Esempio. alla sua. un altro. estremità. giunto 2

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1 Esempio 0 Si consideri il sistema illustrato in Figura ; esso è composto da una slitta che si muove lungo una rotaia orizzontale con attrito, vincolata ad un muro tramite una molla; sulla slitta è presente un giunto di rotazione che porta una barra di lunghezza e massaa trascurabile, che porta alla sua estremità un altro giunto di rotazione, posto al centro di una seconda barra di massa trascurabile e lunghezza ; alle estremità di tale barra, sono poste per due identiche masse puntiformi m

2 Figura Si vuole calcolare l equazione di Lagrange del sistema... Calcolo delle funzioni cinematichee Per comodità fissiamo i riferimenti generalizzate q, q,q come in Figura. R, R, RR, 0 e la variabili Figura

3 i Calcoliamo le rototraslazioni necessarie j 0 0 I t R 0 R t = = = k con q c s 0 c s 0 0 = 0 = s c 0 = t 0 = s c 0 R t R Calcoliamo ora p, p, p, p M O m m

4 ( q 0 0) p = p = M O c s 0 q c + s c 0 s p = t = = + O t p p m m ( q c c s s 0) ( q c c s s 0) ( q c s 0) = = + e le velocità p, p, p, p M O m m 4

5 p M O m m = ( q 0 0) ( q s q c q 0) p = ( q s q s ( q q ) c q c ( q q ) 0) p = ( q s q s ( q q ) c q c ( q q ) 0) p =

6 . Calcolo della Co Energia Cinetica Per calcolare la co energia (nel seguito, per brevità, abbreviato in energia) cinetica utilizziamo la formula C.. Slitta = m v + i i ci Abbiamo semplicemente C = 0 Mq +.. Primo braccio ωγω Questo braccio è privo di massa, quindi C = 0. 6

7 .4. Secondo braccio Conoscendo la velocità p del centro di massa del secondo braccio, O ossia dell origine del sistema di riferimento R, e il valore della velocità angolare totale ω = ( 0 0 q + q ) dove C, ci calcoliamo 0 ( ) = m 0 0 q q p + + O 0 q + q p = q + q s qq O Come si può notare, la struttura del vettore velocità angolare consente di limitarsi al calcolo del solo elemento Γ della matrice d inerzia. Esso vale 7

8 Γ = m L energia cinetica totale risulta quindi pari a ( ) C + C + C = Mq + m q + q s q q + m ( q + q ) ( ) = Mq + m q + q s q q + m ( q + q ) = M + m q + ( m + m ) q + m q m s qq + m q q. Calcolo dell Energia Potenziale Per calcolare l energia potenziale utilizziamo la formula P = k e mg r i ei i 0ci 8

9 dove e è l allungamento/accorciamento dell elemento elastico (molla) i dalla sua posizione di riposo, g = ( 0 g 0) il vettore di accelerazione di gravità locale e r il vettore di posizione del centro di massa rispetto 0c all origine del riferimento pseudo inerziale R. Nel nostro caso avremo 0 P = kq + mg s e dove la g rappresenta la costante gravitazionale ( g 9, 8 m/s ). Calcolo dell Energia Dissipativa Avendo ipotizzato la presenza di attrito sulla rotaia e su entrambi i giunti di rotazione, l energia dissipativa si calcola utilizzando la formula D = β v i i, i rel 9

10 dove β è il parametro di attrito viscoso e v i rel la velocità relativa tra i,i due corpi considerati 0

11 4. Sviluppo delle equazioni di Lagrange Poiché la funzione di Lagrange L vale = ( qq, ) ( q) L C P, la generica equazione di Lagrange si semplifica nel modo seguente d L L D d C C P D + = F + + = i dt q q q dt q q q q i i i i i i i Va rilevato che, in questo caso, non esistendo forze esterne che diano contributi alle forze generalizzate F esse sono tutte nulle. Calcoliamoci ora i vari termini delle equazioni per i =,, i F i

12 4.. ermini equazione Risulta d dt C = Mq + mq m s q q C = Mq + mq m s q m c q q i C = q P q D q F = = 0 kq e = 0 β q

13 4.. ermini equazione Risulta d dt C = m( + ) q m s q + m q q C = m( + ) q m s q m cqq + m q q C = m q P q D q F = mg = = 0 β q cqq c

14 4.. ermini equazione Risulta d dt C = m q + q q ( ) C = m q + q q C = q P q D q F = = 0 0 = 0 β q ( ) 4

15 5. Equazioni di Lagrange Ora possiamo concludere, scrivendo le tre equazioni di Lagrange ) Componenti orizzontali delle forze agenti sulla slitta (coordinata generalizzata q ); i termini di questa equazione sono delle forze, misurate in [N] (vedi Figura ): Mq + mq m s q m c q + β q + k q = 0 e ( ) M + m q + β q + kq = m s q + m cq e forza d'inerzia totale forze elastiche + attrito comp. inerziale comp. inerziale accel. angolare accel. centrifuga 5

16 Figura ) Componenti delle coppie agenti sul primo braccio (coordinata generalizzata q ); i termini di questa equazione sono le coppie, misurate in [N m] (vedi Figura 4): ( ) m + q m s q m cqq + m q + m cqq + mg c + β q = 0 6

17 per meglio legare i termini di questa equazione alle convenzioni di segno adottate per le coppie, è opportuno cambiare di segno a tutte le componenti ( ) m q m q + q + m s q coppia d'inerzia dovuta all'accelerazione del primo braccio coppia d'inerzia dovuta all'accelerazione totale del secondo braccio mg c β q = 0 momento dovuto alla momento dovuto alla coppia di compon. orizz. della compon. vert. della attrito forza d'inerzia forza peso Figura 4: le grandezze indicate sono in valore assoluto; i segni dipendono dalle convenzioni di segno adottate. Non sono indicati i primi due termini dell equazione 7

18 ) Componenti delle coppie agenti sul secondo braccio (coordinata generalizzata q ); i termini di questa equazione sono le coppie, misurate in [N m] (vedi Figura 5): m q + q + β q = 0 ( ) Γ acc. angolare totale coppia di attrito Figura 5 8

19 6. Presenza di forze generalizzate Possiamo ora svolgere l esercizio supponendo che siano presenti due forze generalizzate esterne; la prima è una forza lineare F = ( f ), mentre la seconda è una coppia F = ( ) 0 0 τ 0 0 Figura 6 9

20 È necessario passare dalle forze vettoriali alle forze generalizzate F da i inserire al secondo membro delle equazioni di Lagrange. Per fare questo, occorre calcolare i lavori virtuali relativi ai punti di applicazione delle forze vettoriali; poiché per entrambe il punto coincide con l origine di R, di cui conosciamo la velocità lineare e quindi il relativo spostamento virtuale q s q δq s δq p = c q δ c δq O = O p 0 0 e la velocità angolare ω O 0 0 = 0 δ 0 α= q δq 0

21 possiamo calcolarci i lavori virtuali delle forze F e F f ( 0) δw = δp F = δq s δq c δq 0 fδq fs δq O = 0 0 δw δ ( 0 0 δq ) = α F = 0 = τδq O τ Ricordando che δw = δq F i i i otteniamo per semplice ispezione dei termini precedenti i valori delle forse generalizzate

22 F F F = f = fs = τ ali termini andranno collocati al secondo membro delle rispettive equazioni di Lagrange.