Le onde elastiche stazionarie

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1 Le onde elastiche stazionarie

2 Pitagora Samo a.c. Jean Baptiste Joseph Forier Francia, Pitagora e i soi allievi diedero n implso straordinario alla teoria dei nmeri e alla teoria del sono. A Pitagora è attribito il primo stdio sistematico delle onde eccitate sl monocordo e la scoperta delle armoniche semplici. Allievo di Laplace e Lagrange, Forier diede n contribto decisivo all analisi fnzionale. Le serie di Forier e le trasformate di Forier sono strmenti essenziali allo stdio delle eqazioni differenziali alle derivate parziali, come ad esempio le eqazioni delle onde e l eqazione di diffsione del calore.

3 Le onde stazionarie s na corda fenomenologia Sollecitando na corda tenta tra de estremi fissi è facile stabilire s di essa onde stazionarie, o armoniche. Le possibili armoniche s na corda sono n insieme discreto. Per eccitare la ciascna armonica si deve far vibrare la corda a na certa precisa freqenza caratteristica, detta freqenza di risonanza. pistoncino Corda elastica estremo fisso In figra: de foto di na corda elastica sollecitata da n pistoncino che oscilla trasversalmente.

4 Le onde stazionarie s na corda fenomenologia Le armoniche sono caratterizzate da n nmero crescente di nodi e ventri. Le armoniche più alte corrispondono a freqenza maggiori. I nodi sono pnti fissi. Le particelle nel nodo sono ferme. Le particelle tra i nodi oscillano. Le particelle nei ventri hanno ampiezza massima di oscillazione.

5 Le onde stazionarie s na corda Teoria Le armoniche slla corda sono solzioni dell eqazione di D Alambert. Le armoniche soddisfano qeste condizioni al contorno: in ogni istante, gli estremi della corda sono fermi. ( L,t) 0 ; ( L, t) 0 Le armoniche sono la somma o la differenza tra de onde monocromatiche di pari ampiezza, na progressiva e na regressiva: A e i ( k x ωt) i ( k x ωt ± A e ) L onda progressiva ha nmero d onda positivo L onda regressiva ha nmero d onda negativo Le armoniche possono essere interpretate come n onda che viene continamente riflessa avanti e indietro dalle pareti fisse poste agli estremi della corda.

6 Le onde stazionarie s na corda Teoria A e i ( k x ωt ) i ( k x ωt ) i k x i k x ± A e A ( e ± e ) e i ωt cos ( k x ) e iω t somma sen iω t ( k x ) e differenza Le onde stazionarie sono caratterizzate da qesta speciale proprietà: sono ottente moltiplicando na fnzione della sola variabile x per na fnzione della sola variabile t. Re ( ) t -L 0 L x In na serie di foto consective, l onda stazionaria mantiene sempre la stessa forma, data dalla fnzione cos(kx), ma l ampiezza è cambia nel tempo perché il valore di cos(ωt) è inizialmente 1, poi decresce fino ad annllarsi, poi diventa negativo, ecc.

7 Le regole di qantizzazione per le armoniche s na corda Teoria Condizioni al contorno: ( L,t) 0 ; ( L,t) 0 cos cos ( k x ) ( k L) cos( k L) 0 k L π 2 + m π m Z sen sen ( k x ) ( k L) sen( k L) 0 k L m π Circonferenza goniometrica Perché siano soddisfatte le condizioni al contorno, k pò assmere solo valori discreti. Si dice che i valori di k sono qantizzati: k n n ko ; ko π 2L 2L lnghezza totale della corda

8 Le regole di qantizzazione per le armoniche s na corda Teoria La lnghezza d onda della prima armonica è il doppio della lnghezza della fne k π 2πc ; λo 4 L ; ωo ; 2L 4L o νo c 4 L La prima armonica è associata al pedice 0 k, ω e ν crescono in proporzione a n k n π 4L 2π n c ; λn ; ωn ; 2L n 4 L n νn n c 4L C è sempre n nmero intero di mezze lnghezze d onda λ varia in proporzione inversa a n

9 La sovrapposizione di onde stazionarie In base al principio di sovrapposizione, la combinazione lineare di de solzioni dell eqazione di D Alambert è na solzione dell eqazione di D Alambert La combinazione lineare di de o più onde stazionarie è na solzione dell eqazione di D Alambert ( x, t) cn n ( x, t) n Re n i ( ) ( k x t x t A e n ω, n ) ( ) Re ( cn n ) n I coefficienti c n sono nmeri complessi Non si perde di generalità prendendo A costante Formalismo reale

10 La sovrapposizione di onde stazionarie La combinazione lineare di de onde stazionarie NON E n onda stazionaria Ciò è dovto al fatto che de onde stazionarie diverse oscillano a freqenza diversa. In figra è mostrata na seqenza di foto di na corda sollecitata dalle prime de armoniche insieme: Re ( ) Re ( ) + Re ( ) A cos ( k x) cos ( ω t) + Asen ( 2k x) cos ( 2 t) 1 2 o o o ωo 0 t 2 t 3 t 1 2 U t 5 t 6 t 7 t 8 t t π 2ω o

11 4.d Le onde elastiche stazionarie. Esercizi e complementi. fenomenologia Le regole di qantizzazione per le armoniche in na canna semiaperta Le particelle d aria sono ferme sl fondo: ( L, t) 0 La pressione alla bocca è costante epari alla pressione atmosferica: 0 x L, t Il cambiamento delle condizioni al contorno determina n cambiamento delle regole di qantizzazione. La canna ospita n nmero intero di mezze lnghezze d onda, più n qarto di lnghezza d onda. Qesta condizione si realizza, ad esempio, qando si soffia in na bottiglia facendola sonare. Molti strmenti msicali a fiato sono invece basati s canne aperte, o s canne aperte s terminali conici, o s canne forate, il che complica la determinazione delle armoniche.

12 4.d Le onde elastiche stazionarie. Esercizi e complementi. Le proprietà fenomenologiche delle onde elastiche monocromatiche S n corpo corpo elastico si stabilisce n onda stazionaria corrispondente alla prima armonica. La lnghezza d onda è il doppio della lnghezza del corpo; la freqenza è data da: ν c λ c velocità delle onde sl corpo Il corpo percote l aria alla freqenza n, generando n onda di pressione alla stessa freqenza. La lnghezza d onda però è diversa, perché l aria ha na diversa velocità di propagazione: λ aria c aria ν c aria c λ Infine, l aria percote il timpano alla stessa freqenza, determinando la sensazione del sono. A n onda monocromatica pra corrisponde na nota pra. L accordatra della chitarra Agendo sl cavicchio, si modifica la tensione T della corda e, di consegenza, la velocità delle onde trasversali, visto che c S T ρ S sezione della corda, ρ densità A parità di λ, la freqenza delle armoniche cambia. Se ne pò così accordare la freqenza a qella prevista dalla scala tonale.