Leggi della Dinamica

Transcript

1 Leggi della Dinamica Soluzioni ai quiz 1 Definizioni e Leggi fondamentali della dinamica del punto materiale Per forza ( F) in fisica si intende l azione esercitata su un entità per modificarne lo stato. La forza è una grandezza vettoriale, con intensità proporzionale all effetto sortito sul sistema. In generale, per un sistema esteso, è importante anche il punto di applicazione della forza stessa, (ci basti pensare all sforzo necessario per aprire una porta dalla maniglia o da un punto vicino ai cardini), ma per ora ci limitiamo a considerare tutti gli oggetti come punti materiali, per i quali il punto di applicazione è sempre lo stesso. L effetto dell applicazione della forza è l accelerazione ( a): tanto più intensa è la forza applicata, quanto più l accelerazione del punto è grande. Denominiamo massa inerziale (m) la resistenza offerta dal corpo durante l applicazione di una forza. Tanto più la massa è piccola, quanto più l accelerazione sarà grande. La massa è una grandezza scalare, sempre positiva ed è una proprietà intrinseca del corpo: non dipende dal campo di forze alla quale è soggetta. Queste considerazioni si riassumono nella legge: F = m a (1) È importante ricordare che in questa scrittura F è la risultante di tutte le forze applicate sul corpo. L unità di misura della forza prende il nome del primo grande fisico che si èoccupato distudiare eformalizzarele leggi delladinamica: la forza si misura in Newton. Una forza di 1 Newton provoca un accelerazione 1

2 di 1ms 2 per un corpo di massa 1kg: 1N = 1kg 1ms 2 (2) 1.1 Prima legge di Newton - Il principio di inerzia La velocità vettoriale di un punto materiale non si modifica se la risultante delle forze agenti su di esso è nulla. Un corpo in quiete rimane in quiete per natura, ovvero non altera il suo stato e le sue caratteristiche. Possiamo definire quiete la condizione tale per cui la risultante delle forze agenti sul corpo è nulla e la velocità del corpo è costante in modulo, direzione e verso. Scriviamo questa relazione biunivoca come: Se F = 0 allora a = d v = 0 quindi v = costante dt Se v = costante allora a = d v dt = 0 quindi F = 0 (3) (4) Attenzione: un corpo fermo (v = 0) è solo un caso particolare di questa legge: un corpo in Moto Rettilineo Uniforme è sempre in quiete, anche se la sua velocità è diversa da zero! Questo implica che per due istanti di tempo generici t 1 e t 2, se il corpo è in quiete: Se F = 0 v(t1 ) = v(t 2 ) (5) 1.2 Seconda legge di Newton - La conservazione della quantità di moto Denominiamo p impulso o quantità di moto, che scriviamo come: p = m v Si ricava molto facilmente da quanto illustrato finora che se la risultante delle forze agenti sul sistema è nulla, allora la quantità di moto si conserva (è uguale per ogni istante di tempo). F = 0 p(t1 ) = p(t 2 ) 2

3 In generale, la relazione tra risultante delle forze e quantità di moto è: F = d p dt = d(m v) dt dato che la massa è fissata: F = m d v dt = m a Un punto materiale, soggetto ad una risultante delle forze esterne diversa da zero, subisce una accelerazione proporzionale all intensità della forza. F = m a (6) 1.3 Terza legge di Newton - Il principio di azione e reazione Se un corpo A esercita sul corpo B una forza F, allora A è sempre a sua volta soggetto ad una forza operata da B con uguale modulo e direzione, ma verso opposto F Formalmente possiamo dire che: Fab = Fba (7) Pensiamo ad esempio ad un libro appoggiato sul tavolo. Il libro esercita sul tavolo una forza pari alla sua forza peso diretta verso il basso. Dal momento che il sistema è in quiete, significa che questa forza deve essere controbilanciata da una forza con uguale intensità e direzione, ma di verso opposto: tale forza è nota come reazione vincolare ed è applicata dal tavolo sul libro. Soluzioni ai quiz: Definizioni e Leggi fondamentali della dinamica del punto materiale 1. Dalla seconda legge di Newton sappiamo che la forza complessiva applicata ad un corpo è proporzionale alla sua accelerazione: FTOT = m a 3

4 Dato che le forze sono collineari ma in direzioni opposte possiamo scrivere F TOT = F 1 F 2 = 100N 25N = 75N Da cui ricaviamo l accelerazione a = F m = 75N 5kg = 15m s 2 La risposta corretta è la d. 2. Dato che le due forze sono perpendicolari possiamo trattarle come le componenti x ed y della risultante: F tot = F 21 +F22 = (150N) 2 +(250N) N Dalla quale ricaviamo l accelerazione: a = m F = 291.5N 8kg 36ms 2 La risposta corretta è la a. 3. Scriviamo le leggi orarie del moto per un moto uniformemente accelerato per poter ricavare una relazione tra velocità, spazio ed accelerazione, eliminando il tempo: { s(t) = v 0 t+ 1 2 at2 v(t) = v 0 +at invertiamo la seconda equazione e sostituiamo nella prima: v v s = 0 v a 2 av v 0 a da cui: t = v v 0 a s = v2 v 2 0 2a a = v2 v 2 0 2s Nel nostro esercizio la velocità iniziale è v 0 = 72km/h = 20m/s; la velocità finale è nulla: a = (20ms 1 ) 2 2 5m = 40ms 2 4

5 da cui ricaviamo la forza applicata: F = a m = 40ms 2 5kg = 200N La risposta corretta à la e: l intensità della forza è 200N. 4. Componiamo le due forze per trovare il modulo della risultante: F = F 21 +F22 = (300N) 2 +(400N) 2 = 500N l accelerazione corrispondente a tale forza per un corpo di massa pari a 50kg vale: a = F m = 500N 50kg = 10ms 2 La risposta corretta è quindi la b. 5. Ricordando la relazione ricavata nell esercizio 3 e la seconda legge di Newton: s = v2 v 2 0 2a a = F m Ricordando che la velocità finale è nulla e quella iniziale vale v 0 = 72km/h = 20m/s e che la forza ha direzione (segno) opposto al moto si ottiene: s = m v2 v 2 0 = 40kg (20ms 1 ) 2 2F 2 500N = 16m La risposta corretta è la c. 6. Si risolve analogamente all esercizio 3: F = m v2 v 2 0 (v 2 v 2 0 2s ) = 2Fs m sapendo che la velocità finale è nulla: v 0 = 2Fs m = 2 700N10m = 20ms 1 = 72km/h 35kg 7. Analogamente all esercizio 3, con v 0 = 36km/h = 10m/s: F = m v2 v 2 0 = 6kg (10ms 1 ) 2 = 60N 2s 2 5m La risposta corretta è la e. 5

6 2 Diversi tipi di forza 2.1 La forza gravitazionale m 2 m 1 F 12 r F 21 La forza gravitazionale è una forza attrattiva della quale risentono tutti i corpi dotati di massa. Se denominiamo le masse di due corpi rispettivamente m 1 ed m 2, r la loro distanza ed ˆr la direzione congiungente i loro centri, F G = Gm 1m 2 r 2 ˆr (8) Dove G = 6, m 3 kg 1 s La forza peso Definiamo forza peso, la forza gravitazionale specifica del nostro pianeta. Partendo dalla definizione (8), e definendo massa e raggio della terra come m T 5, kg ed r T 6356 km possiamo scrivere la forza peso come di un corpo di massa m: F P = Gm Tm r 2 T rˆ T = ( Gm T r 2 T ) mẑ = gmẑ dove abbiamo ridefinito il versore ˆr diretto come la retta contenente il raggio terrestre, ( ) come la usuale coordinata verticale ẑ, e l insieme delle Gm T costanti = g come l accelerazione di gravità terrestre. r 2 T Ovviamente l accelerazione di gravità è una quantità che può variare a 6

7 seconda dell altitudine alla quale ci si trova (in tal caso il raggio terrestre varia), ma viene abitualmente assunta costante: g = 9.81 ms 1 (9) La forza peso, sempre diretta verso il basso, si riduce al prodotto tra l accelerazione di gravità e la massa del corpo in questione: F P = m g = mgẑ (10) Come compito, si invita lo studente: a ricavare dalle formule in questo paragrafo l unità di misura della costante di gravitazione universale. a calcolare quale è la variazione della accelerazione di gravità all interno della fossa delle Marianne ( m) e sul monte Everest (8848,56m) 2.3 La forza elastica La forza elastica è dovuta alla capacità che hanno corpi elastici (normalmente ricondotti a molle) di recuperare perfettamente la forma originaria, al seguito di una deformazione. La legge di Hooke descrive la forza elastica relativa alla deformazione di un corpo elastico (molla) in una dimensione. F E F 2 l 1 l 0 l 2 F E F 1 F 0 = 0 Definendo F E la forza elastica, l 0 la lunghezza a riposo di una molla, l lasualunghezzaacausa della deformazione dovuta all applicazione della forza, e k la costante elastica (caratteristica specifica di ogni materiale elastico), possiamo scrivere: Legge di Hooke FE = k( l l0 ) = k s (11) 7

8 Come mostra la figura in questa sezione, data una molla a riposo di unghezza l 0, essa può essere deformata per compressione fino ad una lunghezza l 1 ; o per distensione fino ad una lunghezza l 2. Per il terzo principio della dinamica, possiamo dire che la forza relativa alla molla stessa è sempre opposta alla forza applicata per modificarne lo stato di quiete (se allunghiamo la molla, essa tenderà a contrarsi); se quindi lo spostamento ( l l0 ) è diretto in direzione positiva, la forza elastica lo sarà in direzione negativa. Per questo motivo, il segno convenzionale che lega la deformazione alla forza elastica è il meno. 2.4 La forza di attrito La forza di attrito è unaforza dissipativa che si esercita tra duesuperfici a contatto tra loro opponendosi al loro moto relativo (dato uno spostamento s con direzione e verso determinati, la forza di attrito ha la medesima direzione dello spostamento e verso opposto). La grandezza che caratterizza l attrito tra due superfici un numero puro ed è detto coefficiente d attrito µ e dipende intrinsecamente dai materiali posti a contatto. Laforza d attritochesimanifestatra superfici inquietetra loroèdetta di attrito statico, mentre tra superfici in moto relativo si parla invece di attrito dinamico; ed i due casi presentano coefficienti di attrito diversi nonostante si considerino le stesso superfici. Basti pensare alla difficoltaà a spostare un oggetto pesante, in principio fermo, oppure a tenerlo in moto: anche dall esperienza quotidiana ci si rende conto che il coefficiente di attrito statico è, a parità di superfici, sempre maggiore al coefficiente di attrito dinamico. Laforza di attrito F att ha intensità proporzionale al modulodella forza normale F N alle superfici (a sua volta uguale al modulo forza di contatto F C 1 ), direzione parallela alle superfici a contatto e verso opposto al moto. 1 la forza di contatto viene spesso denominata anche forza vincolare o reazione vincolare 8

9 F C F att direzione del moto F N F P statico dinamico con Fatt = µ s F cˆx Fatt = µ d F cˆx µ d < µ s (12) (13) (14) Soluzioni ai quiz: Diversi tipi di forza 8. Le due forze sono parallele con verso opposto: la loro risultante ha modulo pari alla differenza dei moduli F = F 1 F g L accelerazione che ne risulta è quindi: a = F m = F 1 F g m = F 1 mg m = 490N 9.8ms 2 70kg 70kg = 490N 686N 70kg = 2.8ms 2 Dal momento che abbiamo orientato la forza peso nel verso di z negative, questa accelerazione è rivolta verso il basso, quindi la risposta esatta è la b. 9. Nota la definizione della densità, invertiamo la relazione: ρ = m V m = ρv = 2.5gcm 3 40cm 3 = 100g = 0.1kg la massa del materiale è soggetta ad una forza peso proporzionale all accelerazione di gravità: F = 0.1kg 9.8ms 2 = 0.98N La risposta corretta è la d. 9

10 10. Sapendo che la massa si ottiene dalla forza peso attraverso la relazione m = F p g a densità del materiale è data da: ρ = m V = F p gv = 4.56N 9.8ms m 3 = kgm 3 La risposta corretta è la b. 11. Se il corpo si muove di moto rettilineo uniforme significa che è all equilibrio, ovvero la risultante delle forze agenti su di esso sono nulle. Le componenti verticali della risultante delle forze è nulla, ed à la somma della forza peso e della reazione vincolare del piano. Le componenti orizzontali sono anch esse bilanciate e sono composte dalla forza F 1 = 300N e la forza di attrito che agisce in direzione parallela e verso opposto al moto, con intensità proporzionale alla forza perpendicolare alla superficie (qui la forza peso) F att.din. = µ d F p = µ d mg. Formalizziamo queste relazioni: F 1 +F att.din. = 0 F 1 = F att.din. F 1 = µ d mg µ d = F 1 mg = 300N = kg9.8ms 2 Ricordando che il coefficiente di attrito à un numero puro, la risposta corretta è la d. 12. Analogamente all esercizio 11, µ d = F 1 mg = La risposta corretta è la b. 215N = kg9.8ms Risolviamo analogamente all esercizio 11: F 1 = F a = µmg m = F 1 µg = 490N = 200kg ms 2 La risposta corretta è la d. 10

11 14. La forza di attrito è proporzionale al coefficiente di attito moltiplicato per la forza perpendicolare alla superficie vincolare. È quindi necessario scomporre la forza peso nella sua componente parallela al piano inclinato e quella perpendicolare attraverso le relazioni trigonometriche. F a = µf p cos θ = µmgcos θ = kg9.8ms 2 cos37 F a = 7.51N La risposta corretta à la a. 15. Facendo riferimento all immagine ed al procedimento dell esercizio 14, le componenti parallele alla superficie del piano inclinato devono controbilanciarsi affinché il moto sia rettilineo uniforme: F a = µ d F p cos θ = F p = µ d F p sin θ F a = F p µ d F p cos θ = F p sin θ µ d = sin θ cos θ = tan θ = tan(15 ) = 0.27 la risposta corretta è la b. 16. Calcoliamo la risultante delle forze per poter ricavare l accelerazione: F = F 1 F a F 1 = 1250N a = F 1 F a m F a = µmg = kg9.8ms 2 = N a = 1250N N = 6.57ms 2 125kg 11

12 La risposta corretta è la b. 17. La componente orizzontale della risultante delle forze deve originare una accelerazione di 6ms 2, mentre la componente verticale deve essere nulla (il moto è solo in direzione x). { F x = ma F y = 0 { F x = F 1x F a = F 1 cos θ F a = ma F y = F 1y +F v F p = 0 La forza di attrito è la componente perpendicolare al piano di appoggio della risultante delle forze agenti sul corpo (reazione vincolare esclusa), quindi in questo caso vale: F a = µ(f p F 1y ) = µ(mg F 1 sin θ) m(a µg) = F 1 (cosθ µsin θ) Risolviamo: m = F 1(cos θ µsin θ) a µg = 6ms 2 (cos(23 ) 0.17sin(23 )) 6ms ms 2 il risultato è la risposta d: m = 19.31kg 18. La forza di attrito è: F a = µmgcos θ Isolando µ si ha che: µ = F a mgcos θ = 2N 0.7kg9.8ms 2 cos(38 ) = 0.37 Quindi se il corpo si sta muovendo(di moto uniforme) il coefficiente di attrito dinamico è 0.37 e la risposta esatta è la c. 12

13 19. Separiamo di nuovo le forze della risultante, per ricavare l accelerazione con direzione parallela al piano: { 0 = F = mgcos θ ma = F = mgsin θ µmgcos θ Ricaviamo a e la utilizziamo nella legge oraria: a = g(sin θ µcos θ) s = 1 2 at2 = 1 g(sin θ µcos θ)t2 2 = ms 2[ sin(50 ) 0.15cos(50 ) ] (5s) 2 = 82.02m La risposta corretta è la c. 20. Dal momento che la velocità è uniforme, la risultante delle forze agenti sul corpo è nulla, quindi anche la sua componente orizzontale lo è: F = F 1 cos θ µ(mg F 1 sin θ) = 0 m = F 1(cos θ+µf 1 sin θ) µg m = 12N[ cos(38 )+0.25sin(38 ) ] ms 2 La risposta esatta è la d 4.61kg 13