UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA. Cages, configurazioni e schemi ciclici

Transcript

1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA Cages, configurazioni e schemi ciclici Marién Abreu Quaderni Elettronici del Seminario di Geometria Combinatoria 25E (Maggio 2011) Dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo P.le Aldo Moro, Roma - Italia

2 Cages, Configurazioni e Schemi Ciclici Marién Abreu Università degli Studi della Basilicata 16 Dicembre 2010 Università La Sapienza Roma

3 Argomenti Strutture geometriche e grafi estremali: alcune equivalenze Cages Semipiani Ellittici Configurazioni Simmetriche Rappresentazioni concise delle (0, 1) matrici associate a tali strutture: Schemi Ciclici Nuovi grafi e configurazioni usando l infrastruttura matriciale.

4 Cages Problema (Tutte; 1947 Kárteszi; 1960) Costruire cages (eventualmente Hamiltoniani) Un (k, g) cage è un grafo k regolare di girth g con minimo numero f(k, g) di vertici. Girth: è la lunghezza del circuito più piccolo in un grafo; Un grafo è regolare se tutti i suoi vertici hanno la stessa valenza (Sachs; 1963): Per ogni k 3 e g 5 esiste un (k, g) grafo. La limitazione di Moore è n(k, g) = { 1 + k + k(k + 1) + + k(k 1) g g dispari 2(1 + (k 1) + (k 1) (k 1) g 2 1 ) g pari Un grafo di Moore è un (k, g) grafo con n(k, g) vertici.

5 Grafi di Moore I grafi di Moore sono sporadici ed esistono solo di: Girth 5 e k = 2, 3, 7 e possibilmente 57 Girth 6, 8 o 12 e sono grafi di Levi di piani proiettivi o di quadrangoli o esagoni generalizzati Hoffman, Singleton, Higman, Ito ed al. = non esistono altri grafi di Moore Quasi sempre f(k, g) > n(k, g) Risultati (M.A., Funk, Labbate, Napolitano /2008/2010) Limitazioni superiori per i cages e costruzioni di classi infinite di (k, g) grafi di girth 5 e 6

6 Semipiani Ellittici Un semipiano ellittico è una struttura d incidenza di ordine n (che consta dello stesso numero di punti che di rette) tale che vengano soddisfatte le seguenti proprietà: Regolarità: Ci sono esattamente n + 1 punti in ogni retta e per ogni punto passano esattamente n + 1 rette. Linearità: Ogni coppia di punti è contenuta in al più una retta. Ossia, non ci sono digoni Parallelismo: Fissati una retta l 0 ed un punto p 0 non incidenti esiste al più una retta l 1 passante per p 0 e parallela a l 0 esiste al più un punto p 1 incidente a l 0 e parallelo a p 0

7 Demboski 1968 I semipiani ellittici S(X, L, ) di ordine n, con classi di parallelismo di cardinalità m, hanno n(n + 1) + m punti e rette e vale uno dei seguenti asserti: (O) m = 1 ed S = P è un piano proiettivo d ordine n. (C) m = n ed S = P B(p, l) dove p l. [Cronheim 1965] (L) m = n + 1 ed S = P B(p, l) dove p l. [Lüneburg 1964] (D) m = n + 1 n + 1 ed S = P B. (B) m < n + 1 n + 1 [Baker 1977]: 45 punti, ordine 6, m = 3

8 Risultati sui Semipiani Ellittici Risultati (M.A., Funk, Labbate, Napolitano - ArsComb 2008) Rappresentazioni matriciali concise per ogni tipo di semipiano ellittico Desarguesiano Le rappresentazioni mettono in evidenza una decomposizione tattica dei semipiani ellittici, ossia una loro partizione in semipiani ellittici di minor ordine.

9 Configurazioni Simmetriche Una configurazione simmetrica (n) k è una struttura d incidenza lineare, con n punti e rette nella quale ogni retta contiene k punti e per ogni punto passano k rette. I piani proiettivi sono configurazioni simmetriche minimali: Dato un intero k, la configurazione simmetrica (n) k con minimo numero di punti e rette è n = k 2 k + 1 Esistono per k = q + 1 con q potenza di primo. Lavoreremo con piani proiettivi desarguesiani P G(2, q). Per ogni configurazione simmetrica (n) k la deficiency d = n k 2 + k 1 misura quanto essa dista dall essere un piano proiettivo.

10 Spettro dell esistenza delle configurazioni 1 Rappresentiamo l esistenza delle configurazioni n k in base alla loro regolarità k e alla loro deficiency d, in una tabella chiamata spettro delle configurazioni k\d

11 Righe di Golomb Una riga di Golomb d ordine k è un insieme S = {α 1,..., α k } di k interi tali che le differenze α i α j sono tutte distinte per ogni i j. Il massimo α i in S è la lunghezza della riga. Dato un intero k, l intero l k denota la minima lunghezza di una riga di Golomb d ordine k. Risultati di Lipman e di Gropp implicano che per ogni k 3, fissato n 0 (k) = 2l k + 1, esistono configurazioni n k per ogni n n 0 (k). Una configurazione di Golomb è una configurazione (2l k + 1) k.

12 Spettro dell esistenza delle configurazioni 2 Le configurazioni di Golomb sono state determinate per 3 k 25. In questa tabella abbiamo incluso quelle per 3 k 7 k\d

13 Spettro dell esistenza delle configurazioni 3 Le configurazioni che corrispondono a semipiani ellittici di tipo L e C compaiono nello spettro su diagonali parallele k\d

14 Complementi di sottopiani di Baer e Stato dell Arte I semipiani ellittici di tipo D, che sono complementi di sottopiani di Baer in un piano proiettivo d ordine q 2 danno luogo ad ulteriori configurazioni. Ci sono ulteriori esempi sporadici ed alcuni risultati di non esistenza che completano lo stato dell arte dello spettro delle configurazioni qui rappresentato per 3 k 12. k\d

15 Regione tra i Semipiani Ellittici di tipo C e le Configuazioni di Golomb In una scala diversa, è più facile vedere che c è una regione limitata inferiormente dalla diagonale delle configurazioni provenienti da semipiani ellittici di tipo C e superiormente dalle configurazioni di Golomb, nella quale non è determinata l esistenza di configurazioni d k

16 Schemi Ciclici Uno schema ciclico su Z µ di valenza (k, l) è una matrice m n i cui elementi sono sottoinsiemi S i,j Z µ tali che Σ n j=1 S i,j = k e Σ m i=1 S i,j = l. Esempio ( 1, , 3 ) (5) Schema 2 2 di valenza (3, 3) su Z 5 che rappresenta il grafo di Petersen

17 Matrici Circolanti Una matrice circolante è univocamente determinata dalla sua prima riga. c 1 c 2 c 3 c n c n c 1 c 2 c n 1 c n 1 c n c 1 c n 2.. c 2 c 3 c 4 c 1 Esiste una corrispondenza biunivoca tra le (0, 1) matrici circolanti d ordine µ ed i sottoinsiemi di Z µ. Esplosione (Blow up): Ad ogni schema Z µ si può associare una (0, 1) matrice d ordine mµ nµ, sostituendo ogni insieme S i,j per la matrice circolante associata ad S i,j.

18 Schema su Z 5 per Petersen Esempio ( 1, , 3 ) (5)

19 Condizioni sugli Schemi Ciclici Teoremi (M.A., Funk, Labbate, Napolitano ) Sia M uno schema ciclico su Z µ, A la sua esplosione, e G il grafo la cui matrice d adiacenza è A. Allora le seguenti condizioni sono equivalenti: G A M Privo di Loop Zeri sulla diagonale 0 / S i,i Non diretto Simmetrica Schema antisimmetrico Privo di C 4 Priva di sotto matrici J 2 ( ) ( ) a b + c d 0 mod µ a S ij d Sgj b Sih c Sgh

20 Grafi di Levi di Piani Proiettivi Il grafo di Levi (o d incidenza punto/retta) di un piano proiettivo desarguesiano P G(2, q) è

21 Grafi di Levi di Semipiani Ellittici di tipo C Si eliminano un punto ed una retta incidenti, insieme a tutti i loro vicini

22 Grafi di Levi di Semipiani Ellittici di tipo C I grafi di Levi dei Semipiani Ellittici Desarguesiani di tipo C provenienti da P G(2, q) sono q regolari di girth 6 con 2q 2 vertici.

23 Grafi di Levi di Semipiani Ellittici di tipo L Si eliminano un punto ed una retta non incidenti, insieme a tutti i loro vicini

24 Grafi di Levi di Semipiani Ellittici di tipo L I grafi di Levi dei Semipiani Ellittici Desarguesiani di tipo L provenienti da P G(2, q) sono q regolari di girth 6 con 2(q 2 1) vertici.

25 Grafi di Levi di Semipiani Ellittici di tipo L I grafi di Levi dei Semipiani Ellittici Desarguesiani di tipo L provenienti da P G(2, q) sono q regolari di girth 6 con 2(q 2 1) vertici. Raggruppando diversamente e riordinando

26 Schema su Z q 1 per Semipiani Ellittici di tipo L (µ) S i,i = per ogni i {1,..., q + 1}

27 Schema su Z q 1 per Semipiani Ellittici di tipo L ( ) (µ) S i,i = per ogni i {1,..., q + 1} S i,q+1 = S q+1,j = {0} per ogni i, j {1,..., q} S i,j = {z} per ogni i, j {1,..., q} con i j dove z è tale che x i 1 x j 1 = w z, con x 0 = 0, x 1,..., x q 1 è un ordine per gli elementi di GF (q) e w una radice q sima dell unità. L esplosione di questo schema su Z q 1 è una matrice d incidenza per un semipiano ellittico di tipo L e per il suo grafo di Levi. Anche la matrice d incidenza dei semipiani ellittici di tipo C ammette uno schema ciclico su Z p, dove p è primo e q = p m.

28 Esempio Grafi di girth 6 Ricordiamo che per costruire la matrice d adiacenza A d un grafo bipartito con matrice d incidenza B si pone A := ( O B Il grafo di Levi del semipiano ellittico di tipo L costruito a partire da GF (7) ha matrice d adiacenza che è l esplosione dello schema ciclico su Z 6 B T O ) (6)

29 Grafi di girth 6 Si ottengono nuovi grafi regolari bipartiti di girth 6 eliminando righe e colonne dallo schema ciclico Teorema (M.A., Funk, Labbate, Napolitano - AusJC 2006) Esistono due famiglie infinite G (q, λ) e G + (q, λ) di grafi semplici (q λ) regolari bipartiti di girth 6 d ordine 2(q 2 λq) e 2(q 2 λq + λ 1) rispettivamente, con q = p m, p primo e 0 λ q 3.

30 Grafi di girth 5 Si costruiscono nuovi grafi di girth 5 aggiungendo sottografi regolari ai grafi di girth 6. Allo schema ciclico su Z 6 possono essere aggiunti degli elementi sulla diagonale che non cambiano la linearità 1, , , , , , , , , , , , , , , , 4 (6) Nel grafo l aggiunta rappresenta sottografi 2 regolari in ogni blocco di vertici, che lo fanno diventare non bipartito e di girth 5

31 Grafi di girth 5 Si ottengono nuovi grafi regolari bipartiti di girth 5 eliminando righe e colonne dallo schema ciclico Teorema (M.A., Funk, Labbate, Napolitano - DM 2008) Esiste una famiglia infinita H(q, λ) di grafi semplici (q + 2 λ) regolare di girth 5 d ordine 2(q λ), con q = p m, p 5 primo e 0 λ q 2. Corollario (M.A., Funk, Labbate, Napolitano - DM 2008) Dato un intero k 3, il grafo H(k) H(q, λ) tale che q sia la più piccola potenza di un primo con q k 2 e λ = q k + 2 generalizza una costruzione di Murty. In particolare, si ottengono limiti superiori migliori di quelli conosciuti per f(k, 5) con k 16.

32 Nuove Configurazioni Eliminando righe e colonne dello schema ciclico k d

33 Nuove Configurazioni Eliminando righe e colonne dello schema ciclico Rimuovendo 1 fattori dai grafi di Levi k d

34 Nuove Configurazioni Eliminando righe e colonne dello schema ciclico Rimuovendo 1 fattori dai grafi di Levi Applicando estensioni alla Martinetti

35 Definizione Estensioni alla Martinetti Sia H = {(p i, l i ) : p i l i for i = 1,..., k 1} un hyperpencil in una configurazione K di tipo (n) k. p 1 p 2 P k 1 l 1 l 2 l k 1

36 Definizione Estensioni alla Martinetti Sia H = {(p i, l i ) : p i l i for i = 1,..., k 1} un hyperpencil in una configurazione K di tipo (n) k. L estensione di Martinetti K H di K si ottiene da K come segue si eliminano le incidenze p i l i, per i = 1,..., k 1, l 1 l 2 l k 1 p 1 p 2 p k 1

37 Definizione Estensioni alla Martinetti Sia H = {(p i, l i ) : p i l i for i = 1,..., k 1} un hyperpencil in una configurazione K di tipo (n) k. L estensione di Martinetti K H di K si ottiene da K come segue si eliminano le incidenze p i l i, per i = 1,..., k 1, si aggiunge la bandiera (p H, l H ), si aggiungono le incidenze p i l H e p H l i per i = 1,..., k 1. l 1 l 2 l k 1 p 1 p 2 p k 1 p H l H

38 Spettro delle Configurazioni incluse le nostre costruzioni d k