Una non intuitiva conseguenza della legge di Faraday

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1 Liceo Scientifico Statale Galileo Galilei Trieste 103 Congresso Nazionale della Società Italiana di Fisica Una non intuitiva conseguenza della legge di Faraday Eduardo Ciardiello Paola Diener

2 Le due esperienze descritte hanno come scopo quello di mettere in evidenza la duplice natura della legge di Faraday dell induzione elettromagnetica. La regola del flusso (secondo Feynmann) descrive in forma matematica due distinti fenomeni fisici: il campo elettrico indotto che nasce dalla rapidità di variazione di un campo magnetico; gli effetti della forza di Lorentz su cariche in movimento.

3 Una legge generale dell induzione elettromagnetica, che mette chiaramente in evidenza questa duplice natura, può essere ricavata matematicamente dalle equazioni di Maxwell. Essa contiene, come caso particolare la regola del flusso.

4 La legge dell induzione per conduttori in moto Sia C un conduttore in moto con velocità v in un campo elettromagnetico rispetto al sistema S e sia S il sistema solidale con il conduttore C.

5 Dalle equazioni di Maxwell segue che d dt S(t) B n ds t=t 0 = S (t 0 ) t B n ( r, t) t =t 0 ds C ( v B ( r,t 0 )) d l dove abbiamo posto B n = B n. Tenendo conto che S (t0 ) t B n ( r,t) t=t 0 ds= t S (t 0 ) B n ( r,t )ds t =t0 = C E d l si ottiene d dt S(t ) B n ds t=t 0 = C ( E+ v B ( r,t 0 )) d l =E (1)

6 Questo integrale si presenta come la naturale definizione di forza elettromotrice indotta: fem = E intesa quindi come il lavoro per unità di carica compiuto dalla forza che agisce sugli elettroni. Dall equazione (1) deriva che la forza elettromotrice indotta nel circuito C, intesa come il lavoro compiuto dalla forza agente su una carica unitaria, ha due sorgenti:

7 la prima è dovuta al campo elettrico non conservativo indotto dalla variazione del campo magnetico (si noti che eventuali campi elettrici statici e quindi conservativi non darebbero nessun contributo alla circuitazione) la seconda è generata dalla forza di Lorentz che agisce su cariche in moto in campi magnetici. Nel caso in cui il circuito è fermo in un campo magnetico variabile nel tempo si genera nel circuito un campo elettrico non conservativo. Nel caso in cui il circuito si muove in un campo magnetico costante all interno delle parti in movimento del circuito si genera un campo elettrico dovuto allo spostamento delle cariche che è invece conservativo.

8 Caso semplificato Per semplicità consideriamo un circuito rettangolare C che si muove con velocità costante v nella direzione dell asse x in un campo magnetico uniforme perpendicolare al piano del circuito ed entrante.

9 Il circuito C si muove con velocità costante v in un campo magnetico B localizzato tra le linee tratteggiate, perpendicolare al piano del circuito ed entrante.

10 Fintanto che le linee di campo attraversano il circuito, detta S(t) la superficie attraversata all istante t dalle linee di campo d dt S (t) B n ds t=t 0 = d dt (B(t) S(t)) t=t 0 = = db(t) dt t=t 0 S(t 0 ) B(t 0 ) ds(t) dt t=t 0 (2) Il primo termine dell equazione (2) può essere pensato come il flusso cambiato di segno della derivata del campo magnetico attraverso al superficie S(t0) che è quindi uguale alla circuitazione del campo elettrico indotto lungo il circuito C

11 E(t) = d dt (B(t) S(t)) t=t 0 = S (t 0 ) = d dt S(t 0 ) d = C(t0 ) B(t) n t=t 0 B(t) n= dt t=t 0 E d l (3) Per valutare il secondo termine della (3) scriviamo Per cui S(t)=a b(t)=a (b 0 vt) ds(t) = a v dt t=t 0

12 In definitiva la (3) diventa E(t) = d dt S (t) B n ds t=t 0 = C(t0 ) E d l +a v B (4)

13 Caso particolare Consideriamo il caso particolare in figura in cui il campo magnetico è costante. Secondo la (5), essendo nulla la circuitazione del campo elettrico, la forza elettromotrice nel circuito C è data da E = avb Questa forza elettromotrice è localizzata nel lato di lunghezza a immerso nel campo magnetico e perpendicolare ed esso, perché dovuto al moto delle cariche in esso contenute. Sugli altri lati del circuito attraversati dalle linee di campo la forza di Lorentz è diretta perpendicolarmente ai lati stessi e quindi non genera corrente, ma solo un campo elettrico per effetto Hall.

14 Il circuito C si muove con velocità costante in un campo magnetico costante localizzato tra le linee tratteggiate, perpendicolare al piano del circuito ed entrante. La forza di Lorentz agente sul tratto HD separa le cariche e genera quindi un campo elettrico E.

15 La forza elettromotrice indotta tende a spostare gli elettroni verso la base del tratto HD (verso il punto D). Tuttavia, appena tale processo inizia, la parte inferiore D si carica negativamente e la parte superiore H positivamente. Si genera quindi tra H ed D un campo elettrico E diretto da H a D (verso il basso) che contrasta l azione della fem. A circuito aperto la differenza di potenziale fra i punti H e D è proprio pari alla fem indotta. E = V H V D

16 Si raggiunge così una situazione stazionaria caratterizzata dal fatto che il punto H del filo è carico positivamente e D negativamente. Questa situazione di equilibrio si rompe se nel circuito comincia a circolare corrente: dopo un fenomeno transiente, si instaura una nuova condizione stazionaria: nel circuito scorre una corrente costante ed il campo elettrico E è diminuito perché, grazie al moto degli elettroni, la carica statica in H e D è diminuita. Nel circuito circola una corrente I=E / R= avb R dove R è la resistenza totale del circuito.

17 La differenza di potenziale fra i punti H e D è quindi V H V D = avb R R (l a) =avb ( 1 a ) l l se misurata lungo la parte destra del circuito, e V H V D =E IR a l =avb avb R R a l =avb ( 1 a l ) se calcolata lungo la parte sinistra.

18 Si noti che la parte del circuito in moto nel campo magnetico non si comporta come un conduttore ohmico. Infatti, la differenza di potenziale tra i suoi estremi vale E Ir, dove r = Ra/l è la resistenza interna, mentre il prodotto della corrente che l attraversa per la sua resistenza vale Ir. Nel circuito si genera quindi un campo elettrico conservativo definito nel seguente modo H V D l a E={V = avb l lungo la parte destra del circuito nel verso della corrente V H V D a =vb ( 1 a l ) lungo il tratto HD diretto da H verso D

19 Sperimentazione I Caso Circuito in quiete, campo magnetico variabile Si consideri il circuito in figura

20 il circuito è immerso in un campo magnetico rapidamente variabile, perpendicolare al piano del foglio ed entrante.

21 Il campo magnetico B perpendicolare al piano del circuito ed entrante, è fatto rapidamente variare accendendo o spegnendo l interruttore che alimenta un elettromagnete o una bobina. Dall equazione (1) segue che E (t)= d dt S (t) B n ds= C E d l Si noti che la fem dipende solo dalla rapidità di variazione del campo magnetico e non dalle resistenze R 1 e R 2.

22 Se l interruttore viene acceso, nel breve intervallo di tempo in cui il campo magnetico cresce fino al suo valore finale, si genera un campo elettrico e quindi una corrente indotta I=E /(R 1 +R 2 ) che circola nel verso antiorario per compensare, secondo la legge di Lenz, l aumento di flusso.

23 Il campo elettrico indotto non è conservativo per cui non ha senso parlare di potenziale, ciò che misureranno i due voltmetri sarà allora il lavoro su una carica unitaria fatto dal campo elettrico lungo le due resistenze. V 1 = A C E d l e V 2 = D E E d l Si avrà quindi, trascurando la resistenza interna dei cavi di collegamento, V 1 +V 2 =E

24 e pertanto la somma algebrica delle differenze di potenziale misurate lungo il circuito non è zero in violazione alla legge di Kirchooff. Tenendo conto che V 1 =IR 1 e V 2 =IR 2 si ha inoltre che V 1 = R 1 V 2 R 2 qualunque sia il valore delle due resistenze.

25 Concludendo, se si potesse definire un potenziale, considerando che V C =V D =V M e V A =V E =V N, si arriverebbe all assurdo V M V N +V N V M 0. In un campo non conservativo la differenza di potenziale, definita come integrale di E d l tra due punti, dipende dal percorso ed è quindi naturale che l integrale lungo il percorso che include la resistenza R 1 è diverso da quello che passa per R 2.

26 Per evidenziare maggiormente tale risultato misuriamo, ad esempio, V 1 seguendo il percorso illustrato in figura.

27 il circuito è immerso in un campo magnetico rapidamente variabile, perpendicolare al piano del foglio ed entrante. Un puntale del voltmetro V 1 è collegato nel punto A, l altro nel punto C dopo aver fatto un giro in senso antiorario intorno alla zona in cui è presente il campo magnetico.

28 Un puntale del voltmetro V 1 è collegato nel punto A, l altro nel punto C dopo aver fatto un giro nello stesso verso del campo elettrico (in senso antiorario se il campo magnetico è crescente) intorno alla zona in cui è presente il campo magnetico. In tal caso il voltmetro misurerà un valore aumentato di E, essendo E il valore dell integrale di linea del campo elettrico lungo il circuito. Se si fanno n giri il valore verrà incrementato di ne. Se invece girassimo nel verso opposto di n giri il valore letto dal voltmetro diminuirà di ne.

29 Per la realizzazione dell esperienza, non avendo a disposizione campi magnetici molto intensi, il circuito è stato sostituito con una bobina rettangolare di circa 20 spire. Tale espediente non inficia la verifica sperimentale, infatti se immaginiamo di svolgere la bobina il circuito è equivalente a quello illustrato.

30 una bobina in un campo magnetico è equivalente ad un circuito che racchiude una superficie maggiore immerso in un campo che ha una maggiore estensione.

31 Ai fini pratici è come se avessimo costruito un circuito più grande ed esteso la zona in cui è presente il campo magnetico. In tal modo il flusso di B e, di conseguenza, la fem indotta vengono moltiplicati per il numero di avvolgimenti.

32 II Caso Circuito in moto in un campo magnetico costante. Consideriamo il circuito in figura

33 il circuito viene estratto rapidamente dalla zona in cui è presente un campo magnetico B costante.

34 Il campo magnetico è generato da un magnete permanente, se il circuito viene rapidamente estratto dalla zona in cui è presente il campo tra i punti F e G si misura una differenza di potenziale che per la (4) coincide con la fem V F V G =E=avB

35 Se il circuito viene chiuso su una resistenza R il voltmetro misura V F V G =E Ir essendo r la resistenza del filo.

36 Poiché I=E /(r+r) V F V G =E R r+r Il circuito in moto si comporta come un generatore di fem = E e resistenza interna r. Per verificare che il campo elettrico che si genera è conservativo procediamo come nel paragrafo precedente, cioè colleghiamo un puntale del voltmetro nel punto G e l altro nel punto F dopo aver fatto un giro attorno alla zona in cui è presente il campo magnetico come in figura.

37 Un puntale del voltmetro V 1 è collegato nel punto A, l altro nel punto C dopo aver fatto un giro in senso antiorario intorno alla zona in cui è presente il campo magnetico.

38 Il valore misurato non cambia. Per la realizzazione dell esperienza, non avendo a disposizione campi magnetici molto intensi, il circuito è stato sostituito con una bobina rettangolare di circa 20 spire. Tale espediente non inficia la verifica sperimentale, infatti se immaginiamo di svolgere la bobina il circuito è equivalente ad un circuito con dei lati 20 volte più grandi.

39 Materiale utilizzato Cavo telefonico 15 m Asse di legno e viti Resistori di vario tipo Elettromagnete Alimentatore c.c. (1,5-15 V; 5 A max) Due sensori di tensione Sensore di campo magnetico Sistema di acquisizione dati online Vernier Software analisi dati LoggerPro

40 Apparato Sperimentale Un campo magnetico rapidamente variabile è stato ottenuto accendendo l interruttore che alimenta un elettromagnete: B Le bobine sono costituite da 250 avvolgimenti, resistenza di 0,6 Ώ, corrente di 5 A. Le espansioni polari hanno un diametro di 5,5 cm

41 Vista dall alto

42 Il circuito è stato costruito avvolgendo un cavo telefonico attorno a quattro viti su un supporto di legno 20 avvolgimenti resistenza 1 Ώ 10 cm 18 cm l avvolgimento è chiuso su due resistenze in serie Estremi del cavo

43 Il circuito è posto tra le espansioni polari del magnete

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45 Un puntale del sensore di tensione viene collegato ad un capo della resistenza dopo aver fatto n giri intorno al campo

46 Materiale utilizzato Cavo telefonico 15 m Asse di legno e viti Resistori di vario tipo Magnete permanente a U Due sensori di tensione Sensore di corrente Sistema di acquisizione dati online Vernier Software analisi dati LoggerPro

47 Apparato sperimentale Magnete permanente

48 Il circuito viene chiuso su una resistenza sensore di tensione v Il circuito viene rapidamente estratto dal campo in modo che un lato tagli le linee di campo

49 Il numero degli avvolgimenti del circuito è stato aumentato a 34 È stato inserito un sensore di corrente

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51 Un sensore di tensione misura la tensione direttamente ai capi di R l altro dopo aver fatto n giri intorno alle linee di campo

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