Dinamica dei Sistemi Multicorpo

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1 Dinamica dei Sistemi Multicorpo Basilio Bona Dipartimento di Automatica e Informatica Politecnico di Torino versione corrente: 12 ottobre 24 1

2 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 2 Il contenuto di questa dispensa è stato controllato con cura per evitare la presenza di errori, tuttavia è possibile che ne siano rimasti alcuni; chi li trovasse o volesse dare suggerimenti all autore, è pregato di inviare una a: basilio.bona@polito.it

3 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 3 1 Introduzione Questa breve dispensa ha lo scopo principale di introdurre alla formulazione della dinamica dei sistemi meccanici, elettrici ed elettromeccanici multicorpo utilizzando prevalentemente l approccio basato sulle equazioni scalari di Lagrange e paragonandolo alla descrizione ottenibile dalle equazioni vettoriali di Newton-Eulero. L obbiettivo è duplice: da una parte rendere familiari allo studente i concetti generali di energia e coenergia, che gli permetteranno di risolvere problemi anche complicati di modellistica per la meccatronica. D altra parte si vuole fornire una metodologia che consenta di arrivare a scrivere le equazioni di stato senza perdere di vista gli aspetti fisici del problema, anzi sforzandosi, ove possibile, di motivare fisicamente ogni passaggio matematico. A questo scopo si vuole mantenere da una parte il rigore formale, senza tuttavia perdersi in dimostrazioni non necessarie, dall altra evidenziare la rilevanza fisico/ingegneristica dei problemi trattati, in modo che il risultato finale sia rappresentabile da equazioni matematiche che però non oscurino la comprensione ingegneristica del fenomeno, ma anzi la rendano più chiara e generale. È opportuno, e forse necessario, che il lettore abbia noti alcuni pre-requisiti di carattere matematico: in primo luogo la conoscenza dell algebra vettoriale e delle matrici; secondariamente le nozioni di base sui sistemi di riferimento cartesiani e sulle roto-traslazioni rigide nello spazio tridimensionale, viste come operazioni fisiche su corpi rigidi e contemporaneamente come operatori matematici ben caratterizzati. Tali nozioni si possono ricavare consultando i capitoli iniziali del testo [1]. Il lettore interessato può approfondire gli argomenti esposti in questa dispensa facendo riferimento a numerosi testi di Meccanica Analitica aventi carattere introduttivo o intermedio, come, ad esempio [2, 3, 5, 7, 8, 12, 13]; un trattato veramente completo e ponderoso è rappresentato dal testo [1]. 1.1 Tensori o matrici d inerzia Prima di entrare nel vivo della trattazione, è opportuno riassumere brevemente alcuni concetti relativi alle matrici di inerzia ed ai momenti angolari, almeno per uniformare le notazioni usati poi nei successivi Paragrafi. La matrice o tensore d inerzia 1 di un corpo rigido, è quella grandezza che definisce le caratteristiche inerziali del corpo rigido rispetto alle variazioni della velocità di rotazione. Essa viene sempre definita specificando (implicitamente o esplicitamente) un punto rispetto a cui viene calcolata; di solito questo punto è fatto coincidere con il centro di massa del corpo stesso, ma ciò non è strettamente necessario, come vedremo più oltre. Dato un corpo rigido B, individuato dal generico pedice b, e un sistema di riferimento R l, il centro di massa di B ha la sua posizione in R l data dal vettore r l cb, 1 Con il termine tensore si indica l ente matematico astratto (una generalizzazione del vettore), mentre con il termine matrice si indica la sua rappresentazione in un qualche dato sistema di riferimento. Preferiamo usare il termine matrice, piuttosto che tensore, perché più comune tra gli ingegneri.

4 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 4 definito nel modo seguente: r l cb B dm = r l cb m b = B r l bdm (1) dove r l b = ( x y z ) T rappresenta la posizione in Rl della generica massa elementare dm appartenente al corpo b; m b = dm è la massa totale del corpo. B La matrice d inerzia Γ l b/c R 3 3 intorno al centro di massa r l cb viene implicitamente definita dalla relazione h l b = Γ l b/cω l b (2) dove h l b è il momento angolare del corpo rigido e ω l b la velocità angolare totale del corpo rigido; entrambi sono vettori tridimensionali rappresentati nel sistema di riferimento R l. Si sottolinea che l uso dei vari indici e pedici che contraddistinguono la matrice d inerzia Γ l b/c non è un inutile complicazione; al contrario mette in evidenza i punti fondamentali della definizione di questa: Γ l b/c è la matrice d inerzia del corpo rigido individuato dal pedice b, rispetto al centro di massa del corpo stesso, indicato dal pedice c, il tutto rappresentato nel sistema di riferimento cartesiano ortogonale R l, indicato dall apice l. Se ora fissiamo R l al corpo rigido e poniamo la sua origine nel centro di massa C, la matrice d inerzia Γ l b/c può essere definita nel modo seguente: Γ l b/c = S(r l b)s(r l b)dm = B B [ rb l 2 I r l b(r l b) T] dm Γ xx Γ xy Γ xz = Γ yx Γ yy Γ yz Γ zx Γ zy Γ zz dove ricordiamo che r l b (rl b )T è un prodotto diadico, ossia il prodotto di un vettore colonna per un vettore riga che genera una matrice 3 3 avente rango uno. Gli elementi sulla diagonale di (3) sono detti momenti principali di inerzia e sono dati da: Γ xx = ( y 2 z 2) dm B (3) Γ yy = ( x 2 z 2) dm B Γ zz = ( x 2 y 2) dm B (4) dove x, y e z sono, come detto sopra, le coordinate in R l del generico elemento di massa dm. Gli elementi fuori dalla diagonale sono detti prodotti d inerzia e sono dati da: Γ xy = Γ yx = xy dm B Γ yz = Γ zy = yz dm B Γ zx = Γ xz = xz dm B (5)

5 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 5 È spesso opportuno indicare un sistema di riferimento privilegiato R, definendolo come quello per cui la matrice d inerzia assume la forma diagonale, ossia Γ x Γ b/c = Γ y ; Γ z esso ha i tre versori i, j e k, allineati con i cosiddetti assi principali d inerzia; la matrice stessa prende il nome di matrice principale d inerzia. Se ora consideriamo un altro sistema di riferimento R k, rispetto al quale R l è rappresentato dalla matrice di rotazione R k l, la matrice d inerzia in esso rappresentata è legata a quella precedente dalla relazione o, analogamente Γ k b/c = R k lγ l b/cr l k = R k lγ l b/c(r k l) T Γ k b/cr k l = R k lγ l b/c. (6) Nell ipotesi che il sistema di riferimento sia fisso al corpo B, la matrice d inerzia relativa a quest ultimo è costante nel tempo; in caso contrario la matrice d inerzia è tempo-variante. 1.2 Teorema degli assi paralleli Supponiamo di voler calcolare la matrice d inerzia non più rispetto al centro di massa C, ma rispetto a un generico punto O (vedi Fig. 1) qualsiasi. r b dm C r o r co O Figura 1: Punti relativi. Il legame che esprime la posizione della massa dm rispetto ai due punti O e C è dato dalla seguente relazione r o = r co r b

6 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 6 dove r co = ( x c y c z c ) T rappresenta il centro di mass C rispetto al punto O. La relazione risulta valida per qualunque sistema di riferimento in cui rappresentiamo i tre vettori, in quanto esprime la distanza r o r co = r b. L elemento di massa elementare dm che si trovava, rispetto al punto C, nella posizione r b, si trova ora nella posizione r o ; è quindi possibile calcolare una nuova matrice d inerzia, che indicheremo con Γ l b/o, definita come Γ l b/o = Γ l b/c ms(r b co)s(r b co) = Γ l b/c m[ r b 2 co I r b co(r b co) T] (7) ovvero, più semplicemente Γ Γ l xx Γ xy Γ xz b/o = Γ yx Γ yy Γ yz Γ zx Γ zy Γ zz dove: Γ xx = Γ xx m ( ) yc 2 zc 2 Γ yy = Γ yy m ( ) x 2 c zc 2 Γ zz = Γ zz m ( (8) ) x 2 c yc 2. I prodotti di inerzia possono essere riscritti in modo analogo: Γ xy = Γ xy m x c y c Γ xz = Γ xz m x c z c Γ yz = Γ yz m y c z c (9) Queste relazioni permettono di calcolare la matrice d inerzia rispetto ad un qualsiasi punto O a scelta, avendo a disposizione i dati relativi alla matrice d inerzia rispetto al centro di massa C. 1.3 Derivata di un vettore Ricordiamo inoltre che, dato un generico vettore u b, rappresentato nel riferimento R b, la sua derivata rispetto al tempo è anch essa un vettore, che indichiamo in uno dei modi seguenti u b 1 u b = d dt (ub ) = d u b 2 = u b dt u b 2 (1) 3 u b 3 La relazione tra la derivata temporale rispetto al riferimento R b e quella rispetto a un diverso sistema di riferimento R a e data derivando la relazione che dà e ricordando (vedi [1, pag. 66]) che u a = R a bu b u a = R a b ub R a bu b R a b = R a bs(ω b ab) u b 1

7 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 7 si ottiene la relazione finale, che fornisce u a in funzione di u b e u b : ( u a = R a b u b S(ω b ab)u b) = R a b( u b ω b ab u b ) (11) dove la matrice antisimmetrica S(ω b ab ) rappresenta anche il prodotto vettoriale esterno ω b ab, valido solo nello spazio R3 ; il vettore ω b ab è la velocità angolare del riferimento R b relativamente a R a, rappresentata in R b. La stessa formula può essere scritta scrivendo u b in funzione di u a e u a : u b = R b a ( u a S(ω a ba)u a ) = R b a( u a ω a ba u a ) (12) dove il vettore ω a ba è questa volta è la velocità angolare del riferimento R a relativamente a R b, rappresentata in R a. Ricordiamo, a conclusione di questo breve Paragrafo, alcune relazioni utili tra velocità angolari e matrici antisimmetriche (vedi anche [1, pagg e 71]): ω b ab ωa ab in generale ω l ab ωl bc = ωl ac a,b,c,l ω l ab = ωl ba a,b,l S( ω) = S(ω) = S T (ω) ω S(λ 1 ω 1 λ 2 ω 2 ) = λ 1 S(ω 1 ) λ 2 S(ω 2 ) λ 1,λ 2,ω 1,ω 2 S(ω)u = ω u ω,u u T S(ω)u ω,u R a bs(ω b ab ) = S(Ra bω b ab )Ra b = S(ω a ab )Ra b (13) 1.4 Momento angolare ed equazione di Eulero L espressione del momento della quantità di moto angolare è stata introdotta senza ulteriori spiegazioni nella relazione (2); vorremmo ora giustificare questa formula derivandola in modo un po più rigoroso. Possiamo ipotizzare che un corpo rigido B sia composto da un continuo di particelle elementari di massa dm in posizione r k p, dotate di velocità v k p e accelerazione a k p; l apice k con cui identifichiamo i vettori indica il generico riferimento R k rispetto a cui rappresentiamo i vettori stessi. Essendo il corpo rigido, esisteranno delle relazioni che legano tra loro le posizioni, le velocità e le accelerazioni, ma di questo ci occuperemo al Paragrafo 3. Per semplificare la trattazione della dinamica del corpo rigido, possiamo ricondurre l azione delle forze e delle coppie agenti su di esso ad una forza equivalente f k bc, con linea d azione attraverso il centro di massa c del corpo B e con modulo pari a quello della somma vettoriale delle forze agenti, e ad una coppia equivalente τ k bc = nk b/c pari al momento n k b/c totale delle forze agenti sul corpo, relativo al centro di massa. Come vedete, si usa il pedice bc per indicare l azione della forza lineare, mentre si usa il pedice b/c per indicare l azione del momento (coppia) angolare della forza. L equazione di Eulero afferma che il momento angolare è pari alla derivata della quantità di moto angolare del corpo: [ ] d τ k bc = h k b/c dt i

8 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 8 dove abbiamo indicato che la derivata va fatta relativamente ad un sistema di riferimento inerziale 2 ; non è necessario che R k sia un riferimento inerziale, ma è sufficiente che la derivata, vista come limite del rapporto incrementale, ossia limite di una differenza tra vettori, sia calcolata in un riferimento inerziale (vedi anche il Paragrafo 1.3). Indicheremo questo riferimento inerziale con R i. Il vettore h k b/c è detto momento della quantità di moto angolare rispetto a C ed è definito come h k b/c = (r k v k p)dm (14) dove il vettore B r k = r k p r k c rappresenta la posizione della massa elementare rispetto al centro di massa; la velocità v k p può venire a sua volta espressa in relazione alla velocità del centro di massa v k c nel modo seguente v k p = v k c ω k ib r k (15) È stata introdotta la velocità angolare ω k ib, che va intesa come la velocità angolare del corpo b rispetto al sistema di riferimento inerziale R i, ossia quella che solitamente si chiama velocità angolare totale del corpo b. Sostituendo la (15) nella (14), otteniamo ( ) h k b/c = r k dm B v k c r k (ω k ib r k )dm = B Il termine B rk dm si annulla in quanto, in accordo con la definizione di centro di massa (1), si ha: r k dm = (r k p r k c)dm = r k pdm mr k c = quindi resta B B h k b/c = r k (ω k ib r k )dm = r k (r k ω k ib)dm B B = S(r l b)s(r l b)ω k ibdm = S(r l b)s(r l b)dm ω k ib B = Γ k b/cω k ib In un diverso sistema di riferimento R l avremo B h l b/c = Γ l b/cω l ib. B (16) con Γ l b/c = R l kγ k b/cr k l 2 Ricordiamo che un riferimento inerziale implica che esso sia assolutamente fisso o in moto rettilineo uniforme; è sufficiente considerare un riferimento quasi inerziale, ovvero uno per il quale le accelerazioni agenti su di esso siano trascurabili: ad esempio il riferimento alla base del tavolo su cui avete appoggiato queste dispense. Nel testo chiameremo inerziale qualunque sistema di riferimento quasi inerziale che faccia al caso nostro.

9 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 9 Per completare l equazione di Eulero si tratta ora di definire la derivata del momento della quantità di moto angolare. [ ] [ ] ḣ k d d b/c = (Γ k dt b/cω k ib) = (Γ k i dt b/cω k ib) ω k ib (Γ k b/cω k ib) b Essendo Γ k b/c costante in R b, ne segue che ḣ k b/c = Γ k b/cα ib ω k ib (Γ k b/cω k ib) dove α ib è l accelerazione angolare totale del corpo b rispetto al riferimento inerziale. Un altro modo per giungere alla stessa formula è il seguente: ipotizziamo che il corpo b ruoti con velocità angolare totale ω rispetto ad un riferimento inerziale R, con origine posta nel centro di massa del corpo. L equazione di Eulero (della dinamica del corpo in rotazione) stabilisce che la variazione del momento angolare sia pari alla risultante τ delle coppie applicate al corpo, anch essa espressa in R, ossia: ḣ d dt (Γ ω ) = τ (17) Sia Γ sia ω sono funzioni del tempo, e quindi risulta ḣ = Γ ω Γ ω (18) Per calcolare più agevolmente Γ è opportuno cambiare sistema di riferimento. Se R l è il riferimento locale solidale al corpo, con origine nel suo centro di massa, se R è la matrice di rotazione che rappresenta R l in R e Γ l è il tensore d inerzia del corpo, espresso in R l, allora abbiamo visto che vale la relazione: Γ = RΓ l R T (19) Chiamando ω l la velocità angolare del corpo espressa in R l, avremo ω = Rω l ovvero ω l = R T ω e quindi: h = Γ ω = RΓ l R T Rω l = RΓ l ω l = Rh l (2) dove abbiamo introdotto il momento angolare h l = Γ l ω l espresso nel riferimento locale R l. Quest ultima relazione mostra che il vettore del momento angolare si trasforma nello stesso modo degli altri vettori, premoltiplicandolo per la matrice di rotazione R. Derivando ora h nella (2), otteniamo: ḣ = d dt (RΓ lω l ) = ṘΓ lω l R Γ l ω l RΓ l ω l (21) Ricordando che il tensore d inerzia Γ l è costante nel tempo, in quanto è espresso nel riferimento R l solidale con il corpo rotante, risulta quindi Γ l = O e la (21) si semplifica come segue: ḣ = S(ω )RΓ l ω l RΓ l ω l = ω (RΓ l ω l ) RΓ l ω l (22)

10 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 1 Questo vettore è espresso in R e contiene sia velocità ω l sia ω ; se lo vogliamo esprimere in R l dovremo premoltiplicare per R T. Ricordando le proprietà delle matrice antisimmetriche, otteniamo R T ḣ = R T S(ω )RΓ l ω l R T RΓ l ω l = S(R T ω )Γ l ω l Γ l ω l = S(ω l )Γ l ω l Γ l ω l (23) = ω l Γ l ω l Γ l ω l Poiché R T ḣ = ḣl e, per l equazione di Eulero ḣl = τ l, segue: τ l = ω l Γ l ω l Γ l ω l (24) dove τ l = R T τ è la risultante delle coppie applicate, espressa in R l. Se volessimo invece esprimere la coppia in R, dovremmo utilizzare la (22), sostituendo Γ R al posto di RΓ l, ottenuta dalla (19); in questo modo si giunge alla relazione τ = ω Γ ω Γ ω (25) Come si può osservare, le equazioni (24) e (25) sono identiche, purché tutti i vettori coinvolti siano stati espressi nello stesso sistema di riferimento. 2 Equazioni di Newton-Eulero Le equazioni di Newton-Eulero si possono ricavare come equazioni di equilibrio dinamico delle forze e dei momenti, compresi quelli inerziali, esterni e di vincolo, agenti sul corpo rigido B. Si scrivono quindi due equazioni vettoriali, la prima (equazione di Newton) di equilibrio tra le forze lineari, la seconda (equazione di Eulero) di equilibrio tra i momenti angolari. Per semplicità di notazione supporremo d ora in avanti che i vettori introdotti siano tutti rappresentati nel riferimento R, trascurando di indicare il pedice relativo. Supponendo che il corpo rigido sia collegato ad altri corpi, vanno considerati nelle equazioni anche le forze e i momenti vincolari che vengono trasmessi dai corpi contigui al corpo in questione. Il moto del corpo B, supposto perfettamente rigido, risulta decomposto in due moti distinti: 1. un moto traslatorio del suo centro di massa, descritto dalle equazioni vettoriali di Newton, che impongono l equilibrio, rispetto al centro di massa, di tutte le forze agenti sul corpo, comprese quelle dinamiche: f a f v mg ma c = (26) dove a c = v c = r c è l accelerazione del centro di massa, g e l accelerazione di gravità, f a è la risultante delle forze attive applicate al corpo dall esterno e f v è la risultante delle forze vincolari tra i corpi.

11 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo un moto rotatorio, intorno al centro di massa, descritto dalle equazioni vettoriali di Eulero, che impongono l equilibrio, rispetto al centro di massa, di tutti i momenti agenti sul corpo, compresi quelli generati dalle forze d inerzia: τ a τ v τ f a τ f v τ g τ i Γα ω Γω = (27) dove τ a è la risultante dei momenti attivi applicati al corpo dall esterno, τ v è la risultante dei momenti vincolari, τ f a è la risultante dei momenti dovuti alle forze applicate esterne, τ f v è la risultante dei momenti dovuti alle forze vincolari, τ g è il momento dovuto al campo gravitazionale e τ i è il momento dovuto alla forza d inerzia ma c, mentre α è l accelerazione angolare totale. Questa equazione viene semplificata se i momenti e la matrice d inerzia vengono calcolate rispetto al centro di massa: in questo caso si ha τ g = τ i = e l equazione di Eulero si riduce a τ a τ v τ f a τ f v Γα ω Γω = (28) Come si può notare, le equazioni sono espresse in funzione delle accelerazioni lineari del centro di massa a c, dell accelerazione angolare α e della velocità angolare ω. Le equazioni di Newton-Eulero si possono anche scrivere in una forma matriciale più compatta, ad esempio ( )( ) ( ) mi a b c Γ b b/c S(ω b ib )Γ b b/c α b ib ( ) f b = bc τ b bc Ricordando che a b c = v b c ω b ib vb c, avremo anche una seconda forma possibile ( mi Γ b b/c )( v b c α b ib ) ( )( ) ( ) ms(ω b ib ) v b c f b S(ω b ib )Γ b b/c ω b = bc ib τ b bc Se poi volessimo esprimere le equazioni in relazione ad un generico punto O, ove r oc è il vettore da O al centro di massa C, allora avremo ( mi ms(r b oc ) T )( a b o ms(r b oc) Γ b b/cω b ib α b ib ) ( ms(ω b ib )S(ω b ) ib )rb oc S(ω b ib )Γ b b/oω b ib ( ) f b = bo τ b bo In conclusione, vorremmo aggiungere che una delle maggiori difficoltà che sorgono nell utilizzare le equazioni di Newton-Eulero per scrivere simbolicamente le equazioni dinamiche del sistema multicorpo nasce dalla presenza delle forze generalizzate (forze e momenti) di vincolo; queste infatti non servono a caratterizzare direttamente il moto del corpo, ma hanno l unica funzione di sostituire i vincoli geometrici con grandezze vettoriali inseribili nelle equazioni. Tuttavia, se quello che interessa non è scrivere simbolicamente le equazioni dinamiche, ma calcolare numericamente le grandezze cinematiche o dinamiche del corpo, le equazioni di Newton-Eulero, poste in una opportuna forma ricorsiva, permettono di calcolare numericamente la soluzione di problemi dinamici in modo computazionalmente efficiente, come vedremo meglio al Paragrafo 13.

12 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 12 3 Coordinate generalizzate e vincoli Un insieme di N masse puntiformi, ciascuna definita univocamente nello spazio dal vettore posizione ξ i,1 (t) r i (t) = ξ i,2 (t), i = 1,...,N ξ i,3 (t) è globalmente descrivibile da 3N quantità. Possiamo ora pensare di raccogliere queste componenti in un unico vettore di lunghezza 3N, come segue ξ 1,1 r 1 ξ 1,2 x 1 r 2 ξ 1,3 x 2 x =. =. = x 3. r N ξ N,1 ξ N,2 x 3N ξ N,3 Lo spazio R 3N si dice spazio di configurazione del sistema e le x prendono il nome di variabili di configurazione; ogni movimento dell insieme della masse viene descritto da una traiettoria in questo spazio multidimensionale. Un corpo rigido, composto da un insieme infinito di masse elementari avrà virtualmente uno spazio di configurazione di dimensioni infinite. Nell ipotesi che queste N masse puntiformi siano tra loro rigidamente collegate a formare un solo corpo, sappiamo che esso avrà, nello spazio cartesiano, non più di 6 parametri liberi (3 di posizione 3 di assetto). Possiamo dire che i 3N parametri originari sono stati ridotti per la presenza di un certo numero di vincoli, che rappresentiamo analiticamente con delle equazioni vettoriali che impongono distanze fisse tra ogni massa, del tipo seguente: r i r j 2 = d ij, i,j = 1,...,N, i j. (29) Questo non è l unico esempio di equazioni di vincolo che possono agire su un insieme di masse elementari o corpi rigidi. Possono essere attivi anche vincoli esprimibili in funzione delle velocità e non solo delle posizioni, come pure vincoli di diseguaglianza. Facciamo alcuni semplici esempi di possibili vincoli geometrici tra le masse puntiformi o distribuite: Esempio 3.1 Consideriamo il moto di un corpo rigido vincolato a ruotare intorno ad un asse fisso nello spazio e rigidamente collegato ad un punto su questo asse, in modo che non siano consentiti moti di traslazione come, ad esempio, un disco che ruota intorno ad un asse fisso. Esempio 3.2 Consideriamo un corpo rigido il cui unico moto consentito è quello di traslazione lungo un asse particolare, come, ad esempio, un pistone che si muove entro un cilindro. Esempio 3.3 Consideriamo un disco che ruota in contatto di un piano, aderente ad esso, ma senza moti di strisciamento, come, ad esempio, una ruota che rotola su un piano.

13 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 13 In generale un vincolo si rappresenta come una funzione implicita delle 3N coordinate ed eventualmente del tempo t: φ(x 1,...,x 3N,t) = Se i vincoli sono n v, allora avremo un sistema di n v uguaglianze equivalente all equazione matriciale φ 1 (x 1,...,x 3N,t) = φ 2 (x 1,...,x 3N,t) =. φ nv (x 1,...,x 3N,t) = φ(x(t),t) =. (3) La dipendenza diretta dei vincoli dal tempo si ha quando i vincoli stessi sono funzione di qualche legge temporale esterna. Spesso, però, essi sono indipendenti dal tempo in modo diretto, anche se lo sono indirettamente attraverso le coordinate x i (t); in questo caso la (3) si semplifica e diventa: φ(x(t)) =. (31) In generale non tutti i vincoli sono tra loro indipendenti; ad esempio nel caso di N masse puntiformi, l insieme di equazioni di vincolo (29) non sono tutte tra loro indipendenti. Per convincerci di questo fatto, eseguiamo un semplice esperimento mentale: consideriamo un cubo formato da 9 masse puntiformi, 8 ai vertici del cubo e la nona al centro, rigidamente collegate tra loro. Questo oggetto, essendo un corpo rigido, avrà 6 gradi di libertà: tre di posizione del centro, tre di assetto. Il numero di variabili di configurazione è pari a 9 3 = 27, mentre il numero di equazioni di vincolo è pari a 36 (il numero di elementi extradiagonali di una matrice 9 9 simmetrica): il numero di gradi di libertà non può essere semplicemente 27 36, che ci porterebbe ad un risultato negativo privo di ogni senso. Ma allora, dove si nascondono le dipendenze? verosimilmente nell esistenza di relazioni tra le distanze reciproche tra terne di punti del nostro dado riconducibili ai teoremi di Pitagora e di Carnot. Supponiamo, d ora in avanti e per semplicità, che quando specifichiamo le equazioni dei vincoli, queste siano tra loro indipendenti e n v sia effettivamente il numero di vincoli indipendenti. Esempio 3.4 Consideriamo un semplice corpo rigido planare, composto da due masse puntiformi collocate in r 1 e r 2, tra loro vincolate rigidamente a rispettare la distanza (r 1 r 2 ) = d 12. Nel piano ogni massa puntiforme è caratterizzata da due sole componenti r i = ( x i y i ) T, e il numero di coordinate totali vale 2N anziché 3N; quindi le due masse sono definite da 4 coordinate che devono però soddisfare anche il vincolo di rigidità: φ(x(t)) = : (x 1 x 2 ) 2 (y 1 y 2 ) 2 d 2 12 =

14 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 14 Ne segue che n = 2N 1 = 3; ciò sta a significare che il nostro corpo rigido sarà definito nel piano da 3 coordinate: due di posizione più una di assetto. Se poi volessimo, ad esempio, limitare il moto del corpo a giacere su una retta passante per l origine del piano, avremo da introdurre un ulteriore vincolo per ogni punto i ax i by i = con a e b due costanti qualunque. Ne seguirebbe (x 1 x 2 ) 2 (y 1 y 2 ) 2 d 2 12 = φ(x(t)) = : ax 1 by 1 = ax 2 by 2 = e conseguentemente n = 2N 3 = 1; è necessaria e sufficiente una sola coordinata, ad esempio q 1 = x 1, perché tutte le altre sarebbero automaticamente determinate. Se invece volessimo che solo una massa (ad esempio la seconda) fosse vincolata a giacere sulla retta, dovremmo scrivere i seguenti vincoli φ(x(t)) = : { (x1 x 2 ) 2 (y 1 y 2 ) 2 d 2 12 = ax 2 by 2 = e quindi n = 2N 2 = 2; il corpo verrebbe descritto da due coordinate: una che definisce la posizione della massa 2 sulla retta, un altra che definisce l angolo di assetto del corpo La Figura 2 descrive le diverse situazioni qui descritte. Figura 2: Vincoli nel piano che caratterizzano una coppia di masse puntiformi. La coppia A A può muoversi liberamente nel piano; la coppia B B può muoversi mantenendo entrambe le masse sulla retta; la coppia B B può muoversi mantenendo punto sulla retta. Il teorema della funzione implicita applicato alla (31) ci assicura che è possibile esprimere n v variabili in funzione delle rimanenti n = 3N n v.

15 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 15 Possiamo così individuare, almeno teoricamente, n = 3N n v variabili indipendenti q 1, q 2,..., q n. Esse prendono il nome di variabili o coordinate generalizzate q 1 (t) q(t) =. q n (t). e sono quelle variabili che rappresentano univocamente il moto del multicorpo, tenendo implicitamente conto dei vincoli cinematici presenti. Tutte le altre variabili di configurazione sono ricavabili da queste, utilizzando le equazioni di vincolo (31). Consideriamo l Esempio 3.1: l unico moto geometricamente ammissibile è quello di rotazione intorno ad un asse, e quindi l insieme di coordinate generalizzate è composto dal solo angolo di rotazione q(t) = q 1 (t) = θ(t) rispetto ad una origine specificata; ogni altra grandezza cinematica sarà esprimibile in funzione di questa. L insieme delle coordinate generalizzate non è unico, nel senso che possono esistere diversi insiemi di coordinate (o anche un numero infinito di insiemi) capaci di esprimere in modo univoco il moto del corpo, ma questo insieme deve essere completo, nel senso che deve poter permette di esprimere completamente e univocamente il movimento del corpo vincolato, e indipendente, nel senso che non devono esistere alcuni q i ricavabili da combinazioni lineari di altre coordinate generalizzate. Nell Esempio 3.1, possiamo fissare in modo qualunque l origine dell angolo, ottenendo infinite coordinate generalizzate che differiscono tra loro solamente per una costante. A questo proposito va fatto osservare che, se l insieme delle coordinate generalizzate non è unico, il loro numero n invece rimane costante e rappresenta la dimensione dello spazio delle variabili generalizzate. In conclusione, è ora possibile esprimere ogni vettore di posizione r i in funzione delle coordinate generalizzate, secondo la seguente relazione r i = r i (q(t),t) (32) dove r i è una generica funzione vettoriale non lineare, derivabile quanto basta rispetto ai suoi argomenti. La dipendenza diretta dal tempo si ha quando esistono delle specifiche esterne di moto che dipendono dal tempo oppure vincoli anch essi tempodipendenti. Analogamente, se consideriamo le variabili di configurazione x, possiamo scrivere la loro dipendenza dalle coordinate generalizzate come: x = x(q(t),t) (33) Una volta definite le coordinate generalizzate q i (t), è possibile definire le velocità generalizzate come le derivate di queste ultime q(t) = dq(t) q 1 (t) = dt.. q n (t) La relazione tra le velocità ẋ e q vale ẋ = A q b (34)

16 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 16 dove la matrice A R 3 3 e il vettore b R 3 1 sono definiti dai loro elementi generici [A] ij = x i(t) q j (t) [b] i = x i(t) t La matrice A prende il generico nome di Jacobiano della trasformazione; vedremo più oltre come alcune di queste matrici sono particolarmente importanti in problemi di cinematica e dinamica dei sistemi multicorpo. Anche se negli esempi precedenti abbiamo introdotto vincoli che dipendevano solo dalle posizioni, è possibile in generale che essi siano della forma φ(x(t),ẋ(t),t) =. (35) Se sul sistema multicorpo agiscono vincoli (3) o (31), tramite le (33) e (34) è possibile esprimerli in funzione delle coordinate generalizzate ed eventualmente delle velocità generalizzate; avremo perciò se i vincoli dipendono dal tempo in modo diretto, oppure φ (q(t), q(t),t) = (36) φ (q(t), q(t)) = (37) Possono anche esistere vincoli di diseguaglianza, che assumono la forma seguente φ (q(t), q(t),t). (38) 4 Spostamenti virtuali, vincoli e gradi di libertà Avendo definito le coordinate generalizzate q i (t), introduciamo ora il concetto di spostamento virtuale o, come qualche autore preferisce scrivere, variazione ammissibile. Lo spostamento virtuale è un piccolo spostamento ideale consentito dai vincoli cinematici agenti sul corpo rigido o sul sistema di corpi rigidi interconnessi, che può avvenire indipendentemente dal tempo. Esso si indica con il simbolo δr, che ha somiglianza con lo spostamento differenziale dr; ma mentre il secondo è lo spostamento consentito sia dai vincoli sia dalle forze presenti nel sistema multicorpo, il primo è ideale, nel senso che esso è indipendente dalla reale possibilità che si verifichi, in conseguenza della dinamica del sistema multicorpo. Esso è più che altro il frutto di un esperimento mentale, e come tale può essere contemporaneo ad altri spostamenti virtuali, con la sola condizione che vengano rispettati i vincoli cinematici; esso, contrariamente all incremento dr che avviene nell intervallo infinitesimo dt, avviene in un tempo istantaneo e per questo motivo si considera sempre δt =. Ad ogni coordinata generalizzata q i corrisponde uno spostamento virtuale δq i e concetti e le definizioni di completezza e indipendenza che si applicano alle coordinate generalizzate si applicano pure agli spostamenti virtuali. Normalmente il numero di coordinate generalizzate q i (indipendenti e complete) e il numero di spostamenti virtuali δq i (indipendenti e completi) risultano uguali a n e coincidono con i gradi di libertà del sistema.

17 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 17 Quando ciò accade si dice che i vincoli sono olonomi e il sistema multicorpo prende il nome di sistema olonomo. In caso contrario, come spiegheremo meglio al Paragrafo 4.1 si hanno vincoli anolonomi e il sistema si dice anolonomo. Il numero di spostamenti virtuali indipendenti e completi prende il nome di grado o gradi di libertà n gdl del sistema multicorpo. Se nel sistema agiscono solo vincoli olonomi, i gradi di libertà del sistema coincidono con il numero di variabili generalizzate, ossia n gdl = n. In caso di vincoli anche anolonomi, il numero di gradi di libertà è minore del numero di variabili generalizzate n n gdl, come vedremo meglio nel Paragrafo che segue. 4.1 Vincoli olonomi e anolonomi Dato un corpo rigido o un sistema multicorpo caratterizzato da n coordinate generalizzate q(t) = ( q 1 q n ) T indipendenti e costituenti un insieme completo, dalle relative velocità generalizzate q(t), da n variazioni ammissibili δq = ( δq 1 δq n ) T, anch esse indipendenti e complete, abbiamo visto in (36) che il sistema può venire assoggettato a n v vincoli di uguaglianza φ i (q(t), q(t),t) =, i = 1,...,n v Se questi vincoli sono funzione delle sole posizioni, come φ i (q(t),t) = (39) allora risultano essere sempre olonomi; se invece sono funzione sia delle posizioni sia delle velocità, possono essere olonomi oppure anolonomi. Vediamo ora di caratterizzare meglio i vincoli anolonomi. Si dicono anolonomi due classi di vincoli: la prima classe comprende i vincoli di diseguaglianza, descritti da espressioni analitiche del tipo seguente φ (q(t), q(t),t) la seconda classe comprende quei vincoli del tipo φ (q(t), q(t),t) = che non possiedono un integrale esatto. In particolare, per semplicità, restringiamo la nostra attenzione su vincoli espressi come funzione delle sole velocità generalizzate: φ ( q(t),t) = (4) Quando queste equazioni differenziali non possiedono un integrale esatto, allora rappresentano vincoli anolonomi.

18 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 18 Vediamo di caratterizzare meglio, sia dal punto di vista analitico, sia dal punto di vista fisico, quest ultima classe di vincoli anolonomi. L i-esimo vincolo olonomo (39) può essere derivato rispetto al tempo, dando origine ad un generico vincolo sulle velocità che si esprime in modo analogo alla (34), ossia dove φ i (t) q 1 (t) a(q) =. φ i (t) q n (t) a(q) T q b(q) = (41) b(q) = φ i(t) t Questo stesso vincolo si può esprimere in forma differenziale, come: a(q) T dq b(q)dt = (42) che definisce la cosiddetta forma pfaffiana del vincolo. Al posto dei differenziali si possono sostituire gli spostamenti virtuali e, ricordando che δt, ottenere: a(q) T δq =. Ora, se la (42) è integrabile, ovvero essa rappresenta un differenziale esatto, la si può ricondurre alla (39); in questo caso il vincolo corrispondente risulta olonomo. Se invece la forma pfaffiana non è un differenziale esatto, il vincolo corrispondente è anolonomo. Ricordiamo brevemente quali sono le condizioni per avere un differenziale esatto: la forma differenziale dφ = a(q) T dq è esatta in R n se dφ è indipendente dal cammino di integrazione. Ciò è verificato quando dφ = ( φ) T dq dove ( φ) T = (grad φ) T = soddisfare la relazione ( φ q 1 a i (q) = φ q i, φ q n ). Quindi i coefficienti a(q) devono i = 1,...,n Inoltre deve valere la seguente relazione tra le derivate parziali seconde 2 φ = 2 φ, q j q i q i q j i,j = 1,...,n che implica a i (q) q j = a j(q) q i, i, j = 1,...,n (43) Ne consegue che, se i coefficienti a i soddisfano alle relazioni (43), la forma differenziale è integrabile esattamente e il vincolo è olonomo. In caso contrario il vincolo è anolonomo.

19 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 19 Figura 3: Esempio di vincolo anolonomo: un disco che ruota a contatto di un piano senza strisciamento. Dal punto di vista fisico le cose si apprezzano meglio considerando un problema in cui appare un vincolo anolonomo. L esempio classico è quello di una ruota che si muove rotolando su un piano, in assenza di strisciamento tra ruota e piano. Esempio 4.1 In Figura 3 abbiamo schematizzato una ruota rigida, di raggio ρ e spessore trascurabile, che appoggia sul piano di contatto π c in corrispondenza del punto di contatto geometrico O c (t), il quale varia nel tempo secondo il moto della ruota. Il piano π r su cui giace la ruota è normale all asse della ruota stessa, individuato dal versore j r. Questo piano forma un angolo α(t) rispetto alla normale del piano π c, che per semplicità è stato considerato orizzontale. Il piano π r forma anche un angolo β(t) rispetto ad una direzione convenzionale individuata sul piano π c, ad esempio la direzione del versore i. Tale angolo può variare nel tempo. Il vincolo di moto sul piano senza strisciamento implica, in primo luogo, che il punto di contatto O c deve in ogni condizione appartenere al piano. Non sono ammessi moti che lo distaccano o che lo fanno entrare nel piano. L assenza di strisciamento implica invece sostanzialmente due cose: l impossibilità di avere una componente del moto della ruota in senso trasversale, ossia non si hanno componenti lungo la direzione individuata dalla proiezione del versore j r sul piano π c, che nella Figura 3 coincide con la direzione del versore j c ; in caso contrario si avrebbe strisciamento. il moto della ruota lungo la direzione i c deve garantire che non si abbia strisciamento, ossia, deve essere sempre verificato che lo spazio percorso sul piano equivalga all arco di cerchio sotteso all angolo θ(t) della ruota. In caso contrario si avrebbe il tipico fenomeno di ruota che gira senza avanzamento nel piano.

20 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 2 Le due condizioni implicano poi che la velocità istantanea del punto O c o del punto O r sia allineata con il versore i, che, per costruzione, è a sua volta sempre allineato con il vettore i c. Non sono invece vietati moti di rotazione intorno all asse k r, in quanto ciò darebbe semplicemente luogo ad una rotazione ideale intorno al punto geometrico O c, che non implica alcuno strisciamento. In definitiva, la ruota può avanzare localmente lungo la direzione individuata da i = i c e ruotare lungo l asse di rotazione istantaneo individuato da k r. Vediamo di rappresentare la matrice omogenea T r che lega il riferimento fisso R al riferimento mobile R r della ruota. da R a R c : T c = Trasl(d c (t)) Rot(k, β(t)), dove d c = ( x c y c ) T rappresenta O c in R : da R c a R r : T c r = Rot(i,α(t)) Trasl(ρ) Rot(j,θ(t)), dove ρ = ( ρ ) T Le grandezze necessarie a definire il moto sono, in assenza di vincoli, le tre componenti di d c (t) e i tre angoli α(t), β(t), e θ(t). Ciò premesso, potrebbe apparire verosimile che il vincolo di moto planare riducesse i gradi di libertà da 6 a 5 in virtù della presenza dell equazione 3 d c k = che vincola il punto di contatto al piano. Invece esiste anche il vincolo di non strisciamento, che non è di tipo puramente geometrico, ma fisico: esso impone, come detto sopra, un legame tra la velocità lineare sul piano e la velocità angolare della ruota, secondo la seguente relazione, dove assumiamo che i vettori siano rappresentati entrambi in R : ḋ c (t) = ρ θ(t)i c Analizzando in dettaglio, vediamo che, con le convenzioni assunte in Figura 3, si può scrivere ovvero c β x c ρ θ(t) s β d y c = dt dx c = ρ θ(t)c β dt dy c = ρ θ(t)s β dt e dividendo entrambi i termini delle due equazioni otteniamo dx c = 1 dy c tan β da cui, alla fine, sostituendo al posto degli incrementi infinitesimi gli spostamenti virtuali, otterremo tan β δx c δy c =. (44) 3 ricordiamo che a b = b a = a T b = b T a rappresenta il prodotto scalare tra due vettori a e b.

21 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 21 Esso rappresenta un vincolo nella forma (42), con a 1 = tanβ e a 2 = 1; possiamo subito controllare che la (43) non è verificata e quindi il vincolo è anolonomo. Dobbiamo ora chiederci quanti siano i gradi di libertà effettivi: la relazione (44) introduce un vincolo che lega lo spostamento virtuale δx c a δy c, per cui ricordando la definizione di gradi di libertà come il numero di spostamenti virtuali indipendenti e completi, avremo solo 4 spostamenti virtuali indipendenti, e precisamente δx c, δα, δβ e δθ, mentre δy c è legato a δx c dalla (44) e δz c = per il vincolo di moto piano. Da ultimo vogliamo far osservare che, nonostante il vincolo sulla velocità dato da (44), tutti i punti del piano sono comunque raggiungibili, ma non con moti che implicano uno strisciamento; la Figura 4 mostra una possibile situazione, visualizzando la ruota e il piano visti dall alto. Figura 4: Esempio di vincolo anolonomo: un disco ruota a contatto di un piano senza strisciamento (visto dall alto). Esso può raggiungere B partendo da A, ma non lungo la direzione tratteggiata; il percorso A C D E F B è un esempio di possibile traiettoria che rispetta il vincolo anolonomo e porta in B la ruota. 4.2 Principio dei lavori virtuali Dato un sistema composto da N masse elementari, collocate in posizione r i, sulle quali agiscono N forze (anche nulle) f i applicate dall esterno sul sistema e agenti nelle posizioni r i, si definisce lavoro virtuale δw la somma dei prodotti scalari tra le forze f i e gli spostamenti virtuali corrispondenti δr i : δw = N f i δr i (45) i=1 La configurazione è in equilibrio (statico o dinamico) se il lavoro virtuale è nullo, ossia N δw = f i δr i = (46) i=1 Se il sistema è un corpo rigido o un multicorpo, sul quale agiscono sia forze sia momenti, occorre distinguere i rispettivi contributi al lavoro virtuale; scriveremo

22 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 22 allora: N f N τ δw = f i δr i τ i δα i = (47) i=1 dove ora vi sono anche i momenti τ i e le rispettive spostamenti angolari virtuali δα i. 5 Equazioni cinematiche del corpo rigido Le equazioni dinamiche di un sistema composto da uno o più corpi rigidi sono formulate in funzione delle grandezze cinematiche di posizione, velocità e accelerazione lineare, che chiameremo rispettivamente r, ṙ, r e delle grandezze cinematiche di assetto, velocità e accelerazione angolare, che chiameremo rispettivamente α, ω, ω. Va subito messo in chiara evidenza che la scelta del simbolo ω per indicare la velocità angolare, invece del più intuitivo α, non è casuale: infatti occorre ricordare che solo in casi particolari risulta essere vera la relazione vettoriale ω(t) = dα(t) dt e precisamente essa è vera solo quando il vettore α rappresenta un asse di rotazione che rimane costante nel tempo in direzione e verso, anche se il suo modulo può variare nel tempo. Nel caso più generale vale infatti la seguente relazione [1, pag. 67]: i=1 ω(t) = θ(t)u(t) sin θ(t) u(t) (1 cos θ(t))s(u(t)) u(t) (48) dove u(t) è un versore a modulo unitario, che rappresenta l asse di rotazione, θ(t) è il modulo di detto versore, e rappresenta l angolo di rotazione, S( ) è una matrice antisimmetrica e u(t) = du(t). dt Dalla (48) si vede immediatamente che il vettore velocità angolare ω(t) non è la derivata formale di alcun altro vettore, salvo nel caso particolare in cui il vettore di rotazione abbia direzione costante nel tempo, u(t) = c. In tale caso si ha: ω(t) = θ(t)c = ṙ(t) (49) che è la derivata totale di r(t) = θ(t)c. Sapendo che l assetto di un corpo rigido si può rappresentare in molti modi [1, Cap. 2], nessuno dei quali è un vettore in senso stretto, ci possiamo chiedere che significato abbia α; si tratta di una rappresentazione convenzionale dei tre parametri angolari associati a una generica rotazione nello spazio tridimensionale: essi possono essere i tre angoli di Eulero o gli angoli di roll, pitch e yaw, oppure le componenti indipendenti di un quaternione unitario. Come abbiamo visto al Paragrafo 3, possono essere presenti vincoli cinematici che limitano il moto dei corpi. Questi vincoli possono essere imposti dal progettista del sistema oppure dall ambiente in cui il sistema opera. In generale, avendo definito le variabile generalizzate q(t), avremo la possibilità di esprimere il moto del corpo mediante equazioni espresse in forma vettoriale: r(t) = g r (q(t),π,t) (5) α(t) = g α (q(t),π,t) (51)

23 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 23 dove π rappresenta un generico vettore di parametri geometrici e non (lunghezze e angoli fissi della struttura, parametri elettrici ecc.), che sono propri del sistema. Il vettore r può rappresentare le coordinate di un punto particolare del nostro multicorpo, di cui ci interessa esprimere la posizione: ad esempio, il vettore del centro di massa del corpo, oppure un punto particolare posto alla sua estremità o altro ancora. Analogamente, il vettore α potrebbe rappresentare l assetto di un particolare sistema di riferimento associato al multicorpo, quale, ad esempio, quello dell ultimo corpo rigido o della punta operativa in un robot o altro ancora. Il sistema di equazioni (5), di solito non lineari, prende il nome di funzione cinematica diretta di posizione; si dice che è diretta in quanto è possibile, dato q calcolare (abbastanza agevolmente) i corrispondenti r e α; si dice che è di posizione, intendendo la posizione generalizzata, che include anche le variabili di assetto α. Se costruiamo un vettore 6 1 di coordinate di posizione ( ) r(t) p(t) = α(t) si può scrivere in forma compatta l equazione di vincolo, come segue: p(t) = g p (q(t),π,t) (52) ( ) gr ( ) dove g p ( ) =. g α ( ) È possibile definire ora la funzione cinematica inversa di posizione, data dalla relazione non lineare inversa q(t) = g 1 p (r(t),α(t),π,t) = g 1 p (p(t), π, t) Questa è di solito assai più complicata da calcolare in quanto richiede l inversione di funzioni non lineari. Analogamente è possibile esprimere le velocità ṙ(t) del corpo rigido in funzione delle velocità q(t), mediante la funzione cinematica diretta delle velocità: ṙ(t) d dt g r(q(t),π,t) = J r (q(t),π,t) q(t) g r(q(t),π,t) t dove la matrice J r prende il nome di matrice Jacobiana o jacobiano lineare ed è definita nel modo seguente [ ] gri (q(t),π,t) [J r (q(t),π,t)] ij = q j (t) Quando i vincoli non dipendono esplicitamente dal tempo, avremo la forma semplificata ṙ(t) = J r (q(t),π) dq(t) = J r (q(t),π) q(t) dt Se la matrice Jacobiana è quadrata e ha rango pieno, possiamo invertire questo sistema di equazioni e ottenere la funzione cinematica inversa delle velocità q(t) = J r (q(t),π) 1 ṙ(t)

24 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 24 Osserviamo che queste ultime due funzioni cinematiche sono lineari, nel senso che la relazione tra le velocità generalizzate e le velocità dei punti è ottenuta attraverso il prodotto della matrice Jacobiana o della sua inversa per un vettore. Va anche osservato che lo jacobiano non è, in generale, una matrice costante, in quanto varia nel tempo al variare delle coordinate generalizzate q i (t). In modo del tutto analogo possiamo procedere considerando le variabili di assetto. La funzione cinematica diretta delle velocità angolari sarà: α(t) d dt g α(q(t),π,t) = J α (q(t),π) q(t) g α(q(t),π,t) t Abbiamo indicato la derivata con il simbolo α(t) per sottolineare che, se le variabili α i sono gli angoli di Eulero o di RPY, la parte destra dell equazione è la derivata analitica delle funzioni g αi. Di solito, se le componenti di α sono angoli (di Eulero, RPY ecc.), la velocità α non coincide necessariamente con il vettore ω e l accelerazione α non coincide necessariamente con ω. Nel Paragrafo successivo preciseremo meglio le questioni che riguardano la rappresentazione di queste velocità angolari e i legami tra α e ω. Ora, considerando allocate in un unico vettore le velocità lineari e angolari, definiamo (ṙ(t) ) ( ) v(t) ṗ(t) = oppure ṗ(t) = (53) α(t) ω(t) L insieme di coordinate ṗ non è un vettore in senso stretto e spesso nella letteratura scientifica prende il nome di twist. 4 Noi lo continueremo a chiamare vettore, sperando di non generare troppe ambiguità. Possiamo ora scrivere in forma compatta la cinematica delle velocità generalizzate: ṗ(t) d dt g p(q(t),π,t) = J p (q p (t),π) dq(t) dt g p(q(t),π,t) t dove ora lo jacobiano J p è la matrice composta dalle due matrici jacobiane J r e J α ( ) Jr (q(t),π) J p (q(t),π) =. (55) J α (q(t),π) Il numero di righe è pari al numero di variabili cinematiche, che in generale è uguale a 6, mentre il numero di colonne vale n, ossia il numero di coordinate generalizzate q i. Questa matrice si può dunque invertire solo quando n = 6 e il rango è pieno (jacobiano non singolare). In tale caso, se le equazioni della cinematica non dipendono direttamente anche dal tempo, avremo: (54) q(t) = J p (q(t),π) 1 ṗ(t). (56) Da ultimo va fatto notare che, essendo lo jacobiano funzione delle variabili generalizzate, potrebbe succedere che la matrice Jacobiana diventi singolare per qualche valore delle q i (t); si dice allora che si ha una singolarità cinematica e le q i che l hanno generata prendono il nome di configurazioni singolari. Esula tuttavia dagli obbiettivi di questi appunti la trattazione approfondita dei casi di singolarità cinematica. 4 anche se di solito appare con le componenti invertite ω(t) v(t).

25 Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo Trasformazioni tra velocità angolari Supponiamo che p(t) indichi la posizione e l assetto di un particolare riferimento sul corpo rigido, identificato dal sistema R l rispetto al riferimento fisso R e che l assetto sia dato dagli angoli di Eulero α E = ( φ θ ψ ) T : x 1 (t) p(t) = ( ) x(t) = α E (t) x 2 (t) x 3 (t) φ(t) θ(t) ψ(t) Derivando analiticamente rispetto al tempo le espressioni corrispondenti, otteniamo: ẋ 1 (t) ( ) ẋ 2 (t) v(t) ṗ(t) = = ẋ 3 (t) α E (t) φ(t) (58) θ(t) ψ(t) Occorre osservare che la velocità angolare euleriana α E (t), pur definendo la velocità angolare di R l rispetto a R, ha le sue componenti descritte nella base ( b φ b θ b ψ ) T, dove b φ, b θ e b ψ sono i versori che individuano gli assi intorno ai quali avvengono le rotazioni di Eulero, espressi nel sistema di riferimento R. Se rappresentiamo b φ, b θ e b ψ rispetto ad R, poiché le velocità angolari sono vettori, potremo sommarne i contributi e trasformare la velocità angolare euleriana α E (t) nella velocità angolare cartesiana nel modo seguente (57) ω(t) = b φ φ bθ θ bψ ψ, (59) rappresentandola nello stesso riferimento in cui è rappresentata la velocità lineare v e quindi potremo usarla senza ambiguità in formule quali, ad esempio, ṗ (t) = v(t) ω(t) r, mentre questo non sarebbe possibile usando la velocità euleriana, a causa dei sistemi di riferimento non congruenti. Esprimendo b φ, b θ, b ψ nel riferimento R avremo: cos φ(t) b φ =, b θ = sin φ(t), b ψ = 1 sinφ(t)sin θ(t) cos φ(t)sin θ(t) cos θ(t) (6) Possiamo ora definire la trasformazione lineare da α E (t) a ω(t), φ ω(t) = M E (t) θ = M E (t) α E (t) (61) ψ rappresentata dalla matrice cos φ(t) sin φ(t) sin θ(t) M E (t) = sin φ(t) cos φ(t)sin θ(t). (62) 1 cos θ(t)