli scappa via alla velocità di km/s; - il segnale guadagna su C km/s. Al ritorno (da C ad A): - il segnale viaggia sempre a km/s; - A gli va incontro a km/s; - il segnale si avvicina ad A a km/s.

48 La relatività della simultaneità Dal momento che il segnale percorre la medesima distanza sia all andata sia al ritorno e che la velocità della luce è sempre uguale, risulta che: - il viaggio da A a C (andata) richiede 9 volte più tempo rispetto a quello da C ad A (ritorno); - ovvero, l andata occupa i 9/10 del tempo totale del viaggio (50s in base all orologio di O) e il ritorno solo 1/10; - O dice quindi che l andata dura 45s e il ritorno 5s; - di conseguenza, secondo l orologio di O, il segnale arriva in C 45s dopo lo zero.

49 La relatività della simultaneità Inoltre, O ritiene che, secondo l orologio di A (per A il tempo totale del viaggio era di 30s) il segnale arriva in C 27s dopo lo zero (9/10 di 30s). Infine, quando il segnale arriva in C, l orologio di C segna 15s dopo lo zero e viene fatto partire in quell istante. Riassumendo, il verificarsi dell evento arrivo del segnale in C è così registrato secondo le rilevazioni di O: Orologio di O 45s dopo lo zero Orologio di A 27s dopo lo zero Orologio di C 15s dopo lo zero

50 La relatività della simultaneità Consideriamo ora l evento ritorno del segnale in A proveniente da C. Secondo O: - il tempo impiegato per andare da C ad A è 1/10 del tempo totale, ovvero 3s se misurato con l orologio di C (sincronizzato con quello di A); - appena il raggio lascia C, l orologio di C segna 15s dopo lo zero; - il raggio arriva in A quando l orologio di C segna 15+3=18s dopo lo zero.

51 La relatività della simultaneità L evento ritorno del segnale in A proveniente da C è così registrato secondo le rilevazioni di O: Orologio di O 50s dopo lo zero Orologio di A 30s dopo lo zero Orologio di C 18s dopo lo zero Ricapitoliamo tutte le rilevazioni di O: Orologio di O Orologio di A Orologio di C Arrivo del segnale in C Ritorno del segnale in A Intervallo temporale 45s 27s 15s 50s 30s 18s 5s 3s 3s

52 La relatività della simultaneità O conclude che: - gli orologi di A e C marciano con il medesimo ritmo; - ritardano però rispetto al suo orologio; - l orologio di C è regolato 12s indietro rispetto a quello di A; A e C non sono d accordo con lui e la cosa è del tutto legittima. Esempio: nel viaggio di andata, quando il segnale arriva in C, secondo O l orologio di A segna 27s dopo lo zero, mentre A sostiene - leggendo il suo orologio - che l evento arrivo del segnale in C si è già verificato! Infatti, secondo l orologio di A, l evento avviene 15s dopo lo zero.

53 La relatività della simultaneità Gli eventi arrivo del segnale in A proveniente da B e arrivo del segnale in A proveniente da C sono simultanei per A e per C, ma non lo sono per O! Il concetto di simultaneità degli eventi è relativo allo stato di moto dell osservatore. La semplice affermazione che due eventi avvenuti in luoghi diversi sono simultanei è priva di significato.

54 Un po di fantascienza Il senso comune ci suggerisce che tutti gli eventi che si verificano nello stesso istante, anche se in luoghi diversi dell Universo, costituiscono per noi ciò che intuitivamente chiamiamo adesso. Tutti questi eventi possono essere visualizzati come giacenti su uno stesso piano (istante). Il senso comune ci dice che tutti noi concordiamo su ciò che si trova su un singolo piano (istante). Il moto nello spazio influenza lo scorrere del tempo. Un soggetto in moto avrà una diversa percezione di ciò che chiamiamo adesso.

55 Un po di fantascienza Se potessimo allineare tutti gli istanti dell intero universo, vedremmo tutti gli eventi che sono accaduti e che devono ancora accadere: vedremmo dunque ogni posizione nello spazio e ogni istante di tempo. Pensiamo all Universo come a un filone di pane. Einstein capì che, come ci sono diversi modi di tagliare il pane a fette, esistono diversi modi di tagliare lo spazio-tempo in singoli istanti. Immaginiamo un alieno su una galassia distante, per esempio, 10 miliardi di anni luce dalla Terra e qui, sulla Terra, un uomo seduto su una panchina a leggere il giornale.

56 Un po di fantascienza

57 Un po di fantascienza

58 Un po di fantascienza

59 Distruzione dei concetti di tempo e spazio assoluti Non c è differenza ontologica tra passato, presente e futuro! Tutti e tre sono ugualmente reali ed esistono tutti! Secondo la Relatività Ristretta, c è il medesimo grado di realtà nel futuro e nel passato di quello contenuto nel presente: il passato non è scomparso e il futuro non è inesistente. Non esiste alcuna legge fisica in grado di scegliere un adesso rispetto ad un altro!

60 Distruzione dei concetti di tempo e spazio assoluti Ogni osservatore ha il proprio metro temporale e spaziale e non ha senso chiedersi quale sia quello corretto. Esattamente come i concetti di sopra e sotto sono relativi per persone che vivono in punti opposti della Terra, anche il concetto di simultaneità è relativo. Non è possibile stabilire se due eventi sono simultanei oppure no senza specificare il sistema di riferimento. La relatività della simultaneità è una conseguenza del carattere finito della velocità della luce e, più in generale, della velocità finita di propagazione di qualsiasi interazione.

61 Simultaneità e lunghezza: considerazioni preliminari Cosa significa misurare una lunghezza? Quando misuriamo la distanza tra due punti facciamo coincidere simultaneamente i due punti con le coordinate di un sistema di riferimento. Ma se la simultaneità è relativa?! Non ha più senso parlare di lunghezza di un corpo senza specificare il sistema di riferimento rispetto al quale questa lunghezza viene misurata. Non solo la simultaneità è relativa, anche la lunghezza lo è!

62 Il punto della situazione L aver posto alle fondamenta della sua teoria i due famosi postulati porta Einstein alla deduzione della relatività della simultaneità. La costanza della velocità della luce e la convinzione nella validità della teoria di Maxwell resero evidente ad Einstein il contrasto tra i fenomeni elettromagnetici e il principio galileiano di relatività. Era ormai chiaro ad Einstein che questo contrasto prendeva forma quando si tentava di elevare il principio galileiano di relatività a principio universale.

63 Il punto della situazione La relatività della simultaneità era la chiave di volta: - consentiva di definire il concetto di tempo in modo rigoroso; - garantiva la compatibilità tra i due postulati della RR; - evidenziava la necessità di una revisione del concetto di spazio (lunghezza); - conduceva inevitabilmente all abbandono delle trasformazioni di Galileo quando si ha a che fare con velocità molto elevate.

64 Le trasformazioni di Lorentz Nel 1904 Lorentz modificò le trasformazioni di Galileo per ottenere un insieme di equazioni rispetto al quale fossero invarianti le leggi dell elettromagnetismo. Le trasformazioni di Lorentz sono le leggi che ci dicono come cambiano le coordinate di un evento al cambiare del sistema di riferimento. Lorentz dedusse queste relazioni in continuità con le teorie precedenti, senza operare una revisione delle nozioni di tempo e di spazio. Le trasformazioni riguardano sia lo spazio sia il tempo; prima differenza rilevante rispetto alla meccanica classica.

65 Le trasformazioni di Lorentz x 0 = q x vt 1 v 2 c 2 y 0 = y Trasformazioni di Galileo x 0 = x v 0 t y 0 = y z 0 = z z 0 = z t 0 = q t v c 2 x 1 v 2 c 2 = q 1 1 v 2 c 2 t 0 = t

66 Le trasformazioni di Lorentz Einstein dedusse queste relazioni direttamente dai suoi due postulati, seguendo un ragionamento completamente diverso da quello di Lorentz. Nel 1905 Einstein non conosceva le trasformazioni di Lorentz. Non solo le coordinate spaziali dipendono dal tempo, ma anche il tempo dipende da quelle spaziali e dalla velocità del sistema di riferimento. In particolare, il tempo diventa una grandezza legata indissolubilmente allo spazio.

67 Le trasformazioni di Lorentz Rispetto a queste trasformazioni, le equazioni di Maxwell sono invarianti. Le correzioni relativistiche sono di scarsa importanza per la maggior parte dei fenomeni che hanno luogo sulla Terra. Diventano invece significative negli studi astronomici, che riguardano corpi con velocità molto elevate. Se v è molto piccola, le trasformazioni di Lorentz si riducono a quelle di Galileo.

68 La legge di composizione relativistica delle velocità La legge classica di composizione delle velocità: u + v = u ± v Dal secondo postulato della Relatività Ristretta sappiamo che: c + v = c La legge classica (galileiana) di composizione delle velocità non è in accordo con il risultato sperimentale della costanza della velocità della luce. La nuova legge di composizione delle velocità può essere dedotta dalle trasformazioni di Lorentz, ma Einstein la dedusse dai suoi due postulati.

69 La legge di composizione relativistica delle velocità Dalla relazione u 0 = x0 t 0 = x0 2 x 0 1 t 0 2 t 0 1 segue che x 0 2 x 0 1 t 0 2 t 0 1 = q x 2 vt 2 1 v2 t 2 c 2 v c 2 x 2 q 1 v2 c 2 q x 1 vt 1 1 v2 t 1 c 2 v c 2 x 1 q 1 v2 c 2 = x 2 x 1 v(t 2 t 1 ) t 2 t 1 v c 2 (x 2 x 1 ) ovvero u 0 = x v t t v c 2 x

70 La legge di composizione relativistica delle velocità Dividendo numeratore e denominatore per t si ottiene: u 0 = x t 1 v c 2 v x t da cui si ricava u 0 = u v 1 uv c 2

71 La legge di composizione relativistica delle velocità Nuova legge di composizione delle velocità (lungo l asse x): u 0 = u v 1 uv c 2 u = u0 + v 1+ u0 v c 2 Applicando tale legge alla composizione di un moto con quello della luce, si ottiene: c u = c u 0 + v = (c v)(c u0 ) 1+ u0 v c 2 c(1 + u0 v c 2 )

72 La velocità della luce come velocità limite Poiché i membri a numeratore sono entrambi maggiori di zero, si c u>0,u<c ricava che. Si tratta di un risultato di fondamentale importanza: La velocità della luce nel vuoto è la più alta velocità possibile in natura ed è una velocità limite, irraggiungibile per i corpi dotati di massa. Non possono esistere velocità macroscopiche maggiori di c. La velocità della luce nel vuoto è una caratteristica strutturale del nostro Universo.

73 x km La contrazione delle lunghezze La definizione di distanza spaziale è legata alla simultaneità e ciò determina la relatività delle lunghezze. O ritiene sé stesso fermo. AC si allontana da lui a v km/s. B Esempio tratto da: C. Durell, La Relatività con le quattro operazioni (Bollati Boringhieri) v km/s O A x km C

74 La contrazione delle lunghezze A e C sono in quiete uno rispetto all altro ed entrambi misurano la distanza che li separa pari a x km. Quando A passa in corrispondenza di O, entrambi regolano i propri orologi sull ora zero. Qual è la lunghezza di AC secondo O? Mentre O lo osserva, A sta eseguendo il solito esperimento di Michelson-Morley. Per A e C i segmenti AB e AC misurano entrambi x km. O è d accordo sulla misura di AB, ma ritiene che la misura di AC sia diversa e pari, poniamo, a z km.

75 x km La contrazione delle lunghezze kv km k 2 c 2 = k 2 v 2 + x 02 kc km k 2 = x02 c 2 v 2 k = x 0 p c 2 v 2 Secondo O, AB si allontana da lui a v km/s. Supponiamo che il viaggio da A a B1 duri k secondi in base all orologio di O.

76 La contrazione delle lunghezze Per O il tempo totale del viaggio AB1A2 del segnale è quindi pari a 2k secondi, equivalente per definizione al tempo che il segnale impiega per andare da A a C. Lungo il tratto AC il segnale viaggia a km/s verso C, distante per O z km, che scappa via a v km/s. Il segnale guadagna su C (c-v) km/s. Il tempo, secondo O, che il segnale impiega per andare da A a C è c z v s

77 La contrazione delle lunghezze Al ritorno il segnale viaggia a km/s verso A, distante z km, che si avvicina a v km/s. Il segnale guadagna ora su A (c+v) km/s. Il tempo, secondo O, che il segnale impiega al ritorno è z c + v s Il tempo complessivo per O è quindi pari a z c v + z c + v = z(c + v)+z(c v) (c v)(c + v) = 2zc c 2 v 2 s

78 La contrazione delle lunghezze Ma per O il tempo totale del viaggio è di 2k secondi, quindi si avrà 2k = 2zc c 2 v 2 ; z = k(c2 v 2 ) c z 2 = k2 (c 2 v 2 ) 2 c 2 Poiché in precedenza abbiamo ottenuto avremo che k 2 = z 2 = x02 (c 2 v 2 ) c 2 x02 c 2 v 2 z = x 0 r1 v 2 c 2

79 La contrazione delle lunghezze In definitiva, O sostiene che la lunghezza AC, che sia A che C ritenevano essere di x km, è invece di km z = x 0 r1 v 2 c 2 Dal momento che la quantità sotto radice è minore di 1, O sostiene che il metro campione usato da A e C si contrae nella direzione del moto. Il fattore di contrazione è proprio gamma, ovvero quello dato dalle trasformazioni di Lorentz!

80 La contrazione delle lunghezze Lorentz aveva introdotto la contrazione delle lunghezze come ipotesi necessaria per spiegare il risultato negativo dell esperimento di Michelson-Morley. Il significato fisico di tale contrazione consisteva nell ipotizzare l esistenza di una misteriosa forza dipendente dalla velocità che agisse a livello atomico. Nella teoria di Einstein, la contrazione non è dovuta ad una deformazione strutturale dei corpi, ma alla costruzione di una nuova cinematica!

81 La lunghezza propria La lunghezza di un corpo in quiete in un sistema di riferimento è chiamata lunghezza propria. La lunghezza di un corpo misurata da un qualunque sistema di riferimento in moto rispetto al corpo stesso è sempre minore della lunghezza propria. In sistemi di riferimento che si muovono a velocità diverse un corpo avrà lunghezze diverse.

82 FINE SECONDA PARTE

83 Incontri di introduzione alla Relatività Ristretta Terza ed ultima parte La Torre del Sole, Brembate di Sopra (BG) - 2 Novembre 2017 Andrea Castelli, Ph.D. Università degli Studi di Bologna

84 Indice 1. Il rallentamento degli orologi e la dilatazione dei tempi 2. Definizione di intervallo di tempo proprio 3. La strana vita dei muoni 4. L intervallo spazio-temporale tra eventi 5. Lo spazio-tempo di Minkowski 6. Il paradosso dei gemelli 7. Il paradosso della scala e del fienile 8. L equivalenza massa-energia

85 La dilatazione dei tempi A e C concordano sul fatto che la distanza che li separa è x km. Un segnale luminoso inviato da uno dei due, riflesso dall altro e ritornato al punto di partenza, impiegherà 2x secondi. Gli orologi di A e C lo confermano, quindi marciano al medesimo ritmo. O ammette questo, ma dice che entrambi gli orologi ritardano rispetto al suo e che non sono sincronizzati tra loro. Come valuta O la differenza temporale tra l orologio di A e quello di C?

86 La dilatazione dei tempi A e C sincronizzano i loro orologi con la solita procedura (invio di un segnale luminoso). Come abbiamo già visto, secondo O il tempo impiegato dal segnale per andare da A a C è pari a c z v s e il tempo totale del viaggio del segnale luminoso è pari a c 2 2zc v 2 s

87 La dilatazione dei tempi Secondo O, il viaggio di andata occupa una parte del tempo totale pari a z/(c v) 2zc/(c 2 v 2 ) = c + v 2c Ma l orologio di A segna 2x secondi per il tempo totale. Allora O sostiene che, quando il segnale arriva in C, l orologio di A segna c + v 2c 2x0 = x0 (c + v) c secondi dopo l ora zero. Per via del processo di sincronizzazione, C fa partire il suo orologio - che segna x secondi dopo lo zero - proprio in questo istante.

88 La dilatazione dei tempi Perciò, secondo O, l orologio di A è avanti rispetto a quello di C di x 0 (c + v) c x 0 = x0 v c s A e C sostengono di aver sincronizzato i loro orologi, mentre O ritiene invece che quello di A sia avanti rispetto a quello di C. Poiché questa differenza dipende da x (lunghezza di AC), secondo O più lontano è C da A (nella direzione del moto), più avanti è l orologio di A rispetto a quello di C. Come valuta O il ritmo di marcia dell orologio di A (o di C)?

89 La dilatazione dei tempi Abbiamo visto che, secondo O, il tempo complessivo impiegato dal segnale per andare da A a C e tornare indietro è 2k secondi (misurato con il proprio orologio), dove k = x 0 p c 2 v 2 Per A il tempo totale è invece di 2x secondi (misurato con il proprio orologio) e O deve essere d accordo con lui. O sostiene allora che 2x secondi dell orologio di A misurano il medesimo intervallo di tempo dei suoi 2k secondi, ovvero di 2x 0 p secondi del proprio orologio. c 2 v2

90 La dilatazione dei tempi Facendo la proporzione, otteniamo che, secondo O, 1s di A corrisponde a secondi del suo orologio. Questo significa che, secondo O, l orologio di A rallenta: il suo tempo si è dilatato. Ricordiamo che O riteneva sé stesso fermo e A in moto a v km/s. Data la simmetria tra i due punti di vista, A può correttamente ritenere che sia l orologio di O a rallentare e il suo tempo ad essersi dilatato. q 1 1 v 2 c 2 Gli orologi in moto rallentano, ovvero segnano un intervallo di tempo più breve tra due eventi.

91 L intervallo di tempo proprio L intervallo di tempo proprio è l intervallo tra due eventi misurato in un sistema di riferimento nel quale i due eventi si verificano nel medesimo punto (è misurato quindi da un solo orologio). L intervallo di tempo proprio è sempre il più breve tra due eventi. In un qualunque altro sistema di riferimento l intervallo di tempo è più lungo.

92 La strana vita dei muoni Il rallentamento degli orologi consente di spiegare un fenomeno particolare osservato per la prima volta negli anni 40. Lo scontro nell alta atmosfera terrestre (circa 15 km dal suolo) tra le particelle del vento solare e i nuclei atomici di alcuni gas produce delle particelle instabili chiamate muoni. I muoni decadono spontaneamente, producendo un elettrone e una coppia neutrino-antineutrino. Il tempo medio di decadimento, che corrisponde ad un dimezzamento della loro popolazione, è pari a circa 2,2 milionesimi di secondo.

93 La strana vita dei muoni Supponiamo di avere muoni: dopo 2,2 milionesimi di secondo ne avremo solo I muoni prodotti dai raggi cosmici viaggiano a una velocità pari al 99,92% di quella della luce. Di conseguenza, prima di decadere, percorrono circa 660 m. Come fanno ad arrivare sulla Terra, attraversando 15 km di atmosfera, se muoiono dopo 660 metri? Eppure sulla Terra se ne rilevano molti di muoni (circa il 40% di quelli prodotti a 15 km di altezza).

94 La strana vita dei muoni Il tempo di decadimento del muone, misurato nel suo sistema di riferimento (tempo proprio), è pari a circa 2,2 milionesimi di secondo. Ma il tempo di decadimento misurato nel sistema di riferimento di un osservatore sulla Terra è maggiore di circa 25 volte per via della dilatazione del tempo! Misurato da Terra, il tempo medio di decadimento è pari a circa 55 milionesimi di secondo. Durante questo tempo, i muoni percorrono circa 16 km, quindi riescono ad arrivare sulla Terra.

95 La strana vita dei muoni Cosa accade dal punto di vista del muone? Il muone, nel suo sistema di riferimento, è fermo e vive 2,2 milionesimi di secondo. Come fa allora a raggiungere la Terra? Dal punto di vista del muone è la Terra a muoversi al 99,92% di c! Di conseguenza, per via della contrazione delle lunghezze, il muone misura una distanza da Terra più corta di 25 volte. Per il muone la distanza da Terra è pari a circa 600 metri, quindi riesce ad arrivare sulla Terra prima di decadere.

96 L intervallo spazio-temporale La Relatività Ristretta distrugge due concetti ritenuti assoluti (invarianti): la distanza tra due punti nello spazio e tra due eventi nel tempo. Questi concetti risultano essere relativi allo stato di moto dell osservatore. Cosa si salva in termini assoluti dalla critica relativistica? 1) La velocità della luce nel vuoto (secondo postulato); 2) l intervallo spazio-temporale tra due eventi. L intervallo spazio-temporale è assoluto: non dipende dal sistema di riferimento e, quindi, dall osservatore.

97 Lo spazio-tempo di Minkowski L invarianza dell intervallo spazio-temporale ha consentito di rappresentare la realtà fisica per mezzo di uno spazio-tempo a 4 dimensioni. La distanza tra due eventi viene definita attraverso l intervallo che li separa. Una rappresentazione geometrica di questo tipo fu ideata da Hermann Minkowski e prende il nome di diagramma di Minkowski. La geometria quadridimensionale di Minkowski in realtà riprendeva e sviluppava un idea proposta per la prima volta da Poincaré in contributi del

98 Il paradosso dei gemelli Due gemelli, O e O, si separano dopo aver vissuto sempre insieme. O resta sulla Terra (gemello terrestre), mentre O parte per un lungo viaggio a velocità v, prossima a quella della luce, verso una stella (gemello viaggiatore). Raggiunta la stella, O inverte la rotta e torna sulla Terra, sempre con velocità v, per incontrarsi di nuovo con il gemello O. Quando si incontrano, O sarà più giovane di O. Perché O, ritenendo sé stesso fermo e O in moto, non può dire invece che è O quello più giovane dei due quando si incontrano?

99 Il paradosso dei gemelli

100 Il paradosso dei gemelli Per O, A è simultaneo a C.

101 Il paradosso dei gemelli Per O, A è simultaneo a C. ( U n i s t a n t e p r i m a dell inversione del moto)

102 Il paradosso dei gemelli Per O, A è simultaneo a C. ( U n i s t a n t e d o p o l inversione del moto)

103 Il paradosso dei gemelli Se A è simultaneo a C e A è simultaneo a C, allora A è simultaneo ad A (per O ). Per O il tempo tra gli eventi A e A non esiste.

104 Il paradosso dei gemelli = q 1 1 v 2 c 2 Per O (terrestre) t BD = t BA + t AD t 0 BCD = t 0 BC + t 0 CD t 0 BC = t pero tempo proprio t 0 CD = t pero tempo proprio t 0 BCD = t BA + t AD = 1 (t BA + t AD ) t 0 BCD <t BD

105 Il paradosso dei gemelli Per O il tempo tra gli eventi A e A non esiste. Per O (viaggiatore) t BD = t BA 0 + t A 00 D t 0 BCD = t 0 BC + t 0 CD tempo t 0 BC = t pero proprio t 0 CD = t pero tempo proprio t 0 BCD = t BA 0 + t A 00D = 1 (t BA 0 + t A 00 D) t 0 BCD <t BD

106 Il paradosso dei gemelli Sia O sia O concordano sul fatto che è l orologio del gemello viaggiatore a segnare un intervallo di tempo più breve tra la partenza e l arrivo (rallenta)! L evento il gemello viaggiatore resta più giovane è descritto coerentemente da entrambi i gemelli. Il ruolo dei due gemelli non è però intercambiabile: la situazione non è simmetrica! E possibile giungere a questa conclusione senza fare ricorso alla Relatività Generale e al ruolo dell accelerazione.

107 Il paradosso dei gemelli Sono state proposte molte soluzioni del paradosso. Quella qui seguita derivata dalle proprietà dello spazio-tempo minkowskiano. Osservazioni fondamentali: 1) i sistemi di riferimento inerziali non sono due ma tre; 2) il gemello viaggiatore usa due sistemi inerziali (uno all andata e uno al ritorno), mentre il gemello terrestre uno solo; 3) mentre O assiste solo a 2 eventi, O assiste a tre eventi; 4) l accelerazione/decelerazione sperimentata dal viaggiatore ha il solo ruolo di consentirgli il cambio di sistema di riferimento, inerziale in entrambi i casi; 5) la durata del periodo di applicazione dell accelerazione/ decelerazione può essere considerata trascurabile.

108 Il paradosso dei gemelli La chiave di volta per la soluzione del paradosso nel contesto minkowskiano è la relatività della simultaneità. I tre sistemi di riferimento non sono in accordo su quale sia, sulla Terra, l evento simultaneo all evento C. Nel cambio di sistema di riferimento, i l v i a g g i a t o r e r i l e v a u n a discontinuità, un salto, nella determinazione dell età del gemello terrestre.

109 Il paradosso della scala e del fienile Si consideri un fienile con le porte d ingresso e di uscita aperte e una scala che, ferma rispetto al sistema di riferimento del fienile, è più lunga del fienile stesso. Supponiamo che la scala si muova a velocità prossime a quella della luce in una direzione che la porta ad entrare nel fienile. A causa della contrazione delle lunghezze, la scala risulterà significativamente più corta, nel sistema di riferimento del fienile. Di conseguenza, transitando nel fienile, ci sarà un istante di tempo in cui la scala è completamente contenuta in esso. Chiudendo simultaneamente entrambe le porte del fienile, la scala risulterà completamente contenuta al suo interno. Il paradosso nasce quando si considera la situazione simmetrica a questa, ovvero il punto di vista della scala.

110 Il paradosso della scala e del fienile Consideriamo quindi l evento scala completamente contenuta nel fienile dal sistema di riferimento della scala. In questo caso, la scala è ferma e il fienile si muove a velocità prossima a quella della luce. E dunque il fienile a subire la contrazione delle lunghezze. Di conseguenza, esso diventa ancora più corto e non sarà mai in grado di contenere interamente la scala. Non sarà quindi possibile chiudere simultaneamente entrambe le porte senza urtare la scala. Il fatto che l evento scala completamente contenuta nel fienile sembra verificarsi solo nel sistema di riferimento del fienile e non in quello della scala costituisce il paradosso.

111 Il paradosso della scala e del fienile La soluzione del paradosso risiede nella relatività della simultaneità. Affermare che la scala è completamente contenuta nel fienile significa affermare che, in un determinato istante, i due estremi della scala si trovano simultaneamente all interno del fienile. Nel sistema di riferimento della scala, l evento l inizio della scala è all interno del fienile e la fine della scala è all interno del fienile non sono simultanei. Consideriamo le porte del fienile: - nel sistema del fienile sono entrambe chiuse quando la scala è al suo interno; - nel sistema della scala, il fienile si avvicina con entrambe le porte aperte;

112 Il paradosso della scala e del fienile Credit: ladder scenario, en.wikipedia.org Credit: ladder paradox1_minkowski, en.wikipedia.org

113 Il paradosso della scala e del fienile Come conseguenza della relatività della simultaneità, le porte non possono essere chiuse entrambe nel medesimo istante. Di conseguenza, la scala non può essere contenuta all interno del fienile. Supponiamo di bloccare le porte. Nel sistema del fienile, la scala si ferma immediatamente quando urta la porta d uscita. In quell istante, anche la porta d ingresso si blocca e così la scala risulta completamente contenuta nel fienile. Essendo nulla la velocità relativa tra scala e fienile, la scala - vista dal fienile - non subisce più la contrazione delle lunghezze.

114 Il paradosso della scala e del fienile L evento scala intrappolata nel fienile non può verificarsi solo nel sistema di riferimento del fienile, pena la perdita di oggettività nella descrizione fisica del mondo. Come descrivere allora questo evento nel sistema di riferimento della scala se in questo sistema la scala è sempre più lunga del fienile? Ecco la spiegazione: nel sistema di riferimento del fienile, tutte le parti della scala decelerano simultaneamente quando la scala urta la porta d uscita. Nel sistema di riferimento della scala, le sue parti non avvertono simultaneamente la decelerazione!

115 Il paradosso della scala e del fienile La decelerazione viene avvertita prima dalla parte iniziale e poi da quella finale. Quando la parte iniziale decelera, quella finale si sta ancora muovendo a velocità prossima a quella della luce. Quando la parte finale avverte la decelerazione, la scala è completamente contenuta nel fienile. La nozione di corpo rigido perde di senso nel sistema concettuale della Relatività Ristretta! Il concetto di corpo rigido implica la trasmissione istantanea (a velocità infinita) dei segnali e, quindi, anche della propagazione delle deformazioni strutturali. Per il secondo postulato della RR, la velocità della luce è un limite invalicabile.

116 Il paradosso della scala e del fienile L evento A rappresenta l impatto. BA è la lunghezza della scala, vista nel sistema di riferimento del fienile, al momento dell impatto. CA è la lunghezza della scala, vista nel sistema di riferimento della scala stessa, al momento dell impatto. Credit: ladder paradox1_minkowski, en.wikipedia.org La scala non esce dal fienile a causa dell impatto: la sua parte iniziale evolve quindi lungo la linea di universo AE (E rappresenta nuovamente l inizio della scala).

117 Il paradosso della scala e del fienile La parte finale della scala non cambia la sua traiettoria spaziotemporale fino a quando non sente l effetto dell impatto. L effetto dell impatto si propaga da A al massimo alla velocità della luce (linea di universo AF). La parte finale della scala, quando entra nel fienile (D), non ha ancora avvertito l effetto dell impatto (D avviene prima di F nel sistema della scala). Credit: ladder paradox1_minkowski, en.wikipedia.org A quell istante (D), la scala (DE) è completamente contenuta nel fi e n i l e per entrambi i sistemi di riferimento.

118 L equivalenza massa-energia Il fatto che nessun oggetto fisico si possa muovere con velocità superiore a quella della luce nel vuoto non è coerente con la meccanica newtoniana. Nella teoria di Newton F = ma, a = F m e poiché v = a t, v = F m t si deduce che una forza costante, in un tempo opportuno, può far raggiungere ad un corpo qualsiasi velocità. Alla luce del secondo postulato della RR, il secondo principio della dinamica va modificato.

119 L equivalenza massa-energia La modifica dovrà tener conto del fatto che, per quanto a lungo una forza agisca su una particella, la velocità finale di quest ultima dovrà necessariamente essere minore di c. Dovrà cadere un altro dei capisaldi della fisica classica, ovvero la legge di conservazione della massa (Lavoisier). Partendo ancora una volta da F = ma e considerando l accelerazione espressa dalla relazione a = v t

120 L equivalenza massa-energia si ricava F = mv t Poiché p = mv, si ha p = F t Una forza costante produce una variazione della quantità di moto direttamente proporzionale alla forza stessa e alla durata della sua azione. Il principio di conservazione della quantità di moto deve essere valido anche in Relatività Ristretta. Definiamo una nuova grandezza, la massa propria (massa a riposo), ovvero la massa di un corpo misurata nel sistema di riferimento in cui il corpo è in quiete.

121 L equivalenza massa-energia Per garantire la validità del principio di conservazione della quantità di moto in RR, la massa deve essere diversa nei diversi sistemi di riferimento. La relazione che lega la massa m0 a riposo di un corpo con il valore della sua stessa massa misurato in un sistema di riferimento in moto rispetto al corpo è (m, massa relativistica) m = q m 0 1 v 2 c 2 Di conseguenza, la quantità di moto relativistica sarà p = m 0v q 1 v 2 c 2 ovvero p = m 0 v

122 L equivalenza massa-energia Poiché il valore della massa varia a seconda del sistema di riferimento, si deve ammettere che una forza costante produce accelerazioni sempre minori e quindi incrementi di velocità sempre più piccoli al crescere della velocità del corpo. Una parte dell energia fornita dalla forza applicata, invece di produrre ulteriore accelerazione, si riversa nella massa. La massa di una particella aumenta all aumentare della velocità, fino a tendere all infinito se v tende a c. Un corpo dotato di massa potrà avvicinarsi alla velocità della luce, senza però mai raggiungerla.

123 L equivalenza massa-energia Nella dinamica classica, il concetto di massa è nettamente separato da quello di energia. Se un corpo in quiete rispetto a un osservatore ha massa m0, quando esso si muove la sua massa aumenta di una quantità m = m m 0 = q m 0 1 v 2 c 2 m 0 Nella fisica classica, se un corpo in quiete ha massa m0, quando viene posto in movimento con velocità v non aumenta la sua massa, ma acquista energia cinetica secondo la relazione E = 1 2 m 0v 2