Fisica Tecnica Ambientale

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1 progetto didattica in rete Fisica Tecnica Ambientale Parte II: trasporto di calore e di massa G.V. Fracastoro getto Politecnico di Torino, maggio 2003 Dipartimento di Energetica didattica in ret otto editore

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3 PARTE II trasporto di calore e di massa

4 Giovanni Vincenzo Fracastoro Fisica Tecnica Ambientale parte II - trasporto di calore e di massa Primaedizione maggio 2003 Èvietata la riproduzione, anche parziale, con qualsiasi mezzo effettuato, compresa la fotocopia, anche ad uso interno o didattico, non autorizzata.

5 INDICE 1. Generalità sulla trasmissione del calore e conduzione Conduzione e legge di Fourier Equazione generale della conduzione Condizioni al contorno e scambio termico misto Parete piana Parete cilindrica Transitori termici in sistemi a capacità termica concentrata Alcuni problemiparticolari Irraggiamento Leggi delcorpo nero Caratteristiche radiativedelle superfici reali Scambio termico per irraggiamento fra corpi neri Scambio termico per irraggiamento fra superfici grigie Convezione Regime di moto eviscosità Concetto di strato limite Analisi dimensionale per la convezione forzata Convezione naturale

6 4. Problemi termoigrometrici nelle pareti edilizie Scambiotermico misto inintercapedini Diagramma (T,R) Trasmissione del calore in pareti opache in presenza di. radiazione solare Il problema della condensa superficiale Diffusione del vapore e condensa interstiziale Trasmissione del caloreinparetivetrate

7 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE La Parte della Fisica Tecnica che studia il trasferimento di calore all interno di un corpo o fra corpi diversi è detta Termocinetica o Trasmissione del Calore. Per meglio comprendere l ambito di studio della Termocinetica si può dire che essa inizia là dove finisce la Termodinamica. Quest ultima, infatti, ci consente di calcolare lo stato termico che si raggiunge in condizioni di equilibrio, ma non le leggi con cui si perviene a queste condizioni. Ad esempio, ci consente di stimare la temperatura finale di due corpi messi a contatto, ma non la velocità di evoluzione delle loro temperature. Questo è appunto il compito della Trasmissione del Calore. Si è già detto che il calore è energia in transito per differenza di temperatura; sebbene nei problemi reali sia abbastanza raro che si verifichino isolatamente, si distinguono tre modi fondamentali di trasmissione del calore: conduzione, irraggiamento e convezione. Inizieremo con la trattazione della conduzione, ma poiché la distribuzione di temperatura all interno di un corpo dipende da quello che avviene sul suo contorno, sarà necessario fornire anche qualche informazione preliminare sulle altre modalità di scambio termico CONDUZIONE E LEGGE DI FOURIER Nella conduzione lo scambio di energia termica avviene per scambio di energia cinetica molecolare (fluidi e dielettrici) o per diffusione elettronica (metalli) senza scambio di materia, all interno di un corpo. Si ricorda che, secondo la teoria cinetica, la temperatura è proporzionale all energia cinetica molecolare media e l energia 69

8 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE interna di un corpo non è altro che la somma delle energie cinetiche e potenziali delle molecole che lo costituiscono. L esperienza insegna che il flusso di calore all interno di un corpo non isotermo avviene sempre dalle regioni a temperatura più alta a quelle a temperatura più bassa (II Principio della Termodinamica), e che esso è tanto più intenso quanto più è grande il gradiente di temperatura. Ciò può essere espresso in forma analitica attraverso la legge di Fourier: Q = λ A T x 1.1 dove: Q = potenza o flusso termico, W A =areadella superficie di passaggio del flusso termico, m 2 λ =conducibilità termica, W/(mK) T =temperatura, K x =lunghezza generica, m Il segno meno è imposto dal Secondo Principio della Termodinamica, poiché il flusso termico è diretto nel verso delle temperature decrescenti, e quindi ha segno opposto al gradientetermico. La conducibilità termica λ risulta definita anche dimensionalmente attraverso la 1.1. Essa varia a seconda del tipo di sostanza, e in genere cresce con la densità. I valori per alcuni materiali e sostanze di comune impiego in edilizia sono riportati in tabella 1.1. La conducibilità termica varia in funzione della temperatura. Essa cresce con l aumentare della temperatura per i gas e per i materiali isolanti: ad esempio, per l aria il gradiente è di circa 0.5 % al C. Per i metalli molto puri essa diminuisce, invece, al crescere della temperatura. 70

9 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE Tab. 1.1 Valori di conducibilità termica per alcune sostanze e materiali di comune impiego nell edilizia. Sostanza o materiale Conducibilità termica [W/(m K)] FLUDI aria acqua ISOLANTI lana minerale, granuli poliuretano fibra di vetro polistirene espanso MATERIALI laterizi ordinari 0.72 DA laterizi faccia-vista 1.3 COSTRUZIONE calcestruzzo normale calcestruzzo alleggerito legno duro (quercia, acero) 0.16 legno tenero (abete, pino) 0.12 vetro 1.4 pietra (calcare, granito, marmo) intonaco di cemento 0.72 intonaco di gesso METALLI acciaio inox acciaio ferro 80 alluminio, lega di alluminio rame

10 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE 1.2. EQUAZIONE GENERALE DELLA CONDUZIONE Coordinate rettangolari Applicando il I Principio della Termodinamica a un cubetto elementare attraversato da flussi termici conduttivi si ottiene, nell ipotesi di conducibilità termica costante nelle tre direzioni, l equazione generale della conduzione (vd. DIMOSTRAZIONE a pag.73): 2 T x T y T z 2 + q i λ = ρc λ T t 1.2 o anche 2 T + q i λ = 1 α T t 1.2a dove 2 è l operatore di Laplace e α è la diffusività termica, α = λ ρ c La 1.1 èun equazionedifferenzialealle derivateparziali integrabilesoltantoin alcuni casi particolari, ai quali si tenta di ricondurre i problemi reali. Ad esempio, quando il corpo è costituito da una parete piana di grandi dimensioni rispetto allo spessore che separa due ambienti a temperatura diversa, il flusso termico può essere ragionevolmente considerato monodimensionale e ortogonale alla parete. In questo casola 1.2 si riducea: 2 T x 2 + q i λ = 1 T α t In assenza di generazione interna si ottiene: 2 T x 2 = 1 T α t 1.3 Nel caso di flusso stazionario ( T/ t = 0) e in assenza di generazione interna si ottiene: d 2 T dx 2 =

11 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE DIMOSTRAZIONE Applicando il Primo Principio della Termodinamica in forma di potenza: X Q = U t ad un solido elementare di materia avente lati dx, dy e dz e conducibilità λ x, λ y, λ z (fig. 1.1) attraversato da un flusso ter mico conduttivo tr idimensionale e sede di un flusso termico generato internamente, Q i si avrà: Applicando la 1.1 si ottiene: Il flusso uscente lungo x sarà: Q x + Q y + Q z + Q i = Q x+dx + Q y+dy + Q z+dz + U t Q x = λ x dy dz T x Q y = λ y dx dz T y Q z = λ z dx dy T z Q x+dx = Q x + Q x dx e analogamente lungo y e z. La differenza fra i flussi termici sullo stesso asse dà: Q x+dx Q x = «T λ x dx dy dz x x Q y+dy Q y = «T λ y dx dy dz y y Q z+dz Q z = z «T λ z dx dy dz z A sua volta la variazione di energia interna ed il flusso generato internamente possono essere espressi come: U t = ρ c dx dy dz T t Q i = q i dx dy dz dove: 73

12 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE z Q z+dz Q x Q y dz Q y+dy Q x+dx dy Q z dx y x Fig. 1.1 Flussi di conduzione attraverso un solido elementare. ρ = massa volumica (kg/m 3 ) c = capacità termica massica (J/kg K) q i = flusso generato per unità di volume (W/m 3 ) Si ottiene in questo modo l equazione generale della conduzione: «T λ x + «T λ y + «T λ z + q i = ρc T x x y y z z t D.1 Se la conducibilità termica è costante nelle tre direzioni si ottiene: 2 T x + 2 T 2 y + 2 T 2 z 2 + qi λ = ρc λ T t D.2 Coordinate cilindriche Adottando un sistema di coordinate cilindriche (r, θ, z), con un procedimento simile a quello illustrato nella DIMOSTRAZIONE a pag.73 l equazione generale della conduzione diviene: 1 2 T r 2 θ T z T r T r r + q i λ = 1 α T t 1.5 che si riduce, nel caso di flusso monodimensionale radiale, stazionario e senza generazione interna, a: 74

13 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE d 2 T dr r dt dr = CONDIZIONI AL CONTORNO E SCAMBIO TERMICO MISTO La soluzione delle equazioni differenziali alle derivate parziali come le permette di descrivere il campo termico all interno di un corpo. Questo dipende tuttavia dalle condizioni termiche al contorno e, per i problemi che dipendono dal tempo, iniziali. Per esempio, la 1.4 ha come soluzione generale T = a x + b che indica come in una parete piana in regime stazionario il profilo di temperatura sia lineare. Tuttavia, il valore delle due costanti a e b può essere determinato soltanto se sono definite due condizioni al contorno (ovvero, sulle due facce della parete). La condizione iniziale specifica invece i valori di temperatura in ogni punto del sistema all istante iniziale. Esistono tre tipi di condizione al contorno, che verranno di seguito esemplificate per casi monodimensionali stazionari: 1 tipo-condizione di temperatura (o di Dirichlet) 2 tipo-condizione di flusso (o di Neumann) 3 tipo-condizione di temperatura e flusso (o di convezione) Unacondizione al contorno in cui il termine noto sia nullo viene detta omogenea. Le condizioni al contorno del 1 tipo sono quelle in cui sul contorno del sistema in esame è imposto e noto il valore della temperatura. monodimensionale: Ad esempio, per un caso T x=x1 = T

14 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE Le condizioni al contorno del 2 tipo sono quelle in cui sul contorno del sistema in esame è noto il valore assunto dal flusso termico. Ad esempio, per un caso monodimensionale: Q = λ A dt x =x1 dx = Q x =x 1 Su un piano di simmetria del sistema si avrà una condizione al contorno omogenea perché sarà nullo il gradiente di temperatura e dunque Q 1 = 0. Le condizioni al contorno del 3 tipo sono le più comuni nella pratica. Esse prevedono che sul contorno del sistema siano fornite equazioni supplementari in cui compaiono sia la temperatura che il flusso termico: Q = λ A dt x =x1 dx =h A (T ) x =x1 T a x =x in cui T a è la temperatura dell ambiente (fluido e superfici) con cui viene scambiato calore per convezione e irraggiamento e h èilcoefficiente di scambio termico liminare o adduttanza superficiale. Per comprendere meglio il significato di h è necessario analizzare più nel dettaglio cioè che avviene all interfaccia fra la superficie del corpo e l ambiente. Il calore che proviene dall interno del corpo per conduzione ( Q k ) èuguale alla somma di quello scambiato dalla superficie per convezione con il fluido ( Q c ) eper irraggiamento con le superfici circostanti ( Q r ), come indicato in figura 1.2. Q k = Q c + Q r 1.10 Ènecessario dunque fornire alcune indicazioni preliminari sulle due forme con cui avviene lo scambio termico per irraggiamento e convezione. Una trattazione più dettagliata verrà fornita nei CAPITOLI 2e3. Irraggiamento L irraggiamento è il trasferimento di calore per propagazione di onde elettromagnetiche. Questa avviene alla velocità della luce, sotto forma di quanti di energia che si propagano con leggi desumibili dalla teoria ondulatoria. Non vi è bisogno di un mezzo 76

15 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE Q r Q k Q c Fig. 1.2 Equilibrio dei flussi alla parete. per consentire la propagazione delle onde elettromagnetiche: esse si propagano anche nel vuoto. Nello scambio termico fra due corpi nerilapotenza termica scambiata vale Q = A 1 F 12 σ(t1 4 T2 4 ) 1.11 in cui σ èlacostante di Stefan-Boltzmann e F 12 rappresenta il fattore di vista fra la superficie 1 (di area A 1 )ela superficie 2. La 1.11 mostra come la potenza termica emessa da un corpo sia funzione della quarta potenza della sua temperatura assoluta. Una espressione analoga si può ricavare per la potenza termica scambiata fra due superfici grigie, cioè due superfici che emettono una frazione ɛ della potenza emessa aparità di altre condizioni dal corpo nero: Q = A 1 F ε σ(t1 4 T 2 4 ) 1.12 in cui F ɛ èunfattore che tiene conto sia del fattore di vista che delle emissività delle due superfici. Se le temperature T 1 e T 2 non differiscono troppo, si può linearizzare l espressione precedente ponendo h r =4F ε σtm

16 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE in cui T m èlamediaaritmetica fra le due temperature e h r èdetto coefficiente di scambio termico liminare per irraggiamento. Siottiene immediatamente Q r = h r A 1 (T 1 T 2 ) 1.14 Convezione Èilmeccanismo che regola la trasmissione del calore tra una superficie solida e un fluido. Si tratta di un meccanismo complesso in cui sono presenti diversi fenomeni (conduzione, irraggiamento, accumulo termico, trasporto di massa): le particelle di fluido adiacenti alla parete scambiano calore con quest ultima per conduzione, poiché la velocità delle particelle stesse è nulla sulla superficie. Quando poi le particelle vengono trasportate verso regioni a temperatura diversa, esse si mescolano etrasferiscono la loro energia e quantità di moto alle particelle di queste regioni. Si usa distinguere tra convezione naturale e forzata. Nelprimocaso la causa del moto delle particelle fluide sono i gradienti di densità indotti nel fluido dalle differenze di temperatura, mentre nel secondo caso tale moto è provocato da una azione esterna. In entrambi i casi si è soliti calcolare il flusso scambiato fra parete e fluido per mezzo della seguente relazione (Legge di Newton): Q = h c A (T 1 T f ) 1.15 in cui h c èdetto coefficiente di scambio termico liminare per convezione, et f la temperatura del fluido adiacente alla parete. Nel caso di convezione forzata h c dipende essenzialmente dalla velocità relativa fra fluido e parete, mentre in convezione naturale esso dipende da molti fattori, fra cui, come si vedrà, la differenza di temperatura stessa. Scambio termico liminare Una volta ricavate le equazioni 1.14 e 1.15, nel caso in cui la temperatura del fluido coincida praticamente con quella delle superfici viste dalla parete considerata (T 2 T f )edivenga perciò genericamente la temperatura dell ambiente T a, si può tornare all equazione 1.9, chediviene: 78

17 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE Q k A = λdt dx =(h c + h r ) (T 1 T a )=h (T 1 T a ) 1.16 x=x1 dove h, detto coefficiente di scambio termico liminare o adduttanza superficiale, è dato da: h = h c + h r 1.17 L inverso del coefficiente h viene detto resistenza termica liminare PARETE PIANA In questo paragrafo si analizza l andamentodella temperatura attraverso una parete piana di spessore piccolo rispetto alle altre due dimensioni e si calcola il flusso termico che la attraversa nella direzione dello spessore. Le ipotesi ricorrenti in questa trattazione sono: regimestazionario geometria rettangolare flusso monodimensionale generazione interna nulla ( q i =0) Parete piana monostrato con condizioni al contorno del 1 tipo Si abbia una parete piana (fig. 1.3) composta da un solo strato omogeneo di spessore seconducibilità termica λ; sono inoltre imposte sulle due facce della parete valori prefissati di temperatura. Occorre integrare l equazione differenziale 1.4 con le seguenti condizioni al contorno: Si ottiene l andamento lineare: T (0) = T 1 T (s) =T 2 T = T 1 T 1 T 2 s x

18 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE T T 1 T 2 0 s x Fig. 1.3 Parete piana monostrato. Derivando la 1.18 e applicando la legge di Fourier si ottiene immediatamente il flusso trasmesso: Q = λa T 1 T 2 s 1.19 Si osservi che la 1.19 poteva essere ottenuta direttamente dalla 1.1,cheèinquestocaso una equazione differenziale a variabili separabili, facilmente integrabile poiché Q non èfunzione di x 1.La 1.19 viene spesso scritta come: oanche: oinfine: Q A = T 1 T 2 R Q A = C (T 1 T 2 ) Q = T 1 T 2 R 1.19 a 1.19 b 1.19 c 1 Infatti, se il flusso entrante in uno strato fosse diverso da quello uscente, per il Primo Principio della Termodinamica l energia interna e dunque la temperatura dello strato varierebbe nel tempo. 80

19 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE dove: R =resistenza termica dello strato = s/λ C =conduttanza dello strato = λ/s =1/R R =resistenza termica specifica dello strato = s/(λa) =R/A La 1.19.c mostra la perfetta analogia fra le leggi della conduzione (legge di Fourier) e quelle dell elettromagnetismo (legge di Ohm): I = V R Q = T R con le seguenti corrispondenze: corrente elettrica (I) flusso termico Q differenza di potenziale ( V ) differenza di temperatura ( T ) resistenza elettrica (R) resistenza termica specifica (R ) Parete piana multistrato con condizioni al contorno del 1 tipo Sono note, come prima, le temperature sulle due facce estreme T 1 et n+1.siscrive la 1.19 per ognuno degli n strati che costituiscono la parete (fig. 1.4). Q A = λ 1 T1 T 2 s 1 Q A = λ 2 T2 T 3 s 2... Q A = λ n Tn T n+1 s n Ilflusso cheattraversa ivaristratiè semprelo stesso, per l ipotesi di stazionarietà. Per cui, mettendo in evidenza le n differenzeditemperatura e sommando, si ottiene: Q A = T 1 T n+1 T 1 T n+1 n = s j n = C (T 1 T n+1 )= T 1 T n+1 R R j λ j j=1 j=

20 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE T T 1 T 2 T 3 s 1 s 2 s n 1 2 n T n T n n n+1 Fig. 1.4 Parete multistrato. essendo C la conduttanza, ed R la resistenza termica della parete multistrato: R = 1 C = n j=1 s j λ j = n j=1 R j Pareti piane che separano ambienti a temperatura prefissata In questo caso, assai frequente nella realtà, si considerano pareti che separano ambienti mantenuti a temperature diverse, ad esempio l ambiente interno di un edificio e l ambiente esterno. Sono note le temperature dei due ambienti, ma non le temperature superficiali né i flussi. Le condizioni al contorno che si impongono sono dunque del 3 tipo, ovvero: Q = λ dt A dx = h i (T i T (0)) x=0 x=0 Q = λ dt A dx = h e (T (s) T e ) x=s x=s 82

21 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE dove h i e h e sono i coefficienti di scambio termico liminare interno ed esterno e T i e T e le temperature (note) dei due ambienti interno ed esterno separati dalla parete. Si ha dunque, essendo il flusso costante in ogni strato e ricordando la 1.20: Q A = h i (T i T 1 ) Q A = T 1 T n+1 n s j λ j=1 j Q A = h e (T n+1 T e ) Sommando, come prima, le differenze di temperatura e semplificando si ottiene: Q 1 n s j = T i T e A h i λ j h e j=1 da cui: Q A = U (T i T e ) 1.21 dove U, detta trasmittanza termica ocoefficiente di scambio termico globale, è data da: 1 U = 1 n s j h i λ j h e j= PARETE CILINDRICA Parete monostrato con condizioni al contorno del 1 tipo Si abbia una parete cilindrica composta da un solo strato omogeneo di conducibilità termica λ (fig. 1.5). Valgono le seguenti ipotesi: regimestazionario assenza di generazione interna flusso monodimensionale (radiale). 83

22 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE T 1 T 2 r 2 r 1 r Fig. 1.5 Parete cilindrica monostrato (sezione trasversale). Anche in questo caso è possibile ricavare direttamente il flusso ponendo nella 1.1, x = r e A =2πrL Q dt = λ 2πrL dr 1.23 eintegrando con le seguenti condizioni al contorno: T (r 1 )=T 1 T (r 2 )=T 2 Si ottiene la potenza per unità di lunghezza: Q L =2πλ T 1 T 2 ln (r 2 /r 1 ) 1.24 Alla stessa espressione si poteva giungere ricavando dalla 1.6 il profilo di temperatura esuccessivamente applicando la legge di Fourier. In modo del tutto analogo a quanto visto per la parete piana multistrato, per una parete cilindrica formata da n strati concentrici si ottiene: Q L =2π T 1 T n n 1 λ j ln rj+1 r j j=1 84

23 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE Pareti cilindriche che separano fluidi a temperatura prefissata Procedendo in modo analogo a quanto fatto per la parete piana multistrato si ottiene il flusso disperso per unità di lunghezza: Q L =2π 1 r ih i + n j=1 T i T e = U L (T i T e ) λ j ln rj+1 r j + 1 r eh e Volendo esprimere il flusso disperso per unità di superficie, occorre distinguere il caso in cui ci si riferisce alla superficie interna: Q A i = 1 n h i + r i j=1 da quello in cui ci si riferisce alla superficie esterna: Q A e = r e n r ih i + r e j=1 T i T e = U i (T i T e ) λ j ln rj+1 r j + ri r eh e T i T e = U e (T i T e ) λ j ln rj+1 r j + 1 h e Dalle si ricavano le espressioni delle trasmittanze U L, U i, U e TRANSITORI TERMICI IN SISTEMI A CAPACITÀ TERMICA CONCENTRATA Vengono detti sistemi acapacità termica concentrata quei corpi la cui temperatura può variare nel tempo, mantenendosi però uguale in ogni punto (uniforme). Si osservi peraltro che se il corpo scambia calore attraverso il suo contorno deve esistere un gradiente termico al suo interno, come si vede da un semplice bilancio su una superficie infinitesima del contorno da : dove hda (T T a )= λda T n h =coefficiente di scambio termico liminare 85

24 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE T =temperatura del corpo T a =temperatura dell ambiente λ =conducibilità termica del corpo n = normale alla superficie Tuttavia il gradiente T/ n diviene molto piccolo se λ ègrande rispetto ad h. In pratica esso può essere trascurato se vale la condizione: Bi = h (V /A) λ = h L λ = L/λ 1/h = R int R est < 0.1 dove Bi èilnumero di Biot e V èilvolume del corpo. Se si introduce un corpo avente Bi < 0.1 etemperatura iniziale T 0 in un fluido a temperatura T a <T 0 e capacità termica infinita (fig. 1.6) nel tempo dt si ha dunque, supponendo che il sistema sia nel complesso adiabatico: dq = ρcv dt = C dt 1.29 con dq = ha (T T a ) dt 1.30 dove: ρ =densità c = calore specifico C = capacità termica h =coefficiente di scambio termico liminare A =areadella superficie di scambio Le ,risolte imponendo la condizione iniziale: T (0) = T 0 86

25 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE T a T Q Fig. 1.6 Corpo a capacità termica concentrata inserito in un sistema a capacità termica infinita. forniscono: T T a =(T 0 T a ) e h A t/c 1.31 L andamento della differenza di temperatura è dunque esponenziale. La temperatura raggiunta dal corpo al tempo t = varrà ovviamente T a.iltermine τ = C ha = ρcv ha èdetto costante di tempo del sistema erappresenta il tempo necessario perché la differenza di temperatura tra corpo e fluido si riduca del fattore 1/e (36.8 %). È possibile dimostrare che esso coincide inoltre con il tempo in cui la temperatura del corpo raggiungerebbe quella dell ambiente se essa decadesse con legge lineare e con pendenza pari a quella assunta all istante iniziale. Inoltre, tenendo presente che: ha C t = hl2 ρcl 3 t λ λ = hl λ αt = Bi Fo L2 dove L è la lunghezza caratteristica del corpo (ad esempio, L = Volume/Area Laterale), α èladiffusività termica e Fo = αt/l 2 èilnumero di Fourier (o tempo adimensionato), si può scrivere: ϑ = e Bi Fo

26 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE Temperatura adimensionata Bi = 0.02 Bi = 0.04 Bi = 0.06 Bi = 0.08 Bi = Numero di Fourier, Fo Fig. 1.7 Transitorio termico in un sistema a capacità concentrata. in cui ϑ = T T T 0 T èlatemperatura adimensionata del corpo. L equazione 1.32 è illustrata in figura ALCUNI PROBLEMI PARTICOLARI Pareti piane composite Si consideri la parete di figura 1.8, composta di sezini a e b (con U a <U b )separati da un piano parallelo alla direzione del flusso. Si supponga che gli ambienti che essa separa siano mantenuti rispettivamente alla temperatura T i e T e,cont i > T e.ilflusso termico attraverso le aree A a e A b vale rispettivamente: Q a = U a A a (T i T e )= T R a Q b = U b A b (T i T e )= T R b 88

27 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE a A a b A b Fig. 1.8 Parete piana composita. Il flusso complessivamente uscente vale: ( Q = Q a + Q 1 b = T R a + 1 ) R b Pertanto si ha: Q = T R eq = U eq T essendo: ( 1 R eq = R a + 1 ) 1 R b 1.33 la resistenza equivalente (R eq <R b <R a )e: U eq = A au a + A b U b A a + A b 1.34 la trasmittanza equivalente (U a < U eq <U b )della parete. In figura 1.9 viene presentato il caso di sezioni costituite ciascuna da un solo strato omogeneo (con λ a <λ b ).Si osserva che l andamento di temperatura lungo la parete a (linea spessa) diviene diverso da quello lungo la parete b (linea sottile) e nascono differenze di temperatura anche in direzione y ortogonale allo spessore della parete. 89

28 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE T i a T 1a T a T b T 1b T 2b T 2a T e b Fig. 1.9 Andamento delle temperature in parete composita. Alette di raffreddamento Le alette di raffreddamento sono dispositivi che consentono di incrementare il flusso termico disperso verso l ambiente circostante attraverso l aumento della superficie disperdente. Le alette possono essere piane, anulari o a spina. In questo paragrafo si analizzerà il comportamento di alette piane a sezione rettangolare (fig. 1.10) con le seguenti ipotesi: regimestazionario caratteristiche di scambio termico (conducibilità, coefficiente di scambio termico liminare) indipendenti dalla temperatura assenza di gradienti termici in direzione trasversale all aletta L ultima ipotesi implica che lo spessore dell aletta sia molto piccolo rispetto alla sua lunghezza. Se si considerano inoltre costanti per l intera lunghezza L il perimetro p el area A della sezione trasversale, e trascurabile il flusso disperso dall estremità dell aletta, si 90

29 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE T T 0 a A L Fig Aletta piana rettangolare. ottiene (vedi DIMOSTRAZIONE apag. 92anche per il significato degli altri simboli) il flusso disperso dall aletta: Q = λam (T 0 T ) tanh (ml) 1.35 dove T 0 e T rappresentano rispettivamente la temperatura alla radice dell aletta e dell ambiente circostante. Si può poi introdurre il concetto di efficienza dell aletta,intesa come il rapporto fra il flusso effettivamente disperso e quello massimo disperdibile. Quest ultimo è il flusso che verrebbe disperso se tutta l aletta avesse una temperatura uniforme e pari a T 0 : Q max = p L h (T 0 T ) per cui: ε = Q = tanh(ml) < Q max ml In figura 1.11 èriportato l andamento dell efficienza ɛ al variare del prodotto (ml). Si può inoltre valutare un altra forma di efficienza ɛ,definita come il rapporto fra il flusso effettivamente disperso e quello che sarebbe disperso se non vi fosse l aletta: Q 0 = h A θ 0 Tale valore dovrebbe evidentemente essere superiore ad 1. Infatti: 91

30 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE efficienza, ml Fig Efficienza di un aletta. ε = λ m tanh(ml) h = p L A 2(a + δ) L ε = ε 2 al a δ aδ ε = 2L δ ε In genere, ɛ è dunque tanto maggiore di ɛ quanto più l aletta è lunga e sottile. DIMOSTRAZIONE Con le ipotesi sopra indicate il bilancio termico di un elementino di lunghezza dx (fig ) dà: Q x = Q x+dx + d Q c D.1 Essendo: e Q x = λa dt dx D.2 d Q c = hp (T T ) dx D.3 in cui: λ = conducibilità termica del materiale costituente l aletta A = area della sezione trasversale dell aletta 92

31 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE dqc Q x Q x+dx dx Fig Aletta piana rettangolare. h = coefficiente di scambio termico liminare p = perimetro della sezione trasversale T = temperatura dell aletta (funzione di x) T = temperatura dell ambiente si ottiene: Ponendo: λa d2 T = hp (T T ) D.4 dx2 m 2 = hp λa D.5 e θ = T T D.6 si ottiene: d 2 θ dx 2 m2 θ =0 D.7 La D. 7 ammette la soluzione generale: θ = M e mx + N e mx D.8 I valori delle costanti M ed N possono essere ricavati imponendo le oppportune condizioni al contorno. In tal modo si ricava il profilo di temperatura lungo l aletta. Da questo, integrando la D. 3 su tutta l aletta o r icavando flusso il disperso alla radice dell aletta per 93

32 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE mezzo della D. 2 si ottiene il flusso disperso. Ad esempio, supponendo trascurabile il flusso disperso dall estremità dell aletta, il flusso disperso risulta: Q = λamθ 0 tanh (ml) D.9 94

33 2. IRRAGGIAMENTO L irraggiamento termico è il fenomeno del trasporto di energia per propagazione di onde elettromagnetiche; nei problemi termici la radiazione elettromagnetica è caratterizzata da lunghezze d onda comprese, in genere, tra 0.1 e 100 µm (radiazione termica). Quando la radiazione incide su un mezzo materiale essa viene riflessa, assorbita o trasmessa. Se si indicano con α, ρ, τ le frazioni di energia assorbita, riflessa e trasmessa (fig. 2.1), note rispettivamente come fattore o coefficiente di assorbimento, di riflessione e di trasmissione,sideveavere: α + ρ + τ =1 2.1 I coefficienti α, ρ, τ sono funzione sia della lunghezza d onda λ della radiazione (in tal caso sono detti spettrali o monocromatici), sia del suo angolo d incidenza θ (direzionali). Quando essi sono riferiti alla radiazione proveniente da tutto lo spettro essi sono detti integrali, quando sono riferiti 1 ϑ ρ τ α Fig. 2.1 Interazione della radiazione con un mezzo materiale. 95

34 2. IRRAGGIAMENTO alla radiazione proveniente da tutto l angolo solido visto dalla parete sono detti emisferici. Inogni caso vale la 2.1. Per mezzi opachi τ =0. Se,inoltre, ρ =0atutte le lunghezze d onda, si ha α =1eilmezzo viene detto corpo nero, oradiatoreintegrale, o ancora radiatore di Planck LEGGI DEL CORPO NERO La potenza emessa per unità di superficie nell intervallo di lunghezza d onda [λ, λ + dλ] dal corpo nero ad una temperatura T èdetta potere emissivo monocromatico o densità di flusso monocromatica,definita come: E n λ = 2 Q n A λ, W/(m2 µm) Il potere emissivo monocromatico è dato dall espressione, nota come legge di Planck, ricavabile in base a considerazioni di termodinamica statistica applicata al gas di fotoni: E n λ = C 1 λ 5 e C2/λT dove le costanti valgono C 1 = Wµm 4 /m 2 e C 2 =1, µm K. Esso risulta funzione di λ e T,comeindicato in figura 2.2. Da tale figura si osserva che il valore massimo del potere emissivo monocromatico aumenta e si sposta verso sinistra al crescere di T. Differenziando la 2.2 rispetto alla lunghezza d onda si vede che il luogo dei punti di massimo è caratterizzato dall equazione (nota come legge di Wien odello spostamento): λ max T = C con C 3 = 2898 µm K. E di particolare interesse pratico determinare il potere emissivo integrale E n : E n = Eλ n dλ, W/m

35 2. IRRAGGIAMENTO 1.2E+08 µm Potere emissivo monocromatico, W/m 2 1.0E E E E E+07 T = 6000 K T = 5000 K T = 4000 K T = 3000 K 0.0E Lunghezza d'onda, µm Fig. 2.2 Potere emissivo monocromatico del corpo nero. Il suo valore fu ricavato per via sperimentale da Stefan, e da Boltzmann, che vi pervenne successivamente sulla base di considerazioni termodinamiche; per questo motivo l equazione che la esprime è nota come Legge di Stefan-Boltzmann 1 : E n = σ T con σ (costante di Stefan-Boltzmann), pari a W/(m 2 K 4 ). In alcuni problemi può essere utile disporre di un metodo rapido per conoscere la frazione di radiazione emessa dal corpo nero che si trova contenuta in una determinata porzione dello spettro. Ciò è possibile introducendo il concetto di fattore di radiazione f λ : f λ = λ Eλ n dλ 0 σ T Si dimostra che il valore di f λ èinrealtà funzione soltanto del prodotto λt,come illustrato in fig Da tale diagramma si vede che oltre il 99 % della radiazione è 1 Da un punto di vista cronologico la legge di Stefan-Boltzmann precede la legge di Planck. 97

36 f 2. IRRAGGIAMENTO λ Prodotto λt ( µ m K) Fig. 2.3 Fattore di radiazione. emessa nell intervallo 1000 µm K < λt < µm K eoltre il 90 % nell intervallo 2000 µm K < λt < µm K. A titolo di esempio, per un corpo nero a 3000 K il 90 % della radiazione è emessa fra 0.67 µme6,7µm, mentre per un corpo nero a 300 Kil90%della radiazione è emessa fra 6,7 µme67µm. Se si vuole calcolare la frazione di radiazione visibile (0.4µm < λ < 0.8µm) emessa dal Sole, che può essere assimilato ad un corpo nero a circa 6000 K, è sufficiente svolgere il seguente calcolo: f vis = f f = 0.47 Il 14 % sarà pertanto radiazione ultravioletta (λ < 0.4µm) e il 39 % infrarossa (λ >0.8µm) CARATTERISTICHE RADIATIVE DELLE SUPERFICI REALI In un corpo opaco reale il fattore di riflessione è sempre diverso da zero, quindi il fattore di assorbimento è minore di uno. Anche il potere emissivo monocromatico, in un corpo reale, è una frazione, variabile con la lunghezza d onda, del potere emissivo 98

37 2. IRRAGGIAMENTO monocromatico del corpo nero Eλ n,alla stessa temperatura T. Questa frazione è detta fattore di emissione monocromatico emisferico: ε λ = E λ(t ) E n λ (T ) dove E λ (T ) èilpotere emissivo monocromatico del corpo. La legge di Kirchhoff stabilisce che, quando un corpo è in equilibrio termico, si deve avere: Il fattore di emissione emisferico integrale è dato da: in cui: ε λ = α λ 2.6 ε = E(T ) E n (T ) = E(T ) σ T 4 E(T )= 0 ε λ E n λ dλ Si definiscono grigie le superfici in cui il fattore di emissione non dipende dalla lunghezza d onda. In questo caso si ha: ε = α 2.3. SCAMBIO TERMICO PER IRRAGGIAMENTO FRA CORPI NERI Irraggiamento fra due superfici nere Per ricavare il flusso termico scambiato per irraggiamento fra due superfici nere è necessario definire il fattore di vista (o di forma,oancora di configurazione). Il fattore di vista dalla superficie 1 alla superficie 2 (F 12 )rappresenta la frazione di radiazione uscente dalla superficie 1 che raggiunge la superficie 2. Ovvero: F 12 = Q 12 Q

38 2. IRRAGGIAMENTO E dunque: Q 12 = E 1 n A 1 F 12 èilflusso chedaa 1 raggiunge A 2 Q 21 = E 2 n A 2 F 21 èilflusso chedaa 2 raggiunge A 1 Il flusso netto scambiato vale: Q = E n 1 A 1F 12 E n 2 A 2F Un caso particolare della 2.8 è quello in cui T 1 = T 2.Inquesto caso E n 1 deve anche essere Q =0.Perciò: = En 2,ma A 1 F 12 = A 2 F La 2.9 è una relazione puramente geometrica e pertanto deve valere sempre, indipendentemente dai valori assunti dalle temperature. Essa è nota come teorema o relazione di reciprocità. Loscambio netto vale pertanto: Q = A 1 F 12 (E1 n E2 n ( )=σa 1 F 12 T 4 1 T2 4 ) 2.10 in cui il fattore di vista è dato da: F 12 = 1 A 1 A 1 A 2 cosβ 1 cosβ 2 da 1 da 2 π r ed è riportato nella figura 2.4, atitolo d esempio, per due superfici rettangolari affacciate. Irraggiamento fra n superfici nere Nel caso in cui si debba valutare il flusso termico scambiato per irraggiamento fra n superfici nere il flusso netto uscente dalla superficie i-esima varrà: n Q i = Ei n A i A j F ji Ej n j=1 che, utilizzando il teorema di reciprocità (A j F ji = A i F ij )siriscrive come: n Q i = A i (Ei n F ij Ej n ) 2.12 j=1 100

39 2. IRRAGGIAMENTO F Rapporto Y/L Y X Rapporto X/L L Fig. 2.4 Fattore di vista fra due rettangoli uguali (XxY), allineati e paralleli a distanza L. Inoltre, se le n superfici nere costituiscono una cavità chiusa, valelaseguente proprietà: n F ij =1 j=1 per cui la 2.12 può essere riscritta così: n Q i = A i F ij (Ei n En j ) 2.13 j=1 Essendo note le temperature di tutte le n superfici, le n equazioni come la 2.13 permettono di calcolare immediatamente il flusso netto uscente dalle n superfici SCAMBIO TERMICO PER IRRAGGIAMENTO FRA SUPERFICI GRIGIE Lo scambio termico fra superfici grigie presenta qualche ulteriore complessità rispetto a quello fra superfici nere. Infatti, poichè non tutto il flusso incidente su una superficie viene assorbito, una parte di quello riflesso tornerà sulla superficie da cui proviene il flusso incidente, verrà solo in parte assorbito, e così via. 101

40 2. IRRAGGIAMENTO Si dimostra che il flusso termico scambiato fra due superfici grigie vale: σ (T ) 1 Q 4 T2 4 = 1 ε 1 ε 1 A = F ε σa 1 (T A 1 F ε2 1 4 T 4 ) 2 ε 2 A avendo posto: F ε = ( 1 ε A ) ε ε 1 F 12 A 2 ε 2 Èfacile dimostrare che per i corpi neri F ɛ = F 12 ela 2.14 si riduce alla Valori di F ɛ per alcune geometrie particolari Per due superfici piane, parallele e infinite si avrà A 1 = A 2 e F 12 = F 21 =1, e la 2.15 diverrà: F ε = ( ) ε 1 ε 2 Per una superficie di area A 1 contenuta in una cavità di area A 2 >> A 1,essendo F 12 =1, la 2.15 diviene semplicemente: F ε = ε Linearizzazione del flusso di irraggiamento Come già visto nel CAPITOLO 1.3, nella soluzione analitica di problemi di irraggiamento è spesso conveniente esprimere i flussi termici scambiati come funzione lineare della differenza di temperatura: Q = h r A 1 (T 1 T 2 ) Questa relazione può essere agevolmente desunta dalla 2.14,attraverso le proprietà dei prodotti notevoli: ( Q = F ε σa 1 T 4 1 T2 4 ) ( = Fε σa 1 T T2 2 ) (T1 T 2 )(T 1 + T 2 ) e ponendo: con T m =(T 1 + T 2 )/2. h r = F ε σ ( T T 2 2 ) (T1 + T 2 ) 4F ε σt 3 m

41 2. IRRAGGIAMENTO È possibile dimostrare che l approssimazione insita nella 2.18 T T 2 2 2T 2 m ètanto più accettabile quanto più prossime fra loro sono le temperature T 1 e T

42

43 3. CONVEZIONE La convezione è lo scambio di calore fra una superficie ed un fluido, a temperatura diversa, che la lambisce. I fenomeni di scambio termico sono concentrati in un sottile strato adiacente alla parete (strato limite termico) e consistono nell interazione fra conduzione (e in minor misura irraggiamento) etrasporto di energia associata al fluido in moto (in direzione anche diversa da quella principale del moto). Aseconda che il moto relativo fra parete e fluido sia determinato da forze esterne o sia provocato da variazioni di densità del fluido (dovute a loro volta adifferenze di temperatura) in presenza di un campo di forze di massa, la convezione si dice rispettivamente forzata o naturale. Nel caso della convezione forzata, se le proprietà del fluido possono essere considerate costanti (il che implica che esse siano indipendenti dalla temperatura e che, nel caso di un gas, siano trascurabili le variazioni di pressione), il problema fluidodinamico e quello termico non si influenzano a vicenda e possono essere dunque affrontati separatamente. Al contrario, nella convezione naturale questa separazione della trattazione non è mai possibile perché il moto del fluido è proprio determinato dai gradienti di temperatura all interno della massa fluida. In entrambiicasi, diconvezioneforzataonaturale, èconsuetudineesprimereil flusso termico convettivo attraversol espressione nota come legge di Newton: dove: A =areadiscambio, m 2 Q = h c A (T s T f ) 3.1 h c =coefficiente di scambio termico liminare convettivo o adduttanza superficiale, W/(m 2 K) 105

44 3. CONVEZIONE T s =temperatura della superficie lambita dal fluido, C T f =temperatura del fluido C La 3.1 èsolo apparentemente una relazione lineare, perché il coefficiente di scambio termico liminare h c dipende, per la natura stessa del fenomeno fisico, da un grande numero di variabili, tra cui compare, insieme alle proprietà termofisiche del fluido (calore specifico, densità, viscosità, conducibilità termica, etc.), e ad altre grandezze fisiche e geometriche che caratterizzano il problema (velocità relativa, forma della superficie, etc.), anche la temperatura. L obbiettivo degli studi sulla convezione è appunto quello di determinare h c. È possibile affrontare il problema dal punto di vista sperimentale o teorico. Nel primo caso è opportuno far precedere la fase sperimentale da una analisi dimensionale delle grandezze da cui dipende il problema (teorema di Buckingham o teorema Π), che consenta di ridurre il numero di variabili. Questo procedimento, che richiede l identificazione a priori di tutte le variabili, consente di giungere a relazioni (nel caso più semplice monomie) fra un ristretto numero di parametri adimensionali. Gli esponenti e i coefficienti di queste relazioni vengono poi determinati per via sperimentale. Nel caso in cui il problema venga affrontato dal punto di vista puramente teorico, il fluido viene in genere considerato come un mezzo continuo al quale è possibile applicare le equazioni di conservazione della massa (continuità), della quantità di moto (equazioni di Navier-Stokes) e dell energia. La soluzione esatta di queste equazioni presenta difficoltà matematiche insormontabili. Attraverso l introduzione del concetto di strato limite (PARAGRAFO 3.2) è possibile semplificare notevolmente sia le equazioni di Navier-Stokes che dell energia, giungendo a soluzioni esatte per configurazioni particolarmente semplici e per strato limite laminare. Lo strato limite può anche essere esaminato su scala macroscopica applicando le stesse equazioni di conservazione a una porzione finita di fluido (metodi integrali) eottenendo in tal modo soluzioni approssimate, ma spesso ancora accettabili nei problemi di ingegneria. In questo caso il problema può essere risolto anche per strato limite turbolento. In quest ultimo caso un procedimento matematico spesso adottato per risolvere questo tipo di problemi consiste nello stabilire delle analogie fra trasporto di caloreediquantità di moto (analogia di Reynolds). Nel seguito sono riportati alcuni richiami, necessariamente sintetici, di moto dei fluidi. 106

45 3. CONVEZIONE 3.1. REGIME DI MOTO E VISCOSITÀ Si deve a Reynolds (1883) la prima osservazione dell esistenza di due tipi fondamentali di moto dei fluidi, il moto laminare e quello turbolento. Ilben noto esperimento da lui realizzato gli consentì di visualizzare (attraverso l iniezione di un liquido colorante) il flusso d acqua in un condotto, al variare della velocità. Per piccole velocità la traccia di colorante rimane continua e ben definita; l assenza di miscelamento di particelle di fluido evidenzia un campo di moto puramente assiale, e il moto viene detto laminare. All aumentare della velocità la traccia del colorante tende a sfilacciarsi fino a diffondersi su tutta la sezione del condotto; il rimescolamento delle particelle di fluido evidenzia la presenza di fluttuazioni di velocità sia in direzione parallela che perpendicolare alla direzione del moto, e il moto viene detto turbolento. Per flusso turbolento, ancheseilregimedimotoèstazionarioleproprietàdelfluidoin un punto (velocità, pressione, temperatura, etc.) variano dunque nel tempo. Si tratta, tuttavia, di variazioni a valor medio temporale nullo. Perciò è sufficiente sostituire ai valori istantanei delle proprietà i loro valori medi, esprimendo le componenti fluttuanti attraverso il loro valore quadratico medio. Quando gli strati di fluido scorrono uno sopra l altro sono sottoposti a sforzi tangenziali che sono bilanciati dagli effetti dissipativi interni al fluido, provocatidalla sua viscosità. Comeconseguenza di ciò si osserva sperimentalmente la presenza di un gradiente di velocità in direzione trasversale al moto. In un fluido newtoniano gli sforzi tangenziali sono proporzionali in modo lineare al gradiente di velocità, e la costante di proporzionalità è detta viscosità dinamica µ: τ = µ du dy 3.2 dove u è la velocità nella direzione principale del moto e y è la direzione perpendicolare alla superficie su cui scorre il fluido. 107

46 3. CONVEZIONE Ripetendo l esperimento di Reynolds con fluidi aventi proprietà fisiche (viscosità, densità) e velocità diverse e in condotti aventi diametro diverso si osserva che la transizione dal moto laminare a quello turbolento si verifica sempre in corrispondenza di uno stesso valore ( ) di un insieme adimensionato di variabili, detto numero di Reynolds,definito da: Re = ρ u D µ = u D ν 3.3 dove ν èlaviscosità cinematica. PerRe < 2000 il moto sarà dunque laminare e per Re > 2500 sarà turbolento, qualunque siano i valori assunti singolarmente dalle varie grandezze. Un altro parametro particolarmente importante nello studio della convezione è il numero di Prandtl,definito come: Pr = µ c p λ = ν α 3.4 in cui α = ρ c p /λ èladiffusività termica, definita nel CAPITOLO 1. Esiste una analogia fra trasporto di massa e di calore in un campo di pressioni uniforme, evidenziata formalmente dal fatto che per Pr 1(ν = α) ladistribuzione adimensionale della temperatura è identica a quella delle velocità. In effetti per la maggior parte dei gas Pr ècompreso fra 0.6 ed 1, mentre per i liquidi le variazioni sono assai più sensibili CONCETTO DI STRATO LIMITE Una notevole semplificazione del problema la si ottiene introducendo il concetto di strato limite. Tale concetto fu introdotto da Prandtl nel 1904 per studiare il moto di un fluido adiacente ad una parete. Egli osservò che, ad una adeguata distanza dalla parete, il moto del fluido non è più influenzato dalla presenza della parete e definì perciò strato limite della velocità quella regione di fluido, adiacente alla parete, in cui, a causa degli sforzi viscosi, esistono degli apprezzabili gradienti di velocità. Detta x la 108

47 3. CONVEZIONE T T T T T T T s T s t (x) y x Fig. 3.1 Strato limite termico su una lastra piana. direzione principale del moto ed u la componente di velocità lungo x, lo spessore δ(x) dello strato limite dinamico viene determinato imponendo che u(x, δ) non differisca dalla velocità nella regione indisturbata u per più dell 1%. Analogamente, esiste uno strato limite termico in cui la temperatura varia da T s (temperatura della parete) a T (temperatura del fluido nella regione indisturbata). La regione di fluido non compresa nello strato limite termico si comporta dunque come un pozzo termico, in grado di assorbire il calore proveniente dallo strato limite senza modificare la propria temperatura. Anche in questo caso, lo spessore δ t dello strato limite termico viene determinato imponendo che la differenza di temperatura T (x, δ t ) T s sia pari al 99% della differenza di temperatura fra fluido nella zona indisturbata e parete T T s (fig. 3.1). Se si rapporta il flusso termico scambiato per convezione attraverso lo strato limite: Q c = h c A (T s T f ) con quello che sarebbe scambiato per pura conduzione attraverso lo strato limite: Q k = λ δ t (T s T f ) in cui λ èlaconducibilità termica del fluido, si ottiene: 109

48 3. CONVEZIONE Q c / Q k = hδ t λ Se al posto dello spessore dello strato limite si riporta nell espressione precedente la generica lunghezza caratteristica L, si ottiene l espressione del numero di Nusselt: Nu = hl λ ANALISI DIMENSIONALE PER LA CONVEZIONE FORZATA L esperienza insegna che il coefficiente di scambio termico per convezione forzata dipende dalle seguenti variabili indipendenti: h c = f(u, µ, λ, L, ρ, c p ) 3.6 dove: u =velocità µ =viscosità dinamica λ =conducibilità termica L =lunghezza caratteristica del problema (es.: diametro) ρ =massa volumica c p = calore specifico Si hanno dunque 7 variabili (6 indipendenti) che dimensionalmente possono essere espresse attraverso le 4 dimensioni fondamentali M,L,T,Θ (massa, lunghezza, tempo e temperatura). Il teorema di Buckingham afferma che: una relazione fra n variabili dipendenti ed indipendenti funzione di m dimensioni fondamentali può essere espressa attraverso una funzione fra (n m) gruppi adimensionati. La 3.6 darà dunque luogo ad una funzione di 7 4 = 3 gruppi adimensionati: 110

49 3. CONVEZIONE f 1 (π 1,π 2,π 3 )=0 Si ipotizza una funzione monomia del tipo: h c = A u a µ b λ c L d ρ m c n p 3.7 Essendo note le equazioni dimensionali delle 7 grandezze (tabella 3.1), si scrivono poi le equazioni di congruenza dimensionale per le 4 dimensioni fondamentali. Massa M : 1 = b + c + m Lunghezza L : 0 = a b + c + d 3m +2n Tempo t : 3 =a b 3c 2n 3.8 Temperatura Θ: 1 = c n Tab. 3.1 Equazione dimensionale per le variabili del problema. grandezza unità di misura s.i. unità fond. s.i. equazione dimensionale M L T Θ h c W/(m 2 K) kg/(s 3 K) u m/s m/s µ Ns/m 2 kg/(s m) λ W/(m K) kgm/(s 3 K) D m m ρ kg/m 3 kg/m c p J/(kg K) m 2 /(s 2 K) Il sistema 3.7 èdi4equazioni in 6 incognite. Esprimendoa,b,c,d in funzione di m,n si ottiene: a = m b = n m c =1 n d = m 1 111

50 3. CONVEZIONE Sostituendo nella 3.9 e raccogliendo i termini con uguale esponente si ottiene: da cui: h c = Au m µ n m λ 1 n L m 1 ρ m c n p = A ( ρud µ ) m (µcp ) n λ λ L Nu = ARe m Pr n 3.9 È opportuno sottolineare come nella 3.9 si sia giunti adue sole variabili indipendenti (Re e Pr), dalle sei che comparivano nella 3.6. Per ricavare il valore del coefficiente A edegli esponenti m ed n che compaiono nella 3.9 ènecessario ricorrere a tecniche sperimentali. In Tab. 3.2 si possono trovare tali valori per alcune configurazioni ricorrenti. Tab. 3.2 Valori delle costanti dell equazione 3.9 per alcune configurazioni geometriche semplici. Caso A m n Moto turbolento completamente sviluppato all interno di un condotto per fluido che si raffredda (equazione di Dittus e Boelter) 1 Moto turbolento completamente sviluppato all interno di un condotto per fluido che si riscalda (equazione di Dittus e Boelter) 1 Fluido che scorre su una lastra piana indefinita per strato limite laminare Fluido che scorre su una lastra piana indefinita per strato limite turbolento(re L >10 5 ) 2 1 Le proprietà del fluido vanno calcolate alla temperatura media del fluido. 2 In questo caso la 3.9 fornisce il valore medio di Nu nel tratto L. 112

51 3. CONVEZIONE Per alcuni fluidi di uso comune (aria, acqua) esistono delle correlazioni semplificate in cui si fornisce direttamente h c in funzione delle principali variabili indipendenti (la velocità u e, a volte, una caratteristica dimensionale). Ad esempio, per aria che scorre su una parete si ha: h c =3+2u 3.4. CONVEZIONE NATURALE Applicando l analisi dimensionale alla convezione naturale, è possibile ottenere: con Gr, numero di Grashof, definito da: Nu = f(gr, Pr) Gr = g β T l3 ν dove T =differenza di temperatura fra fluido (T ) eparete (T 0 ) L =lunghezza caratteristica β =coefficiente di dilatazione termica, pari a 1 V gas ideali, come l aria ( ) V, ovvero 1/T per i T p Le relazioni sono del tipo: con Nu = C (Pr Gr) m = C Ra m 3.11 Ra = Gr Pr (numero di Rayleigh) 3.12 I numeri di Grashof e Prandtl vanno valutati alla cosiddetta temperatura di film T f, definita come: T f =(T s +T )/2 113