Laboratorio di Meccanica A.A Canale A Prof. F. Meddi (28 Aprile 2011)

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1 Testo e soluzioni del 1-mo 1 Compito di Esonero del corso di Laboratorio di Meccanica A.A Canale A Prof. F. Meddi (8 Aprile 011) 1

2 Esercizio N.1 Considerando che m, t e v sono grandezze fisiche (GF) riferite rispettivamente a massa, tempo e velocita, quindi con dimensione fisica diversa tra loro, indicare quali delle seguenti 8 espressioni hanno significato fisico e per queste ultime quali sono le unita di misura nel SI. Con g si indica l accelerazione di gravità e con h e h 0 l altezza. -m t -m + t -m -t -(m + v) / m -m t / t -(1 / ) mv -mgh -h 0 exp(-mgh)

3 Commenti generali sul 1-mo a x 1 + b x 1 [a x 1 + b x 1 ] = = [x 1 ] + [x 1 ] = = [x 1 ] x 1 y 1 Y 1 =(x 1 ) α (x ) β [y 1 ] = [x 1 ] α [x ] β con [a] = [b] = [ ] 0 x con [α] = [β] = [ ] 0 a x 1 + b x [a x 1 + b x ] = = [x 1 ] + [x ] = =??? con [a] = [b] = [ ] 0 Operazioni di addizione o sottrazione GFF Grandezze Fisiche Fondamentali Operazioni di moltiplicazione o divisione o elevamento a potenza y GFD Grandezze Fisiche Derivate 3

4 Commenti generali sul 1-mo richiedere quale definizione di una possibile GFD coinvolgente piu GFF abbia significato fisico vuole indicare solo quale abbia significato dal punto di vista dell analisi dimensionale, non della loro utilita o diffusione nell uso F(x + Δx, y + Δy) = F(x,y) + F x (x,y) Δx + F y (x,y) Δy + (1/)(F x (x,y) Δx + F y (x,y) Δy ) + exp(x) = 1 + x + (x /!) + (x 3 / 3!) + sin(x) = x (x 3 / 3!) + (x 5 / 5!) (x 7 / 7!) + cos(x) = 1 (x /!) + (x 4 / 4!) (x 6 / 6!) + l argomento di una funzione trascendente deve essere adimensionale U SI (M) = kg U cgs (M) = g U SI (Energia) = J 1 J = 1 N x 1 m = 1 kg 1 m / 1 s 4

5 Traccia della soluzione del 1-mo 1 - m t [mt] =[m][t] U(mt) = U(m) x U(t) = kg x s - m + t [m+t] = [m] + [t] NO! per il principio di omogeneita si possono confrontare tra di loro solo GF con stesse dimensioni fisiche. - m - t [m-t] = [m] - [t] NO! - (m + v) / m [(m+v)/m] = ([m] + [l][t] -1 ) / [m] - m t / t m t / t [(mt)/t ] = [m][t] -1 U(m t / t ) = U(m/t) = kg / s NO! 5

6 Traccia della soluzione del 1-mo 1 - (1 / ) m v [(1 / ) m v ] = [m][l] [t] - = ([m][l][t] - )[l] = [Lavoro] U((1 / ) m v ) = U(Forza) x U(lunghezza) = N x m = J - m g h [mgh] = [m][l][t] - [l] = ([m][l][t] - )[l] = [Lavoro] U(mgh) = U(Forza) x U(lunghezza) = N x m = J - h 0 exp(-mgh mgh) [h 0 exp(-mgh)] = [h 0 ][exp(-mgh)] NO! l argomento di una funzione deve essere privo di dimensioni fisiche potrei sviluppare la funzione in serie di potenze che dimensionalmente non potrei addizionare tra di loro per il principio di omogeneita. 6

7 Esercizio N. Su di una lamina metallica di forma rettangolare sono stati misurati i lati orizzontale e verticale utilizzando un righello con sensibilita pari a 1 mm/div. Misurando 1 volte i singoli lati in punti diversi, si sono ottenuti i valori riportati in tabella. S =? b = 0.0 cm a = 10.0 cm Ricavare la superficie S e l incertezza associata nel caso schematizzato ed esprimere il risultato sia in unita del SI che in unita del sistema cgs. a [cm] b [cm]

8 Commenti generali sul -ndo osservare che sia le misure di a sia quelle di b hanno una variabilita nel campione maggiore dell incertezza di lettura del righello σ Δ / 3 non puo che essere una sottostima della dev. standard { campione di N = 1 misure di a } < a >, σ(a), σ(< a >) = σ(a) / N { campione di N = 1 misure di b } < b >, σ(b), σ(< b >) = σ(b) / N propagazione quadratica e non lineare dell errore, sia relativo che assoluto per stimare la dev. standard sulla S calcolata osservareches viene calcolato con il prodotto dei due valori medi, percio nella propagazione dell errore va usata la deviazione standard della media e non la deviazione standard del campione di N misure! 8

9 Commenti generali sul -ndo si determina prima l incertezza con non piu di cifre significative, quindi la grandezza con un numero di cifre decimali congruente! [S] = [σ(s)] = [L] U(S) = U(σ(S (S)) il risultato di una misura va sempre presentato in forma standard (S ± σ(s)) U(S) 9

10 Commenti generali sul -ndo campione misure lato a Data 4 Minimum Maximum Sum A A Points 1 Mean Median 11. RMS Std Deviation Variance Std Error Skewness Kurtosis ,5 3,5 1,5 1 campione misure lato b Data 4 B Minimum 0 B Maximum 5 Sum 75. Points 1 Mean Median.9 RMS Std Deviation Variance Std Error Skewness Kurtosis ,5 0 8,1 9 9,9 10,8 11,7 1,6 13,5 14, <a> = (11.3 ± 0.) cm <b> = (.93 ± 0.41) cm 10

11 Traccia della soluzione del -ndo N = 1 <a> = 11.3 cm <a> = (11.3 ± 0.) cm σ(a) = 0.75 cm (± 1.9 %) σ(<a>) = (σ(a) / N ) = 0. cm <b> =.93 cm <b> = (.93 ± 0.41) cm σ(b) = 1.4 cm (± 1.8 %) σ(<b>) = (σ(b) / N ) = 0.41 cm S = <a> x <b> = 59.6 cm (σ(s) / S) = ((σ(a) / a) + (σ(b) / b) ).6 % ovviamente.6% < 3.7 % (= 1.9 % % ) σ(s) = S x (σ(s) / S) = 59.6 x.6 x 10 - cm = 6.7 cm <S> = (59.6 ± 6.7) cm (±.6 %) (59.6 ± 6.7) x 10-4 m 11

12 Traccia della soluzione del -ndo alternativamente S = a b S S σ ( S) = ( ) σ ( a) + ( ) σ ( b) = b σ ( a) + a b a σ ( b) a = (11.3 ± 0.) cm b = (.93 ± 0.41) cm σ ( S ) = (.93 0.) + ( ) cm S = cm cm cgs (59.6 ± 6.9)cm (±.7 %) SI (59.6 ± 6.9)10-4 m 1