PREREQUISITI. 3Le quattro operazioni COMPETENZE. 3Padroneggiare le tecniche e le procedure di calcolo CONOSCENZE

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1 TEMA A Unità 1 Numeri naturali e numeri interi Unità 2 Numeri razionali e introduzione ai numeri reali PREREQUISITI 3Le quattro operazioni COMPETENZE 3Padroneggiare le tecniche e le procedure di calcolo nei vari insiemi numerici e saperle applicare in contesti reali CONOSCENZE 3Descrivere quali sono i numeri naturali, interi, razionali, reali 3Definire che cosa sono i multipli e i divisori di un numero 3Esprimere quali sono le operazioni definite negli insiemi N, Z, Q e quali sono le loro proprietà 3Definire un numero irrazionale Definire le potenze ed elencare le loro principali 3 proprietà ABILITÀ 3Rappresentare numeri interi e razionali sulla retta 3Stabilire se un numero naturale è multiplo o divisore rispetto a un altro numero 3Confrontare numeri naturali, interi e razionali 3Trasformare frazioni in numeri decimali o percentuali e viceversa 3Eseguire le quattro operazioni in Q e semplificare espressioni numeriche 3Calcolare potenze e applicarne le principali proprietà

2 I numeri Oggi ci sembra del tutto naturale usare i numeri, fin da piccoli impariamo a contare e a eseguire le quattro operazioni... Tuttavia il percorso che ha portato alla «conquista» del concetto di numero è stato lungo e faticoso e la teoria dei numeri è tuttora ricca di affascinanti problemi irrisolti. La congettura di Goldbach ( ), per esempio, la quale afferma che ogni numero pari maggiore di 2 è la somma di due numeri primi (4 ¼ 2 þ 2, 6 ¼ 3 þ 3, 8 ¼ 5 þ 3...), è tutt oggi un problema aperto e nessuno riesce a dimostrarla! C è addirittura in palio il favoloso premio di un milione di dollari per chi riesca a provare che la congettura è vera (o che è falsa). Come mai i numeri primi, che sembrano così lontani dal nostro mondo, sono oggetto di tanta attenzione? Uno dei motivi è che essi sono alla base di molti dei metodi attualmente utilizzati per le comunicazioni in codice (metodi crittografici): sono quindi essenziali per garantire a banche, industrie e governi la trasmissione di informazioni riservate. Il codice segreto è di fatto indecifrabile proprio grazie alla complessità dei calcoli che si devono svolgere per scomporre in fattori primi numeri molto grandi. Nel 2000, anno mondiale della matematica, nella metropolitana di Londra furono affissi manifesti divulgativi su alcune delle più significative applicazioni della matematica: qui sopra ne riportiamo uno che illustra il legame tra i moderni codici segreti e la scomposizione in fattori primi di numeri molto grandi. Matematica in azione In una città tre autobus, che percorrono rispettivamente la linea A, la linea B e la linea C, iniziano il loro servizio dallo stesso capolinea alle ore 6 di mattina. L autobus della linea A ritorna al capolinea ogni 45 minuti, l autobus della linea B ogni 30 minuti e l autobus della linea C ogni 25 minuti. A che ora della giornata i tre autobus si troveranno di nuovo insieme, per la prima volta, al capolinea? Questo problema è discusso nell Unità 1

3 Unità1 Numeri naturali e numeri interi 1. L insieme N Tema A Che cosa sono i numeri naturali? I numeri naturali sono i numeri utilizzati per contare: 0, 1, 2, 3, 4, 5,..., 10,..., 99, 100,..., 580,... Per il momento assumiamo il concetto di numero naturale come primitivo, cioè come concetto di cui non diamo una definizione, supponendone una conoscenza intuitiva (preciseremo il concetto di numero naturale nell Unità 4). Assumiamo come primitivi anche i concetti di precedente e successivo di un numero naturale; il successivo di un numero naturale esiste sempre (per esempio il successivo di 0 è 1, il successivo di 10 è 11), mentre il precedente esiste a condizione che il numero naturale sia diverso da 0 (per esempio il precedente di 4 è 3). Due numeri naturali che sono uno successivo all altro si dicono consecutivi. L insieme dei numeri naturali si indica con la lettera N. O Figura 1.1 u Figura 1.2 a = b O Figura 1.3 a < b O a b Figura 1.4 a > b O b a Figura 1.5 Rappresentazione dei numeri naturali I numeri naturali si possono rappresentare su una semiretta orientata, cioè su una semiretta dove sia stato fissato un verso di percorrenza, che indicheremo con una freccia. Disegneremo sempre, per comodità, la semiretta orizzontale e orientata verso destra e indicheremo l origine della semiretta con la lettera O (fig. 1.1). Fissata un unità di misura sulla semiretta, facciamo corrispondere all origine il numero 0, al punto distante una unità da O il numero 1, al punto distante due unità da O il numero 2 e così via: in questo modo possiamo rappresentare sulla semiretta qualsiasi numero naturale (fig. 1.2). Ordine tra i numeri naturali Se due numeri naturali a e b occupano lo stesso posto nella rappresentazione sulla semiretta, diciamo che sono uguali e scriviamo a ¼ b (fig. 1.3); in caso contrario sono diversi e scriviamo a 6¼ b. Se a 6¼ b possono presentarsi due casi: se il punto che rappresenta a sulla semiretta è a sinistra di quello che rappresenta b, diciamo che a è minore di b e scriviamo a < b (fig. 1.4); se il punto che rappresenta a sulla semiretta è a destra di quello che rappresenta b, diciamo che a è maggiore di b e scriviamo a > b (fig. 1.5). È frequente l utilizzo dei simboli:, che significa «minore o uguale», e, che significa «maggiore o uguale». Notazione a < b a > b a b a b a < n < b a n b a < n b a n < b Significato a è minore di b a è maggiore di b a è minore o uguale a b a è maggiore o uguale a b n è compreso tra a e b, ovvero è maggiore di a e minore di b n è maggiore o uguale ad a e minore o uguale a b n è maggiore di a e minore o uguale a b n è maggiore o uguale ad a e minore di b 4

4 Le varie relazioni d ordine tra i numeri naturali possono essere espresse in modo compatto combinando i vari simboli <, >,, ; i casi che si presentano con maggiore frequenza sono riassunti nella tabella a pagina precedente, in cui abbiamo indicato con a, b ed n tre generici numeri naturali. Proprietà dell insieme N L insieme N è infinito: infatti, preso un qualunque numero naturale, se ne può trovare uno maggiore: il successivo. L insieme N è ordinato: abbiamo visto infatti che, dati due numeri naturali, è sempre possibile stabilire se l uno è minore, uguale o maggiore dell altro. L insieme N possiede un elemento minimo, cioè un elemento minore di tutti gli altri numeri naturali: lo zero; N non possiede invece un elemento massimo, cioè un elemento maggiore di tutti gli altri numeri naturali. Tra ogni coppia di numeri naturali non consecutivi è compreso un numero finito di numeri naturali: questa proprietà si esprime dicendo che N è un insieme discreto. Unità 1 Numeri naturali e numeri interi Prova tu Considera ciascuna delle seguenti condizioni, ed elenca tutti i numeri naturali n che la soddisfano: a. 1 < n < 6 b. 1 n < 6 c. 1 < n 6 d. 1 n 6 ESERCIZI a p Le operazioni in N Le quattro operazioni elementari Fin dai primi anni di scuola hai imparato a eseguire le quattro operazioni elementari: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Nella seguente tabella riassumiamo la principale nomenclatura relativa alle quattro operazioni. Operazione Nomenclatura Esempio Addizione Quando si addizionano due numeri: i due numeri si chiamano addendi il risultato dell addizione si chiama somma 2 þ 3 ¼ 5 somma addendi Moltiplicazione Quando si moltiplicano due numeri: i due numeri si chiamano fattori il risultato della moltiplicazione si chiama prodotto 2 3 ¼ 6 prodotto fattori Sottrazione Quando si sottrae da un primo numero un secondo numero: il primo numero si chiama minuendo il secondo numero si chiama sottraendo il risultato della sottrazione si chiama differenza minuendo 7 5 ¼ 2 differenza sottraendo Divisione Quando si divide un primo numero per un secondo numero: il primo numero si chiama dividendo il secondo numero si chiama divisore il risultato della divisione si chiama quoziente dividendo 8 : 4 ¼ 2 quoziente divisore 5

5 Tema A I numeri Esaminiamo ora più in dettaglio le quattro operazioni in N. L addizione e la moltiplicazione La somma e il prodotto di due numeri naturali sono sempre numeri naturali: 5 þ 7 ¼ þ 101 ¼ ¼ ¼ Formalmente si dice che l addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne all insieme N dei numeri naturali o, in modo equivalente, che N è chiuso rispetto all addizione e alla moltiplicazione. L addizione e la moltiplicazione godono delle seguenti proprietà. Sono commutative: se si cambia l ordine degli addendi (dei fattori), la somma (il prodotto) non cambia. Per esempio: 2 þ 3 ¼ 3 þ ¼ 3 2 Sono associative: la somma (il prodotto) di tre numeri naturali non cambia, comunque si associno due degli addendi (dei fattori). Per esempio: 3 þð4 þ 5Þ ¼ð3 þ 4Þþ5 ð2 3Þ5 ¼ 2 ð3 5Þ La moltiplicazione è distributiva rispetto all addizione: se si deve moltiplicare un numero per una somma, si può moltiplicare quel numero per ciascun addendo e poi addizionare i prodotti ottenuti. Per esempio: 2 ð5 þ 7Þ ¼2 5 þ 2 7 Questa formulazione della proprietà distributiva fa riferimento al caso in cui il fattore si trova «a sinistra» dell addizione. Dal momento, però, che la moltiplicazione è commutativa, la proprietà distributiva vale anche a destra. Per esempio: ð5 þ 7Þ2 ¼ 5 2 þ 7 2 Ricorda Una lettera utilizzata per indicare un generico elemento di un insieme viene chiamata variabile. Se indichiamo con le lettere a, b e c tre generici numeri naturali, possiamo così riassumere le proprietà dell addizione e della moltiplicazione: Proprietà Addizione Moltiplicazione Commutativa a þ b ¼ b þ a a b ¼ b a Associativa ða þ bþþc ¼ a þðb þ cþ ða bþc ¼ a ðb cþ Distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione a ðb þ cþ ¼a b þ a c ða þ bþc ¼ a c þ b c Il comportamento dello 0 e dell 1 rispetto all addizione e alla moltiplicazione Lo 0 ha un ruolo particolare rispetto all operazione di addizione, infatti lascia inalterato qualsiasi numero cui venga addizionato: 2 þ 0 ¼ 2 0þ 3 ¼ 3... Per questa ragione lo 0 viene chiamato elemento neutro rispetto all addizione. Un ruolo analogo a quello svolto dallo 0 per l addizione viene svolto dall 1 per la moltiplicazione; infatti, l 1 lascia inalterato qualsiasi numero per cui venga moltiplicato: 2 1 ¼ ¼ L 1 viene perciò chiamato elemento neutro rispetto alla moltiplicazione.

6 Qualsiasi numero, moltiplicato per 0, dà come prodotto 0: 5 0 ¼ ¼ 0... Per questa ragione lo 0 viene detto elemento assorbente rispetto alla moltiplicazione. Viceversa, se il prodotto di due numeri è 0, almeno uno dei due fattori deve essere 0. Queste ultime due proprietà si riassumono nella seguente: LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO Il prodotto di due fattori è zero se e solo se almeno uno dei due fattori è zero. In simboli: a b ¼ 0 se e solo se a ¼ 0 o b ¼ 0 Unità 1 Numeri naturali e numeri interi La sottrazione e la divisione La differenza e il quoziente di due numeri naturali vengono definiti rispettivamente tramite l addizione e la moltiplicazione: per questo motivo la sottrazione e la divisione vengono chiamate operazioni inverse rispettivamente dell addizione e della moltiplicazione. DIFFERENZA TRA DUE NUMERI NATURALI La differenza tra due numeri naturali è quel numero naturale, se esiste, che addizionato al sottraendo dà come risultato il minuendo. Per esempio: 7 5 ¼ 2 infatti: 2 þ 5 ¼ 7 minuendo sottraendo differenza differenza sottraendo minuendo QUOZIENTE TRA DUE NUMERI NATURALI Il quoziente (esatto) tra due numeri naturali è quel numero naturale, se esiste, che moltiplicato per il divisore dà come risultato il dividendo. Per esempio: 12 : 4 ¼ 3 infatti: 3 4 ¼ 12 dividendo divisore quoziente quoziente divisore dividendo Sia la sottrazione sia la divisione non sono operazioni interne a N : ESEMPI a. La sottrazione 5 7 non è eseguibile in N perché non esiste alcun numero naturale che addizionato a 7 dia come risultato 5. b. La divisione 1 : 2 non è eseguibile in N perché non esiste alcun numero naturale che moltiplicato per 2 dia come risultato 1. Per la sottrazione e la divisione non valgono né la proprietà commutativa né la proprietà associativa. ESEMPI a ¼ 3 2 e 12 : 6 6¼ 6 : 12 b. ð5 3Þ 1 6¼ 5 ð3 1Þ e ð12 : 6Þ : 2 6¼ 12 : ð6 : 2Þ La sottrazione e la divisione godono invece di una nuova proprietà: la proprietà invariantiva. 7

7 Tema A I numeri Proprietà invariantiva della sottrazione La differenza tra due numeri naturali non cambia se si addiziona o si sottrae a entrambi uno stesso numero (purché la sottrazione sia possibile in N); per esempio: 7 5 ¼ð7þ2Þ ð5þ2þ Addizionando ai due numeri ¼ð7 3Þ ð5 3Þ Sottraendo ai due numeri 3 Proprietà invariantiva della divisione Il quoziente tra due numeri non cambia se si moltiplicano o si dividono entrambi per uno stesso numero diverso da zero (purché la divisione sia possibile in N); per esempio: 9 : 3 ¼ð92Þ : ð3 2Þ Moltiplicando i due numeri per 2 12 : 6 ¼ð12 : 3Þ : ð6 : 3Þ Dividendo i due numeri per 3 Per quanto riguarda la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione e della divisione rispetto all addizione e alla sottrazione, abbiamo che: la moltiplicazione è distributiva, sia a destra sia a sinistra, rispetto alla sottrazione; per esempio: 2 ð7 5Þ ¼ ð7 5Þ3 ¼ la divisione è distributiva a destra rispetto all addizione e alla sottrazione; non è, invece, distributiva a sinistra. La divisione è distributiva a destra rispetto all addizione e alla sottrazione Se si deve dividere una somma (o una differenza) per un numero, si può dividere ciascun addendo (oppure il minuendo e il sottraendo) per quel numero e poi sommare (o sottrarre) i quozienti ottenuti. Per esempio: ð9 þ 3Þ : 3 ¼ 9 : 3 þ 3 : 3 ð8 6Þ : 2 ¼ 8 : 2 6 : 2 La divisione non è distributiva a sinistra rispetto all addizione e alla sottrazione Per esempio: 18 : ð6 þ 3Þ 6¼ 18 : 6 þ 18 : 3 18 : ð6 þ 3Þ ¼18 : 9 ¼ 2 18 : 6 þ 18 : 3 ¼ 3 þ 6 ¼ 9 18 : ð6 3Þ 6¼ 18 : 6 18 : 3 18 : ð6 3Þ ¼18 : 3 ¼ 6 18 : 6 18 : 3 ¼ 3 6 Sottrazione impossibile in N Se indichiamo con le variabili a, b e c tre generici numeri naturali e con n un numero naturale non nullo, le proprietà della sottrazione e della divisione si possono esprimere come indicato nella seguente tabella. Proprietà Invariantiva della sottrazione Invariantiva della divisione Distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione Distributiva a destra della divisione rispetto all addizione e alla sottrazione Espressione a b ¼ða þ cþ ðb þ cþ a b ¼ða cþ ðb cþ a : b ¼ða nþ : ðb nþ a : b ¼ða : nþ : ðb : nþ a ðb cþ ¼a b a c ða bþc ¼ a c b c ða þ bþ : n ¼ a : n þ b : n ða bþ : n ¼ a : n b : n a condizione che tutte le differenze siano possibili in N a condizione che tutte le divisioni siano possibili in N a condizione che tutte le differenze siano possibili in N a condizione che tutte le divisioni siano possibili in N Il comportamento dello 0 e dell 1 rispetto alla sottrazione e alla divisione Se il sottraendo è 0, la differenza coincide con il minuendo: 11 0 ¼ ¼ Se il minuendo e il sottraendo sono uguali, la differenza è 0: ¼ ¼ 0...

8 La divisione tra due numeri è definita purché il divisore sia diverso da zero. Non si attribuisce perciò alcun significato a scritture quali: 9 : 0 11 : 0 5 : 0 0 : 0... Ciò è una conseguenza della legge di annullamento del prodotto; per esempio: a. 9 : 0 è impossibile perché non esiste un numero naturale che, moltiplicato per 0, dia come risultato 9 (un ragionamento analogo vale per ogni divisione del tipo a : 0, se a è un numero naturale diverso da zero); b. 0 : 0 è indeterminato perché ogni numero naturale, moltiplicato per 0, dà come risultato 0. È invece possibile eseguire una divisione se il dividendo è 0 (e il divisore è diverso da zero): 0 : 1 ¼ 0 0 : 12 ¼ 0 0 : 56 ¼ 0... Unità 1 Numeri naturali e numeri interi Il quoziente è sempre 0 e ciò è ancora una conseguenza della legge di annullamento del prodotto. Per esempio: 0 : 12 ¼ 0 perché 0 12 ¼ 0 Se il divisore è 1, il quoziente coincide con il dividendo: 3 : 1 ¼ 3 4 : 1 ¼ : 1 ¼ Se il dividendo e il divisore sono uguali, il quoziente è 1: 1 : 1 ¼ 1 7 : 7 ¼ 1 32 : 32 ¼ 1... La divisione con resto Abbiamo visto che la divisione esatta non è sempre possibile in N: per esempio, in N non si può eseguire la divisione (esatta) 13: 5. In N si può tuttavia effettuare sempre la cosiddetta divisione con resto (o euclidea o intera). Essa consiste nell effettuare l ordinario procedimento di divisione fermandosi alle unità (ovvero senza introdurre numeri «con la virgola»): tale divisione produce un risultato, il quoziente intero,eunresto. Per esempio, effettuando la divisione 13: 5 fermandosi alle unità, otteniamo lo schema qui a fianco: 2 è il quoziente intero della divisione e 3 è il resto. Notiamo che: 13 ¼ 5 2 þ 3 e 3 < 5 dividendo divisore quoziente resto (intero) Queste relazioni tra dividendo, divisore, quoziente (intero) e resto valgono in generale. DIVISIONE CON RESTO FRA DUE NUMERI NATURALI La divisione con resto tra due numeri naturali a e b, con b 6¼ 0, produce come quoziente intero e come resto due numeri naturali, che indichiamo rispettivamente con q ed r, tali che: a ¼ b q þ r con r < b Attenzione! La divisione con resto si riduce alla divisione esatta nel caso particolare in cui il resto è nullo. È importante fare alcune osservazioni. 1. Per la divisione con resto continua a valere la proprietà invariantiva, nel senso che se si moltiplicano o si dividono il dividendo e il divisore per uno stesso 9

9 Tema A I numeri numero diverso da zero, il quoziente non cambia mentre il resto risulta rispettivamente moltiplicato o diviso per il numero. Vale a dire: se a : b ¼ q con resto r, allora ða cþ : ðb cþ ¼q con resto r c se a : b ¼ q con resto r, allora ða : cþ : ðb : cþ ¼q con resto r : c 2. Si può dimostrare che due numeri naturali a e b, con a b, hanno lo stesso resto nella divisione euclidea per n se e solo se la loro differenza è un multiplo di n, cioè se esiste k 2 N tale che: a b ¼ kn Prova tu Completa la seguente tabella. UGUAGLIANZA È CORRETTA? ESERCIZI a p ð3 þ 5Þ : 2 ¼ 2 : ð3 þ 5Þ Sì, in base alla proprietà... No 2. ð3 5Þþ4 ¼ 4 þð53þ Sì, in base alla proprietà... No 3. ð3 5Þþ4 ¼ð3þ4Þð5þ4Þ Sì, in base alla proprietà... No 4. ð12 10Þ : 2 ¼ 12 : 2 10 : 2 Sì, in base alla proprietà... No : 5 ¼ 3 : 1 Sì, in base alla proprietà... No 6. ð6 þ 6Þ : ð6 6Þ ¼12 : 0 ¼ 0 Sì, in base alla proprietà... No ¼ 3ð100þ30þ3Þ¼3100þ330þ33 Sì, in base alla proprietà... No 8. 3 þð4þ56þ ¼ð3 þ 4Þþ65 Sì, in base alla proprietà... No : ð12 10Þ ¼120 : : 10 Sì, in base alla proprietà... No 3. Potenze ed espressioni in N 5 3 esponente base La definizione di potenza Per indicare un prodotto come 5 5 5, in cui tutti i fattori sono uguali, si utilizza la notazione compatta 5 3, che rappresenta la potenza di base 5 ed esponente 3. POTENZA Siano a ed m due numeri naturali. Si definisce potenza di base a ed esponente m, e si indica con il simbolo a m, il prodotto di m fattori uguali ad a. In simboli: a m ¼ a a a ::: a a [1.1] m volte Come si legge La potenza di esponente 2, a 2, si legge: «il quadrato di a». La potenza di esponente 3, a 3, si legge: «il cubo di a». Poiché la moltiplicazione esiste quando esistono almeno due fattori, la [1.1] ha senso per m > 1. Si attribuisce tuttavia un significato anche alle potenze aventi come esponenti 0 o1. POTENZE CON ESPONENTI 0 E 1 Per ogni numero naturale a, poniamo, per definizione: a 1 ¼ a. Per ogni numero naturale a diverso da 0, poniamo, per definizione: a 0 ¼ 1. Resta non definito, e perciò privo di significato, il simbolo ESEMPI a. 1 5 ¼ ¼ 1 d. 2 4 ¼ ¼ 16 b. 0 2 ¼ 0 0 ¼ 0 e ¼ 1 c. 3 3 ¼ ¼ 27 f ¼ 100

10 Le proprietà delle potenze Dalla definizione di potenza e dalle proprietà della moltiplicazione seguono immediatamente alcune proprietà che regolano il calcolo con le potenze. Supponiamo, per esempio, di volere calcolare il prodotto: Nota che: ¼ð10 10Þð Þ ¼ Definizione di potenza ¼ ¼ ¼ ¼ 10 5 ¼ 10 2þ3 Proprietà associativa della moltiplicazione Definizione di potenza ovvero l esponente del prodotto è la somma degli esponenti dei fattori. Questo risultato si può generalizzare. Unità 1 Numeri naturali e numeri interi PRODOTTO DI POTENZE CON LA STESSA BASE Il prodotto di potenze con la stessa base è una potenza che ha la stessa base e come esponente la somma degli esponenti. In simboli: a m a n ¼ a mþn ESEMPI a ¼ 2 2þ4 ¼ 2 6 ¼ 64 b ¼ 3 3þ4 ¼ 3 7 In modo del tutto simile si possono ricavare le altre proprietà delle potenze. QUOZIENTE DI POTENZE CON LA STESSA BASE Il quoziente di potenze con la stessa base è una potenza che ha la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti. In simboli: ESEMPI a m : a n ¼ a m n con a 6¼ 0 e m n a : 2 7 ¼ ¼ 2 3 ¼ 8 b : 5 9 ¼ ¼ 5 1 ¼ 5 Attenzione! L ipotesi a 6¼ 0 è necessaria perché sia definito il quoziente a m : a n ; l ipotesi m n è necessaria perché se fosse m < n, la sottrazione m n non sarebbe eseguibile in N. POTENZA DI POTENZA La potenza di una potenza è una potenza che ha la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti. In simboli: ða m Þ n ¼ a mn ESEMPI a. ð2 2 Þ 3 ¼ 2 23 ¼ 2 6 ¼ 64 b. ð3 5 Þ 7 ¼ 3 57 ¼ 3 35 POTENZA DI UN PRODOTTO O DI UN QUOZIENTE La potenza di un prodotto (quoziente) è uguale al prodotto (quoziente) delle potenze con lo stesso esponente dei singoli fattori (termini). In simboli: ESEMPI ða bþ m ¼ a m b m ða : bþ m ¼ a m : b m a. ð7 2Þ 2 ¼ ¼ 49 4 ¼ 196 L uguaglianza ða bþ m ¼ a m b m è stata utilizzata «da sinistra a destra» b : 4 4 ¼ð12 : 4Þ 4 ¼ 3 4 ¼ 81 la relazione ða : bþ m ¼ a m : b m è stata utilizzata «da destra a sinistra» Suggerimento Le uguaglianze in matematica sono «reversibili», cioè possono essere utilizzate nel verso che è più conveniente in base al problema affrontato: «da destra a sinistra» o «da sinistra a destra». 11

11 Tema A I numeri SINTESI Proprietà In simboli Regola pratica Prodotto di potenze con la stessa base Quoziente di potenze con la stessa base a m a n ¼ a mþn a m : a n ¼ a m n Si sommano gli esponenti e la base rimane la stessa Si sottraggono gli esponenti e la base rimane la stessa Potenza di potenza ða m Þ n Si moltiplicano gli esponenti ¼ a mn e la base rimane la stessa Potenza di un prodotto ða bþ m Si distribuisce la potenza ¼ a m b m su ciascun fattore Potenza di un quoziente ða : bþ m Si distribuisce la potenza ¼ a m : b m sul divisore e sul dividendo PER SAPERNE DI PIÙ Perché si pone a 0 ¼ 1? Alla luce delle proprietà delle potenze possiamo capire per quale motivo si pone, per definizione, a 0 ¼ 1, supposto a 6¼ 0. Consideriamo infatti la proprietà a m : a n ¼ a m n Nel caso particolare in cui m ¼ n otteniamo: a m : a m ¼ a m m ¼ a 0 Ma, al primo membro, abbiamo la divisione di due numeri uguali, a m : a m, che dà come risultato 1. Dunque, se vogliamo che le proprietà delle potenze valgano per qualsiasi esponente, la scelta di porre a 0 ¼ 1èobbligata. Le espressioni numeriche Una scrittura in cui compaiono dei numeri, legati fra di loro da varie operazioni, (ed eventualmente delle parentesi) si chiama espressione numerica. Per esempio: 2 3 þ 8 [1.2] è una semplice espressione numerica. Non si potrebbe calcolare senza ambiguità il valore di un espressione come la [1.2] senza fissare delle priorità nello svolgimento delle operazioni. Infatti, se nella [1.2] eseguissimo prima la moltiplicazione e poi l addizione troveremmo: 2 3 þ 8 ¼ 6 þ 8 ¼ 14 mentre se eseguissimo prima l addizione e poi la moltiplicazione otterremmo: 2 3 þ 8 ¼ 2 11 ¼ 22 Affinché non si verifichino tali ambiguità si è convenuto che, nelle espressioni numeriche, le operazioni si eseguano secondo questo ordine: prima si svolgono le potenze, nell ordine in cui compaiono; poi le moltiplicazioni eledivisioni, nell ordine in cui compaiono; infine le addizioni elesottrazioni, nell ordine in cui compaiono. ESEMPI a. Calcoliamo il valore dell espressione: 2 3 þ : þ : ¼ ¼ 2 3 þ : 6 8 ¼ ¼ 6 þ ¼ ¼ 19 Svolgendo le potenze Eseguendo moltiplicazioni e divisioni Eseguendo addizioni e sottrazioni 12

12 b. Calcoliamo il valore dell espressione: þ 18 : þ 18 : ¼ ¼ þ 18 : 2 9 ¼ ¼ þ 9 9 ¼ ¼ þ 81 ¼ ¼ 105 Svolgendo le potenze Eseguendo moltiplicazioni e divisioni, nell ordine in cui compaiono: quindi prima la divisione e poi la moltiplicazione Eseguendo sottrazione e addizione La priorità delle operazioni può essere cambiata mediante l introduzione di parentesi. Se in un espressione compaiono delle parentesi, occorre eseguire prima i calcoli all interno delle parentesi tonde, poi all interno delle parentesi quadre, poi all interno delle graffe e, infine, i calcoli nell espressione priva di parentesi che si è ottenuta. All interno di ciascuna parentesi le priorità tra le operazioni sono quelle precedentemente esposte. Attenzione! L utilizzo di parentesi di tipo diverso (tonde, quadre, graffe) è un espediente grafico per rendere visivamente più immediato l ordine in cui eseguire le operazioni; tuttavia, si potrebbero anche utilizzare parentesi tutte dello stesso tipo: per esempio le calcolatrici, i fogli elettronici e i software di calcolo algebrico utilizzano solo parentesi tonde. Unità 1 Numeri naturali e numeri interi ESEMPIO Calcoliamo il valore dell espressione: 2 ½3þð3 2 4Þ5 2 3 Š. 2 ½3þð3 2 4Þ5 2 3 Š¼2½3þð9 4Þ5 2 3 Š¼ Svolgendo la potenza nelle parentesi tonde ¼ 2 ½3þ Š¼ Eseguendo la sottrazione nelle parentesi tonde ¼ 2 ½3þ25 8Š ¼ Eseguendo moltiplicazione e potenza nelle parentesi quadre ¼ 2 20 ¼ 40 VISUALIZZIAMO I CONCETTI Le priorità delle operazioni e i diagrammi ad albero I vari livelli di priorità nello svolgimento delle operazioni che compaiono in un espressione possono essere messi in evidenza rappresentando l espressione con particolari schemi grafici, detti diagrammi ad albero. Rappresentiamo con un diagramma ad albero l espressione 2 3 þ 8. La prima operazione da svolgere è la moltiplicazione: scriviamo 2 e 3 come primi due vertici di un ideale triangolo equilatero e il simbolo come terzo vertice, congiungendo con un segmento il simbolo a ciascuno dei due numeri. La seconda operazione da svolgere è l addizione: la rappresentiamo costruendo idealmente un nuovo triangolo equilatero, avente alla base il simbolo (che rappresenta il risultato della precedente moltiplicazione) e il numero 8; mettiamo poi il simbolo þ sul terzo vertice del nuovo triangolo. Abbiamo così ottenuto la rappresentazione dell espressione tramite un diagramma di calcolo, che può essere assimilato a un albero in cui le foglie rappresentano i dati, la radice (indicata con R) rappresenta il risultato e i nodi tra i rami rappresentano le operazioni. I vari livelli di priorità nello svolgimento delle operazioni sono evidenziati dal fatto che le operazioni vanno svolte a partire dalle «foglie» fino ad arrivare alla «radice». Anche per le espressioni con parentesi possiamo mettere in evidenza i vari livelli di priorità, utilizzando dei diagrammi ad albero. Il diagramma ad albero dell espressione ð5 6 18Þ : 12 è quello riportato qui a fianco. Nota che quando l operazione da rappresentare non è commutativa (come nel caso della sottrazione e della divisione in questo diagramma), conveniamo di scrivere a sinistra il primo termine e a destra il secondo R : R 13

13 Tema A I numeri ESERCIZI a p. 37 Prova tu 1. Completa: 3 4 ¼ ::::::, 1 5 ¼ ::::::, 0 7 ¼ ::::::, 17 0 ¼ ::::::. 2. Applicando le proprietà delle potenze, calcola: a ; ð2 2 Þ 3 ;4 7 : 4 5 [32; 64; 16] b. ð Þ : ð2 3 Þ 2 ; ð2 9 : 2Þ : ð2 2 2Þ 2 ; ð3 3 Þ 3 : ð3 2 3Þ 2 [4; 4; 27] 3. Semplifica le seguenti espressioni. a þ [8] b. 90 : 9 : 5 þ 90 3 : 9 þ 90 : 9 3 [62] c. f½ð Þ : Šð3 2 Þ 3 g : 3 5 [24] Attenzione! Nella definizione di divisore abbiamo posto la condizione b 6¼ 0, perché la divisione per 0 non è definita: 0 non è divisore di alcun numero naturale. Ciascun numero naturale n 6¼ 0èinvece divisore dello 0 dal momento che la divisione 0 : n dà quoziente e resto uguali a Multipli e divisori I multipli e i divisori di un numero DIVISORI Siano a e b due numeri naturali, con b diverso da 0: si dice che b è un divisore di a se la divisione intera di a per b dà come resto 0. In modo equivalente si può dire che b è un divisore di a se esiste un numero naturale q tale che: a ¼ q b Quindi 3 è un divisore di 12 perché, dividendo 12 per 3, otteniamo resto 0; oppure: 3 è un divisore di 12 perché esiste un numero naturale, 4, tale che 12 ¼ 4 3. Si utilizzano molte espressioni equivalenti per esprimere che «b è un divisore di a»: a è multiplo di b; b divide a; a è divisibile per b. è divisore di è multiplo di divide è divisibile per Dato un numero naturale, i suoi multipli si ottengono moltiplicandolo per tutti i numeri naturali: perciò i multipli di un numero naturale sono infiniti; i suoi divisori sono, invece, in un numero finito. Per esempio, i multipli di 12 sono: 12 0, 12 1, 12 2, 12 3, 12 4,... ossia: 0, 12, 24, 36, 48,... Invece i divisori di 12 sono soltanto: 1, 2, 3, 4, 6, 12 Criteri di divisibilità Ogni numero naturale, tranne lo 0, è divisibile per 1 e per se stesso. Per stabilire se un numero naturale è divisibile per 2, 3, 4, 5, 9, 11 o 25 si possono utilizzare i seguenti criteri di divisibilità, che già conosci. Un numero è divisibile se e solo se Esempi di numeri divisibili Esempi di numeri non divisibili per 2 lo è la sua ultima cifra 12; 344; ; 347; 1029 per 3 o per 9 lo è la somma delle sue cifre 4455 è divisibile per 3 e per 9 (4 þ 4 þ 5 þ 5 ¼ 18) 157 né per 9 né per 3 (1 þ 5 þ 7 ¼ 13) per 5 termina con 0 o con 5 340; ;

14 Un numero è divisibile... per 4 o per 25 per se e solo se Esempi di numeri divisibili lo è il numero formato dalle ultime due cifre a destra, o se termina con due zeri la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari, contate a partire da destra, è divisibile per è divisibile per è divisibile per è divisibile per 4 e per (3 þ 1 4 ¼ 0, e0èdivisibile per 11) 5709 (9 þ ¼ 11) Numeri primi Nell ambito dei numeri naturali giocano un ruolo speciale quelli che sono divisibili soltanto per 1 e per se stessi. Esempi di numeri non divisibili 117; 210 (né per 4 né per 25) 531 (1 þ 5 3 ¼ 3) (1 þ 1 þ ¼ 1) Unità 1 Numeri naturali e numeri interi NUMERI PRIMI Un numero naturale, diverso da 0 e da 1, si dice primo se ammette come divisori soltanto se stesso e 1. Per esempio: 23 non ha altri divisori oltre a 1 e 23, quindi è primo; 22 ha come divisori, oltre a 1 e 22, anche 2 e 11, quindi non è primo. I numeri primi minori di 50 sono: Dalla storia Fin dall antichità c è stato interesse nei confronti dei numeri primi. Euclide, intorno al 300 a.c., dimostrò che i numeri primi sono infiniti ed Eratostene (matematico greco vissuto intorno al 200 a.c.) elaborò un metodo per determinarli, noto come «crivello di Eratostene». 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 Quando un numero non è primo viene detto composto: i numeri composti si possono sempre scomporre in fattori primi, ossia scrivere come prodotti in cui tutti i fattori sono numeri primi: il numero 12, scritto nella forma o nella forma equivalente 2 2 3, risulta scomposto in fattori primi; il numero 18, scritto nella forma 2 9, non risulta scomposto in fattori primi perché 9 non è primo: la scomposizione in fattori primi di 18 è 2 3 3, ossia ESEMPIO Scomponiamo in fattori primi 360. Cerchiamo la scomposizione dividendo 360 per i successivi fattori primi, organizzando il calcolo come nello schema qui a fianco. Otteniamo così la scomposizione di 360 in fattori primi: 360 ¼ ovvero: 360 ¼ Si può dimostrare che, a meno dell ordine dei fattori, la scomposizione in fattori primi è unica: ciò significa, per esempio, che 15 si può scomporre in fattori primi solo come Suggerimento Per stabilire se un numero n è primo non è necessario provare a dividerlo per tutti i numeri primi minori o uguali a n 2. Si può infatti dimostrare che è sufficiente considerare i numeri primi p ffiffiffi minori o uguali a n. Per esempio, p sia n ¼ 157. Essendo ffiffiffiffiffiffiffiffi ,5, per provare che n è primo è sufficiente far vedere che non è divisibile per: 2, 3, 5, 7, oppure 3 5 Questo risultato è uno dei più importanti dell aritmetica. 15

15 Tema A I numeri TEOREMA 1.1 Teorema fondamentale dell aritmetica Ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo, oppure può scriversi in un unico modo (a meno dell ordine dei fattori) come prodotto di numeri primi. Il teorema fondamentale dell aritmetica fa capire quale ruolo fondamentale abbiano i numeri primi: essi costituiscono i «mattoni» dell edificio dell aritmetica. PER SAPERNE DI PIÙ Perché il numero 1 non è considerato un numero primo? Uno dei motivi è che non sarebbe più valido il teorema fondamentale dell aritmetica: verrebbe infatti a cadere l unicità della scomposizione. Per esempio: 24 ¼ ma anche 24 ¼ Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo Ricordiamo anzitutto come sono definiti i concetti di massimo comune divisore e di minimo comune multiplo. Per giungere alla definizione di massimo comune divisore, cominciamo con il ragionare su di un esempio: consideriamo i due numeri 36 e 60 ed elenchiamo tutti i loro divisori. I divisori di 36 sono: 1, 2, 3, 4, 6, 9,12, 18, 36 e i divisori di 60 sono: 1, 2, 3, 4,5,6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 I divisori comuni a 36 e 60 sono quelli che abbiamo colorato in rosso: 1, 2, 3, 4, 6, 12 Il più grande fra questi divisori comuni è 12, che viene perciò detto massimo comune divisore fra 36 e 60. MASSIMO COMUNE DIVISORE Il massimo comune divisore fra due o più numeri naturali, diversi da 0, è il più grande fra i divisori comuni. Il massimo comune divisore tra due numeri a e b si indica con il simbolo: M.C.D.(a, bþ Per giungere alla definizione di minimo comune multiplo, ragioniamo invece sul seguente esempio: consideriamo i due numeri 4 e 6 e cominciamo a scrivere i loro multipli diversi da 0. I multipli di 4 diversi da 0 sono: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40,... I multipli di 6 diversi da 0 sono: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,... Ci sono infiniti numeri che sono multipli sia di 4 sia di 6; i primi di essi sono quelli che abbiamo colorato in azzurro: 12, 24, 36,... Il più piccolo fra questi multipli comuni è 12: esso viene perciò chiamato minimo comune multiplo tra 4 e MINIMO COMUNE MULTIPLO Il minimo comune multiplo fra due o più numeri naturali, diversi da 0, è il più piccolo fra i multipli comuni, diversi da 0.

16 Il minimo comune multiplo tra due numeri a e b si indica con il simbolo: m.c.m.(a, bþ Le regole pratiche, che certamente già conosci, per calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo fra due o più numeri sono riassunte nella seguente tabella. Regola per il calcolo del M.C.D. Scomposti in fattori primi i numeri di cui si vuole calcolare il M.C.D., il M.C.D. è il prodotto dei fattori primi comuni, presi una sola volta, con il minimo esponente. Regola per il calcolo del m.c.m. Scomposti in fattori primi i numeri di cui si vuole calcolare il m.c.m., il m.c.m. è il prodotto dei fattori primi comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente. ESEMPIO Calcoliamo il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo tra 36 e 120. Unità 1 Numeri naturali e numeri interi Scomponiamo i due numeri in fattori primi: 36 ¼ ¼ M.C.D.(36,120) Nelle scomposizioni i fattori primi comuni sono il 2 e il 3; l esponente minimo con cui compare il 2 nelle due scomposizioni è 2, l esponente minimo con cui compare il 3è1, perciò: M.C.D.(36,120) ¼ ¼ 12 m.c.m.(36,120) Nelle scomposizioni i fattori primi comuni e non comuni sono il 2, il 3 e il 5; l esponente massimo con cui compare il 2 nelle due scomposizioni è 3, l esponente massimo con cui compare il 3 è 2, e l esponente massimo con cui compare il 5 è 1, perciò: m.c.m.(36,120) ¼ ¼ ¼ ¼ 360 NUMERI PRIMI TRA LORO Due o più numeri naturali si dicono primi tra loro (o coprimi) quando il loro massimo comune divisore è uguale a 1. Per esempio, 12 e 13 sono primi tra loro, mentre 12 e 15 non lo sono. Legame tra M.C.D. e m.c.m. Concludiamo presentando una relazione che lega il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo. Osserva e completa la seguente tabella: a b a b M.C.D.(a, b) m.c.m.(a, b) M.C.D.(a, b) m.c.m.(a, b) Dall esame della tabella si può congetturare che valga la seguente relazione: M.C.D.(a, b) m.c.m.(a, b) ¼ a b [1.3] 17

17 Tema A I numeri Ricorda Si chiama congettura un enunciato che non si è ancora dimostrato, ma che si ritiene vero con buona probabilità. Naturalmente, gli esempi ci hanno permesso di notare la regolarità e formulare la congettura: ma per poter affermare che la [1.3] vale in generale occorrerebbe fornire una dimostrazione. Ci limitiamo a una giustificazione intuitiva: il M.C.D. di due numeri è il prodotto dei fattori primi comuni, con l esponente minore; il m.c.m. è il prodotto di tutti gli altri, cioè di quelli comuni con l esponente maggiore e di quelli non comuni: quindi tutti i fattori primi dei due numeri (con i loro esponenti) compaiono una e una sola volta o nel M.C.D. o nel m.c.m. Per esempio: 60 ¼ ¼ M.C.D.(60, 75) ¼ 3 5 m.c.m.(60, 75) ¼ Immediata conseguenza di questa osservazione è che il prodotto di due numeri è uguale al prodotto tra il loro M.C.D. e il loro m.c.m. Dalla [1.3] segue la seguente formula, la quale può fornire un metodo alternativo per il calcolo del minimo comune multiplo: m:c:m:ða,bþ ¼ a b M:C:D:ða,bÞ [1.4] Il minimo comune multiplo di due numeri coprimi, come si vede immediatamente dalla [1.4], èuguale al loro prodotto. Attenzione! Approfondiremo il concetto di algoritmo nel Laboratorio di informatica alla fine del Tema A. L algoritmo di Euclide Il metodo per il calcolo del massimo comune divisore che abbiamo esposto all inizio del paragrafo si basa sulla scomposizione dei numeri in fattori primi. Ciò non crea problemi quando si lavora con numeri «piccoli», mentre può creare delle difficoltà se i numeri coinvolti sono abbastanza «grandi». Se un numero ha qualche centinaio di cifre, scomporlo può rivelarsi un compito assai arduo (se non impossibile) non solo per chi volesse procedere «a mano», ma anche per i più potenti calcolatori! Fortunatamente esistono altri metodi per il calcolo del massimo comune divisore che «aggirano» questo ostacolo perché non richiedono la scomposizione dei numeri in fattori primi: essi sono basati sulla ripetizione di una stessa azione su dati che vengono modificati a ogni passaggio. Uno di questi metodi è il cosiddetto algoritmo di Euclide (o delle divisioni successive); è il primo esempio conosciuto di algoritmo (risale al II secolo a.c.), cioè di procedimento che, in una sequenza finita di passi, permette di risolvere un dato problema. L algoritmo di Euclide per calcolare il massimo comune divisore di due numeri a e b, con a > b, può essere così descritto: 1. si calcola il resto della divisione intera tra a e b; se il resto r 1 della divisione è 0, allora il massimo comune divisore tra a e b è b, altrimenti si procede con il passo 2; 2. si calcola il resto r 2 della divisione intera tra b ed r 1 ; se il resto r 2 di quest ultima divisione è 0, allora il massimo comune divisore tra a e b è r 1, altrimenti si procede con il passo 3; 3. si ripete il ciclo, calcolando il resto della divisione in cui il dividendo è il divisore del passo precedente e il divisore è il resto ottenuto al passo precedente. 18 Il procedimento termina quando si ottiene un resto uguale a zero. L ultimo resto diverso da zero è il massimo comune divisore tra a e b.

18 ESEMPIO Algoritmo di Euclide Determiniamo con l algoritmo di Euclide il massimo comune divisore tra 48 e 18. In questo caso a ¼ 48 e b ¼ 18. Impostiamo il calcolo in una tabella e mettiamo in evidenza con le frecce il funzionamento dell algoritmo di Euclide. Passo Dividendo Divisore Resto I II III Calcoliamo il resto della divisione intera fra i due numeri a e b dati Calcoliamo il resto della divisione intera in cui il dividendo è il divisore del passo precedente e il divisore è il resto del passo precedente Ci arrestiamo perché abbiamo trovato un resto nullo Al terzo passo, il resto della divisione è 0, quindi, in base a quanto stabilito dall algoritmo di Euclide, il massimo comune divisore tra 48 e 18 è uguale all ultimo resto non nullo, cioè a6. Unità 1 Numeri naturali e numeri interi Perché l algoritmo di Euclide «funziona»? Anzitutto, a ogni passo il resto (sempre maggiore o uguale a 0) decresce (perché?): il processo non può perciò continuare all infinito poiché, a un certo punto, si otterrà un resto uguale a 0. Inoltre, si può dimostrare che, a ogni passo, i divisori comuni dei due numeri che vengono divisi si mantengono gli stessi della coppia precedente. Di conseguenza, ogni volta che percorriamo il ciclo, benché la coppia di numeri che viene divisa cambi, il massimo comune divisore della coppia è sempre lo stesso dei due numeri iniziali, a e b. Alla fine, come abbiamo visto, si devono ottenere due numeri x e y tali che il resto della divisione intera tra x e y è 0: il massimo comune divisore di tali numeri è dunque y (ed è uguale al massimo comune divisore dei due numeri originari per quanto poc anzi osservato). Prova tu 1. Vero o falso? a. 5èmultiplo di 15 V F b. 15 è multiplo di 3 V F c. 0èdivisore di 15 V F d è divisibile per 4 V F e è divisibile per 3 V F f. 87 è un numero primo V F g. la scrittura è la scomposizione in fattori primi di 96 V F 2. Determina M.C.D. e m.c.m. tra 18 e 84. [6; 252] ESERCIZI a p L insieme Z I numeri interi Ci sono molte situazioni pratiche che i numeri naturali non consentono di descrivere adeguatamente. Volendo indicare una temperatura, per esempio, un numero naturale non dà un informazione sufficiente perché non permette di dire se si tratta di una temperatura sopra o sotto lo 0. Per ragioni analoghe, un semplice numero naturale non è adatto a esprimere il bilancio di un azienda, perché non permette di specificare se si tratta di un bilancio in attivo o in passivo. 19

19 Tema A I numeri Per poter descrivere efficacemente anche queste situazioni introduciamo un nuovo insieme numerico, associando a ogni numero naturale diverso da 0 due nuovi numeri, uno preceduto da un segno þ e uno preceduto da un segno : per esempio, al numero 2 associamo i due numeri «þ2» e «2», al numero 3 associamo i due numeri «þ3» e «3» e così via. Indichiamo con Z l insieme di tutti i numeri ottenuti:..., 4, 3, 2, 1, 0; þ1, þ2, þ3, þ4,... L insieme Z viene detto insieme dei numeri interi relativi, o semplicemente insieme dei numeri interi. Tutti gli interi preceduti dal segno þ vengono detti positivi (essi sono adatti a rappresentare, per esempio, le temperature sopra lo 0 e i bilanci in attivo); quelli preceduti dal segno vengono detti negativi (essi sono adatti a rappresentare, per esempio, le temperature sotto lo 0 e i bilanci in passivo): l insieme degli interi positivi viene indicato con il simbolo Z þ, l insieme degli interi negativi con il simbolo Z. Due interi con lo stesso segno si dicono concordi, due interi con segno diverso si dicono discordi: per esempio sono concordi i numeri 3 e 5, mentre sono discordi 2 eþ5. Due numeri interi che differiscono solo per il segno, quali þ2 e 2, si chiamano opposti. Per esempio, l opposto di þ5 è 5 e l opposto di 3èþ3. In generale l opposto di un numero intero si indica ponendo un segno «meno» davanti a esso; per esempio: l opposto di þ5 si indica con ðþ5þ, quindi ðþ5þ ¼ 5; l opposto di 3 si indica con ð 3Þ, quindi ð 3Þ ¼þ3. L opposto di un generico numero intero a (positivo o negativo) si indica dunque con a. La rappresentazione dei numeri interi sulla retta Abbiamo visto che i numeri naturali si possono rappresentare su una semiretta orientata; i numeri interi, invece, si possono rappresentare su una retta orientata, procedendo in questo modo: si considera una retta, che per comodità viene disegnata orizzontalmente, orientata verso destra, e si fissa su di essa un punto O, chiamato origine, cui si fa corrispondere lo 0, e un unità di misura u; si associano agli interi positivi i punti sulla semiretta «a destra» di O e agli interi negativi i punti sulla semiretta «a sinistra» di O. Precisamente: si associa al numero þ1 il punto distante un unità da O verso destra e a 1 il punto distante un unità da O verso sinistra; a þ2 il punto distante due unità da O verso destra e a 2 il punto distante due unità da O verso sinistra, e così via (fig. 1.6). Figura Z Come abbiamo messo in evidenza in fig. 1.6, due numeri opposti sono rappresentati sulla retta da punti simmetrici rispetto all origine. Se rappresentiamo sulla stessa retta orientata l insieme degli interi non negativi (solitamente indicato con il simbolo Z þ 0 perché contiene gli interi positivi più lo zero) e l insieme N, ci accorgiamo che þ1 occupa lo stesso posto di 1, þ2 lo stesso posto di 2, þ3 lo stesso posto di 3 e così via (fig. 1.7). Z Figura Z N

20 Possiamo quindi identificare ciascun numero intero positivo con un numero naturale e pensare l insieme Z dei numeri interi relativi come un «ampliamento» dell insieme N, identificando Z þ 0 con N (vedi per maggiori dettagli la scheda di approfondimento dopo il Paragrafo 6). In virtù di questa identificazione, nella pratica i numeri interi positivi vengono spesso rappresentati omettendo il segno þ. Valore assoluto di un numero intero VALORE ASSOLUTO Si chiama valore assoluto (o modulo) di un numero intero a, e si indica con jaj: il numero a stesso, se esso è positivo o nullo; il numero a (cioè il suo opposto), se esso è negativo. Unità 1 Numeri naturali e numeri interi In simboli: jaj ¼ a se a 0 a se a < 0 Dalla definizione segue che il valore assoluto di un numero è sempre positivo o nullo. ESEMPI a. jþ3j ¼þ3 Il valore assoluto di un numero intero positivo è il numero stesso b. j0j ¼ 0 Il valore assoluto di zero è zero c. j 2j ¼þ2 Il valore assoluto di un numero intero negativo è il suo opposto Tenendo presente che un numero intero di cui viene omesso il segno si intende preceduto dal segno þ, possiamo anche scrivere, in riferimento agli esempi a e c: jþ3j ¼3 e j 2j ¼2 VISUALIZZIAMO I CONCETTI Il valore assoluto di un numero Geometricamente possiamo interpretare il valore assoluto di un numero come la distanza fra il punto che lo rappresenta sulla retta e l origine. Per esempio: 3il valore assoluto del numero 2 è2; il punto 2 che rappresenta 2 dista 2 unità dall origine: 2 1 O +1 3il valore assoluto del numero þ3 è3; il punto 3 che rappresenta þ3 dista 3 unità dall origine: O L ordinamento in Z Dati due numeri interi a e b, diremo che: sono uguali se occupano lo stesso posto nella rappresentazione sulla retta; a è minore di b se a è a sinistra di b nella rappresentazione sulla retta; a è maggiore di b se a è a destra di b nella rappresentazione sulla retta. Dati due numeri interi, è quindi sempre possibile stabilire se uno è minore, uguale o maggiore dell altro, ovvero l insieme Z è ordinato. 21

21 Tema A I numeri ESEMPI Disuguaglianza Interpretazione grafica Rappresentazione sulla retta þ3 > þ1 4 < 1 þ3 èa destra di þ1 nella rappresentazione sulla retta 1 O èa sinistra di 1 nella rappresentazione sulla retta O +1 þ1 > 2 þ1 èa destra di 2 nella rappresentazione sulla retta O > 3 0è a destra di 3 nella rappresentazione sulla retta < þ4 0è a sinistra di þ4 nella rappresentazione sulla retta Gli esempi precedenti suggeriscono le seguenti regole generali per il confronto tra numeri interi: tra due numeri interi positivi, il maggiore è quello di valore assoluto maggiore; tra due numeri interi negativi, il maggiore è quello di valore assoluto minore; i numeri interi positivi sono maggiori di qualunque intero negativo; lo0èmaggiore di tutti gli interi negativi e minore di tutti gli interi positivi. Caratteristiche di Z L insieme Z è infinito e, come abbiamo appena visto, ordinato. Ogni elemento di Z ammette precedente e successivo; non esistono quindi in Z né elemento minimo né elemento massimo. Inoltre, tra due numeri interi non consecutivi (così come tra due numeri naturali non consecutivi) si trova solo un numero finito di numeri interi: dunque anche l insieme Z, come N,èdiscreto. Prova tu Vero o falso? ESERCIZI a p. 45 a. 2 e 3 sono concordi V F b. 2 eþ3 sono discordi V F c. il valore assoluto di 5 è5 V F d. 3 > 2 V F e. esiste un elemento di Z che non ammette precedente V F f. sia N sia Z non ammettono minimo V F [3 affermazioni false] 6. Le operazioni in Z Addizione SOMMA TRA NUMERI INTERI La somma di due numeri interi concordi è il numero che ha segno uguale a quello dei due addendi e valore assoluto uguale alla somma dei loro valori assoluti. La somma di due numeri interi discordi (non opposti) è il numero che ha segno uguale a quello del numero che ha valore assoluto maggiore e valore assoluto uguale alla differenza tra il maggiore e il minore dei valori assoluti dei due numeri. La somma di due numeri interi opposti è zero. 22

22 ESEMPI a. ð 2Þþð 6Þ ¼ j 2jþj 6j ¼ ð2 þ 6Þ ¼ 8 Somma di interi concordi segno uguale a quello dei due addendi b. ðþ3þþðþ6þ ¼þ jþ3jþjþ6j ¼þ9 Somma di interi concordi c. ð 2Þþðþ4Þ ¼þ jþ4j j 2j ¼þ2 Somma di interi discordi segno þ perché: jþ4j > j 2j i due numeri sono concordi perciò dobbiamo considerare la somma dei valori assoluti i due numeri sono discordi perciò dobbiamo considerare la differenza dei valori assoluti d. ð 3Þþðþ1Þ ¼ j 3j jþ1j ¼ 2 Somma di interi discordi e. ð 7Þþðþ7Þ ¼0 Somma di interi opposti Unità 1 Numeri naturali e numeri interi L addizione è un operazione interna a Z, è commutativa, associativa e ha come elemento neutro 0. VISUALIZZIAMO I CONCETTI L addizione tra numeri interi relativi Possiamo ottenere il punto che rappresenta la somma di due numeri interi a e b partendo dal punto che rappresenta a e poi spostandoci di un numero di unità uguale a jbj: verso destra, se b è positivo; verso sinistra, se b è negativo. Esempio ð 2Þþðþ4Þ ¼þ2 Interpretazione grafica A partire dal punto che rappresenta 2, ci spostiamo di 4 unità verso destra: giungiamo al punto che rappresenta þ O ð 2Þþð 3Þ ¼ 5 A partire dal punto che rappresenta 2, ci spostiamo di 3 unità verso sinistra: giungiamo al punto che rappresenta O In Z sussiste una nuova proprietà rispetto a quelle valide in N: per ogni numero intero, ne esiste un secondo, il suo opposto, che, aggiunto al primo, dà come risultato 0, cioè l elemento neutro dell addizione. Per esempio: ðþ3þ þ ð 3Þ ¼ 0 numero opposto elemento neutro intero dell addizione Sottrazione DIFFERENZA TRA NUMERI INTERI La differenza tra due numeri interi è la somma del primo numero (minuendo) con l opposto del secondo (sottraendo). In simboli: a b ¼ a þð bþ 23

23 Tema A I numeri Dal momento che l operazione di sottrazione tra interi è ricondotta a quella di addizione, si parla a volte semplicemente di addizione algebrica, senza specificare se si tratti di addizione o sottrazione. La sottrazione è un operazione interna a Z (mentre non lo è in N). ESEMPI a. ð 1Þ ð 4Þ ¼ 1þðþ4Þ ¼þ3 b. 2 ðþ5þ ¼2 þ ð 5Þ ¼ 3 Nota che in una scrittura come quella dell ultimo esempio: 2 ðþ5þ ¼ 3 il segno meno compare con due diversi significati: a sinistra dell uguale rappresenta l operazione di sottrazione, a destra indica l opposto di 3. Alcune calcolatrici utilizzano due simboli diversi per indicare l operazione di sottrazione e l opposto. Tuttavia, il fatto che la sottrazione tra due numeri interi a e b sia definita come l addizione di a con l opposto di b ha portato, nella pratica, a usare lo stesso simbolo per indicare la sottrazione e l opposto. Moltiplicazione PRODOTTO TRA NUMERI INTERI Il prodotto di due numeri interi è il numero che ha: valore assoluto uguale al prodotto dei valori assoluti dei due numeri; segno positivo se i due numeri sono concordi; segno negativo se sono discordi. Ricorda REGOLA DEI SEGNI ðþþ ðþþ ¼ þ ðþþ ð Þ ¼ ð Þ ðþþ ¼ ð Þ ð Þ ¼ þ Da dove deriva la regola dei segni? Si potrebbe dimostrare che essa è l unica possibile «regola dei segni», se si vuole che le operazioni in Z continuino a rispettare le proprietà delle operazioni valide per i numeri naturali (vedi la scheda di approfondimento a fine paragrafo). Vale quindi la regola dei segni riassunta nella tabella qui a fianco. ESEMPI a. ð 2Þð 3Þ ¼þð2 3Þ ¼þ6 Interi concordi ðþ2þðþ4þ ¼þð2 4Þ ¼þ8 Interi concordi b. ð 2Þðþ3Þ ¼ ð2 3Þ ¼ 6 Interi discordi ðþ2þð 4Þ ¼ ð2 4Þ ¼ 8 Interi discordi Il segno del prodotto di più di due interi dipende dal numero dei fattori negativi: se il numero dei fattori negativi è pari, il prodotto è positivo; se il numero dei fattori negativi è dispari, il prodotto è negativo. ESEMPI a. ð 2Þðþ3Þð 1Þ ¼ð 6Þð 1Þ ¼þ6 Due fattori negativi: prodotto positivo b. ð 2Þð 3Þð 1Þ ¼ðþ6Þð 1Þ ¼ 6 Tre fattori negativi: prodotto negativo La moltiplicazione tra numeri interi gode delle stesse proprietà della moltiplicazione tra numeri naturali: è un operazione interna a Z, è commutativa, associativa, dotata di elemento neutro (il numero þ1) e distributiva rispetto all addizione. Continua inoltre a valere la legge di annullamento del prodotto. 24 Divisione La divisione non è un operazione interna a Z. Tuttavia, se due numeri interi a e b sono tali che jaj è multiplo di jbj, allora si può definire il quoziente tra a e b, secondo la seguente definizione.

24 QUOZIENTE TRA NUMERI INTERI Il quoziente tra due numeri interi (di cui il secondo non nullo), se esiste in Z, è il numero che ha: valore assoluto uguale al quoziente dei valori assoluti dei due numeri; segno positivo se i due numeri sono concordi; segno negativo se sono discordi. ESEMPI a. ð 8Þ : ðþ2þ ¼ ð8 : 2Þ ¼ 4 b. ð 9Þ : ð 3Þ ¼þð9 : 3Þ ¼þ3 Anche in Z la divisione, come in N, gode della proprietà invariantiva ed è distributiva a destra rispetto all addizione e alla sottrazione. Unità 1 Numeri naturali e numeri interi Prova tu Completa le seguenti uguaglianze in modo che risultino corrette. 1. ð 4Þþð 3Þ ¼:::::::::: ðþ3þþð 6Þ ¼:::::::::: 2. ð 10Þ ð 5Þ ¼:::::::::: ð 4Þ ðþ6þ ¼:::::::::: 3. ð 10Þðþ3Þ ¼:::::::::: ð 6Þð 3Þ ¼:::::::::: 4. ðþ12þ : ð 6Þ ¼:::::::::: ð 10Þ : ð 5Þ ¼:::::::::: ESERCIZI a p. 47 APPROFONDIMENTO Dall insieme N all insieme Z In che senso Z è un ampliamento di N? Nei paragrafi precedenti abbiamo visto che la sottrazione non è un operazione interna a N: la necessità di poter eseguire in ogni caso la sottrazione ci ha spinto a «uscire» dall insieme dei numeri naturali e a introdurre l insieme Z dei numeri interi. Abbiamo detto che Z è un ampliamento di N perché c è un sottoinsieme di Z, l insieme Z þ 0 degli interi non negativi, che si può «identificare» con N. Bisogna, però, prestare attenzione a non fraintendere questa affermazione. Dire che N si può «identificare» con Z þ 0 non significa che N e Zþ 0 siano la stessa cosa: di ciò puoi facilmente renderti conto anche con un semplice esempio: se 2 e þ2 fossero la stessa cosa, allora potremmo dire indifferentemente che «gli uomini hanno 2 mani» o che «gli uomini hanno þ2 mani», cosa che, evidentemente, non accade! Qual è allora l esatto significato della frase «N si può identificare con Z þ 0»? Intuitivamente, la frase vuole dire che Z þ 0 si può assimilare a N «ridipinto di un altro colore». Dal punto di vista matematico, significa che gli elementi di Z þ 0 possono essere posti in corrispondenza «uno a uno» con quelli di N e che hanno comportamenti simili ai numeri naturali rispetto all addizione, alla moltiplicazione e all ordine. Per definire una corrispondenza «uno a uno» tra l insieme Z þ 0 e l insieme N, basta far corrispondere allo 0 di Z þ 0 lo 0 di N e a ogni intero positivo þn il numero naturale n: Z Z N Possiamo poi verificare che il comportamento dei numeri naturali è simile a quello degli interi non negativi rispetto alle operazioni e al confronto, osservando che tale corrispondenza «conserva» la somma, il prodotto e l ordine; per esempio: osserviamo che al numero þ2 corrisponde 2, al numero þ7 corrisponde 7 e alla somma ðþ2þþðþ7þ ¼þ9 corrisponde il numero 9, che è la somma dei corrispondenti di þ2 ediþ7, cioè di 2 e 7: Ô 25

25 Tema A I numeri Ô ðþ2þ þ ðþ7þ ¼ þ9 2 þ 7 ¼ 9 osserviamo che al numero þ2 corrisponde 2, al numero þ7 corrisponde 7 e al prodotto ðþ2þðþ7þ ¼þ14 corrisponde il numero 14, che è il prodotto dei corrispondenti di þ2 ediþ7, cioè di 2 e 7: ðþ2þ ðþ7þ ¼ þ ¼ 14 þ2 è minore di þ7 e anche il corrispondente di þ2 è minore del corrispondente di þ7: infatti, in N, 2èminore di 7. Quando tra due insiemi numerici si può stabilire una corrispondenza uno a uno, che conserva le operazioni e l ordine, si dice che tale corrispondenza è un isomorfismo e che i due insiemi sono isomorfi (rispetto alle operazioni considerate). La metafora che abbiamo utilizzato prima, dicendo che Z Z þ 0 si può intuitivamente assimilare a N «ridipinto di un altro colore», si traduce quindi, in linguaggio matematico, nella frase: Z þ N Z N 0 è isomorfo a N. L esistenza di tale isomorfismo è ciò che consente di identificare i numeri naturali con gli interi non negativi e di pensare, per comodità, anche se con una certa imprecisione, che N sia un sottoinsieme di Z (anche se, ribadiamo, in realtà non è vero che N è un sottoinsieme di Z ma piuttosto che Z contiene un sottoinsieme, quello degli interi non negativi, che è isomorfo a N). Da dove «deriva» la regola dei segni? La regola dei segni appare a volte quasi «misteriosa»: non si capisce perché, per esempio, meno per meno faccia più... In realtà le regole, in matematica, non sono mai costruite arbitrariamente. Anche la regola dei segni non fa eccezione: essa è conseguenza del cosiddetto principio di conservazione delle proprietà formali, in base al quale, ampliando un insieme numerico, le operazioni devono essere definite in modo da conservare le loro proprietà; la regola dei segni è l unica possibile se si vuole che continuino a valere, in Z, le proprietà delle operazioni valide in N. ðþ5þðþ7þ ¼ ¼ e 35 non si corrispondono I. +. +=+ Questa regola è essenziale per poter identificare i numeri interi non negativi con i numeri naturali e per far sì, quindi, che Z risulti effettivamente un ampliamento di N. Consideriamo, per esempio, il prodotto ðþ5þðþ7þ; se stabilissimo la regola þþ¼, allora la corrispondenza che abbiamo definito per poter identificare Z þ 0 con N non conserverebbe più i prodotti: infatti, al prodotto di þ5 eþ7, che sarebbe 35, non corrisponderebbe il prodotto di 5 e 7, che è 35. II. +. = Questa regola è obbligatoria se si vuole che in Z continuino a valere la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione e la legge di annullamento del prodotto. Ammettiamo, infatti, che valgano tali proprietà e supponiamo, per esempio, di voler calcolare ðþ7þð 5Þ. Possiamo effettuare i seguenti passaggi: 0 ¼ðþ7Þ0 ¼ Legge di annullamento del prodotto ¼ðþ7Þ½ðþ5Þþð 5ÞŠ ¼ Definizione di opposto ¼ðþ7Þðþ5Þþðþ7Þð 5Þ ¼ Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione ¼ðþ35Þþðþ7Þð 5Þ Per quanto stabilito nel caso I In conclusione, abbiamo: 0 ¼ðþ35Þþðþ7Þð 5Þ Quindi ðþ7þð 5Þ deve necessariamente essere uguale all opposto di ðþ35þ, ovvero a 35: 26 ðþ7þð 5Þ ¼ 35

26 III. IV.. += Questa regola segue immediatamente dalla precedente e dal fatto che si vuole conservare in Z la proprietà commutativa della moltiplicazione.. =+ Anche questa regola è obbligatoria per far sì che in Z continuino a valere la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione e la legge di annullamento del prodotto. Ammettiamo, infatti, che valgano tali proprietà e supponiamo, per esempio, di voler calcolare ð 7Þð 5Þ. Possiamo effettuare i seguenti passaggi, analoghi a quelli svolti nel caso II: 0 ¼ð 7Þ0 ¼ Legge di annullamento del prodotto ¼ð 7Þ½ðþ5Þþð 5ÞŠ ¼ Definizione di opposto ¼ð 7Þðþ5Þþð 7Þð 5Þ ¼ Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione ¼ð 35Þþð 7Þð 5Þ Per quanto stabilito nel caso III In conclusione, abbiamo: 0 ¼ð 35Þþð 7Þð 5Þ Quindi il prodotto ð 7Þð 5Þ deve necessariamente essere uguale all opposto di ð 35Þ, ovvero a þ35: ð 7Þð 5Þ ¼þ35 Unità 1 Numeri naturali e numeri interi 7. Potenze ed espressioni in Z Potenze in Z Le definizioni di potenza viste nel Paragrafo 3 si estendono in modo naturale nel caso in cui la base della potenza sia un numero intero relativo. Dato un numero intero a e un numero naturale n, la potenza di base a ed esponente n è: uguale al prodotto di n fattori uguali ad a se n > 1: a n ¼ a a a... a a a 2 Z, n 2 N, con n > 1 n volte uguale a 1, se n ¼ 0ea 6¼ 0: a 0 ¼ 1 a 2 Z, con a 6¼ 0 uguale ad a,sen ¼ 1: a 1 ¼ a a 2 Z ESEMPI Potenze con base negativa a. ð 3Þ 3 ¼ð 3Þð 3Þð 3Þ ¼ðþ9Þð 3Þ ¼ 27 b. ð 2Þ 4 ¼ð 2Þð 2Þð 2Þð 2Þ ¼ðþ4Þðþ4Þ ¼þ16 c. 2 4 ¼ ð2222þ ¼ 16 d. ð 10Þ 0 ¼ 1 e. ð 7Þ 1 ¼ 7 Nota che ð 2Þ 4 6¼ 2 4 Osserva che: le potenze aventi come base un numero intero e come esponente un numero naturale pari danno sempre luogo a numeri positivi (perché moltiplicando un numero pari di fattori uguali si ottiene sempre un numero positivo); per esempio: ð 2Þ 2 ¼ þ4 e ðþ2þ 4 ¼ þ16 le potenze aventi come base un numero intero e come esponente un numero naturale dispari danno sempre luogo a numeri che hanno lo stesso segno della base (perché moltiplicando un numero dispari di fattori uguali si ottiene sempre un numero concorde con i fattori); per esempio: ð 2Þ 3 ¼ 8 e ðþ1þ 3 ¼ þ1 27

27 Tema A I numeri Se m è pari e a > 0 Sem è dispari e a > 0 ðaþ m ¼ þa m ðþaþ m ¼ þa m ð aþ m ¼ a m Continuano inoltre a valere per le potenze in Z le stesse proprietà studiate nell insieme N. ESEMPI Applicazione delle proprietà delle potenze in Z a. ð 2Þ 2 ð 2Þ 3 ¼ð 2Þ 2þ3 ¼ð 2Þ 5 ¼ 32 b. ð 3Þ 9 : ð 3Þ 6 ¼ð 3Þ 9 6 ¼ð 3Þ 3 ¼ 27 c. ½ð 2Þ 3 Š 3 ¼ð 2Þ 33 ¼ð 2Þ 9 ¼ 512 Attenzione! Per poter applicare la regola, dopo la parentesi di chiusura non deve comparire un esponente. Espressioni in Z Per semplificare espressioni in Z, nello svolgimento delle operazioni si seguono le stesse priorità già viste in N. Particolare attenzione va posta nell eliminazione delle parentesi; a questo proposito osserviamo che: quando una coppia di parentesi è preceduta dal segno, si possono togliere le parentesi (e il segno «meno» che precede la prima), pur di riscrivere tutti i termini all interno delle parentesi con il segno cambiato; quando invece una coppia di parentesi è preceduta dal segno þ, si possono togliere le parentesi (e il segno «più» che precede la prima), lasciando inalterati i segni di tutti i termini al loro interno. Se il primo termine all interno della parentesi non è preceduto da alcun segno, lo si deve considerare positivo. ESEMPI La rimozione delle parentesi a. ð 2Þ þ ðþ3þ þ ð 6Þ ¼ 2 þ 3 6 ¼ 5 b. ð 2Þ ðþ3þ ð 6Þ ¼ 2 3 þ 6 ¼ 1 Le parentesi sono precedute dal segno þ, perciò, togliendole, si mantengono i segni dei termini al loro interno. Le parentesi sono precedute dal segno, perciò, togliendole, occorre cambiare i segni dei termini al loro interno. c. 2 ½ 1þð 3þ2ÞŠ ¼ 2 ½ 1 3þ2Š ¼ Togliendo le parentesi tonde ¼ 2þ1þ3 2¼ 0 Togliendo le parentesi quadre ESEMPI Espressioni in Z a. 3 ½ð 6Þð 1Þ 5 ð 3Þð 2Þ 2 ð 1Þ 3 Š¼ ¼ 3 ½ð 6Þð 1Þ ð 3Þðþ4Þ ð 1ÞŠ ¼ ¼ 3 ½þ6 ð 12Þ ð 1ÞŠ ¼ ¼ 3 ½þ6þ12 þ 1Š ¼ ¼ 3 19 ¼ 16 Svolgendo le potenze Eseguendo le moltiplicazioni Togliendo le parentesi tonde Svolgendo i calcoli 28 b. 5 ½ð 3Þ 2 ð 3Þ 4 Š 2 : ½ð 3Þ 15 : ð 3Þ 5 Š¼ ¼ 5 ½ð 3Þ 6 Š 2 : ð 3Þ 10 ¼ Prodotto e quoziente di potenze con la stessa base ¼ 5 ð 3Þ 12 : ð 3Þ 10 ¼ Potenza di potenza ¼ 5 ð 3Þ 2 ¼ Quoziente di potenze con la stessa base ¼ 5 9 ¼ 14

28 Prova tu Semplifica le seguenti espressioni. 1. ð 3Þ 3 fð 4Þ 2 : ½ð 2Þ 2 þ 4Š ½6 ð 2Þ 3 Š : ð 2Þg [ 36] 2. 2 f½ð 2Þ 8 : ð 2Þ 7 ð 4Þðþ3ÞŠ ½ð 2Þ 4 ð 2Þ 3 Š : ½ð 2Þ 2 Š 3 þ 2g [20] 8. Introduzione al problem solving e problemi in N e in Z Capita quotidianamente di imbattersi in situazioni problematiche, per risolvere molte delle quali può essere utile ricorrere alla matematica o quantomeno adottare un atteggiamento mentale metodico e rigoroso, simile a quello che si utilizza in matematica. Tra gli obiettivi che ci porremo in questo corso ci sarà quindi quello di mostrare come le nozioni via via introdotte possano essere applicate all attività di problem solving, cioè di risoluzione di problemi; particolare attenzione sarà prestata alla formazione di un atteggiamento mentale corretto con cui affrontare tali problemi. Vogliamo iniziare il nostro percorso mettendo in evidenza i passi fondamentali in cui è utile scandire la risoluzione di un problema. 1. La «familiarizzazione» con il problema Consiste in una lettura attenta del testo (che deve essere compreso in ogni sua parte!) e nell identificazione dei dati (cioè delle informazioni note) e dell obiettivo (cioè della richiesta posta dal problema). A seconda del tipo di problema, può essere utile strutturare i dati in modi differenti: per esempio in una tabella, oppure costruendo uno schema opportuno, oppure annotandoli in un grafico o in una figura ecc. 2. La costruzione del modello matematico del problema È la fase di formalizzazione del problema in termini matematici, ed è di solito la più delicata. Un modello matematico è sostanzialmente una rappresentazione astratta del problema, tramite strumenti matematici, che ne riassume tutte le principali caratteristiche. Via via che procederemo nel nostro corso, si amplierà sempre di più la gamma di modelli matematici che avremo a disposizione per risolvere i problemi; per esempio, un modello matematico molto elementare di un problema potrebbe essere un espressione numerica. Un altro modello matematico fondamentale, che certamente hai già incontrato nei tuoi studi precedenti e che riprenderemo nelle prossime Unità,èquello costituito dalle equazioni. 3. La risoluzione del modello matematico Questa è la fase «del calcolo». A seconda del modello del problema, questa fase potrà consistere in operazioni diverse: per esempio nella semplificazione di un espressione oppure nella risoluzione di un equazione. 4. La valutazione della soluzione in relazione al problema e la risposta La soluzione ottenuta dal modello matematico va valutata in relazione al problema iniziale, per verificare se è accettabile e interpretarne il significato. Dopo avere effettuato quest ultima analisi, si è pronti per fornire la risposta al problema. ESERCIZI a p. 48 Unità 1 Numeri naturali e numeri interi Affronteremo sempre la risoluzione dei problemi secondo lo schema logico appena esposto; cominciamo con il proporre alcuni semplici problemi risolvibili nell ambito dei numeri naturali o degli interi relativi che abbiamo trattato in questa Unità. 29

29 Tema A I numeri PROBLEMA 1 Tre autobus al capolinea In una città, tre autobus, che percorrono rispettivamente la linea A, la linea B e la linea C, iniziano il loro servizio dallo stesso capolinea alle ore 6 di mattina. L autobus della linea A ritorna al capolinea ogni 45 minuti, l autobus della linea B ogni 30 minuti e l autobus della linea C ogni 25 minuti. A che ora della giornata i tre autobus si troveranno di nuovo insieme, per la prima volta, al capolinea? FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA Dati Gli autobus partono L autobus della linea A torna al capolinea L autobus della linea B torna al capolinea L autobus della linea C torna al capolinea alle 6 di mattina ogni 45 minuti ogni 30 minuti ogni 25 minuti Obiettivo L ora alla quale gli autobus si trovano tutti insieme, per la prima volta, al capolinea COSTRUIAMO UN MODELLO MATEMATICO DEL PROBLEMA Ci sono molti modi per risolvere il problema. Per esempio, potremmo cercare di risolverlo compilando una tabella come la seguente, fino a trovare il primo orario in cui gli autobus si trovano tutti al capolinea. Primo rientro al capolinea Secondo rientro al capolinea Terzo rientro al capolinea Autobus linea A Autobus linea B Autobus linea C 6:45 6:30 6:25 7:30 7:00 6:50 8:15 7:30 7:15 Questo metodo, però, non è molto veloce: infatti, se gli autobus dovessero incontrarsi per la prima volta molte ore dopo le 6, la compilazione della tabella diventerebbe piuttosto lunga. C è una strategia più veloce per risolvere il problema, basata sulla seguente osservazione: i tre autobus si troveranno insieme al capolinea ogni volta che è trascorso, dalle 6, un numero di minuti multiplo sia di 45, sia di 30, sia di 25. Dunque, per determinare dopo quanto tempo si troveranno al capolinea per la prima volta basta determinare il minimo comune multiplo fra 45, 30 e 25. Abbiamo così trovato il modello matematico del nostro problema: in questo caso consiste nel calcolo del minimo comune multiplo fra tre numeri. SVOLGIAMO I CALCOLI Scomponiamo in fattori primi 45, 30 e 25: 45 ¼ ¼ ¼ 5 2 Quindi: m.c.m.(45, 30, 25) ¼ ¼ 450 INTERPRETIAMO LA SOLUZIONE E RISPONDIAMO La soluzione trovata ha un significato, in relazione al problema, in termini di minuti. Osserviamo che 450 minuti equivalgono a 7 ore e 30 minuti (infatti dividendo 450 per 60 otteniamo come quoziente 7 e come resto 30). Dunque gli autobus si ritrovano insieme al capolinea, per la prima volta, 7 ore e 30 minuti dopo le 6, cioè alle ore 13:30. 30

30 PROBLEMA 2 Saldo sul conto corrente Il signor Rossi, prima di partire per le vacanze, ha sul conto corrente 1500 euro. Per la vacanza di 7 giorni spende 100 euro per il viaggio e 80 euro al giorno per l albergo. Al ritorno dalla vacanza, spende inizialmente la metà di quello che gli resta sul conto per pagare l affitto, e poi 450 euro per comprare un televisore nuovo. Qual è, alla fine, il saldo sul conto corrente del signor Rossi? FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA Dati Organizziamo i dati nella seguente tabella: Saldo sul conto prima della vacanza 1500 Spesa per la vacanza 100 þ 80 7 Spesa per l affitto ½1500 ð100 þ 80 7ÞŠ : 2 Spesa per il televisore 450 Unità 1 Numeri naturali e numeri interi Obiettivo Il saldo finale sul conto corrente COSTRUIAMO UN MODELLO MATEMATICO DEL PROBLEMA Il modello matematico del nostro problema è l espressione numerica che esprime quanto rimarrà sul conto al signor Rossi dopo che questi ha effettuato tutte le spese. Tenendo presente la tabella dove abbiamo riassunto i dati, appare chiaramente che l espressione è la seguente: 1500 ð100 þ 80 7Þ ½1500 ð100 þ 80 7ÞŠ : saldo iniziale spese per la vacanza spesa per l ; affitto spesa per la TV SVOLGIAMO I CALCOLI Risolviamo l espressione numerica scritta: 1500 ð100 þ 80 7Þ ½1500 ð100 þ 80 7ÞŠ : ¼ ¼ 1500 ð100 þ 560Þ ½1500 ð100 þ 560ÞŠ : ¼ ¼ ½ Š : ¼ ¼ : ¼ ¼ ¼ 30 INTERPRETIAMO LA SOLUZIONE E RISPONDIAMO Il risultato ottenuto è negativo: ciò significa che il signor Rossi ha speso 30 euro in più di ciò che aveva sul conto corrente. Concludiamo allora che il saldo sul conto è in passivo di 30 euro. Prova tu 1. Anna ha nel portafoglio 180 euro. Compra 3 DVD che costano 15 euro ciascuno, poi spende un terzo di ciò che le resta nel portafoglio per comprare dei libri. Infine presta la metà di ciò che le rimane a un amica. Scrivi l espressione che esprime quanti euro restano ad Anna dopo tutte le spese e calcola quanto le resta. [45 euro] 2. Mario si reca in palestra ogni 6 giorni, Luigi ogni 12 giorni e Paolo ogni 10 giorni. Oggi sono tutti e tre in palestra. Fra quanti giorni si incontreranno di nuovo tutti e tre in palestra? [60 giorni] ESERCIZI a p

31 Tema A I numeri MATEMATICA NELLA STORIA Alla conquista dei numeri Il concetto di numero naturale Sebbene oggi ci sembri del tutto naturale usare i numeri (abbiamo imparato fin da piccoli a eseguire le quattro operazioni), il percorso che ha portato a delineare il concetto di numero naturale è stato lungo e faticoso. Inizialmente il concetto di numero era inseparabilmente legato a quello di un oggetto: «10 alberi», «5 pecore», «6 monete»; solo successivamente si capì che ciò che accomunava, per esempio, un insieme di 10 alberi e uno di 10 pecore era semplicemente il numero «10», indipendentemente dalla natura degli oggetti: nacque così il concetto di numero in senso astratto, che noi oggi utilizziamo comunemente. Questa faticosa evoluzione è testimoniata anche dal modo di rappresentare i numeri: tramite buchi, tagli e incisioni, utilizzati probabilmente per contare capi di bestiame o beni di proprietà, in fossili di anni fa, fino a giungere alla rappresentazione grafica dei numeri in senso astratto, dopo l invenzione di opportuni simboli per rappresentare quelle che oggi chiamiamo cifre I numeri da 1 a 59 scritti in babilonese Anche le operazioni con i numeri nacquero dapprima come operazioni su oggetti; solo successivamente si capì che la somma di un certo numero di oggetti era indipendente dagli oggetti stessi e si passò così a eseguire operazioni fra numeri astratti. Altrettanto difficile fu la conquista dello zero e dei numeri negativi. Lo zero L idea di aggiungere alle cifre 1, 2, 3,..., 9 un ulteriore simbolo, lo zero appunto, per distinguere numeri quali 35 e 305, nasce con l introduzione dei moderni sistemi di numerazione posizionali. Non vi è tuttavia una datazione certa per questo importante evento, anche se molto probabilmente si colloca tra il III e il VI secolo d.c. a opera dei matematici indiani. Dall India, attraverso la cultura araba, lo zero giunge in occidente grazie a Leonardo Pisano, detto Fibonacci (1170 ca ca.), che lo introduce nel Liber Abaci. Lo zero, come già accadeva nei precedenti testi arabi, non veniva però introdotto subito dopo le nove cifre ma solo successivamente, quando occorreva segnare un posto vuoto. La completa parificazione dello zero agli altri numeri e una codifica delle sue regole di calcolo avviene solo tre secoli più tardi. I numeri negativi Anche se si trovano tracce di calcoli con numeri negativi in tavolette babilonesi, presso i matematici cinesi (alcuni decenni avanti Cristo) e anche nell Arithmetica di Diofanto (III secolo d.c), dovettero passare molti secoli perché i numeri negativi venissero pienamente accettati. 32

32 La prima consapevole introduzione dei numeri negativi è dovuta ai matematici indiani del VI secolo d.c, che svilupparono anche le regole di calcolo per svolgere le operazioni con essi. In Europa, tuttavia, i numeri negativi fanno la loro comparsa solo molti secoli più tardi. In Italia il primo a farne uso è Fibonacci, in relazione a situazioni commerciali, per indicare debiti. Durante il Rinascimento persiste una sorta di diffidenza nei confronti dei numeri negativi, come appare anche dai nomi che venivano utilizzati per definirli: Gerolamo Cardano nell Ars magna (1545) li definiva «numeri ficti» (numeri falsi), il matematico tedesco Stiefel nell Aritmetica integra (1545) li definiva «numeri absurdi». I termini «negativo» e «positivo» divengono di uso comune nel XVII secolo; a partire dal XVIII secolo, l utilizzo dei numeri negativi si diffonde definitivamente in tutto il mondo. Si trovano tuttavia esempi di resistenza all uso dei numeri negativi fino al XIX secolo, anche da parte di matematici importanti: per esempio, il matematico francese Blaise Pascal ( ) non concepiva i numeri minori di zero, così come il matematico inglese Augustus de Morgan ( ). In libreria e in rete Robert Kaplan, Zero. Storia di una cifra, Rizzoli John D. Barrow, Da zero a infinito, la grande storia del nulla, Mondadori Hodges Handrew, Il curioso dei numeri. Stranezze matematiche, controversie scientifiche, divagazioni da 1 a 9, Mondadori www2.polito.it/didattica/polymath/htmls/info/numeri/numeri.htm Leonardo Pisano (Fibonacci). Unità 1 Numeri naturali e numeri interi 33